שיעור 12: איברים חיוביים ותת־סדרה במקומות הזוגיים

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

איברים חיוביים ותת־סדרה במקומות הזוגיים

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה חשבונית: 86 , 82 , 78 , … , −70.

א. מצאו את מספר האיברים בסדרה.

ב. (1) כמה איברים חיוביים יש בסדרה? (2) מהו האיבר החיובי הקטן ביותר בסדרה? (3) חשבו את סכום האיברים החיוביים.

ג. בסדרה הנתונה החליפו את הסימנים של כל איברי הסדרה, והתקבלה סדרה חדשה: −86 , −82 , −78 , … , 70. חשבו את סכום הסדרה החדשה.

ד. חשבו את סכום האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה הנתונה.

✏️ פתרון

סעיף א – מספר האיברים

d = 82 − 86 = −4📐 הפרש הסדרה החשבוניתd = a_{n + 1} − a_n

האיבר האחרון −70 הוא a_n:

−70 = 86 + (n − 1) · (−4)📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

−156 = (n − 1) · (−4)

n − 1 = 39

n = 40

✅ פתרון סופי: 40 איברים

סעיף ב – האיברים החיוביים

הסדרה יורדת, לכן האיברים החיוביים הם בהתחלה. מחפשים את המקומות שבהם a_n > 0:

86 + (n − 1) · (−4) > 0📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

86 − 4n + 4 > 0

90 > 4n

n < 22.5

n טבעי, לכן n = 1 , 2 , … , 22: יש 22 איברים חיוביים.

האיבר החיובי הקטן ביותר הוא האחרון מביניהם, a₂₂:

a₂₂ = 86 + 21 · (−4) = 86 − 84 = 2

S₂₂ = 22 · (86 + 2)2📐 סכום בסדרה חשבוניתS_n = n(a₁ + a_n)2

= 11 · 88 = 968

✅ פתרון סופי: (1) 22 (2) 2 (3) 968

סעיף ג – סכום הסדרה החדשה

כל איבר בסדרה החדשה הוא מינוס האיבר המקביל בסדרה הנתונה, ולכן גם הסכום שלה הוא מינוס הסכום של הסדרה הנתונה.

S₄₀ = 40 · (86 + (−70))2📐 סכום בסדרה חשבוניתS_n = n(a₁ + a_n)2

= 20 · 16 = 320

הסכום של הסדרה החדשה: −320

✅ פתרון סופי: −320

סעיף ד – האיברים במקומות הזוגיים

האיברים במקומות הזוגיים: a₂ , a₄ , … , a₄₀, כלומר 82 , 74 , 66 , …. מדלגים כל פעם על איבר אחד, לכן ההפרש ביניהם הוא 2d = −8 – גם הם סדרה חשבונית.

במקומות 2, 4, …, 40 יש 20 איברים.

S = 202 · [2 · 82 + 19 · (−8)]📐 סכום בסדרה חשבוניתS_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

= 10 · [164 − 152] = 10 · 12 = 120

✅ פתרון סופי: 120

📌 סיכום

סעיף א	40
סעיף ב	22 , 2 , 968
סעיף ג	−320
סעיף ד	120

סדרות – שאלון 472 7 פרקים36 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים