סדרות – שאלון 472 7 פרקים36 שיעורים10 שבועות
חורף 2024 – שאלה 1
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2024, שאלה 1
סדרה חשבונית וסדרה הנדסית: ייצור ומכירת מחשבים
📄 נוסח השאלה
במפעל אלקטרוניקה החלו לייצר מחשבים. בכל שבוע כמות המחשבים שייצרו הייתה גדולה במספר קבוע מכמות המחשבים שייצרו בשבוע שלפניו. בשבוע הראשון ייצרו 900 מחשבים. הייצור נמשך 50 שבועות. בתקופה זו ייצרו 167,500 מחשבים סך הכול.
א. בכמה הייתה גדולה כמות המחשבים שייצרו בכל שבוע מן הכמות שייצרו בשבוע שלפניו?
בגמר הייצור מכר המפעל את המחשבים במשך כמה חודשים. כמות המחשבים שנמכרו בכל חודש הייתה גדולה פי q מכמות המחשבים שנמכרו בחודש שלפניו. בחודש ה־4 נמכרו 160 מחשבים. בחודש ה־7 נמכרו 1,280 מחשבים.
ב. כמה מחשבים נמכרו בחודש הראשון?
החודש ה־7 היה החודש האמצעי של חודשי המכירה.
ג. כמה חודשים נמשכה המכירה?
ד. כמה מן המחשבים שייצרו במפעל לא נמכרו?
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – ההפרש הקבוע
כמות המחשבים גדלה כל שבוע במספר קבוע – זו סדרה חשבונית: a1 = 900, n = 50, S50 = 167500. מחפשים את ההפרש d.
S50 = 502 · [2 · 900 + (50 − 1)d]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · [2a1 + (n − 1)d]
167500 = 25 · (1800 + 49d)
מחלקים את שני האגפים ב־25:
6700 = 1800 + 49d
49d = 6700 − 1800 = 4900
d = 490049 = 100
✅ פתרון סופי: בכל שבוע ייצרו 100 מחשבים יותר מבשבוע שלפניו
סעיף ב – החודש הראשון
כמות המכירות גדלה פי q כל חודש – זו סדרה הנדסית. נכתוב את שני האיברים הנתונים:
a4 = a1 · q3 = 160📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a7 = a1 · q6 = 1280📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
מחלקים את המשוואה השנייה בראשונה:
a1 · q6a1 · q3 = 1280160📐 חילוק חזקותq6q3 = q6 − 3 = q3
q3 = 8
q = 3√8 = 2
מציבים במשוואה הראשונה:
a1 · 23 = 160
a1 · 8 = 160
a1 = 1608 = 20
✅ פתרון סופי: בחודש הראשון נמכרו 20 מחשבים
סעיף ג – מספר חודשי המכירה
החודש ה־7 הוא האמצעי – יש לפניו ולאחריו אותו מספר חודשים. לפניו יש 6 חודשים (1 עד 6), ולכן גם אחריו 6 חודשים (8 עד 13).
n = 6 + 1 + 6 = 13
בדיקה: בסדרה עם מספר אי־זוגי של איברים, האיבר האמצעי נמצא במקום n + 12:
n + 12 = 7 ⟸ n + 1 = 14 ⟸ n = 13📐 האיבר האמצעימקום האמצעי = n + 12
✅ פתרון סופי: המכירה נמשכה 13 חודשים
סעיף ד – כמה מחשבים לא נמכרו
סך המחשבים שנמכרו הוא סכום 13 האיברים של הסדרה ההנדסית (a1 = 20, q = 2):
S13 = 20 · (213 − 1)2 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
213 = 8192
S13 = 20 · 8191 = 163820
המחשבים שלא נמכרו = מה שייצרו פחות מה שנמכר:
167500 − 163820 = 3680
✅ פתרון סופי: 3,680 מחשבים לא נמכרו
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | 100 |
|---|---|
| סעיף ב | 20 |
| סעיף ג | 13 חודשים |
| סעיף ד | 3,680 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il