בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 472 – קיץ 2024 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 5 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 5 שאלות בשני פרקים: פרק ראשון – סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה; פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות. עונים על 3 מן השאלות 1–5 לבחירתכם, 33⅓ נקודות לכל שאלה. משך הבחינה שעתיים וחצי. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2024 מועד א'

שאלון 472 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 4
שאלון 472 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 4
שאלון 472 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 4
שאלון 472 קיץ 2024 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 4

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – סדרה חשבונית: נוסעים ברכבת

📄 נוסח השאלה

לרכבת מסוימת יש 11 קרונות. ביום א', מספר הנוסעים בכל קרון היה גדול במספר קבוע ממספר הנוסעים בקרון שלפניו. מספר הנוסעים בקרון האחרון היה גדול פי 3 ממספר הנוסעים בקרון הראשון. ביום זה מספר הנוסעים ברכבת היה 220 סך הכול.

א. מצאו כמה נוסעים היו בקרון הראשון.

ב. מצאו כמה נוסעים היו בקרון האמצעי.

ג. מצאו כמה נוסעים סך הכול היו בקרונות האי־זוגיים (בקרון הראשון, השלישי, החמישי וכן הלאה).

ביום ב' מספר הנוסעים ברכבת היה גדול פי 2 ממספר הנוסעים בה ביום א' ולכן הוחלט להוסיף קרונות לרכבת. ביום ב', מספר הנוסעים בכל קרון היה גדול ב־3 ממספר הנוסעים בקרון שלפניו. ביום זה היו בקרון הראשון 5 נוסעים.

ד. מצאו את מספר הקרונות שהוסיפו לרכבת ביום ב'.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הנוסעים בקרון הראשון

כל קרון גדול במספר קבוע מהקודם – זו סדרה חשבונית עם 11 איברים. נתון: a11 = 3a1 ו־S11 = 220.
S11 = 112 · (a1 + a11)📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
112 · (a1 + 3a1) = 220
112 · 4a1 = 220
22a1 = 220
a1 = 22022 = 10
נמצא גם את ההפרש (נצטרך אותו בהמשך):
a11 = 3 · 10 = 30
a11 = a1 + 10d📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
10 + 10d = 30 10d = 20 d = 2
✅ פתרון סופי: 10 נוסעים

סעיף ב – הקרון האמצעי

ב־11 קרונות, האמצעי הוא הקרון השישי (5 לפניו ו־5 אחריו).
a6 = a1 + 5d = 10 + 5 · 2 = 20📐 איבר כללי בסדרה חשבוניתan = a1 + (n − 1)d
בדיקה: הסכום שווה למספר האיברים כפול האיבר האמצעי: 11 · 20 = 220 ✓
✅ פתרון סופי: 20 נוסעים

סעיף ג – הקרונות האי־זוגיים

הקרונות 1, 3, 5, 7, 9, 11 – 6 קרונות. בין שני קרונות כאלה יש קפיצה של שני מקומות, ולכן ההפרש ביניהם 2d = 4. גם זו סדרה חשבונית:
10 , 14 , 18 , 22 , 26 , 30
S6 = 62 · (10 + 30) = 3 · 40 = 120📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (a1 + an)
✅ פתרון סופי: 120 נוסעים

סעיף ד – כמה קרונות הוסיפו?

ביום ב' היו פי 2 נוסעים: 2 · 220 = 440. הסדרה החדשה: b1 = 5 , d = 3, ומספר הקרונות n לא ידוע.
Sn = n2 · (2 · 5 + (n − 1) · 3) = 440📐 סכום סדרה חשבוניתSn = n2 · (2a1 + (n − 1)d)
n2 · (10 + 3n − 3) = 440
n2 · (3n + 7) = 440
כופלים את שני האגפים ב־2:
n(3n + 7) = 880
3n2 + 7n − 880 = 0
n = −7 ± √(72 − 4 · 3 · (−880))2 · 3📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
72 + 4 · 3 · 880 = 49 + 10,560 = 10,609 , √10,609 = 103
n = −7 + 1036 = 966 = 16 (הפתרון השני שלילי – נפסל)
בדיקה: S16 = 8 · (10 + 45) = 8 · 55 = 440 ✓
16 − 11 = 5
✅ פתרון סופי: הוסיפו 5 קרונות

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א10 נוסעים
סעיף ב20 נוסעים
סעיף ג120 נוסעים
סעיף ד5 קרונות
📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות: פתרון בגרות 4 יחידות – תוכנית חדשה
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – וקטורים בפירמידה SABCD

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD. הבסיס ABCD הוא ריבוע שאורך צלעו הוא 4.

נסמן: AB = u , AD = v , AS = w.

הפירמידה SABCD מהשאלון

א. הביעו באמצעות u , v ו־w, אם יש צורך, את הווקטור SD.

נתון: SD · AD = 0.

ב. מצאו את הערך של w · v.

נתון: |SC| = √17 , w · u = w · v.

ג. מצאו את הערך של |w|.

ד. (1) הוכיחו כי SC מאונך ל־BC ול־DC. (2) מצאו את נפח הפירמידה SABCD.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הווקטור SD

הולכים מ־S ל־D דרך A:
SD = SA + AD📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
SA = −AS = −w📐 וקטור נגדיYX = −XY
SD = −w + v = v − w
✅ פתרון סופי: SD = v − w

סעיף ב – הערך של w · v

SD · AD = 0
(v − w) · v = 0
פותחים סוגריים:
v · v − w · v = 0
v · v = v2 = |v|2 = 42 = 16📐 ריבוע של וקטורa2 = |a|2
(אורך v הוא אורך צלע הריבוע AD = 4.)
16 − w · v = 0 w · v = 16
✅ פתרון סופי: w · v = 16

סעיף ג – האורך של w

מבטאים את SC: מ־S ל־A, ומ־A ל־C (אלכסון הריבוע):
SC = SA + AB + BC📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)XY + YZ = XZ
בריבוע BC = AD = v (צלעות נגדיות שוות ומקבילות), ולכן:
SC = −w + u + v
מעלים בריבוע:
|SC|2 = (u + v − w)2📐 ריבוע של וקטורa2 = |a|2
= u2 + v2 + w2 + 2u·v − 2u·w − 2v·w📐 ריבוע של סכום שלושה וקטורים(a + b + c)2= a2 + b2 + c2+ 2a·b + 2a·c + 2b·c
מה ידוע לנו:
u2 = 42 = 16 , v2 = 16
u · v = 0 (בריבוע AB ⊥ AD)📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
v · w = 16 (סעיף ב) , u · w = v · w = 16 (נתון)
(√17)2 = 16 + 16 + |w|2 + 0 − 2 · 16 − 2 · 16
17 = 32 + |w|2 − 64
17 = |w|2 − 32
|w|2 = 49 |w| = 7 (אורך הוא חיובי)
✅ פתרון סופי: |w| = 7

סעיף ד (1) – SC מאונך ל־BC ול־DC

מספיק להראות שהמכפלה הסקלרית שווה 0. בריבוע BC = v , DC = u.
SC · BC = (u + v − w) · v📐 וקטורים מאונכיםa ⊥ b ⟺ a · b = 0
= u·v + v2 − w·v = 0 + 16 − 16 = 0
SC · DC = (u + v − w) · u
= u2 + v·u − w·u = 16 + 0 − 16 = 0
שתי המכפלות שוות 0, ולכן SC ⊥ BC ו־SC ⊥ DC. ✓
uvwABCDS
הפירמידה והווקטורים u , v , w – משורטטת בקנה מידה
✅ פתרון סופי: הוכח: SC ⊥ BC , SC ⊥ DC

סעיף ד (2) – נפח הפירמידה

SC מאונך לשני ישרים נחתכים בבסיס (BC ו־DC), ולכן הוא מאונך למישור הבסיס – SC הוא הגובה של הפירמידה.
📐 ישר מאונך למישורישר שמאונך לשני ישרים נחתכים במישור – מאונך לכל המישור
h = |SC| = √17
Sבסיס = 4 · 4 = 16
V = 16 · √173 ≈ 16 · 4.1233 ≈ 21.99📐 נפח פירמידהV = Sבסיס · h3
בדיקה: SC מאונך לבסיס, ולכן המשולש ACS ישר־זווית ב־C.
AC2 = 42 + 42 = 32📐 משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
|w|2 = AC2 + SC2 = 32 + 17 = 49 ✓📐 משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
ABCDS
SC הוא הגובה – הקודקוד S נמצא בדיוק מעל C
✅ פתרון סופי: V = 16√173 ≈ 21.99

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אSD = v − w
סעיף בw · v = 16
סעיף ג|w| = 7
סעיף ד (1)הוכחה
סעיף ד (2)16√173 ≈ 21.99
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסת המרחב 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – גדילה ודעיכה: ערך שתי דירות

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי דירות – דירה א' ודירה ב'. בתחילת שנת 2014 היה הערך של דירה א' 980,000 שקלים והערך של דירה ב' היה 620,000 שקלים. הערך של דירה א' גדל בכל שנה ב־7%, והערך של דירה ב' גדל בכל שנה פי q. כעבור מספר מסוים של שנים היה הערך של דירה א' שווה לערך של דירה ב'.

א. לפניכם שלוש טענות (I)–(III). קבעו מהי הטענה הנכונה. נמקו את קביעתכם. (I) q < 1.07   (II) q = 1.07   (III) q > 1.07

נתון כי בתחילת שנת 2024 היה הערך של דירה א' שווה לערך של דירה ב'.

ב. (1) מצאו מה היה הערך של דירה א' בתחילת שנה זו. (2) מצאו בכמה אחוזים גדל הערך של דירה ב' בכל שנה.

על פי הצפי, מתחילת שנת 2024 ואילך הערך של דירה ב' עתיד לרדת בכל שנה באחוז שקטן פי 1.5 מן האחוז שמצאתם בתת־סעיף ב(2).

ג. על פי צפי זה, בתחילת איזו שנה עתיד לרדת לראשונה הערך של דירה ב' בהשוואה לערך שהיה לה בתחילת שנת 2014?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – איזו טענה נכונה?

qא = 1 + 7100 = 1.07📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
בהתחלה דירה ב' זולה יותר (620,000 לעומת 980,000), ובסוף הן שוות. כדי להשיג את דירה א' הערך של דירה ב' חייב לגדול מהר יותר.
אם q < 1.07 או q = 1.07, דירה ב' גדלה לאט יותר או באותו קצב – הפער לא נסגר לעולם (במקרה השני היחס נשאר תמיד 620980).
במשוואה:
620,000 · qt = 980,000 · 1.07t📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
(q1.07)t = 980620 > 1
חזקה חיובית גדולה מ־1 רק אם הבסיס גדול מ־1, כלומר q1.07 > 1.
✅ פתרון סופי: טענה (III): q > 1.07

סעיף ב (1) – ערך דירה א' בתחילת 2024

t = 2024 − 2014 = 10 שנים
Mא(10) = 980,000 · 1.0710📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
1.0710 ≈ 1.967151
Mא(10) ≈ 980,000 · 1.967151 ≈ 1,927,808
✅ פתרון סופי: בערך 1,927,808 שקלים

סעיף ב (2) – אחוז הגדילה של דירה ב'

בתחילת 2024 גם דירה ב' שווה 1,927,808:
620,000 · q10 = 1,927,808📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
q10 = 1,927,808620,000 ≈ 3.10937
q = 3.10937110 ≈ 1.1201📐 שורש מסדר nqn = k ⟹ q = k1n
1.1201 = 1 + p100📐 מנת הגדילהq = 1 + p100
p100 ≈ 0.1201 p ≈ 12.01
בדיקה: 620,000 · 1.1210 ≈ 1,925,626 – קרוב מאוד, ההפרש רק מהעיגול ✓
✅ פתרון סופי: בערך 12% בכל שנה

סעיף ג – מתי דירה ב' תרד מתחת לערכה ב־2014?

p = 121.5 = 8 אחוז ירידה בשנה
q = 1 − 8100 = 0.92📐 מנת הדעיכהq = 1 − p100
מתחילת 2024 הערך מתחיל מ־1,927,808. מחפשים את t שבו הערך יורד מתחת ל־620,000 (הערך ב־2014):
1,927,808 · 0.92t < 620,000📐 גדילה ודעיכהM(t) = M0 · qt
0.92t < 620,0001,927,808 ≈ 0.32161
פותרים קודם את השוויון 0.92t = 0.32161:
t = ln 0.32161ln 0.92 ≈ −1.13441−0.08338 ≈ 13.6📐 מציאת המעריך בעזרת lnqt = k ⟹ t = ln kln q
הבסיס 0.92 קטן מ־1, ולכן ככל ש־t גדל הערך קטן: הערך מתחת ל־620,000 כש־t > 13.6. מדובר בתחילת שנה, כלומר t שלם – הראשון הוא t = 14.
בדיקה: t = 13 : 1,927,808 · 0.9213 ≈ 652,087 > 620,000
בדיקה: t = 14 : 1,927,808 · 0.9214 ≈ 599,920 < 620,000 ✓
2024 + 14 = 2038
✅ פתרון סופי: בתחילת שנת 2038

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף אטענה (III)
סעיף ב (1)≈ 1,927,808 ש"ח
סעיף ב (2)12%
סעיף גתחילת 2038
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 19 – פתרון בגרות 2024 א
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס גדילה ודעיכה 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – חקירת פונקציית e (מנה)

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = e2xex − 3.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואת האסימפטוטה האנכית לציר ה־x של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x), המקיימת g(x) = −f(x) + 15. הפונקציות f(x) ו־g(x) מוגדרות באותו התחום.

ו. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה g(x), וקבעו את סוגה. (2) כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקצייה g(x) עם ציר ה־x? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית

(1) המכנה לא יכול להיות 0:
ex − 3 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
ex ≠ 3 x ≠ ln 3 ≈ 1.1📐 פתרון משוואה מעריכיתex = b ⟺ x = ln b
(2) ב־x = ln 3 המכנה מתאפס, והמונה שם e2ln 3 = 9 ≠ 0:
x = ln 3📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0
✅ פתרון סופי: (1) x ≠ ln 3   (2) x = ln 3

סעיף ב – נקודות החיתוך עם הצירים

ציר y (x = 0):
f(0) = e0e0 − 3 = 11 − 3 = −12📐 חזקה עם מעריך 0a0 = 1
ציר x: שבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס, אבל e2x > 0 תמיד:
e2x = 0 ← אין פתרון📐 e בחזקת x חיובי תמידex > 0
✅ פתרון סופי: (0 , −0.5) בלבד; עם ציר x אין נקודות חיתוך

סעיף ג – נקודת הקיצון

מנה: u = e2x , v = ex − 3.
f′(x) = u′v − uv′v2📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
u′ = 2e2x , v′ = ex📐 נגזרת e בחזקת kx(ekx)′ = k · ekx
המונה של הנגזרת:
2e2x(ex − 3) − e2x · ex
= 2e3x − 6e2x − e3x = e3x − 6e2x📐 כפל חזקותea · eb = ea + b
= e2x(ex − 6)
f′(x) = e2x(ex − 6)(ex − 3)2
e2x(ex − 6) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
e2x > 0, ולכן ex = 6 x = ln 6 ≈ 1.79
📐 e בחזקת x חיובי תמידex > 0
סימן הנגזרת: המכנה ריבוע (חיובי) ו־e2x > 0, ולכן הסימן הוא הסימן של ex − 6:
x = 0 : 1 − 6 < 0 ← יורדת
x = 1.5 : e1.5 − 6 ≈ −1.52 < 0 ← יורדת
x = 2 : e2 − 6 ≈ 1.39 > 0 ← עולה
xf′(x)f(x)
x < ln 3−↘ יורדת
ln 3לא מוגדרתאסימפטוטה
ln 3 < x < ln 6−↘ יורדת
ln 60מינימום
x > ln 6+↗ עולה
ב־x = ln 6 הפונקצייה יורדת ואז עולה – מינימום.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום
f(ln 6) = e2ln 6eln 6 − 3 = 626 − 3 = 363 = 12📐 e ו־ln מבטלים זה את זהeln b = b , e2ln b = b2
✅ פתרון סופי: מינימום (ln 6 , 12)

