שיעור 7: פרסים שקטנים בסכום קבוע

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 3 יחידות · שאלון 35381 · קיץ 2022 מועד ב, שאלה 2
פרסים שקטנים בסכום קבוע

📄 נוסח השאלה

בשלב הגמר של תחרות קיבלה כל קבוצה פרס כספי: הקבוצה שדורגה במקום הראשון קיבלה את הפרס הראשון, הקבוצה שדורגה במקום השני קיבלה את הפרס השני וכן הלאה.

הפרסים מהווים סדרה חשבונית: הפרס הראשון הוא הגבוה ביותר, וכל פרס אחריו קטן מקודמו במספר שקלים קבוע.

הקבוצה שדורגה במקום השלישי קיבלה פרס של 1,400 שקלים. הקבוצה שדורגה במקום השישי קיבלה פרס של 950 שקלים.

א. מצאו מה היה גובה הפרס שקיבלה הקבוצה שדורגה במקום הראשון.

ב. הקבוצה שדורגה במקום האחרון קיבלה פרס של 500 שקלים. מצאו כמה קבוצות הגיעו לשלב הגמר.

ג. מה היה סכום הכסף הכולל של הפרסים שחולקו לכל הקבוצות שהגיעו לשלב הגמר?

✏️ פתרון

a_n = הפרס של המקום ה־n. נתון a₃ = 1,400 ו־a₆ = 950. הפרסים קטנים, לכן ההפרש d יצא שלילי.

a₃ = a₁ + 2d = 1,400📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

a₆ = a₁ + 5d = 950📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

מחסירים את המשוואה הראשונה מהשנייה:

3d = 950 − 1,400

3d = −450

d = −150

מציבים במשוואה הראשונה:

a₁ + 2 · (−150) = 1,400

a₁ − 300 = 1,400

a₁ = 1,700

בדיקה: a₆ = 1,700 + 5 · (−150) = 1,700 − 750 = 950 ✓

✅ פתרון סופי: 1,700 שקלים

הפרס האחרון הוא a_n = 500, ו־n הוא מספר הקבוצות.

500 = 1,700 + (n − 1) · (−150)📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

500 − 1,700 = (n − 1) · (−150)

−1,200 = (n − 1) · (−150)

n − 1 = −1,200−150 = 8

n = 9

✅ פתרון סופי: 9 קבוצות

S₉ = 9 · (1,700 + 500)2📐 סכום בסדרה חשבוניתS_n = n(a₁ + a_n)2

= 9 · 2,2002 = 9 · 1,100 = 9,900

✅ פתרון סופי: 9,900 שקלים