סדרות – שאלון 472 7 פרקים36 שיעורים10 שבועות
חורף 2025 – שאלה 1
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 חורף 2025, שאלה 1
סדרה הנדסית וסדרה חשבונית
📄 נוסח השאלה
נתונה סדרה הנדסית A שהמנה שלה היא q, ובה 10 איברים. האיבר השישי בסדרה הוא פי 81 מן האיבר השני בסדרה.
א. מצאו את שני הערכים של q.
נתון כי סכום שני האיברים האמצעיים בסדרה A הוא 1,296, וכי כל איבריה הם חיוביים.
ב. מצאו את האיבר הראשון בסדרה.
נתונה סדרה חשבונית B. סכום הסדרה A גדול פי 11 מסכום הסדרה B.
ג. מצאו את סכום הסדרה B.
בסדרה B יש 32 איברים. נתון כי האיבר השני בסדרה B גדול פי 16 מן ההפרש שלה.
ד. מצאו את הפרש הסדרה B.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – שני הערכים של q
נבטא את האיבר השני ואת האיבר השישי בעזרת a1 ו־q:
a2 = a1 · q2 − 1 = a1 · q📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a6 = a1 · q6 − 1 = a1 · q5📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
האיבר השישי פי 81 מהאיבר השני:
a6 = 81 · a2
a1 · q5 = 81 · a1 · q
מחלקים את שני האגפים ב־a1 · q (בסדרה הנדסית a1 ≠ 0 ו־q ≠ 0):
q5 − 1 = 81📐 חילוק חזקותaman = am − n
q4 = 81
81 = 34 (3 · 3 · 3 · 3)
מעריך זוגי – יש שני פתרונות, חיובי ושלילי:
q = 3 או q = −3📐 שורש זוגיq4 = b ⟸ q = ±4√b
✅ פתרון סופי: q = 3 או q = −3
סעיף ב – האיבר הראשון
כל האיברים חיוביים. אם q = −3 הסימנים היו מתחלפים (חיובי, שלילי, חיובי…), ולכן q = 3.
בסדרה יש 10 איברים, ולכן שני האיברים האמצעיים הם החמישי והשישי.
a5 = a1 · 34 = 81a1📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a6 = a1 · 35 = 243a1📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a5 + a6 = 1296
81a1 + 243a1 = 1296
324a1 = 1296
a1 = 1296324 = 4
✅ פתרון סופי: a1 = 4
סעיף ג – סכום הסדרה B
קודם סכום הסדרה A: a1 = 4, q = 3, n = 10.
SA = 4 · (310 − 1)3 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
310 = 59049
SA = 4 · 590482 = 2 · 59048 = 118096
סכום A גדול פי 11 מסכום B:
SA = 11 · SB
SB = 11809611 = 10736
✅ פתרון סופי: SB = 10736
סעיף ד – ההפרש של הסדרה B
בסדרה B יש 32 איברים, הפרש d, ואיבר ראשון b1. האיבר השני גדול פי 16 מההפרש:
b2 = 16d
b2 = b1 + (2 − 1)d = b1 + d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתbn = b1 + (n − 1)d
b1 + d = 16d
b1 = 16d − d = 15d
סכום 32 האיברים הוא 10736 (סעיף ג):
S32 = 322 · [2 · 15d + (32 − 1)d]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · [2b1 + (n − 1)d]
S32 = 16 · [30d + 31d] = 16 · 61d = 976d
976d = 10736
d = 10736976 = 11
✅ פתרון סופי: d = 11
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | q = 3 או q = −3 |
|---|---|
| סעיף ב | a1 = 4 |
| סעיף ג | SB = 10736 |
| סעיף ד | d = 11 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il