מתמטיקה כיתה ט' – אלגברה וגיאומטריה 15 פרקים54 שיעורים10 שבועות
שיעור 36 – מערכת משוואות ריבועית – שיטת ההצבה
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
מערכת משוואות ריבועית – שיטת ההצבה
📘 מה לומדים
מערכת משוואות ריבועית היא מערכת של שתי משוואות, שאחת מהן (לפחות) ריבועית. בכיתה ט' משוואה אחת היא קווית.
פותרים בשיטת ההצבה:
1. מבודדים נעלם אחד במשוואה הקווית.
y = x + 1📐 שיטת ההצבהמבודדים נעלם במשוואה הקווית ומציבים במשוואה השנייה
2. מציבים אותו במשוואה הריבועית ופותרים משוואה ריבועית.
3. מציבים כל פתרון במשוואה המבודדת ומוצאים את הנעלם השני. בדרך כלל יש שני זוגות של פתרונות.
📄 תרגיל 1 – ישר ופרבולה
פתרו את מערכת המשוואות:
y = x + 1
y = x2 − 1
פתרון תרגיל 1
נציב y = x + 1 במשוואה השנייה:
x + 1 = x2 − 1
0 = x2 − x − 2
(x − 2)(x + 1) = 0
x = 2 או x = −1
נציב x = 2 ב־y = x + 1:
y = 2 + 1 = 3
נציב x = −1:
y = −1 + 1 = 0
✅ פתרון סופי: (2 , 3) , (−1 , 0)
📄 תרגיל 2 – סכום ומכפלה
פתרו את מערכת המשוואות:
x + y = 5
x · y = 6
פתרון תרגיל 2
נבודד את y במשוואה הראשונה:
y = 5 − x📐 שיטת ההצבהמבודדים נעלם במשוואה הקווית ומציבים במשוואה השנייה
נציב במשוואה השנייה:
x · (5 − x) = 6
5x − x2 = 6
x2 − 5x + 6 = 0
(x − 2)(x − 3) = 0
x = 2 או x = 3
נציב x = 2 ב־y = 5 − x:
y = 5 − 2 = 3
נציב x = 3:
y = 5 − 3 = 2
✅ פתרון סופי: (2 , 3) , (3 , 2)
📄 תרגיל 3 – עם סכום ריבועים
פתרו את מערכת המשוואות:
x − y = 1
x2 + y2 = 13
פתרון תרגיל 3
נבודד את x:
x = y + 1📐 שיטת ההצבהמבודדים נעלם במשוואה הקווית ומציבים במשוואה השנייה
נציב במשוואה השנייה:
(y + 1)2 + y2 = 13
y2 + 2y + 1 + y2 = 13
2y2 + 2y − 12 = 0
נחלק ב־2:
y2 + y − 6 = 0
(y + 3)(y − 2) = 0
y = 2 או y = −3
נציב y = 2 ב־x = y + 1:
x = 2 + 1 = 3
נציב y = −3:
x = −3 + 1 = −2
✅ פתרון סופי: (3 , 2) , (−2 , −3)
📄 תרגיל 4 – בעיה מילולית
סכום של שני מספרים הוא 10, ומכפלתם 21. מצאו את המספרים.
פתרון תרגיל 4
נסמן את המספרים ב־x וב־y:
x + y = 10
x · y = 21
y = 10 − x📐 שיטת ההצבהמבודדים נעלם במשוואה הקווית ומציבים במשוואה השנייה
x · (10 − x) = 21
10x − x2 = 21
x2 − 10x + 21 = 0
(x − 3)(x − 7) = 0
x = 3 או x = 7
נציב x = 3:
y = 10 − 3 = 7
שני הפתרונות נותנים את אותו זוג מספרים.
✅ פתרון סופי: 3 ו־7
📌 סיכום
| שלב 1 | מבודדים נעלם במשוואה הקווית |
|---|---|
| שלב 2 | מציבים ופותרים משוואה ריבועית |
| שלב 3 | מוצאים את הנעלם השני לכל פתרון |
| תשובה | בדרך כלל שני זוגות |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il