📋 סיכום ונוסחאות – סדרות5 יחידות · שאלון 571

כל הנוסחאות של הקורס במקום אחד · אפשר להדפיס לפני מבחן

1. נוסחה לפי מקום וכלל נסיגה

נוסחה לפי מקום	מציבים את המקום n ומקבלים את האיבר: a_n = 3n − 1 ← a₁ = 2 , a₂ = 5 , a₃ = 8
כלל נסיגה	כל איבר מחושב מהאיבר שלפניו, צריך גם איבר ראשון: a_{n + 1} = 2a_n − 1 , a₁ = 3 ← 3 , 5 , 9 , 17 , …
האם מספר הוא איבר בסדרה?	משווים את הנוסחה למספר ופותרים: אם n יוצא מספר טבעי – כן, ו־n הוא המקום שלו

🔍 פתח דוגמה

a_n = 3n − 1: האם 59 איבר? 3n − 1 = 59 ← n = 20 ← כן, במקום ה־20.
האם 100 איבר? 3n = 101 ← n לא שלם ← לא.

2. סדרה חשבונית

📐 איבר כללי והפרש

a_n = a₁ + (n − 1)d

d = a_{n + 1} − a_n (ההפרש קבוע)

a_{n + 1} = a_n + d (כלל הנסיגה)

📐 סכום n האיברים הראשונים

S_n = n2 · [2a₁ + (n − 1)d]

S_n = n(a₁ + a_n)2

📐 ממוצע חשבוני

a , b , c איברים עוקבים ⟸ b = a + c2

d > 0	סדרה עולה
d < 0	סדרה יורדת
d = 0	סדרה קבועה

🔍 פתח דוגמה

a₁ = 3 , d = 4
a₁₀ = 3 + 9 · 4 = 39
S₁₀ = 10 · (3 + 39)2 = 210

🔹 שתי משוואות עם a₁ ו־d – פותרים מערכת.
🔹 כשמחפשים מספר איברים n – n חייב להיות טבעי (פתרון שלילי או שבר נפסל).

3. סכומים, הוכחות ותת־סדרות

📐 איבר מתוך נוסחת הסכום

a_n = S_n − S_{n − 1} (לכל n ≥ 2)

a₁ = S₁

🔍 פתח דוגמה

S_n = n² + 2n
a_n = n² + 2n − [(n − 1)² + 2(n − 1)]
a_n = 2n + 1 ← סדרה חשבונית עם d = 2

📐 הוכחה שסדרה חשבונית

מראים ש־a_{n + 1} − a_n הוא מספר קבוע (לא תלוי ב־n)

🔍 פתח דוגמה

a_n = 5n − 1
a_{n + 1} − a_n = 5(n + 1) − 1 − (5n − 1) = 5 ← חשבונית, d = 5

🔹 להפרכה מספיקה דוגמה נגדית אחת (למשל a₂ − a₁ ≠ a₃ − a₂).
🔹 איברים במקומות האי־זוגיים a₁ , a₃ , a₅ , … – סדרה חשבונית עם הפרש 2d.
🔹 מקום האיבר האמצעי (כשמספר האיברים n אי־זוגי): n + 12

4. סדרה הנדסית

📐 איבר כללי ומנה

a_n = a₁ · q^{n − 1}

q = a_{n + 1}a_n (המנה קבועה)

a_{n + 1} = q · a_n (כלל הנסיגה)

📐 סכום n האיברים הראשונים

S_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1 , q ≠ 1

📐 ממוצע הנדסי

a , b , c איברים עוקבים ⟸ b² = a · c

a₁ > 0 , q > 1	סדרה עולה
a₁ > 0 , 0 < q < 1	סדרה יורדת
q < 0	סימנים מתחלפים (+ , − , + , …)
q = 1	סדרה קבועה

🔍 פתח דוגמה

a₁ = 3 , q = 2
a₅ = 3 · 2⁴ = 48
S₅ = 3(2⁵ − 1)2 − 1 = 93

🔹 הוכחה שסדרה הנדסית: מראים ש־a_{n + 1}a_n הוא מספר קבוע.
🔹 מחלקים משוואה במשוואה כדי להיפטר מ־a₁: a₁q⁶a₁q³ = q³.
🔹 איברים במקומות הזוגיים a₂ , a₄ , … – סדרה הנדסית עם מנה q².

5. סדרה הנדסית אין־סופית

📐 סכום הסדרה

S = a₁1 − q

−1 < q < 1 , q ≠ 0 (רק אז יש סכום)

🔍 פתח דוגמה

8 , 4 , 2 , 1 , … ← q = 12
S = 81 − 12 = 16

🔍 פתח דוגמה

סכום האיברים במקומות הזוגיים

איבר ראשון a₂ = a₁q , מנה q²
S_זוגיים = a₁q1 − q²

🔹 בשאלה על אין־סופית: בודקים קודם ש־|q| < 1, ורק אז מציבים בנוסחה.
🔹 צורות שהולכות וקטנות (משולשי אמצעים, ריבועים): יחס השטחים = (יחס הדמיון)², ולכן המנה של השטחים היא ריבוע המנה של הצלעות.

➕ סכום במקומות הזוגיים והאי־זוגיים

📐 השיטה – לא קופצים ישר לסכום

כותבים את האיברים שבמקומות האי־זוגיים a₁ , a₃ , a₅ , … כסדרה חדשה.
מוצאים לסדרה החדשה איבר ראשון, ואת ההפרש או המנה:
בחשבונית ההפרש הוא 2d
בהנדסית המנה היא q²
מוצאים כמה איברים יש בסדרה החדשה.
רק עכשיו מציבים בנוסחת הסכום.

במקומות הזוגיים עושים אותו דבר, והאיבר הראשון הוא a₂

🔍 פתח דוגמה

דוגמה 1 – סדרה חשבונית

בסדרה חשבונית 21 איברים, a₁ = 3 , d = 2
מקומות אי־זוגיים: a₁ , a₃ , … , a₂₁
סדרה חדשה: איבר ראשון 3, הפרש 2d = 4
האיבר האחרון: a₂₁ = 3 + 20 · 2 = 43
כמה איברים: 3 + (k − 1) · 4 = 43 ← k = 11
S = 112 · [2 · 3 + 10 · 4]
= 112 · 46 = 253
מקומות זוגיים: a₂ , a₄ , … , a₂₀
סדרה חדשה: איבר ראשון a₂ = 5, הפרש 4
האיבר האחרון: a₂₀ = 3 + 19 · 2 = 41
כמה איברים: 5 + (k − 1) · 4 = 41 ← k = 10
S = 102 · [2 · 5 + 9 · 4]
= 5 · 46 = 230
בדיקה: 253 + 230 = 483 = S₂₁

🔍 פתח דוגמה

דוגמה 2 – סדרה הנדסית

בסדרה הנדסית 9 איברים, a₁ = 3 , q = 2
מקומות אי־זוגיים: a₁ , a₃ , a₅ , a₇ , a₉
מספר האיברים: 5
סדרה חדשה: איבר ראשון 3, מנה q² = 4
S = 3(4⁵ − 1)4 − 1
= 3 · 10233 = 1023
מקומות זוגיים: a₂ , a₄ , a₆ , a₈
מספר האיברים: 4
סדרה חדשה: איבר ראשון a₂ = 6, מנה 4
S = 6(4⁴ − 1)4 − 1
= 6 · 2553 = 510
בדיקה: 1023 + 510 = 1533 = S₉

6. כלל נסיגה ושילוב חשבונית והנדסית

כלל נסיגה כללי	מחשבים איברים אחד אחרי השני: a_{n + 1} = 3a_n − 2 , a₁ = 2 ← 2 , 4 , 10 , 28 , …
חשבונית או הנדסית?	בודקים הפרש קבוע (a_{n + 1} − a_n) או מנה קבועה (a_{n + 1}a_n)
שילוב	שלושה מספרים בסדרה חשבונית ← 2b = a + c; באותה שאלה בסדרה הנדסית ← b² = ac. פותרים את שתי המשוואות יחד

🔹 בכלל נסיגה צריך תמיד את האיבר הראשון כדי לחשב את הסדרה.
🔹 שאלות מחיי היום יום: מזהים מה קבוע – תוספת קבועה ← חשבונית, הכפלה קבועה (אחוזים) ← הנדסית.

7. חזקות ושורשים שמשתמשים בהם בסדרות

📐 חוקים

a^x = a^y ⟹ x = y

a^maⁿ = a^{m − n}

qⁿ = k ⟹ q = k^1/n (n אי־זוגי)

q⁴ = b ⟹ q = ±⁴√b (n זוגי – שני פתרונות)

🔍 פתח דוגמה

q³ = 8 ← q = 2
q² = 9 ← q = 3 או q = −3

8. בונים סדרה חדשה מסדרה נתונה 5 יחידות

📐 איך מוכיחים / מפריכים

חשבונית ← מראים ש־b_{n + 1} − b_n קבוע

הנדסית ← מראים ש־b_{n + 1}b_n קבוע

להפרכה מספיקה דוגמה נגדית: מחשבים 3 איברים ראשונים ומראים שההפרשים (או המנות) שונים

מסדרה חשבונית a_n (הפרש d):

k · a_n + c	נשארת חשבונית, ההפרש k · d
a_n²	בדרך כלל לא חשבונית
b_n = S_{n + 1} − S_n	זו a_{n + 1}: אותה סדרה בלי האיבר הראשון – חשבונית עם אותו d, אבל לא זהה לסדרה המקורית

מסדרה הנדסית a_n (מנה q):

k · a_n	הנדסית, מנה q
1a_n	סדרת ההפכיים – הנדסית, מנה 1q
a_n · a_{n + 1}	הנדסית, מנה q²
a_n²	הנדסית, מנה q²
a_n · q^{n − 1}	הנדסית, מנה q²
a_n · b_n	מכפלה של שתי סדרות הנדסיות – הנדסית, מנה q_A · q_B
מחליפים סימן במקומות האי־זוגיים	הנדסית, מנה −q
a_n + c	בדרך כלל לא הנדסית

✏️ דוגמה

נתון a_n = 3n + 1 , b_n = 2 · 3^{n − 1}.
(1) הוכיחו ש־c_n = 5a_n − 2 סדרה חשבונית.
(2) האם b_n + 1 סדרה הנדסית?

לפתרון המלא – בעמוד נפרד ←

✏️ דוגמה

סדרה הנדסית a_n עם a₁ = 1 , q = 3. סכום n האיברים הראשונים גדול פי 6561 מסכום ההפכיים 1a₁ + 1a₂ + … + 1a_n. מצאו את n.

לפתרון המלא – בעמוד נפרד ←

🔹 סדרה חדשה מסדרה הנדסית – תמיד מחלקים איבר באיבר שלפניו ומשתמשים ב־a_{n + 1} = q · a_n
🔹 בסדרה הנדסית עם 2k איברים: a₁ · a_2k = a_k · a_{k + 1} (מכפלת האיברים האמצעיים)

📚 שיעור 37: בונים סדרה חדשה מסדרה נתונה – מה נשאר חשבונית או הנדסית 📚 שיעור 40: סדרה חדשה מהפרשי הסכומים – בגרות חורף 2022 📚 שיעור 41: סדרת ההפכיים וסכום ההפכיים – בגרות חורף 2022 נבצרים 📚 שיעור 43: מכפלה של שתי סדרות הנדסיות – בגרות קיץ 2023 מועד א׳📚 שיעור 44: סדרה חדשה מכפל במנה, והיגדים על התכנסות – בגרות חורף 2023 📚 שיעור 45: מכפלת האיברים האמצעיים בסדרה הנדסית – בגרות קיץ 2022 מועד ב׳

9. תתי־סדרות וסכומים בקפיצות 5 יחידות

📐 איברים במקומות שמתחלקים ב־k

a_k , a_2k , a_3k , …

בהנדסית: איבר ראשון a_k = a₁q^{k − 1} , מנה q^k

בחשבונית: איבר ראשון a_k , הפרש k · d

חשבונית עם 2n + 1 איברים	סכום האי־זוגיים פחות סכום הזוגיים = האיבר האמצעי a_{n + 1}
חשבונית עם 3n איברים	סכום n האיברים האמצעיים = 13 · S_3n
הכנסת איבר בין כל שני איברים (הנדסית)	המנה החדשה בריבוע = המנה הישנה: q² = q_ישנה , ו־b_{2n − 1} = a_n

✏️ דוגמה

סדרה הנדסית עולה עם מנה q. נתון A = a₂ + a₄ + … + a₄₀ , B = a₄ + a₈ + … + a₄₀ , AB = 109. מצאו את q.

לפתרון המלא – בעמוד נפרד ←

🔹 לא קופצים ישר לסכום: קודם כותבים את תת־הסדרה, איבר ראשון, מנה (או הפרש) ומספר איברים.
🔹 בהוכחות עם n כללי: מקבצים זוגות של איברים, וכל זוג נותן d (או (n + 1)d).

📚 שיעור 38: סדרה חשבונית עם מספר איברים אי־זוגי – בגרות קיץ 2021 מועד מיוחד 📚 שיעור 39: סכום האיברים האמצעיים – בגרות קיץ 2023 מועד ב׳📚 שיעור 46: סכומים בקפיצות בסדרה הנדסית – בגרות קיץ 2021 מועד ב׳📚 שיעור 47: הכנסת איבר בין כל שני איברים – בגרות קיץ 2022 מועד א׳

10. סדרה הנדסית אין־סופית – מה נוסף 5 יחידות

מתכנסת	−1 < q < 1 , q ≠ 0 , ואז a_n שואף ל־0
a₁ > 0 , q > 1	עולה
a₁ < 0 , q > 1	יורדת
a₁ > 0 , 0 < q < 1	יורדת
a₁ < 0 , 0 < q < 1	עולה
q < 0	לא עולה ולא יורדת

🔹 היגד "נכון / לא נכון": להפרכה מספיקה דוגמה נגדית אחת. למשל "סדרה יורדת בהכרח מתכנסת" – לא נכון: −1 , −2 , −4 , −8 , … יורדת, אבל q = 2.
🔹 אם |q| ≥ 1 אז גם q² ≥ 1 – סדרה עם מנה q² גם לא מתכנסת.

📐 שבר עשרוני מחזורי

0.777… = 0.7 + 0.07 + 0.007 + …

איבר ראשון 0.7 , מנה 0.1

S = 0.71 − 0.1 = 79

✏️ דוגמה

כתבו כשבר פשוט: (1) 0.363636… (2) 1.2555… (3) הוכיחו ש־0.999… = 1

לפתרון המלא – בעמוד נפרד ←

✏️ דוגמה

סדרה הנדסית a_n עם a₁ = 5 , q = 3. בונים את סדרת ההפכיים ומחליפים סימן במקומות האי־זוגיים: −1a₁ , 1a₂ , −1a₃ , …. מצאו את סכום הסדרה.

לפתרון המלא – בעמוד נפרד ←

📚 שיעור 44: סדרה חדשה מכפל במנה, והיגדים על התכנסות – בגרות חורף 2023 📚 שיעור 48: סדרת ההפכיים והחלפת סימנים – סכום אין־סופי – בגרות קיץ 2022 מועד ב׳📚 שיעור 49: שבר עשרוני מחזורי כסכום של סדרה הנדסית אין־סופית

✔️ סדר פתרון שאלת סדרות (שאלה 2 בבגרות 571)

מזהים את סוג הסדרה: חשבונית (הפרש קבוע), הנדסית (מנה קבועה), או כלל נסיגה אחר.
כותבים כל נתון בעזרת a₁ ו־d (או a₁ ו־q), ופותרים את המשוואות (d / q קודם).
סדרה חדשה מתוך סדרה נתונה ← מחלקים איבר באיבר שלפניו (או מחסרים) ומראים שהתוצאה קבועה.
"נכון / לא נכון" ← הוכחה כללית, או דוגמה נגדית אחת.
סכום של חלק מהאיברים ← כותבים את תת־הסדרה: איבר ראשון, מנה או הפרש, מספר איברים.
אין־סופית ← בודקים |q| < 1 ורק אז S = a₁1 − q.
בודקים: n טבעי, סימן המנה מתאים לעולה / יורדת.

📚 שיעור 50: שאלה קצרה – סדרה הנדסית במשולש ישר זווית – בגרות קיץ 2026 מועד ב׳📚 שיעור 59: בגרות 571 קיץ 2026 מועד ב׳ – סדרה הנדסית אין־סופית יורדת

📚 עוד דוגמאות פתורות

עוד דוגמאות בסגנון הבגרות בנושא סדרות, כל אחת עם פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 עוד דוגמאות פתורות ←

מתמטריק · eldadh.co.il