קיץ 2026 מועד ב – שאלה 1

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 1
סדרה הנדסית וסדרה חשבונית: איסוף בקבוקים

📄 נוסח השאלה

תלמידי כיתה י"ב1 ותלמידי כיתה י"ב2 בבית ספר מסוים החליטו לערוך מסיבת סיום. כדי לממן את עלות המסיבה הם אספו במשך כמה שבועות בקבוקים ריקים, והעבירו אותם למחזור תמורת כסף.

תלמידי כיתה י"ב1 אספו בקבוקים במשך 5 שבועות. מספר הבקבוקים שהם אספו בכל שבוע גדול פי q ממספר הבקבוקים שהם אספו בשבוע שלפניו. מספר הבקבוקים שאספו תלמידי כיתה י"ב1 בשבוע הרביעי גדול פי 3.375 ממספר הבקבוקים שהם אספו בשבוע הראשון.

א. מצאו את הערך של q.

מספר הבקבוקים סך הכול שאספו תלמידי כיתה י"ב1 בשבוע הראשון ובשבוע האחרון היה 2,425.

ב. מצאו את מספר הבקבוקים שאספו תלמידי כיתה י"ב1 בשבוע הראשון.

תלמידי כיתה י"ב2 אספו בקבוקים במשך 18 שבועות. בכל שבוע הם אספו d בקבוקים יותר מבשבוע שלפניו. בשבוע השני תלמידי כיתה י"ב2 אספו 230 בקבוקים. תלמידי כיתה י"ב2 אספו 6,300 בקבוקים סך הכול.

ג. מצאו את הערך של d.

בעבור כל בקבוק שהעבירו התלמידים למחזור, הם קיבלו 0.3 שקלים. העלות של מסיבת הסיום היא 3,400 שקלים.

ד. האם הסכום הכולל שקיבלו תלמידי שתי הכיתות ממחזור כל הבקבוקים יספיק למימון עלות המסיבה? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המנה q

בכל שבוע מספר הבקבוקים גדל פי q מהשבוע הקודם, ולכן המספרים של כיתה י"ב1 הם סדרה הנדסית עם מנה q. נסמן ב־a₁ את מספר הבקבוקים בשבוע הראשון.

מבטאים את השבוע הרביעי בעזרת הנוסחה (n = 4):

a₄ = a₁ · q^{4 − 1} = a₁ · q³📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

נתון: בשבוע הרביעי אספו פי 3.375 מבשבוע הראשון, כלומר a₄ = 3.375 · a₁. מציבים:

a₁ · q³ = 3.375 · a₁

מחלקים את שני האגפים ב־a₁ (מותר, כי a₁ ≠ 0):

q³ = 3.375

q = 3.375¹³ = 1.5📐 שורש מסדר nqⁿ = k ⟹ q = k¹ⁿ

בדיקה: 1.5 · 1.5 = 2.25 2.25 · 1.5 = 3.375 ✓

✅ פתרון סופי: q = 1.5

סעיף ב – מספר הבקבוקים בשבוע הראשון

השבוע האחרון של י"ב1 הוא השבוע החמישי. נתון: a₁ + a₅ = 2,425.

a₅ = a₁ · q^{5 − 1} = a₁ · q⁴📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

מחשבים את q⁴ עם q = 1.5:

1.5⁴ = 1.5² · 1.5² = 2.25 · 2.25 = 5.0625

a₅ = 5.0625a₁

מציבים במשוואה של הסכום:

a₁ + 5.0625a₁ = 2,425

6.0625a₁ = 2,425

a₁ = 2,4256.0625 = 400

בדיקה: a₅ = 400 · 5.0625 = 2,025 400 + 2,025 = 2,425 ✓

✅ פתרון סופי: a₁ = 400 בקבוקים

סעיף ג – ההפרש d

בכל שבוע י"ב2 אספו d בקבוקים יותר מהשבוע הקודם, ולכן זו סדרה חשבונית עם הפרש d ו־18 איברים. כדי לא להתבלבל עם י"ב1, נסמן את האיבר הראשון שלה ב־b₁.

השבוע השני (n = 2):

b₂ = b₁ + (2 − 1)d = b₁ + d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

b₁ + d = 230

b₁ = 230 − d

סך הכול ב־18 שבועות (n = 18):

S₁₈ = 182 · (2b₁ + (18 − 1)d)📐 סכום סדרה חשבוניתS_n = n2 · (2a₁ + (n − 1)d)

9 · (2b₁ + 17d) = 6,300

מחלקים את שני האגפים ב־9:

2b₁ + 17d = 6,3009 = 700

מציבים b₁ = 230 − d:

2(230 − d) + 17d = 700

460 − 2d + 17d = 700

460 + 15d = 700

15d = 700 − 460 = 240

d = 24015 = 16

b₁ = 230 − 16 = 214

בדיקה: S₁₈ = 9 · (2 · 214 + 17 · 16) = 9 · (428 + 272) = 9 · 700 = 6,300 ✓

✅ פתרון סופי: d = 16

סעיף ד – האם הכסף יספיק?

קודם מחשבים כמה בקבוקים אספה י"ב1 בכל 5 השבועות – סכום של סדרה הנדסית:

S₅ = 400 · (1.5⁵ − 1)1.5 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתS_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

1.5⁵ = 1.5⁴ · 1.5 = 5.0625 · 1.5 = 7.59375

S₅ = 400 · (7.59375 − 1)0.5 = 400 · 6.593750.5 = 2,637.50.5 = 5,275

בדיקה: לפי השבועות: 400 , 600 , 900 , 1,350 , 2,025 ← 400 + 600 + 900 + 1,350 + 2,025 = 5,275 ✓

י"ב2 אספו 6,300 בקבוקים (נתון). סך הבקבוקים של שתי הכיתות:

5,275 + 6,300 = 11,575

על כל בקבוק מקבלים 0.3 שקלים:

11,575 · 0.3 = 3,472.5 שקלים

משווים לעלות המסיבה:

3,472.5 > 3,400 (נשארים 3,472.5 − 3,400 = 72.5 שקלים)

✅ פתרון סופי: כן – הסכום הוא 3,472.5 שקלים, יותר מ־3,400 שקלים.

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	q = 1.5
סעיף ב	400 בקבוקים
סעיף ג	d = 16
סעיף ד	כן – 3,472.5 > 3,400 שקלים

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳

סדרות – שאלון 472 7 פרקים36 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים

קיץ 2026 מועד ב – שאלה 1