שיעור 20: סכום האיברים במקומות הזוגיים

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

סכום האיברים במקומות הזוגיים

📄 נוסח השאלה

בסדרה הנדסית אין־סופית, סכום האיבר הראשון והאיבר החמישי הוא 5,440. האיבר הראשון גדול מהאיבר הרביעי פי 8.

מצאו את: א. סכום הסדרה. ב. סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה.

✏️ פתרון

"האיבר הראשון גדול מהרביעי פי 8": a₁ = 8a₄.

a₁ = 8 · a₁ · q³📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

מחלקים ב־a₁ (שונה מאפס):

1 = 8q³

q³ = 18

q = 12

"סכום הראשון והחמישי 5,440":

a₁ + a₁ · q⁴ = 5,440📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

a₁(1 + 116) = 5,440

a₁ · 1716 = 5,440

a₁ = 5,440 · 1617 = 320 · 16 = 5,120

q = 12 בין −1 ל־1, לכן יש סכום:

S = 5,1201 − 12 = 5,120 · 2 = 10,240📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a₁1 − q , −1 < q < 1

✅ פתרון סופי: S = 10,240

האיברים a₂ , a₄ , a₆ , …: מדלגים כל פעם על איבר, כלומר כופלים פעמיים ב־q. לכן הם סדרה הנדסית אין־סופית עם מנה q².

a₂ = 5,120 · 12 = 2,560📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

q² = (12)² = 14

S = 2,5601 − 14 = 2,56034 = 2,560 · 43 = 10,2403📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a₁1 − q , −1 < q < 1

בקירוב: 3,413.33

✅ פתרון סופי: 10,2403 ≈ 3,413.33

סעיף א	10,240
סעיף ב	10,2403