מתמטיקה כיתה ט' – אלגברה וגיאומטריה 15 פרקים54 שיעורים10 שבועות
שיעור 31 – הצגה סטנדרטית ושרטוט פרבולה
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
הצגה סטנדרטית ושרטוט פרבולה
📘 מה לומדים
ההצגה הסטנדרטית של פונקציה ריבועית היא y = ax2 + bx + c. כדי לשרטט פרבולה מוצאים:
1. הקודקוד:
xv = −b2a📐 שיעור x של הקודקודy = ax2 + bx + c ⟹ xv = −b2a
ואת yv מוצאים בהצבה של xv בפונקציה.
2. סוג הקיצון – לפי הסימן של a.
3. חיתוך עם ציר y: הנקודה (0 , c).
4. חיתוך עם ציר x: פותרים ax2 + bx + c = 0 (פירוק או נוסחת השורשים).
📄 תרגיל 1 – שרטוט פרבולה
נתונה הפונקציה y = x2 − 6x + 5. מצאו את הקודקוד וסוגו, את החיתוך עם הצירים, ושרטטו.
פתרון תרגיל 1
a = 1 , b = −6 , c = 5
xv = −(−6)2 · 1 = 3📐 שיעור x של הקודקודy = ax2 + bx + c ⟹ xv = −b2a
נציב x = 3:
yv = 32 − 6 · 3 + 5
yv = 9 − 18 + 5 = −4
a = 1 חיובי – הקודקוד (3 , −4) מינימום.
חיתוך עם ציר y: (0 , 5).
חיתוך עם ציר x – נפרק את הטרינום:
x2 − 6x + 5 = 0
(x − 1)(x − 5) = 0
x = 1 או x = 5
✅ פתרון סופי: (3 , −4) מינימום ; (0 , 5) ; (1 , 0) , (5 , 0)
📄 תרגיל 2 – פרבולה עם מקסימום
נתונה הפונקציה y = −x2 + 2x + 3. מצאו את הקודקוד וסוגו ואת החיתוך עם הצירים.
פתרון תרגיל 2
a = −1 , b = 2 , c = 3
xv = −22 · (−1) = 1📐 שיעור x של הקודקודy = ax2 + bx + c ⟹ xv = −b2a
נציב x = 1:
yv = −12 + 2 · 1 + 3 = 4
a = −1 שלילי – מקסימום.
חיתוך עם ציר y: (0 , 3).
חיתוך עם ציר x – נכפיל ב־(−1) ונפרק:
−x2 + 2x + 3 = 0
x2 − 2x − 3 = 0
(x − 3)(x + 1) = 0
x = 3 או x = −1
✅ פתרון סופי: (1 , 4) מקסימום ; (0 , 3) ; (3 , 0) , (−1 , 0)
📄 תרגיל 3 – מהצגת קודקוד להצגה סטנדרטית
כתבו את הפונקציה y = (x − 2)2 − 1 בהצגה סטנדרטית, ובדקו שהקודקוד יוצא אותו דבר.
פתרון תרגיל 3
(x − 2)2 = x2 − 4x + 4📐 ריבוע של הפרש(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
y = x2 − 4x + 4 − 1
y = x2 − 4x + 3
בדיקה:
xv = −(−4)2 · 1 = 2📐 שיעור x של הקודקודy = ax2 + bx + c ⟹ xv = −b2a
yv = 22 − 4 · 2 + 3 = −1
יצא (2 , −1) – בדיוק כמו בהצגת הקודקוד.
✅ פתרון סופי: y = x2 − 4x + 3
📄 תרגיל 4 – חיתוך עם נוסחת השורשים
מצאו את נקודות החיתוך של y = 2x2 − x − 3 עם ציר ה־x.
פתרון תרגיל 4
2x2 − x − 3 = 0
a = 2 , b = −1 , c = −3
x1,2 = 1 ± √(1 + 24)4📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x1,2 = 1 ± 54
x1 = 64 = 1.5
x2 = −44 = −1
✅ פתרון סופי: (1.5 , 0) , (−1 , 0)
📌 סיכום
| קודקוד | xv = −b2a, ואז הצבה |
|---|---|
| סוג הקיצון | לפי הסימן של a |
| ציר y | (0 , c) |
| ציר x | פותרים ax2 + bx + c = 0 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il