סדרות – שאלון 472 7 פרקים36 שיעורים10 שבועות
קיץ 2024 מועד א – שאלה 1
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 1
סדרה חשבונית: נוסעים ברכבת
📄 נוסח השאלה
לרכבת מסוימת יש 11 קרונות. ביום א', מספר הנוסעים בכל קרון היה גדול במספר קבוע ממספר הנוסעים בקרון שלפניו. מספר הנוסעים בקרון האחרון היה גדול פי 3 ממספר הנוסעים בקרון הראשון. ביום זה מספר הנוסעים ברכבת היה 220 סך הכול.
א. מצאו כמה נוסעים היו בקרון הראשון.
ב. מצאו כמה נוסעים היו בקרון האמצעי.
ג. מצאו כמה נוסעים סך הכול היו בקרונות האי־זוגיים (בקרון הראשון, השלישי, החמישי וכן הלאה).
ביום ב' מספר הנוסעים ברכבת היה גדול פי 2 ממספר הנוסעים בה ביום א' ולכן הוחלט להוסיף קרונות לרכבת. ביום ב', מספר הנוסעים בכל קרון היה גדול ב־3 ממספר הנוסעים בקרון שלפניו. ביום זה היו בקרון הראשון 5 נוסעים.
ד. מצאו את מספר הקרונות שהוסיפו לרכבת ביום ב'.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – הנוסעים בקרון הראשון
כל קרון גדול במספר קבוע מהקודם – זו סדרה חשבונית עם 11 איברים. נתון: a11 = 3a1 ו־S11 = 220.
S11 = 112 · (a1 + a11)📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
112 · (a1 + 3a1) = 220
112 · 4a1 = 220
22a1 = 220
a1 = 22022 = 10
נמצא גם את ההפרש (נצטרך אותו בהמשך):
a11 = 3 · 10 = 30
a11 = a1 + 10d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
10 + 10d = 30 10d = 20 d = 2
✅ פתרון סופי: 10 נוסעים
סעיף ב – הקרון האמצעי
ב־11 קרונות, האמצעי הוא הקרון השישי (5 לפניו ו־5 אחריו).
a6 = a1 + 5d = 10 + 5 · 2 = 20📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
בדיקה: הסכום שווה למספר האיברים כפול האיבר האמצעי: 11 · 20 = 220 ✓
✅ פתרון סופי: 20 נוסעים
סעיף ג – הקרונות האי־זוגיים
הקרונות 1, 3, 5, 7, 9, 11 – 6 קרונות. בין שני קרונות כאלה יש קפיצה של שני מקומות, ולכן ההפרש ביניהם 2d = 4. גם זו סדרה חשבונית:
10 , 14 , 18 , 22 , 26 , 30
S6 = 62 · (10 + 30) = 3 · 40 = 120📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
✅ פתרון סופי: 120 נוסעים
סעיף ד – כמה קרונות הוסיפו?
ביום ב' היו פי 2 נוסעים: 2 · 220 = 440. הסדרה החדשה: b1 = 5 , d = 3, ומספר הקרונות n לא ידוע.
Sn = n2 · (2 · 5 + (n − 1) · 3) = 440📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
n2 · (10 + 3n − 3) = 440
n2 · (3n + 7) = 440
כופלים את שני האגפים ב־2:
n(3n + 7) = 880
3n2 + 7n − 880 = 0
n = −7 ± √(72 − 4 · 3 · (−880))2 · 3📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
72 + 4 · 3 · 880 = 49 + 10,560 = 10,609 , √10,609 = 103
n = −7 + 1036 = 966 = 16 (הפתרון השני שלילי – נפסל)
בדיקה: S16 = 8 · (10 + 45) = 8 · 55 = 440 ✓
16 − 11 = 5
✅ פתרון סופי: הוסיפו 5 קרונות
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | 10 נוסעים |
|---|---|
| סעיף ב | 20 נוסעים |
| סעיף ג | 120 נוסעים |
| סעיף ד | 5 קרונות |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il