סדרות – שאלון 472 7 פרקים36 שיעורים10 שבועות
שיעור 24: ריצה הלוך וחזור – שילוב חשבונית והנדסית
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
ריצה הלוך וחזור – שילוב חשבונית והנדסית
📄 נוסח השאלה
דנה יוצאת מביתה לריצה. בדקה הראשונה היא עוברת מרחק של 80 מטר. בכל דקה נוספת דנה עוברת מרחק גדול פי 1.02 מן המרחק שעברה בדקה הקודמת.
אחרי 20 דקות של ריצה דנה עוצרת, מסתובבת וחוזרת באותה דרך. הפעם בדקה הראשונה היא עוברת 100 מטר, ובכל דקה נוספת היא עוברת 5 מטר יותר מן המרחק שעברה בדקה הקודמת. דנה מסיימת את הריצה כשהיא מגיעה לביתה.
א. האם תספיק דנה לעבור את הדרך חזרה הביתה ב־10 דקות? נמקו.
ב. באיזו דקה של הדרך חזרה תגיע דנה לביתה?
✏️ פתרון
סעיף א – הלוך: סדרה הנדסית
בהלוך המרחקים גדלים "פי 1.02" ← סדרה הנדסית: a1 = 80 , q = 1.02, 20 איברים. המרחק מהבית הוא הסכום שלהם:
S20 = 80(1.0220 − 1)1.02 − 1📐 סכום בסדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1 , q ≠ 1
1.0220 ≈ 1.486
S20 ≈ 80 · 0.4860.02 ≈ 1,943.8
המרחק מהבית: כ־1,943.8 מטר.
בחזור המרחקים גדלים "ב־5" ← סדרה חשבונית: b1 = 100 , d = 5. ב־10 דקות היא עוברת:
S10 = 102 · [2 · 100 + 9 · 5]📐 סכום בסדרה חשבוניתSn = n2 · [2a1 + (n − 1)d]
= 5 · 245 = 1,225
1,225 < 1,943.8: ב־10 דקות היא לא מגיעה לבית.
✅ פתרון סופי: לא, 1,225 < 1,943.8
סעיף ב – באיזו דקה תגיע
מחפשים את מספר הדקות n הראשון שבו הדרך בחזור מגיעה ל־1,943.8 מטר:
n2 · [200 + 5(n − 1)] ≥ 1,943.8📐 סכום בסדרה חשבוניתSn = n2 · [2a1 + (n − 1)d]
בודקים את המספרים הקרובים:
S14 = 7 · [200 + 65] = 1,855
S15 = 7.5 · [200 + 70] = 2,025
אחרי 14 דקות עוד לא הגיעה (1,855 < 1,943.8), ובמהלך הדקה ה־15 היא כבר עוברת את המרחק (2,025 > 1,943.8).
✅ פתרון סופי: בדקה ה־15
📌 סיכום
| סעיף א | לא |
|---|---|
| סעיף ב | בדקה ה־15 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il