שיעור 16: ממוצע הנדסי, סדרה עולה, יורדת או מתחלפת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

ממוצע הנדסי, סדרה עולה, יורדת או מתחלפת

📄 נוסח השאלה

המספרים x , x + 3 , x + 9 הם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית.

א. מצאו את x ואת מנת הסדרה.

ב. שלושת המספרים הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה. מצאו את האיבר השמיני ואת סכום שמונת האיברים הראשונים.

ג. לכל אחת מהסדרות ההנדסיות הבאות קבעו אם היא עולה, יורדת או לא עולה ולא יורדת:

(1) a₁ = 5 , q = 12 (2) a₁ = −2 , q = 3 (3) a₁ = 4 , q = −2

✏️ פתרון

בשלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית, ריבוע האיבר האמצעי שווה למכפלת השניים שמשני צדדיו:

(x + 3)² = x(x + 9)📐 ממוצע הנדסיb² = a · c

x² + 6x + 9 = x² + 9x📐 נוסחת הכפל המקוצר(x + y)² = x² + 2xy + y²

6x + 9 = 9x

9 = 3x

x = 3

האיברים: 3 , 6 , 12.

q = 63 = 2📐 מנת הסדרה ההנדסיתq = a_{n + 1}a_n

בדיקה: 126 = 2 ✓

✅ פתרון סופי: x = 3 , q = 2

a₈ = 3 · 2⁷ = 3 · 128 = 384📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

S₈ = 3(2⁸ − 1)2 − 1 = 3 · 255 = 765📐 סכום בסדרה הנדסיתS_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1 , q ≠ 1

✅ פתרון סופי: a₈ = 384 , S₈ = 765

כותבים כמה איברים ובודקים:

(1) 5 , 2.5 , 1.25 , … – איברים חיוביים שקטנים: סדרה יורדת.

(2) −2 , −6 , −18 , … – איברים שליליים שהולכים ומתרחקים מאפס כלפי מטה: סדרה יורדת (גם ש־q > 1).

(3) 4 , −8 , 16 , −32 , … – המנה שלילית, הסימנים מתחלפים: לא עולה ולא יורדת.

כלל: כשהמנה שלילית הסימנים מתחלפים. כשהמנה חיובית, הסדרה עולה או יורדת לפי הסימן של a₁ ולפי q (גדולה מ־1 או בין 0 ל־1).

✅ פתרון סופי: (1) יורדת (2) יורדת (3) לא עולה ולא יורדת