סעיף ד – תחומי עלייה וירידה

לפי טבלת הסימנים מסעיף ג:
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת
יורדת: x < ln 3 , ln 3 < x < ln 6
עולה: x > ln 6
✅ פתרון סופי: עולה: x > ln 6
יורדת: x < ln 3 , ln 3 < x < ln 6

סעיף ה – סקיצה

משמאל לאסימפטוטה: כש־x שלילי וגדול, e2x מתקרב ל־0 והמכנה ל־−3, ולכן הגרף מתקרב לציר ה־x מלמטה (למשל f(−3) ≈ −0.0008). הפונקצייה יורדת, עוברת ב־(0 , −0.5) ויורדת למינוס אינסוף ליד x = ln 3.
מימין לאסימפטוטה: f > 0, יורדת מאינסוף עד המינימום (ln 6 , 12), ואז עולה.
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת
xy−2−1123−101020(ln 6 , 12)(0 , −0.5)
הגרף של f(x) – משורטט מהפונקצייה עצמה
✅ פתרון סופי: הסקיצה למטה

סעיף ו (1) – הקיצון של g(x)

g(x) = −f(x) + 15
הכפלה ב־−1 הופכת את הגרף (מינימום הופך למקסימום), והוספת 15 מזיזה אותו 15 יחידות למעלה. ה־x של הקיצון לא משתנה:
g′(x) = −f′(x) – מתאפסת באותה נקודה x = ln 6, עם סימנים הפוכים: עולה ואז יורדת.📐 נגזרת של קבוע היא 0(−f(x) + 15)′ = −f′(x) + 0
g(ln 6) = −12 + 15 = 3
✅ פתרון סופי: מקסימום (ln 6 , 3)

סעיף ו (2) – כמה נקודות חיתוך יש ל־g עם ציר ה־x?

g(x) = 0 −f(x) + 15 = 0 f(x) = 15
סופרים כמה פעמים הגרף של f פוגש את הישר y = 15:
משמאל ל־x = ln 3: f < 0 – אין פגישה.
בין ln 3 ל־ln 6: f יורדת מאינסוף עד 12. מכיוון ש־12 < 15, היא עוברת את 15 פעם אחת.
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת
מימין ל־ln 6: f עולה מ־12 לאינסוף – עוברת את 15 פעם אחת.
xy−2−1123−101020(ln 6 , 12)y = 15
הישר y = 15 חותך את הגרף של f פעמיים
✅ פתרון סופי: 2 נקודות חיתוך

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אx ≠ ln 3 ; x = ln 3
סעיף ב(0 , −0.5)
סעיף גמינימום (ln 6 , 12)
סעיף דעולה x > ln 6
יורדת x < ln 3 , ln 3 < x < ln 6
סעיף הסקיצה
סעיף ומקסימום (ln 6 , 3) ; 2 נקודות
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – חקירת פונקציית ln עם פרמטר ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = ax · ln(2x), a הוא פרמטר.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f(x) בנקודה שבה x = e2 הוא 6.

ב. מצאו את a.

הציבו a = 3 בפונקצייה f(x) וענו על הסעיפים ג–ו.

ג. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.

ד. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ה. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקצייה f(x), ואיזה מהם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את קביעותיכם.

ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = e ועל ידי ציר ה־x.

