שיעור 5: סכום האיברים האחרונים

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 3 יחידות · שאלון 035182 · קיץ 2022, שאלה 3
סכום האיברים האחרונים

📄 נוסח השאלה

בסדרה חשבונית יש 12 איברים. האיבר הרביעי בסדרה הוא 13 והפרש הסדרה הוא −5.

א. מצאו את האיבר הראשון בסדרה.

ב. מצאו את האיבר השביעי בסדרה.

ג. מצאו את סכום ששת האיברים האחרונים בסדרה.

✏️ פתרון

a₄ = a₁ + 3d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

13 = a₁ + 3 · (−5)

13 = a₁ − 15

a₁ = 13 + 15 = 28

ההפרש שלילי, ולכן הסדרה יורדת: האיבר הראשון גדול מהרביעי.

✅ פתרון סופי: a₁ = 28

a₇ = a₁ + 6d = 28 + 6 · (−5)📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

= 28 − 30 = −2

✅ פתרון סופי: a₇ = −2

בסדרה 12 איברים, ולכן ששת האחרונים הם a₇ , a₈ , … , a₁₂.

שיטה: סכום כל 12 האיברים פחות סכום 6 האיברים הראשונים.

S₁₂ = 122 · [2 · 28 + 11 · (−5)]📐 סכום בסדרה חשבוניתS_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

= 6 · [56 − 55] = 6 · 1 = 6

S₆ = 62 · [2 · 28 + 5 · (−5)]📐 סכום בסדרה חשבוניתS_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

= 3 · [56 − 25] = 3 · 31 = 93

S₁₂ − S₆ = 6 − 93 = −87

בדיקה: ששת האחרונים הם סדרה חשבונית שמתחילה ב־a₇ = −2 עם אותו הפרש: 62 · [2 · (−2) + 5 · (−5)] = 3 · (−29) = −87 ✓

✅ פתרון סופי: −87