שיעור 10: הוכחה שסדרה חשבונית ומעבר לכלל נסיגה

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

הוכחה שסדרה חשבונית ומעבר לכלל נסיגה

📄 נוסח השאלה

סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה: a₁ = 4 , a_{n + 1} = a_n + 5 לכל n טבעי.

א. הסבירו מדוע הסדרה היא סדרה חשבונית, ומצאו את נוסחת האיבר הכללי a_n שלה.

ב. מצאו כמה איברים יש לחבר בסדרה (החל מהאיבר הראשון) כדי שסכומם יהיה 9,090.

ג. בסדרה יש 80 איברים. מהו סכום 20 האיברים האחרונים?

✏️ פתרון

סדרה חשבונית: ההפרש בין כל איבר לאיבר שלפניו קבוע (אותו מספר לכל n). מעבירים אגף בכלל הנסיגה:

a_{n + 1} − a_n = 5📐 הפרש הסדרה החשבוניתd = a_{n + 1} − a_n

ההפרש הוא 5 לכל n – מספר קבוע שלא תלוי ב־n. לכן הסדרה חשבונית עם a₁ = 4 ו־d = 5.

a_n = 4 + (n − 1) · 5📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

= 4 + 5n − 5 = 5n − 1

בדיקה: a₁ = 5 · 1 − 1 = 4 ✓ , a₂ = 4 + 5 = 9 = 5 · 2 − 1 ✓

✅ פתרון סופי: a_n = 5n − 1

9,090 = n2 · [2 · 4 + (n − 1) · 5]📐 סכום בסדרה חשבוניתS_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

2 · 4 + (n − 1) · 5 = 8 + 5n − 5 = 5n + 3

9,090 = n(5n + 3)2

כופלים ב־2:

18,180 = 5n² + 3n

5n² + 3n − 18,180 = 0

n = −3 ± √(9 + 363,600)10 = −3 ± √363,60910 = −3 ± 60310📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b² − 4ac)2a

n = 60010 = 60

(הפתרון השני −60610 שלילי, ונפסל: מספר איברים חייב להיות טבעי).

בדיקה: S₆₀ = 602 · [8 + 59 · 5] = 30 · 303 = 9,090 ✓

✅ פתרון סופי: 60 איברים

מתוך 80 איברים, 20 האחרונים הם a₆₁ , a₆₂ , … , a₈₀. הם בעצמם סדרה חשבונית עם אותו הפרש 5, שמתחילה ב־a₆₁.

a₆₁ = 5 · 61 − 1 = 304📐 נוסחת האיבר הכללי שמצאנוa_n = 5n − 1

a₈₀ = 5 · 80 − 1 = 399

S = 20 · (304 + 399)2📐 סכום בסדרה חשבוניתS_n = n(a₁ + a_n)2

= 10 · 703 = 7,030

בדיקה: S₈₀ − S₆₀ = 40 · 403 − 9,090 = 16,120 − 9,090 = 7,030 ✓

✅ פתרון סופי: 7,030