מתמטיקה כיתה ט' – אלגברה וגיאומטריה 15 פרקים54 שיעורים10 שבועות
שיעור 13 – נוסחאות הכפל המקוצר
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
נוסחאות הכפל המקוצר
📘 מה לומדים
שלוש נוסחאות שחוסכות את פתיחת הסוגריים בחוק הפילוג המורחב:
(x + 3)2 = x2 + 6x + 9📐 ריבוע של סכום(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(x − 3)2 = x2 − 6x + 9📐 ריבוע של הפרש(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(x + 3)(x − 3) = x2 − 9📐 הפרש ריבועים(a + b)(a − b) = a2 − b2
המחשה בשטחים: ריבוע שצלעו a + b מורכב מריבוע a2, ריבוע b2 ושני מלבנים ab. לכן (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
טעות נפוצה: (a + b)2 ≠ a2 + b2 – שוכחים את 2ab.
📄 תרגיל 1 – ריבוע של סכום
פתחו בעזרת הנוסחה:
(x + 4)2
פתרון תרגיל 1
כאן a = x ו־b = 4:
(x + 4)2 = x2 + 2 · x · 4 + 42📐 ריבוע של סכום(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
= x2 + 8x + 16
✅ פתרון סופי: x2 + 8x + 16
📄 תרגיל 2 – ריבוע של הפרש
פתחו בעזרת הנוסחה:
(3x − 2)2
פתרון תרגיל 2
כאן a = 3x ו־b = 2:
(3x − 2)2 = (3x)2 − 2 · 3x · 2 + 22📐 ריבוע של הפרש(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
= 9x2 − 12x + 4
✅ פתרון סופי: 9x2 − 12x + 4
📄 תרגיל 3 – חישוב מהיר בעזרת הנוסחאות
חשבו בלי מחשבון:
א. 512
ב. 99 · 101
פתרון סעיף א
נכתוב 51 = 50 + 1:
(50 + 1)2 = 502 + 2 · 50 · 1 + 12📐 ריבוע של סכום(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
= 2500 + 100 + 1
= 2601
✅ פתרון סופי: 2601
פתרון סעיף ב
נכתוב 99 = 100 − 1 ו־101 = 100 + 1:
(100 − 1)(100 + 1) = 1002 − 12📐 הפרש ריבועים(a + b)(a − b) = a2 − b2
= 10000 − 1
= 9999
✅ פתרון סופי: 9999
📄 תרגיל 4 – פישוט עם שתי נוסחאות
פשטו את הביטוי:
(x + 3)2 − (x − 3)2
פתרון תרגיל 4
(x + 3)2 = x2 + 6x + 9📐 ריבוע של סכום(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(x − 3)2 = x2 − 6x + 9📐 ריבוע של הפרש(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
נחסר – שמים סוגריים:
(x2 + 6x + 9) − (x2 − 6x + 9)
= x2 + 6x + 9 − x2 + 6x − 9
= 12x
✅ פתרון סופי: 12x
📌 סיכום
| ריבוע של סכום | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
|---|---|
| ריבוע של הפרש | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| הפרש ריבועים | (a + b)(a − b) = a2 − b2 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il