הגרפים I–IV לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – תחום ההגדרה

2x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0
x > 0
✅ פתרון סופי: x > 0

סעיף ב – מציאת a

מכפלה: u = ax , v = ln(2x).
f′(x) = (ax)′ · ln(2x) + ax · (ln(2x))′📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
(ln(2x))′ = 22x = 1x📐 נגזרת ln של ביטוי(ln(kx))′ = kkx = 1x
f′(x) = a · ln(2x) + ax · 1x = a · ln(2x) + a
השיפוע ב־x = e2 הוא 6:
📐 שיפוע המשיקm = f′(x0)
f′(e2) = a · ln(2 · e2) + a = a · ln e + a
= a · 1 + a = 2a📐 ln של חזקת eln(ek) = k
2a = 6 a = 3
✅ פתרון סופי: a = 3

סעיף ג – החיתוך עם ציר ה־x

f(x) = 3x · ln(2x) = 0
3x ≠ 0 בתחום x > 0, ולכן:
ln(2x) = 0
2x = e0 = 1 x = 12📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
✅ פתרון סופי: (12 , 0)

סעיף ד – נקודת הקיצון

מסעיף ב, עם a = 3:
f′(x) = 3 ln(2x) + 3
3 ln(2x) + 3 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
ln(2x) = −1
2x = e−1 x = 12e ≈ 0.184📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
סימן הנגזרת:
x = 0.1 : 3 ln 0.2 + 3 ≈ −1.83 < 0 ← יורדת
x = 12 : 3 ln 1 + 3 = 3 > 0 ← עולה
xf′(x)f(x)
0 < x < 12e−↘ יורדת
12e0מינימום
x > 12e+↗ עולה
יורדת ואז עולה – מינימום.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום
f(12e) = 3 · 12e · ln(22e) = 32e · ln(e−1)
= 32e · (−1) = −32e ≈ −0.552📐 ln של חזקת eln(ek) = k
✅ פתרון סופי: מינימום (12e , −32e) ≈ (0.184 , −0.552)

סעיף ה – איזה גרף מתאר את f ואיזה את f′?

הפונקצייה: כש־x מתקרב ל־0 מימין, f מתקרבת ל־0 (למשל f(0.001) ≈ −0.019), ולכן הגרף יוצא מנקודה ריקה בראשית. אחר כך יורד אל המינימום (0.184 , −0.552) (מתחת לציר), חותך את ציר ה־x ב־(0.5 , 0) ועולה. זה גרף I.
גרף II עולה קודם ואחר כך יורד – זה הפוך (מקסימום במקום מינימום).
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת
הנגזרת: f′(x) = 3 ln(2x) + 3. כש־x מתקרב ל־0 היא שואפת למינוס אינסוף, היא עולה כל הזמן (כי ln(2x) פונקצייה עולה), וחותכת את ציר ה־x פעם אחת, ב־12e – שם f מחליפה כיוון. זה גרף IV.
גרף III יורד ממעלה אל מתחת לציר – הסימנים הפוכים: חיובי ואחר כך שלילי.
xy0.511234(0.18 , −0.55)(0.5 , 0)
הגרף של f(x) = 3x · ln(2x) – משורטט מהפונקצייה עצמה
✅ פתרון סופי: f(x) – גרף I ; f′(x) – גרף IV

סעיף ו – השטח

f′ חותכת את ציר ה־x ב־12e. בין 12e ל־e היא מעל הציר. השטח שתחום בין הגרף, הישר x = e וציר ה־x:
S = ∫1/(2e)e f′(x) dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫ab h(x) dx , h ≥ 0
= f(e) − f(12e)📐 אינטגרל של נגזרת∫ab f′(x) dx = f(b) − f(a)
f(e) = 3e · ln(2e) ≈ 3 · 2.71828 · 1.69315 ≈ 13.807
f(12e) = −32e ≈ −0.552 (סעיף ד)
S = 3e · ln(2e) + 32e ≈ 13.807 + 0.552 ≈ 14.36
xy123−55101/(2e)eS
הגרף של f′(x) והשטח S בין x = 12e ל־x = e
✅ פתרון סופי: S = 3e · ln(2e) + 32e ≈ 14.36 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אx > 0
סעיף בa = 3
סעיף ג(0.5 , 0)
סעיף דמינימום (1/(2e) , −3/(2e))
סעיף הf – גרף I ; f′ – גרף IV
סעיף ו≈ 14.36
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – מציאת פרמטר – קיצון עם מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 472 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות