שיעור 1: מהי סדרה – נוסחה לפי מקום

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

מהי סדרה – נוסחה לפי מקום

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה לפי הנוסחה: a_n = 3n − 1 ( n מספר טבעי: 1, 2, 3, …).

א. חשבו את שלושת האיברים הראשונים בסדרה ואת האיבר העשירי.

ב. האם המספר 59 הוא איבר בסדרה? אם כן – באיזה מקום הוא נמצא?

ג. האם המספר 100 הוא איבר בסדרה? נמקו.

✏️ פתרון

סדרה היא רשימה של מספרים לפי סדר. a_n הוא האיבר שנמצא במקום ה־n. כדי לחשב איבר מציבים את המקום שלו בנוסחה.

a₁ = 3 · 1 − 1 = 2📐 נוסחה לפי מקוםa_n = 3n − 1

a₂ = 3 · 2 − 1 = 5

a₃ = 3 · 3 − 1 = 8

a₁₀ = 3 · 10 − 1 = 29

שימו לב: כל איבר גדול ב־3 מהאיבר שלפניו.

✅ פתרון סופי: a₁ = 2 , a₂ = 5 , a₃ = 8 , a₁₀ = 29

נשאל: האם יש מקום n טבעי שבו האיבר שווה ל־59? משווים את הנוסחה ל־59:

3n − 1 = 59📐 נוסחה לפי מקוםa_n = 3n − 1

3n = 59 + 1

3n = 60

n = 603 = 20

יצא n = 20 – מספר טבעי, ולכן 59 הוא איבר בסדרה.

בדיקה: a₂₀ = 3 · 20 − 1 = 59 ✓

✅ פתרון סופי: כן, 59 = a₂₀ (המקום ה־20)

3n − 1 = 100

3n = 101

n = 1013 = 3323

n יצא לא שלם. אין מקום "33 ושני שליש" בסדרה, ולכן 100 אינו איבר בסדרה.

✅ פתרון סופי: לא, כי n = 1013 אינו מספר טבעי