שיעור 3: הפרש, איבר ראשון וסכום

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 3 יחידות · שאלון 035182 · קיץ 2020, שאלה 3
הפרש, איבר ראשון וסכום

📄 נוסח השאלה

בסדרה חשבונית האיבר החמישי הוא (−2), והאיבר השביעי הוא 10.

א. מצא את הפרש הסדרה.

ב. מצא את האיבר הראשון בסדרה.

ג. בסדרה זו יש 13 איברים. חשב את סכום 13 האיברים בסדרה.

✏️ פתרון

בסדרה חשבונית עוברים מאיבר לאיבר הבא על ידי הוספת ההפרש d. נכתוב את שני האיברים הנתונים בעזרת a₁ ו־d:

a₅ = a₁ + 4d = −2📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

a₇ = a₁ + 6d = 10📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

מחסירים את המשוואה הראשונה מהשנייה (ה־a₁ מתבטל):

(a₁ + 6d) − (a₁ + 4d) = 10 − (−2)

2d = 12

d = 122 = 6

הסבר קצר: מ־a₅ ל־a₇ יש שני "צעדים" של d, והם הוסיפו 12.

✅ פתרון סופי: d = 6

מציבים d = 6 במשוואה של a₅:

a₁ + 4 · 6 = −2📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

a₁ + 24 = −2

a₁ = −2 − 24 = −26

בדיקה: a₇ = −26 + 6 · 6 = 10 ✓

✅ פתרון סופי: a₁ = −26

S₁₃ = 132 · [2 · (−26) + 12 · 6]📐 סכום בסדרה חשבוניתS_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

= 132 · [−52 + 72]

= 132 · 20

= 13 · 10 = 130

✅ פתרון סופי: S₁₃ = 130