סדרות – שאלון 472 7 פרקים36 שיעורים10 שבועות
קיץ 2024 מועד ב – שאלה 1
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 1
סדרות חשבוניות: סכום איברים במקומות אי־זוגיים
📄 נוסח השאלה
נתונה סדרה חשבונית A שאיבריה הם: a1 , a2 , a3 , … ובה 23 איברים. נתון: a12 = 7, הפרש הסדרה הוא 5.
א. מצאו את a1.
ב. מצאו את סכום האיברים שנמצאים במקומות האי־זוגיים בסדרה.
נתונה סדרה חשבונית B שאיבריה הם: b1 , b2 , b3 , … וגם בה 23 איברים. האיבר הראשון בסדרה הוא 3. נסמן את הפרש הסדרה B ב־d. מכל איברי הסדרות A ו־B בונים סדרה חשבונית חדשה שאיבריה הם: a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 , ….
ג. (1) מצאו את האיבר הראשון של הסדרה החדשה. (2) הביעו באמצעות d את הפרש הסדרה החדשה. (3) נתון כי סכום כל האיברים בסדרה החדשה הוא 3,013. מצאו את d.
✏️ פתרון שאלה 1
סעיף א – האיבר הראשון
a12 = a1 + (12 − 1) · 5📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
7 = a1 + 11 · 5 7 = a1 + 55
a1 = 7 − 55 = −48
✅ פתרון סופי: a1 = −48
סעיף ב – סכום האיברים במקומות האי־זוגיים
האיברים במקומות האי־זוגיים: a1 , a3 , a5 , … , a23. כל אחד גדול מהקודם בשני הפרשים: 2 · 5 = 10 – זו סדרה חשבונית חדשה עם a1 = −48 , d = 10.
כמה איברים יש? המקומות 1, 3, 5, …, 23: 23 + 12 = 12 איברים.
S12 = 122 · [2 · (−48) + (12 − 1) · 10]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
= 6 · [−96 + 110] = 6 · 14 = 84
✅ פתרון סופי: 84
סעיף ג – הסדרה החדשה
(1) האיבר הראשון:
a1 + b1 = −48 + 3 = −45
(2) ההפרש: מכל איבר לאיבר הבא a גדל ב־5 ו־b גדל ב־d:
(an+1 + bn+1) − (an + bn) = (an+1 − an) + (bn+1 − bn) = 5 + d📐 הפרש סדרה חשבוניתd = an+1 − an
(3) בסדרה החדשה 23 איברים, c1 = −45 , הפרש 5 + d , וסכום 3,013:
3,013 = 232 · [2 · (−45) + 22 · (5 + d)]📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2·[2a1 + (n − 1)d]
2 · (−45) = −90 22 · (5 + d) = 110 + 22d
3,013 = 232 · [20 + 22d] = 23 · (10 + 11d)
10 + 11d = 3,01323 = 131
11d = 121 d = 11
בדיקה: 232 · [−90 + 22 · 16] = 11.5 · 262 = 3,013 ✓
✅ פתרון סופי: (1) −45
(2) 5 + d
(3) d = 11
(2) 5 + d
(3) d = 11
📌 סיכום התשובות – שאלה 1
| סעיף א | a1 = −48 |
|---|---|
| סעיף ב | 84 |
| סעיף ג | −45 5 + d d = 11 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il