שיעור 37 – נקודות חיתוך – המשמעות הגרפית של מערכת משוואות

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

נקודות חיתוך – המשמעות הגרפית של מערכת משוואות

📘 מה לומדים

כל פתרון של מערכת משוואות הוא נקודת חיתוך בין שני הגרפים. לכן מציאת נקודות החיתוך של ישר ופרבולה = פתרון מערכת המשוואות.

אחרי ההצבה מקבלים משוואה ריבועית. מספר הפתרונות שלה הוא מספר נקודות החיתוך:

x² − 2x − 3 = 0📐 מספר נקודות החיתוךשני פתרונות: שתי נקודות. פתרון אחד: נקודה אחת (משיק). אין פתרון: אין חיתוך.

📄 תרגיל 1 – שתי נקודות חיתוך

מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה y = x² עם הישר y = 2x + 3.

פתרון תרגיל 1

משווים את שני הביטויים של y:

x² = 2x + 3

x² − 2x − 3 = 0

(x − 3)(x + 1) = 0

x = 3 או x = −1

נציב x = 3 ב־y = x²:

y = 3² = 9

נציב x = −1:

y = (−1)² = 1

✅ פתרון סופי: (3 , 9) , (−1 , 1)

📄 תרגיל 2 – נקודה אחת – הישר משיק

מצאו את נקודות החיתוך של y = x² עם y = 4x − 4.

פתרון תרגיל 2

x² = 4x − 4

x² − 4x + 4 = 0

(x − 2)² = 0

x = 2

נציב x = 2:

y = 2² = 4

נקודה אחת📐 מספר נקודות החיתוךשני פתרונות: שתי נקודות. פתרון אחד: נקודה אחת (משיק). אין פתרון: אין חיתוך.

הישר רק נוגע בפרבולה – הוא משיק לה.

✅ פתרון סופי: (2 , 4) – נקודה אחת

📄 תרגיל 3 – אין נקודות חיתוך

האם הישר y = x − 1 חותך את הפרבולה y = x²?

פתרון תרגיל 3

x² = x − 1

x² − x + 1 = 0

a = 1 , b = −1 , c = 1

b² − 4ac = 1 − 4 = −3

מתחת לשורש יצא מספר שלילי – אין פתרון.

אין פתרון📐 מספר נקודות החיתוךשני פתרונות: שתי נקודות. פתרון אחד: נקודה אחת (משיק). אין פתרון: אין חיתוך.

✅ פתרון סופי: לא חותך

📄 תרגיל 4 – שתי פרבולות

מצאו את נקודות החיתוך של y = x² − 4 ו־y = −x² + 4.

פתרון תרגיל 4

x² − 4 = −x² + 4

2x² = 8

x² = 4

x = 2 או x = −2

נציב x = 2 ב־y = x² − 4:

y = 2² − 4 = 0

נציב x = −2:

y = (−2)² − 4 = 0

✅ פתרון סופי: (2 , 0) , (−2 , 0)

📌 סיכום

פתרון המערכת	נקודת חיתוך של הגרפים
2 פתרונות	2 נקודות חיתוך
פתרון אחד	הישר משיק
אין פתרון	אין חיתוך

מתמטיקה כיתה ט' – אלגברה וגיאומטריה 15 פרקים54 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים