מתמטיקה כיתה ט' – אלגברה וגיאומטריה 15 פרקים54 שיעורים10 שבועות
שיעור 30 – סוג הקיצון והצגת מכפלה
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
סוג הקיצון והצגת מכפלה
📘 מה לומדים
עד עכשיו המקדם של x2 היה 1. כשהמקדם a שלילי, הפרבולה "הפוכה" – פתוחה כלפי מטה.
y = a(x − p)2 + k📐 קודקוד וסוג הקיצוןy = a(x − p)2 + k : a > 0 מינימום , a < 0 מקסימום
כש־a > 0 הקודקוד הוא נקודת מינימום (הפרבולה מחייכת ∪). כש־a < 0 הקודקוד הוא נקודת מקסימום (פרבולה עצובה ∩).
הצגת מכפלה: כשהפונקציה כתובה כמכפלה, רואים מיד את נקודות החיתוך עם ציר ה־x (האפסים):
y = (x − 1)(x − 5)📐 הצגת מכפלהy = a(x − x1)(x − x2) ⟹ x1 , x2 אפסים
הקודקוד נמצא בדיוק באמצע בין שני האפסים:
xv = 1 + 52 = 3📐 שיעור x של הקודקודxv = x1 + x22
📄 תרגיל 1 – סוג הקיצון
מצאו את הקודקוד ואת סוגו:
א. y = −(x − 1)2 + 4 ב. y = 2(x + 3)2 − 1
פתרון סעיף א
y = −(x − 1)2 + 4📐 קודקוד וסוג הקיצוןy = a(x − p)2 + k : a > 0 מינימום , a < 0 מקסימום
a = −1 , p = 1 , k = 4
a שלילי – הקודקוד הוא מקסימום.
✅ פתרון סופי: (1 , 4) מקסימום
פתרון סעיף ב
y = 2(x − (−3))2 − 1
a = 2 , p = −3 , k = −1📐 קודקוד וסוג הקיצוןy = a(x − p)2 + k : a > 0 מינימום , a < 0 מקסימום
a חיובי – הקודקוד הוא מינימום.
✅ פתרון סופי: (−3 , −1) מינימום
📄 תרגיל 2 – הצגת מכפלה
נתונה הפונקציה y = (x − 1)(x − 5). מצאו את האפסים, את הקודקוד ואת סוגו.
פתרון תרגיל 2
y = (x − 1)(x − 5)📐 הצגת מכפלהy = a(x − x1)(x − x2) ⟹ x1 , x2 אפסים
x1 = 1 , x2 = 5
xv = 1 + 52 = 3📐 שיעור x של הקודקודxv = x1 + x22
נציב x = 3:
y = (3 − 1)(3 − 5)
y = 2 · (−2)
y = −4
אם נפתח סוגריים המקדם של x2 הוא 1 – חיובי, לכן מינימום.
✅ פתרון סופי: אפסים 1 , 5 ; קודקוד (3 , −4) מינימום
📄 תרגיל 3 – מכפלה עם מקדם שלילי
נתונה הפונקציה y = −2(x + 1)(x − 3). מצאו את האפסים ואת הקודקוד. האם הקודקוד מינימום או מקסימום?
פתרון תרגיל 3
y = −2(x − (−1))(x − 3)
x1 = −1 , x2 = 3📐 הצגת מכפלהy = a(x − x1)(x − x2) ⟹ x1 , x2 אפסים
xv = −1 + 32 = 1📐 שיעור x של הקודקודxv = x1 + x22
נציב x = 1:
y = −2(1 + 1)(1 − 3)
y = −2 · 2 · (−2)
y = 8
a = −2 שלילי – מקסימום.
✅ פתרון סופי: אפסים −1 , 3 ; קודקוד (1 , 8) מקסימום
📄 תרגיל 4 – מי צודק?
רון אומר: לפונקציה y = −x2 + 9 יש נקודת מינימום (0 , 9). שיר אומרת: זו נקודת מקסימום. מי צודק?
פתרון תרגיל 4
y = −x2 + 9 = −1(x − 0)2 + 9
a = −1 , p = 0 , k = 9📐 קודקוד וסוג הקיצוןy = a(x − p)2 + k : a > 0 מינימום , a < 0 מקסימום
a שלילי – הפרבולה פתוחה כלפי מטה, והקודקוד הוא הנקודה הגבוהה ביותר.
✅ פתרון סופי: שיר צודקת – (0 , 9) מקסימום
📌 סיכום
| a > 0 | הקודקוד מינימום |
|---|---|
| a < 0 | הקודקוד מקסימום |
| הצגת מכפלה | y = a(x − x1)(x − x2) |
| קודקוד באמצע | xv = x1 + x22 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il