שיעור 8: כדורים במשולש – מציאת מספר האיברים מהסכום

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 3 יחידות · שאלון 35381 · קיץ 2025, שאלה 2
כדורים במשולש – מציאת מספר האיברים מהסכום

📄 נוסח השאלה

על שולחן מסדרים כדורים בשורות היוצרות משולש. כמות הכדורים בכל שורה יוצרת סדרה חשבונית: בשורה הראשונה – כדור אחד, בשורה השנייה – 3 כדורים, בשורה השלישית – 5 כדורים וכן הלאה.

א. כמה כדורים יהיו בשורה השישית במשולש זה?

ב. כמה כדורים סך הכול יהיו ב־8 השורות הראשונות של משולש זה?

ג. כמה שורות יהיו במשולש זה כאשר יסדרו בו 144 כדורים סך הכול?

✏️ פתרון

סעיף א – השורה השישית

הסדרה: 1 , 3 , 5 , …. האיבר הראשון a₁ = 1, וההפרש:

d = 3 − 1 = 2📐 הפרש הסדרה החשבוניתd = a_{n + 1} − a_n

a₆ = 1 + 5 · 2 = 11📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

✅ פתרון סופי: 11 כדורים

סעיף ב – 8 השורות הראשונות

S₈ = 82 · [2 · 1 + 7 · 2]📐 סכום בסדרה חשבוניתS_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

= 4 · [2 + 14] = 4 · 16 = 64

✅ פתרון סופי: 64 כדורים

סעיף ג – כמה שורות ל־144 כדורים

עכשיו הסכום ידוע (S_n = 144) ומספר השורות n לא ידוע. מציבים בנוסחת הסכום:

144 = n2 · [2 · 1 + (n − 1) · 2]📐 סכום בסדרה חשבוניתS_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

פותחים את הסוגריים המרובעים:

2 + 2n − 2 = 2n

144 = n2 · 2n

144 = n²

n = 12

(או n = −12, אבל מספר שורות חייב להיות חיובי, ולכן נפסל).

בדיקה: S₁₂ = 122 · [2 + 11 · 2] = 6 · 24 = 144 ✓

✅ פתרון סופי: 12 שורות

📌 סיכום

סעיף א	11 כדורים
סעיף ב	64 כדורים
סעיף ג	12 שורות

סדרות – שאלון 472 7 פרקים36 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים