בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · שאלות לפי נושא
שאלות בגרות 472 לפי נושא – חקירת פונקציית ln
כל השאלות בנושא חקירת פונקציית ln מבחינות הבגרות בשאלון 472, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. חקירת פונקציות לוגריתמיות, גרף הנגזרת וסעיפי השטח. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 472 לפי נושא
38 שאלות פתורות: 18 מבחינות 472 של 2022–2026 ו־20 מבגרויות ישנות (שאלון 482), מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.
ליד כל מועד כתוב מה יש בשאלה: פרמטר · שטח · הזזות · גרף נגזרת · משיק
בגרויות חדשות – שאלון 472
חורף 2026 · פרמטר · הזזות · משיקקיץ 2025 ב · פרמטרחורף 2025 · פרמטר · הזזותקיץ 2024 א · פרמטר · שטח · גרף נגזרתחורף 2023 · פרמטר · הזזותקיץ 2022 ב · שאלה 5 · פרמטר · גרף נגזרתקיץ 2022 ב · שאלה 4 · פרמטרחורף 2022 נבצרים · שאלה 4 · פרמטר · הזזות · משיק
בגרויות ישנות
חורף 2022 נבצרים · שאלה 5 · פרמטר · משיקקיץ 2021 מיוחד · פרמטר · הזזותקיץ 2021 ב · פרמטר · הזזותקיץ 2019 ב · פרמטר · הזזותקיץ 2019 א · פרמטרחורף 2018 · פרמטר · שטח · גרף נגזרתקיץ 2016 ב · פרמטר · הזזות
בגרויות חדשות – שאלון 472
קיץ 2026 ב · שטח · גרף נגזרתקיץ 2026 א · הזזות · גרף נגזרתקיץ 2025 א · שטח · גרף נגזרתקיץ 2024 ב · שטח · גרף נגזרתחורף 2024קיץ 2023 מיוחד · שטח · גרף נגזרתקיץ 2023 ב · שטח · הזזות · משיקקיץ 2023 א · הזזותקיץ 2022 א · שאלה 4 · שטח · גרף נגזרתחורף 2022 · שאלה 5
בגרויות ישנות
🎛️ עם פרמטר
📅 חורף 2026, שאלה 5 פרמטר · הזזות · משיק
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = ax(2 − ln x). a הוא פרמטר שונה מ־0.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.
נתון כי בנקודה שבה x = e3, שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f(x) הוא −8.
ב. מצאו את הערך של a.
הציבו a = 4 בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ג–ד.
ג. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. (2) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקצייה f(x). נמקו את קביעתכם.
נתונה הפונקצייה g(x) = −2f(x) + 37.
ד. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה g(x), וקבעו את סוגה. (2) האם גרף הפונקצייה f(x) חותך את גרף הפונקצייה g(x)? נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום הגדרה וחיתוך עם ציר x
(1) בפונקציה יש ln x:
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x ⟸ x > 0
(2) חיתוך עם ציר ה־x: f(x) = 0. מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים שווה 0:
ax(2 − ln x) = 0
a ≠ 0 (נתון), x ≠ 0 (לא בתחום ההגדרה), ולכן:
2 − ln x = 0 ⟹ ln x = 2
x = e2📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
✅ פתרון סופי: (1) x > 0
(2) (e2 , 0) (e2 ≈ 7.39)
(2) (e2 , 0) (e2 ≈ 7.39)
סעיף ב – מציאת a
גוזרים: a הוא קבוע שכופל את המכפלה x · (2 − ln x), ולכן גוזרים את המכפלה: u = x , v = 2 − ln x.
u′ = 1 v′ = 0 − 1x = −1x📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
f′(x) = a[1 · (2 − ln x) + x · (−1x)]📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
x · 1x = 1 f′(x) = a[2 − ln x − 1]
f′(x) = a(1 − ln x)
שיפוע המשיק ב־x = e3 הוא −8:
f′(e3) = −8📐 שיפוע המשיקm = f′(x0)
a(1 − ln e3) = −8 ln e3 = 3📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
a(1 − 3) = −8 −2a = −8
a = −8−2 = 4
✅ פתרון סופי: a = 4
סעיף ג – קיצון של f וזיהוי הגרף
מציבים a = 4: f(x) = 4x(2 − ln x) , f′(x) = 4(1 − ln x) (מסעיף ב).
(1) משווים את הנגזרת ל־0:
4(1 − ln x) = 0 ⟹ ln x = 1
x = e📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
f(e) = 4e(2 − ln e) = 4e(2 − 1) = 4e ≈ 10.87📐 ln של eln e = 1
סוג הנקודה – מציבים בנגזרת נקודה משמאל ונקודה מימין (בתוך תחום ההגדרה):
f′(1) = 4(1 − 0) = 4 > 0 f′(e2) = 4(1 − 2) = −4 < 0
הנגזרת עוברת מ־+ ל־− ⟸ מקסימום.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
(2) מה מאפיין את הגרף של f: מוגדר רק ל־x > 0 (לכן בראשית עיגול ריק – הנקודה לא שייכת לגרף), נקודת מקסימום אחת (e , 4e) מעל ציר ה־x, וחיתוך עם ציר ה־x ב־(e2 , 0) – אחריו הגרף יורד מתחת לציר.
גרפים III ו־IV מתחילים בירידה ויש להם מינימום – לא מתאים. גרף I לא חותך את ציר ה־x (מתקרב אליו כאסימפטוטה) ויש בו נקודה מלאה בראשית – לא מתאים. גרף II: עיגול ריק בראשית, מקסימום, חיתוך עם ציר ה־x ואחריו ירידה מתחת לציר ✓.
✅ פתרון סופי: (1) מקסימום (e , 4e) ≈ (2.72 , 10.87)
(2) גרף II
(2) גרף II
סעיף ד – הפונקציה g(x) = −2f(x) + 37
(1) גוזרים (הנגזרת של קבוע היא 0):
g′(x) = −2f′(x) = −2 · 4(1 − ln x) = −8(1 − ln x)📐 נגזרת של כפולה בקבוע(c · f(x) + k)′ = c · f′(x)
−8(1 − ln x) = 0 ⟹ ln x = 1 ⟹ x = e📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
g(e) = −2f(e) + 37 = −2 · 4e + 37 = 37 − 8e ≈ 15.25
הנגזרת של g היא f′ כפול מספר שלילי, ולכן הסימנים הפוכים: g′(1) = −8 < 0 g′(e2) = 8 > 0.
הנגזרת עוברת מ־− ל־+ ⟸ מינימום.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
(2) נקודת חיתוך מקיימת f(x) = g(x):
f(x) = −2f(x) + 37 3f(x) = 37 f(x) = 373 ≈ 12.33
אבל הערך הגדול ביותר של f הוא המקסימום שלה: 4e ≈ 10.87.
המספר 10.87 קטן מ־12.33, ולכן f אף פעם לא מגיעה לערך 37/3 – אין נקודת חיתוך.
(אפשר לראות זאת גם כך: הנקודה הנמוכה ביותר של g היא 37 − 8e ≈ 15.25, והנקודה הגבוהה ביותר של f היא 4e ≈ 10.87 – g תמיד מעל f.)
f (כחול) ו־g (סגול) לפי קנה מידה: g תמיד מעל f.
✅ פתרון סופי: (1) מינימום (e , 37 − 8e) ≈ (2.72 , 15.25)
(2) לא – הגרפים לא נחתכים
(2) לא – הגרפים לא נחתכים
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x > 0 (e2 , 0) |
|---|---|
| סעיף ב | a = 4 |
| סעיף ג | מקסימום (e , 4e) גרף II |
| סעיף ד | מינימום (e , 37 − 8e) לא נחתכים |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – מציאת נקודות קיצון עם נגזרת מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 5 פרמטר
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = x2 · (−2 + ln x).
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).
ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.
ד. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקצייה f(x). נמקו את קביעתכם.
נתונה הפונקצייה g(x) = a · f(x). a הוא פרמטר שונה מ־0. הפונקציות g(x) ו־f(x) מוגדרות באותו התחום. נתון כי שיעור ה־y של נקודת הקיצון של הפונקצייה g(x) הוא 0.6 · e3.
ה. (1) מצאו את הערך של a. (2) מהו סוג נקודת הקיצון של הפונקצייה g(x)? נמקו את תשובתכם. (3) קבעו איזה מן הגרפים I–IV מתאר את הפונקצייה g(x). נמקו את קביעתכם.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום הגדרה
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x ⟸ x > 0
✅ פתרון סופי: x > 0
סעיף ב – חיתוך עם הצירים
ציר ה־y: צריך להציב x = 0, אבל 0 לא בתחום ההגדרה ⟸ אין חיתוך עם ציר ה־y.
ציר ה־x: f(x) = 0. מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0:
x2 · (−2 + ln x) = 0
x2 = 0 ⟹ x = 0 – לא בתחום. לכן:
−2 + ln x = 0 ⟹ ln x = 2
x = e2📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
✅ פתרון סופי: (e2 , 0) ; אין חיתוך עם ציר ה־y
סעיף ג – נקודת הקיצון של f
נגזרת של מכפלה: u = x2 , v = −2 + ln x.
u′ = 2x📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn−1
v′ = 1x📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
f′(x) = 2x(−2 + ln x) + x2 · 1x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
x2 · 1x = x f′(x) = −4x + 2x·ln x + x
f′(x) = 2x·ln x − 3x = x(2ln x − 3)
משווים ל־0. x > 0 (בתחום), לכן:
2ln x − 3 = 0 ⟹ ln x = 1.5
x = e1.5 ≈ 4.48📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
f(e1.5) = (e1.5)2 · (−2 + 1.5) = e3 · (−0.5) = −e32 ≈ −10.04📐 חזקה של חזקה(am)n = am·n
f′(1) = 1 · (0 − 3) = −3 < 0 f′(e2) = e2(4 − 3) > 0
הנגזרת עוברת מ־− ל־+ ⟸ מינימום.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
✅ פתרון סופי: מינימום (e1.5 , −e32) ≈ (4.48 , −10.04)
סעיף ד – איזה גרף הוא f
מה ידוע על f: מוגדרת רק ל־x > 0; אין חיתוך עם ציר ה־y (כשמתקרבים ל־0 הערך x2(−2 + ln x) מתקרב ל־0, ולכן בראשית עיגול ריק); יורדת עד מינימום מתחת לציר ה־x; עולה וחותכת את ציר ה־x ב־e2.
גרף I: עיגול ריק בראשית, ירידה למינימום מתחת לציר ואז עלייה וחיתוך – מתאים ✓. גרפים II ו־IV מתארים מקסימום – לא מתאים. גרף III מתחיל גבוה ליד ציר ה־y ולא בראשית – לא מתאים.
f (כחול) ו־g = −1.2f (סגול) לפי החישוב.
✅ פתרון סופי: גרף I
סעיף ה – הפרמטר a וגרף g
(1) g(x) = a · f(x), ולכן g′(x) = a · f′(x). הנגזרת מתאפסת באותו מקום – x = e1.5.
g(e1.5) = a · f(e1.5) = a · (−e32)📐 נגזרת של כפולה בקבוע(a · f(x))′ = a · f′(x)
a · (−0.5e3) = 0.6e3
מחלקים את שני האגפים ב־e3:
−0.5a = 0.6 a = 0.6−0.5 = −1.2
(2) g′ = −1.2 · f′: הסימנים של g′ הפוכים לאלה של f′. אצל f הנגזרת עברה מ־− ל־+, ולכן אצל g היא עוברת מ־+ ל־−:
נקודת הקיצון של g היא מקסימום (ושיעור ה־y שלה 0.6e3 > 0).📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
(3) הגרף של g = −1.2f הוא הגרף של f "הפוך" ומתוח: עיגול ריק בראשית, מקסימום מעל הציר, חיתוך ב־e2 ואז ירידה. זה גרף IV. (גרף II לא מתאים כי הוא מתחיל למטה ליד ציר ה־y, ולא בראשית.)
✅ פתרון סופי: (1) a = −1.2
(2) מקסימום
(3) גרף IV
(2) מקסימום
(3) גרף IV
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x > 0 |
|---|---|
| סעיף ב | (e2 , 0) |
| סעיף ג | מינימום (e1.5 , −e3/2) |
| סעיף ד | גרף I |
| סעיף ה | a = −1.2 מקסימום גרף IV |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – מציאת פרמטר: קיצון עם מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2025, שאלה 5 פרמטר · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = 6x(ln x)2.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואת האסימפטוטה האנכית לציר ה־x של הפונקצייה f(x). (3) האם לגרף הפונקצייה f(x) יש נקודות חיתוך עם הצירים? נמקו את תשובתכם.
ב. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. (2) מצאו את תחומי העלייה של הפונקצייה f(x).
ג. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקצייה f(x).
g(x) היא פונקצייה שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). נגזרת הפונקצייה g(x) מקיימת g′(x) = f(x) − c, c הוא פרמטר.
ד. (1) מצאו בעבור c = 5 כמה נקודות קיצון יש לפונקצייה g(x), וקבעו את סוגן (אם יש כאלה). נמקו את תשובתכם. (2) רשמו ערך כלשהו של c שבעבורו יש לפונקצייה g(x) שלוש נקודות קיצון. נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
שני תנאים: ln מוגדר רק למספרים חיוביים, ומכנה לא יכול להיות 0.
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln t מוגדר רק כש־t > 0
(ln x)2 ≠ 0 ⟸ ln x ≠ 0 ⟸ x ≠ e0 = 1📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ 1
סעיף א (2) – האסימפטוטה האנכית
ב־x = 1 המכנה מתאפס (ln 1 = 0), והמונה 6 · 1 = 6 ≠ 0. לכן הפונקצייה "מתפוצצת" שם.
מכנה = 0 ומונה ≠ 0📐 אסימפטוטה אנכיתמכנה = 0 ומונה ≠ 0 ← אסימפטוטה אנכית
✅ פתרון סופי: x = 1
סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים
ציר ה־y: צריך x = 0, אבל x = 0 לא בתחום ההגדרה (x > 0) ← אין חיתוך.
ציר ה־x: שבר שווה 0 רק כשהמונה 0: 6x = 0 ⟸ x = 0, וגם זה לא בתחום ← אין חיתוך.
✅ פתרון סופי: אין נקודות חיתוך עם הצירים
סעיף ב (1) – נקודת הקיצון
כלל המנה עם u = 6x ⟸ u′ = 6 ו־v = (ln x)2:
v′ = 2 ln x · 1x = 2 ln xx📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[g(x)n]′ = n · g(x)n − 1 · g′(x)
(ln x)′ = 1x📐 נגזרת ln(ln x)′ = 1x
f′(x) = 6 · (ln x)2 − 6x · 2 ln xx((ln x)2)2📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
מפשטים: 6x · 2 ln xx = 12 ln x ו־((ln x)2)2 = (ln x)4:
f′(x) = 6(ln x)2 − 12 ln x(ln x)4
מוציאים גורם משותף 6 ln x ומצמצמים:
f′(x) = 6 ln x (ln x − 2)(ln x)4 = 6(ln x − 2)(ln x)3
f′(x) = 0 ⟸ ln x − 2 = 0 ⟸ ln x = 2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
x = e2 ≈ 7.39📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
f(e2) = 6e2(ln e2)2 = 6e222 = 1.5e2 ≈ 11.08📐 ln של חזקת eln eb = b
סימן הנגזרת 6(ln x − 2)(ln x)3 בכל תחום:
0 < x < 1 : ln x < 0 , מונה < 0 , מכנה < 0 , f′ > 0 ← עולה
1 < x < e2 : 0 < ln x < 2 , מונה < 0 , מכנה > 0 , f′ < 0 ← יורדת
x > e2 : ln x > 2 , מונה > 0 , מכנה > 0 , f′ > 0 ← עולה
ב־x = e2: יורדת ואז עולה ← מינימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
✅ פתרון סופי: מינימום (e2 , 1.5e2) ≈ (7.39 , 11.08)
סעיף ב (2) – תחומי העלייה
לפי טבלת הסימנים: f′ > 0 ב־0 < x < 1 וב־x > e2.
f′ > 0 ← עולה📐 עלייה וירידה לפי הנגזרתf′(x) > 0 ← הפונקצייה עולהf′(x) < 0 ← הפונקצייה יורדת
✅ פתרון סופי: עלייה: 0 < x < 1 וגם x > e2
סעיף ג – איזה גרף
f(x) > 0 לכל x בתחום: המונה 6x > 0 והמכנה (ln x)2 > 0. לכן הגרף כולו מעל ציר ה־x – הגרפים שיש בהם חלק מתחת לציר נפסלים.
ב־0 < x < 1 הפונקצייה עולה (סעיף ב2) – מתחילה ליד הראשית ועולה לכיוון האסימפטוטה x = 1. מימין לאסימפטוטה: יורדת עד המינימום (7.39 , 11.08) ואז עולה.
רק גרף IV מתאים לכל אלה: כולו מעל ציר ה־x, משמאל לאסימפטוטה הוא עולה מהראשית, ומימין יש לו מינימום אחד.
הגרף בקנה מידה של הפונקצייה עצמה (הקו המקווקו הירוק – האסימפטוטה x = 1):
✅ פתרון סופי: גרף IV
סעיף ד (1) – c = 5
נקודות קיצון של g הן מקומות שבהם g′(x) = f(x) − 5 מתאפסת ומחליפה סימן, כלומר שבהם הגרף של f חוצה את הישר y = 5.
g′(x) = 0 וגם g′ מחליפה סימן📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
בתחום 0 < x < 1: f עולה מערכים קרובים ל־0 עד אינסוף (ליד האסימפטוטה), ולכן היא חוצה את 5 פעם אחת בדיוק, מלמטה למעלה: g′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימום של g.
בתחום x > 1: הערך הקטן ביותר של f הוא המינימום 1.5e2 ≈ 11.08 > 5. לכן שם תמיד f(x) > 5, g′ > 0, ואין נקודות קיצון.
✅ פתרון סופי: ל־g יש נקודת קיצון אחת – מינימום (בתחום 0 < x < 1)
סעיף ד (2) – ערך של c לשלוש נקודות קיצון
צריך שהישר y = c יחצה את הגרף של f שלוש פעמים: פעם אחת בתחום 0 < x < 1 (תמיד קורה כש־c > 0), ופעמיים מימין לאסימפטוטה – משני צדי המינימום. זה קורה כש־c גדול מערך המינימום:
c > 1.5e2 ≈ 11.08
לדוגמה c = 12: f(x) = 12 פעם אחת ב־0 < x < 1, פעם אחת ב־1 < x < e2 (שם f יורדת מאינסוף ל־11.08), ופעם אחת ב־x > e2 (שם היא עולה מ־11.08 לאינסוף). בכל חצייה g′ מחליפה סימן ← שלוש נקודות קיצון.
שלוש חציות עם החלפת סימן ← שלוש נקודות קיצון📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
(ב־c = 1.5e2 בדיוק הישר רק נוגע במינימום, g′ לא מחליפה שם סימן, ויש רק נקודת קיצון אחת.)
✅ פתרון סופי: לדוגמה c = 12 (כל c > 1.5e2 ≈ 11.08 מתאים)
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | x > 0 , x ≠ 1 |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = 1 |
| סעיף א (3) | אין |
| סעיף ב (1) | מינימום (e2 , 1.5e2) |
| סעיף ב (2) | 0 < x < 1 וגם x > e2 |
| סעיף ג | גרף IV |
| סעיף ד (1) | נקודת קיצון אחת – מינימום |
| סעיף ד (2) | לדוגמה c = 12 (כל c > 1.5e2) |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – תחום הגדרה וקיצון עם מנה ופונקציה מורכבת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 5 פרמטר · שטח · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = ax · ln(2x), a הוא פרמטר.
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f(x) בנקודה שבה x = e2 הוא 6.
ב. מצאו את a.
הציבו a = 3 בפונקצייה f(x) וענו על הסעיפים ג–ו.
ג. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.
ד. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.
ה. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקצייה f(x), ואיזה מהם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את קביעותיכם.
ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = e ועל ידי ציר ה־x.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום ההגדרה
2x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0
x > 0
✅ פתרון סופי: x > 0
סעיף ב – מציאת a
מכפלה: u = ax , v = ln(2x).
f′(x) = (ax)′ · ln(2x) + ax · (ln(2x))′📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
(ln(2x))′ = 22x = 1x📐 נגזרת ln של ביטוי(ln(kx))′ = kkx = 1x
f′(x) = a · ln(2x) + ax · 1x = a · ln(2x) + a
השיפוע ב־x = e2 הוא 6:
📐 שיפוע המשיקm = f′(x0)f′(e2) = a · ln(2 · e2) + a = a · ln e + a
= a · 1 + a = 2a📐 ln של חזקת eln(ek) = k
2a = 6 a = 3
✅ פתרון סופי: a = 3
סעיף ג – החיתוך עם ציר ה־x
f(x) = 3x · ln(2x) = 0
3x ≠ 0 בתחום x > 0, ולכן:
ln(2x) = 0
2x = e0 = 1 x = 12📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
✅ פתרון סופי: (12 , 0)
סעיף ד – נקודת הקיצון
מסעיף ב, עם a = 3:
f′(x) = 3 ln(2x) + 3
3 ln(2x) + 3 = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
ln(2x) = −1
2x = e−1 x = 12e ≈ 0.184📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
סימן הנגזרת:
x = 0.1 : 3 ln 0.2 + 3 ≈ −1.83 < 0 ← יורדת
x = 12 : 3 ln 1 + 3 = 3 > 0 ← עולה
| x | f′(x) | f(x) |
|---|---|---|
| 0 < x < 12e | − | ↘ יורדת |
| 12e | 0 | מינימום |
| x > 12e | + | ↗ עולה |
יורדת ואז עולה – מינימום.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימוםf(12e) = 3 · 12e · ln(22e) = 32e · ln(e−1)
= 32e · (−1) = −32e ≈ −0.552📐 ln של חזקת eln(ek) = k
✅ פתרון סופי: מינימום (12e , −32e) ≈ (0.184 , −0.552)
סעיף ה – איזה גרף מתאר את f ואיזה את f′?
הפונקצייה: כש־x מתקרב ל־0 מימין, f מתקרבת ל־0 (למשל f(0.001) ≈ −0.019), ולכן הגרף יוצא מנקודה ריקה בראשית. אחר כך יורד אל המינימום (0.184 , −0.552) (מתחת לציר), חותך את ציר ה־x ב־(0.5 , 0) ועולה. זה גרף I.
גרף II עולה קודם ואחר כך יורד – זה הפוך (מקסימום במקום מינימום).
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדתהנגזרת: f′(x) = 3 ln(2x) + 3. כש־x מתקרב ל־0 היא שואפת למינוס אינסוף, היא עולה כל הזמן (כי ln(2x) פונקצייה עולה), וחותכת את ציר ה־x פעם אחת, ב־12e – שם f מחליפה כיוון. זה גרף IV.
גרף III יורד ממעלה אל מתחת לציר – הסימנים הפוכים: חיובי ואחר כך שלילי.
✅ פתרון סופי: f(x) – גרף I ; f′(x) – גרף IV
סעיף ו – השטח
f′ חותכת את ציר ה־x ב־12e. בין 12e ל־e היא מעל הציר. השטח שתחום בין הגרף, הישר x = e וציר ה־x:
S = ∫1/(2e)e f′(x) dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫ab h(x) dx , h ≥ 0
= f(e) − f(12e)📐 אינטגרל של נגזרת∫ab f′(x) dx = f(b) − f(a)
f(e) = 3e · ln(2e) ≈ 3 · 2.71828 · 1.69315 ≈ 13.807
f(12e) = −32e ≈ −0.552 (סעיף ד)
S = 3e · ln(2e) + 32e ≈ 13.807 + 0.552 ≈ 14.36
✅ פתרון סופי: S = 3e · ln(2e) + 32e ≈ 14.36 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x > 0 |
|---|---|
| סעיף ב | a = 3 |
| סעיף ג | (0.5 , 0) |
| סעיף ד | מינימום (1/(2e) , −3/(2e)) |
| סעיף ה | f – גרף I ; f′ – גרף IV |
| סעיף ו | ≈ 14.36 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – מציאת פרמטר – קיצון עם מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2023, שאלה 4 פרמטר · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = (ln x)2 − a · ln x + 3. a הוא פרמטר. אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x היא (e3 , 0).
א. מצאו את a.
הציבו a = 4 בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ב–ו שלפניכם.
ב. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
ג. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך האחרת של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.
ד. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.
ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).
נתונה הפונקצייה g(x) = |f(x)| המוגדרת באותו התחום שבו מוגדרת הפונקצייה f(x).
ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x).
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – מציאת a
הנקודה (e3 , 0) על הגרף, ולכן f(e3) = 0:
(ln e3)2 − a · ln e3 + 3 = 0
ln e3 = 3📐 ln של חזקת eln eb = b
32 − 3a + 3 = 0 ⟸ 12 − 3a = 0
3a = 12 ⟸ a = 4
✅ פתרון סופי: a = 4
סעיף ב – תחום ההגדרה
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln t מוגדר רק כש־t > 0
אין מכנה ואין שורש – התנאי היחיד הוא של ln.
✅ פתרון סופי: x > 0
סעיף ג – נקודת החיתוך האחרת
(ln x)2 − 4 ln x + 3 = 0
נציב t = ln x ונקבל משוואה ריבועית:
t2 − 4t + 3 = 0
מקדמי המשוואה הריבועית: 1 , −4 , 3.
t = 4 ± √16 − 122 = 4 ± 22📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
t = 3 או t = 1
חוזרים ל־x:
ln x = 3 ⟸ x = e3 , ln x = 1 ⟸ x = e📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
(e3 , 0) נתונה, ולכן הנקודה האחרת היא (e , 0).
✅ פתרון סופי: (e , 0) ≈ (2.72 , 0)
סעיף ד – נקודת הקיצון
((ln x)2)′ = 2 ln x · 1x📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[g(x)n]′ = n · g(x)n − 1 · g′(x)
(4 ln x)′ = 4x📐 נגזרת ln(ln x)′ = 1x
f′(x) = 2 ln xx − 4x = 2 ln x − 4x
f′(x) = 0 ⟸ 2 ln x − 4 = 0 ⟸ ln x = 2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
x = e2 ≈ 7.39📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
f(e2) = 22 − 4 · 2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1
סימן הנגזרת: המכנה x > 0, ולכן הסימן נקבע לפי 2 ln x − 4:
x = e : 2 · 1 − 4 = −2 < 0 ← יורדת
x = e3 : 2 · 3 − 4 = 2 > 0 ← עולה
ב־x = e2: יורדת ואז עולה ← מינימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
✅ פתרון סופי: מינימום (e2 , −1) ≈ (7.39 , −1)
סעיף ה – סקיצה של f
כש־x מתקרב ל־0 מימין, ln x שואף למינוס אינסוף, ו־(ln x)2 שואף לאינסוף – לכן הגרף עולה לאינסוף ליד ציר ה־y (ציר ה־y הוא אסימפטוטה אנכית).
הגרף יורד, חותך את ציר ה־x ב־(e , 0), ממשיך לרדת למינימום (e2 , −1), עולה וחותך שוב ב־(e3 , 0) ≈ (20.09 , 0), וממשיך לעלות (לאט).
✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט
סעיף ו – סקיצה של g(x) = |f(x)|
|t| = t , t ≥ 0📐 ערך מוחלט|t| = t כש־t ≥ 0|t| = −t כש־t < 0
איפה ש־f(x) ≥ 0 (כש־0 < x ≤ e וכש־x ≥ e3) – הגרף של g זהה לגרף של f.
איפה ש־f(x) < 0 (כש־e < x < e3) – הגרף של g הוא שיקוף של f ביחס לציר ה־x. המינימום (e2 , −1) הופך למקסימום (e2 , 1).
בנקודות (e , 0) ו־(e3 , 0) הגרף של g נוגע בציר ה־x ויוצר "שפיץ".
✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | a = 4 |
|---|---|
| סעיף ב | x > 0 |
| סעיף ג | (e , 0) |
| סעיף ד | מינימום (e2 , −1) |
| סעיף ה | סקיצה |
| סעיף ו | סקיצה |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 5 – פתרון משוואות עם ln והצבת t
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 5 פרמטר · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
f(x) היא פונקצייה. גרף פונקציית הנגזרת שלה, f′(x), מתואר בסרטוט שלפניכם. הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x) חותך את ציר ה־x בנקודה אחת בלבד, שבה x = c. c הוא פרמטר.
א. מצאו את הסוג של נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x) על פי הגרף. נמקו את תשובתכם.
נתון: f(x) = ln(4x − x2).
ב. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). בתשובתכם השאירו שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
ד. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x) וכתבו את ערכו של c.
ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).
נתונה הפונקצייה g(x) = f(x) · f′(x).
ו. מצאו את התחומים שבהם g(x) חיובית. נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – סוג הקיצון לפי גרף הנגזרת
לפי הגרף: משמאל ל־c הגרף של f′ מעל ציר ה־x (f′ > 0, f עולה), ומימין ל־c מתחתיו (f′ < 0, f יורדת). ⚠️ הסימנים נקראו מהגרף בשאלון.
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדתעולה ואז יורדת – מקסימום.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום✅ פתרון סופי: מקסימום
סעיף ב – תחום ההגדרה
4x − x2 > 0📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0
x(4 − x) > 0
פרבולה "בוכה" עם שורשים 0 ו־4 – חיובית בין השורשים.
✅ פתרון סופי: 0 < x < 4
סעיף ג – נקודות החיתוך עם הצירים
ציר y: x = 0 לא בתחום ההגדרה – אין חיתוך.
ציר x:
ln(4x − x2) = 0 4x − x2 = e0 = 1📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
x2 − 4x + 1 = 0
x = 4 ± √(16 − 4)2 = 2 ± √3📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x ≈ 0.27 , x ≈ 3.73 (שניהם בתחום)
✅ פתרון סופי: (0.27 , 0) , (3.73 , 0) ; אין חיתוך עם ציר y
סעיף ד – נקודת הקיצון והערך של c
f′(x) = 4 − 2x4x − x2📐 נגזרת ln של פונקצייה(ln(h(x)))′ = h′(x)h(x)
4 − 2x = 0 x = 2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
x = 1 : 23 > 0 ← עולה , x = 3 : −23 < 0 ← יורדת
עולה ואז יורדת – מקסימום (מתאים לסעיף א).
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימוםf(2) = ln(8 − 4) = ln 4 ≈ 1.39
הנגזרת מתאפסת רק ב־x = 2, ולכן c = 2.
✅ פתרון סופי: מקסימום (2 , ln 4) ≈ (2 , 1.39) ; c = 2
סעיף ה – סקיצה
בקצוות התחום 4x − x2 מתקרב ל־0, ולכן f שואפת למינוס אינסוף: אסימפטוטות אנכיות x = 0 ו־x = 4.
📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0הגרף עולה מ־−∞, חותך את ציר ה־x ב־0.27, מגיע למקסימום (2 , 1.39), יורד, חותך ב־3.73 ויורד ל־−∞.
✅ פתרון סופי: הסקיצה למטה
סעיף ו – מתי g(x) = f(x) · f′(x) חיובית?
מכפלה חיובית כששני הגורמים באותו סימן.
📐 מכפלה חיוביתa · b > 0 כאשר a ו־b באותו סימןסימן f (מסעיף ג): חיובית ב־0.27 < x < 3.73, שלילית ב־0 < x < 0.27 וב־3.73 < x < 4
סימן f′ (מסעיף ד): חיובית ב־0 < x < 2, שלילית ב־2 < x < 4
שתיהן חיוביות: 0.27 < x < 2. שתיהן שליליות: 3.73 < x < 4.
✅ פתרון סופי: 2 − √3 < x < 2 או 2 + √3 < x < 4
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | מקסימום |
|---|---|
| סעיף ב | 0 < x < 4 |
| סעיף ג | (0.27 , 0) , (3.73 , 0) |
| סעיף ד | (2 , ln 4) ; c = 2 |
| סעיף ה | סקיצה |
| סעיף ו | 0.27 < x < 2 , 3.73 < x < 4 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – ת"ה + קיצון עם מנה ופונקציה מורכבת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 4 פרמטר
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = a + (ln x)2. a > 0 הוא פרמטר.
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה (הביעו באמצעות a, אם יש צורך).
נתונה הפונקצייה g(x) = 1 + ln x המוגדרת בתחום x > 0.
ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה g(x) (אם יש כאלה).
ד. אחד מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את גרף הפונקצייה f(x) ואחד מהם מתאר את גרף הפונקצייה g(x). קבעו איזה מהם מתאר את f(x) ואיזה את g(x), ונמקו את קביעתכם.
הגרפים של הפונקציות f(x) ו־g(x) נחתכים בשתי נקודות שונות. שיעור ה־x של אחת מנקודות החיתוך האלו הוא x = e.
ה. (1) מצאו את a. (2) מצאו את השיעורים של נקודת החיתוך האחרת של הגרפים של הפונקציות f(x) ו־g(x). (3) בעבור אילו ערכי x מתקיים: f(x) < g(x)?
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – תחום ההגדרה
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0
✅ פתרון סופי: x > 0
סעיף ב – נקודת הקיצון של f
f′(x) = 0 + 2 ln x · 1x = 2 ln xx📐 נגזרת של ln בריבוע((ln x)2)′ = 2 ln x · 1x
2 ln x = 0 ln x = 0 x = 1📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
סימן הנגזרת (x > 0, לכן הסימן לפי ln x):
x = 1e : ln 1e = −1 < 0 ← יורדת
x = e : ln e = 1 > 0 ← עולה
| x | f′(x) | f(x) |
|---|---|---|
| 0 < x < 1 | − | ↘ יורדת |
| 1 | 0 | מינימום |
| x > 1 | + | ↗ עולה |
יורדת ואז עולה – מינימום.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימוםf(1) = a + (ln 1)2 = a + 0 = a
✅ פתרון סופי: מינימום (1 , a)
סעיף ג – תחומי עלייה וירידה של g
g′(x) = 0 + 1x = 1x📐 נגזרת ln(ln x)′ = 1x
בתחום x > 0: 1x > 0 תמיד – הפונקצייה עולה בכל התחום, ואין לה תחום ירידה.
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת✅ פתרון סופי: עולה: x > 0 ; אין תחום ירידה
סעיף ד – איזה גרף מתאר כל פונקצייה?
g עולה כל הזמן – רק גרף I עולה לאורך כל התחום (גרף II יורד).
f יורדת עד מינימום ב־(1 , a) ואז עולה (צורת "קערה"), והמינימום מעל ציר ה־x כי a > 0. בגרף III המינימום נוגע בציר ה־x (זה היה a = 0), ובגרף IV המינימום מעל הציר.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום⚠️ ההתאמה נעשתה לפי תמונות הגרפים בשאלון.
✅ פתרון סופי: f(x) – גרף IV ; g(x) – גרף I
סעיף ה (1) – מציאת a
ב־x = e הגרפים נפגשים:
f(e) = g(e)
a + (ln e)2 = 1 + ln e📐 ln של חזקת eln(ek) = k
a + 1 = 2 a = 1
✅ פתרון סופי: a = 1
סעיף ה (2) – נקודת החיתוך האחרת
1 + (ln x)2 = 1 + ln x
(ln x)2 − ln x = 0
ln x (ln x − 1) = 0📐 מכפלה שווה אפסa · b = 0 כאשר a = 0 או b = 0
ln x = 0 ⟸ x = 1 או ln x = 1 ⟸ x = e📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
g(1) = 1 + 0 = 1
✅ פתרון סופי: (1 , 1)
סעיף ה (3) – מתי f(x) < g(x)?
1 + (ln x)2 < 1 + ln x
ln x (ln x − 1) < 0
מכפלה שלילית כששני הגורמים בסימנים שונים: 0 < ln x < 1
📐 מכפלה שליליתa · b < 0 כאשר a ו־b בסימנים שוניםe0 < x < e1 1 < x < e
בדיקה: x = 2 : f ≈ 1.48 , g ≈ 1.69 – f קטנה ✓
✅ פתרון סופי: 1 < x < e
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | x > 0 |
|---|---|
| סעיף ב | מינימום (1 , a) |
| סעיף ג | עולה x > 0 |
| סעיף ד | f – IV ; g – I |
| סעיף ה | a = 1 ; (1 , 1) ; 1 < x < e |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 16 – ת"ה, חיתוך ועלייה וירידה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 4 פרמטר · הזזות · משיק
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 2 ln(x2 − a), a פרמטר חיובי. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה x = 5 שווה ל־1.25.
א. מצא את a.
הצב a = 9 וענה על הסעיפים הבאים:
ב. (1) רשום את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצא את משוואות האסימפטוטות המאונכות לציר ה־x של הפונקציה f(x). (3) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x). (4) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = f(x − 4).
ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
ד. האם הפונקציה g(x) זוגית / אי־זוגית / או לא זוגית ולא אי־זוגית? נמק.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – מציאת a
f′(x) = 2 · 2xx2 − a = 4xx2 − a📐 נגזרת ln של פונקציה(ln g(x))′ = g′(x)g(x)
שיפוע המשיק ב־x = 5 הוא f′(5):
f′(5) = 2025 − a = 1.25📐 שיפוע משיקשיפוע המשיק = f′(x0)
20 = 1.25(25 − a) ⟸ 25 − a = 16
a = 9
✅ פתרון סופי: a = 9
סעיף ב (1) – תחום ההגדרה
x2 − 9 > 0📐 תחום הגדרה של lnln t מוגדר רק כש־t > 0
x2 > 9
x > 3 או x < −3
✅ פתרון סופי: x > 3 או x < −3
סעיף ב (2) – אסימפטוטות אנכיות
בקצוות התחום (x = ±3) הביטוי x2 − 9 שואף ל־0 מצד החיוביים, ולכן ln(x2 − 9) שואף למינוס אינסוף.
ln t → −∞ כש־t → 0+📐 אסימפטוטה של lnכש־t מתקרב ל־0 מימין, ln t שואף למינוס אינסוף ← אסימפטוטה אנכית
✅ פתרון סופי: x = 3 , x = −3
סעיף ב (3) – עלייה וירידה
f′(x) = 4xx2 − 9
בתחום ההגדרה המכנה x2 − 9 > 0, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של x:
x > 3 : 4x > 0 , f′ > 0 ← עולה
x < −3 : 4x < 0 , f′ < 0 ← יורדת
f′ > 0 ← עולה, f′ < 0 ← יורדת📐 עלייה וירידה לפי הנגזרתf′(x) > 0 ← הפונקציה עולהf′(x) < 0 ← הפונקציה יורדת
✅ פתרון סופי: עלייה: x > 3
ירידה: x < −3
ירידה: x < −3
סעיף ב (4) – חיתוך עם הצירים
ציר ה־y: x = 0 לא בתחום ההגדרה ← אין חיתוך.
ציר ה־x:
2 ln(x2 − 9) = 0 ⟸ ln(x2 − 9) = 0
x2 − 9 = e0 = 1📐 הגדרת lnln t = 0 ⟺ t = 1
x2 = 10 ⟸ x = ±√10 ≈ ±3.16
✅ פתרון סופי: (√10 , 0) , (−√10 , 0)
עם ציר ה־y – אין
עם ציר ה־y – אין
סעיף ב (5) – סקיצה
שני ענפים: משמאל ל־x = −3 – יורד מאינסוף, חותך את ציר ה־x ב־−3.16 ויורד למינוס אינסוף ליד האסימפטוטה. מימין ל־x = 3 – עולה ממינוס אינסוף, חותך ב־3.16 וממשיך לעלות. הגרף סימטרי ביחס לציר ה־y (כי f(−x) = f(x)).
✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט
סעיף ג – סקיצה של g(x) = f(x − 4)
y = f(x − k)📐 הזזה אופקיתf(x − k) – הזזה של הגרף k יחידות ימינה
הגרף של g הוא הגרף של f מוזז 4 יחידות ימינה: האסימפטוטות x = 1 ו־x = 7, התחום x < 1 או x > 7, וחיתוך עם ציר ה־x ב־4 ± √10.
עכשיו יש גם חיתוך עם ציר ה־y (x = 0 בתחום): g(0) = f(−4) = 2 ln 7 ≈ 3.89.
✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט
סעיף ד – זוגית / אי־זוגית
תחום סימטרי + g(−x) = g(x) ← זוגית📐 פונקציה זוגית ואי־זוגיתזוגית: g(−x) = g(x) לכל x בתחוםאי־זוגית: g(−x) = −g(x)בשני המקרים התחום חייב להיות סימטרי סביב 0
התחום של g הוא x < 1 או x > 7 – לא סימטרי סביב 0. למשל x = −5 בתחום, אבל x = 5 לא בתחום.
לכן g לא יכולה להיות זוגית ולא אי־זוגית.
✅ פתרון סופי: לא זוגית ולא אי־זוגית
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | a = 9 |
|---|---|
| סעיף ב (1) | x > 3 או x < −3 |
| סעיף ב (2) | x = ±3 |
| סעיף ב (3) | עלייה x > 3, ירידה x < −3 |
| סעיף ב (4) | (±√10 , 0) |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד | לא זוגית ולא אי־זוגית |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – תחום הגדרה של ln ונגזרת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – חורף נבצרים 2022, שאלה 5 פרמטר · משיק
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ln(ax2 − x). a > 0 הוא פרמטר.
הפונקציה f(x) מוגדרת בתחום x < 0 , x > 1a.
נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה שבה x = 1 הוא 3.
א. מצא את a.
ב. (1) מצא את האסימפטוטות המאונכות לציר ה־x של הפונקציה f(x). (2) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x. (3) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).
ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתון: הפונקציה g(x) מוגדרת באותו התחום שבו מוגדרת הפונקציה f(x), והיא מקיימת g′(x) = f(x).
ד. מצא את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבע את סוגן.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – מציאת a
גוזרים לפי נגזרת של ln של פונקציה:
f′(x) = (ax2 − x)′ax2 − x = 2ax − 1ax2 − x📐 נגזרת של ln של פונקציה(ln g)′ = g′g
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בה. מציבים x = 1 ומשווים ל־3:
f′(1) = 2a − 1a − 1 = 3📐 שיפוע משיקm = f′(x0)
כופלים במכנה (a ≠ 1):
2a − 1 = 3(a − 1) ⟸ 2a − 1 = 3a − 3 ⟸ a = 2
בדיקה: עם a = 2 התחום הוא x > 12, ו־x = 1 אכן בתחום.
✅ פתרון סופי: a = 2
סעיף ב – אסימפטוטות, חיתוך עם ציר ה־x ועלייה וירידה
עכשיו f(x) = ln(2x2 − x), בתחום x < 0 , x > 12.
(1) בקצוות התחום הביטוי שבתוך הלוגריתם שואף ל־0 מצד חיובי, והלוגריתם שואף למינוס אין־סוף:
2x2 − x = 0 ⟸ x(2x − 1) = 0 ⟸ x = 0 , x = 12📐 אסימפטוטה אנכית של lnln u → −∞ כאשר u → 0+
(2) חיתוך עם ציר ה־x:
ln(2x2 − x) = 0 ⟸ 2x2 − x = 1📐 ln שווה אפסln u = 0 ⟺ u = 1
2x2 − x − 1 = 0 ⟸ x = 1 ± √(1 + 8)4 = 1 ± 34📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x1 = 1 x2 = −12 – שתיהן בתחום.
(3) הנגזרת:
f′(x) = 4x − 12x2 − x
בכל התחום המכנה חיובי (הוא בתוך הלוגריתם). לכן הסימן הוא סימן המונה 4x − 1:
x < 0 : 4x − 1 < 0 ← יורדת
x > 12 : 4x − 1 > 1 > 0 ← עולה
✅ פתרון סופי: (1) x = 0 , x = 12
(2) (1 , 0) , (−12 , 0)
(3) יורדת: x < 0 ; עולה: x > 12
(2) (1 , 0) , (−12 , 0)
(3) יורדת: x < 0 ; עולה: x > 12
סעיף ג – סקיצה
שני ענפים: משמאל (x < 0) הגרף יורד וחותך את ציר ה־x ב־(−12 , 0), ושואף למינוס אין־סוף ליד x = 0. מימין (x > 12) הגרף עולה ממינוס אין־סוף ליד x = 12, וחותך את ציר ה־x ב־(1 , 0).
✅ פתרון סופי: סקיצה (ראו למעלה)
סעיף ד – נקודות הקיצון של g(x)
g′(x) = f(x), ולכן נקודות קיצון של g(x) יכולות להיות רק במקומות שבהם f(x) = 0: x = −12 ו־x = 1 (סעיף ב). בודקים את סימן f(x) לפי הסקיצה:
| x | g′(x) = f(x) | g(x) |
|---|---|---|
| x < −12 | + | ↗ עולה |
| −12 | 0 | מקסימום |
| −12 < x < 0 | − | ↘ יורדת |
| 12 < x < 1 | − | ↘ יורדת |
| 1 | 0 | מינימום |
| x > 1 | + | ↗ עולה |
x = −1 : g′ = ln(2 + 1) = ln 3 > 0
x = −0.25 : g′ = ln(0.125 + 0.25) = ln 0.375 < 0
x = 0.75 : g′ = ln(1.125 − 0.75) = ln 0.375 < 0
x = 2 : g′ = ln(8 − 2) = ln 6 > 0
ב־x = −12 הנגזרת עוברת מפלוס למינוס, וב־x = 1 ממינוס לפלוס.
📐 סוג הקיצוןפלוס ← מינוס = מקסימוםמינוס ← פלוס = מינימום✅ פתרון סופי: מקסימום ב־x = −12 ; מינימום ב־x = 1
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | a = 2 |
|---|---|
| סעיף ב | (1) x = 0 , x = 12 (2) (1 , 0) , (−12 , 0) (3) יורדת x < 0 ; עולה x > 12 |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד | מקסימום ב־x = −12 מינימום ב־x = 1 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 11 – אסימפטוטה אנכית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף נבצרים 2022 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 5 פרמטר · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ln(−x2 + 4x − 3).
א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצא את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לציר ה־y.
ב. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.
ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).
ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + b. b הוא פרמטר.
ה. קבע איזו מן הטענות (1)–(2) שלפניך נכונה. נמק את קביעתך. (1) כאשר b < 0, גרף הפונקציה g(x) חותך את ציר ה־x בשתי נקודות. (2) כאשר b > 0, גרף הפונקציה g(x) חותך את ציר ה־x בשתי נקודות.
ו. נתון כי הישר y = −ln(0.75) משיק לגרף הפונקציה g(x) בנקודת הקיצון שלה. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטות
−x2 + 4x − 3 > 0📐 תחום הגדרה של lnln u מוגדר רק כאשר u > 0
כופלים ב־(−1) והופכים את סימן אי־השוויון:
x2 − 4x + 3 < 0 ⟸ (x − 1)(x − 3) < 0
פרבולה "מחייכת" שלילית בין השורשים 1 ו־3.
📐 אי־שוויון ריבועי(x − x1)(x − x2) < 0⟺ x1 < x < x2(2) בקצוות התחום הביטוי שבתוך הלוגריתם שואף ל־0 מצד חיובי, והלוגריתם שואף למינוס אין־סוף – אלה האסימפטוטות.
✅ פתרון סופי: (1) 1 < x < 3 ; (2) x = 1 , x = 3
סעיף ב – נקודת הקיצון
f′(x) = −2x + 4−x2 + 4x − 3📐 נגזרת של ln של פונקציה(ln g)′ = g′g
f′(x) = 0 ⟸ −2x + 4 = 0 ⟸ x = 2
המכנה חיובי בכל התחום, ולכן הסימן הוא סימן −2x + 4:
x = 1.5 : −3 + 4 = 1 > 0 ← עולה
x = 2.5 : −5 + 4 = −1 < 0 ← יורדת
עולה ואז יורדת – מקסימום.
📐 סוג הקיצוןf′: פלוס ← מינוס = מקסימוםf(2) = ln(−4 + 8 − 3) = ln 1 = 0📐 ln של 1ln 1 = 0
✅ פתרון סופי: מקסימום (2 , 0)
סעיף ג – תחומי עלייה וירידה
לפי סעיף ב:
✅ פתרון סופי: עולה: 1 < x < 2 ; יורדת: 2 < x < 3
סעיף ד – סקיצה
הגרף נמצא בין האסימפטוטות x = 1 ו־x = 3, עולה ממינוס אין־סוף עד המקסימום (2 , 0) – שם הוא נוגע בציר ה־x – ויורד שוב למינוס אין־סוף. כל שאר הגרף מתחת לציר.
✅ פתרון סופי: סקיצה (ראו למעלה)
סעיף ה – איזו טענה נכונה
הגרף של g(x) = f(x) + b הוא הגרף של f(x) מוזז ב־b יחידות למעלה או למטה. נקודת המקסימום עוברת ל־(2 , b).
📐 הזזה אנכיתf(x) + b – הזזה ב־b לאורך ציר ה־yטענה (1): כאשר b < 0, הנקודה הגבוהה ביותר (2 , b) נמצאת מתחת לציר ה־x, ולכן כל הגרף מתחת לציר – אין חיתוך. הטענה לא נכונה.
טענה (2): כאשר b > 0, המקסימום (2 , b) מעל הציר, והגרף יורד למינוס אין־סוף בשני הצדדים, ולכן הוא חותך את ציר ה־x פעם משמאל ל־x = 2 ופעם מימין לו. הטענה נכונה.
✅ פתרון סופי: טענה (2) נכונה
סעיף ו – נקודות החיתוך של g(x) עם ציר ה־x
המשיק בנקודת הקיצון אופקי, ולכן הוא הישר y = b (שיעור ה־y של המקסימום של g). מכאן:
b = −ln(0.75)📐 משיק בנקודת קיצוןm = 0 ⟸ y = yקיצון
חיתוך עם ציר ה־x: g(x) = 0:
ln(−x2 + 4x − 3) − ln(0.75) = 0 ⟸ ln(−x2 + 4x − 3) = ln(0.75)
−x2 + 4x − 3 = 0.75📐 השוואת לוגריתמיםln u = ln w ⟺ u = w
x2 − 4x + 3.75 = 0
x = 4 ± √(16 − 15)2 = 4 ± 12📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x1 = 2.5 x2 = 1.5 – שתיהן בתחום 1 < x < 3.
✅ פתרון סופי: (1.5 , 0) , (2.5 , 0)
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | (1) 1 < x < 3 ; (2) x = 1 , x = 3 |
|---|---|
| סעיף ב | מקסימום (2 , 0) |
| סעיף ג | עולה 1 < x < 2 ; יורדת 2 < x < 3 |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה | טענה (2) |
| סעיף ו | (1.5 , 0) , (2.5 , 0) |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 20 – חקירת ln, מבוסס על קיץ 2021 מיוחד
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2021 מועד מיוחד (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – קיץ 2021 מועד ב׳, שאלה 5 פרמטר · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 3x · ln(ax). a > 0 הוא פרמטר.
א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
נתון כי לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x = 13e.
ב. מצא את a.
הצב a = 3 וענה על הסעיפים ג–ו.
ג. מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.
ד. מצא את שיעור ה־y של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוג הקיצון.
ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ו. נתונה הפונקציה g(x) שתחום הגדרתה זהה לתחום הגדרתה של הפונקציה f(x). פונקציית הנגזרת g′(x) מקיימת g′(x) = −f(x). האם לפונקציה g(x) יש נקודת קיצון? אם כן – מצא את שיעור ה־x של נקודת הקיצון של g(x), וקבע את סוגה. אם לא – נמק.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום ההגדרה
ax > 0📐 תחום הגדרה של lnln u מוגדר רק כאשר u > 0
נתון a > 0, ולכן מחלקים ב־a בלי להפוך את סימן אי־השוויון:
x > 0
✅ פתרון סופי: x > 0
סעיף ב – מציאת a
גוזרים לפי נגזרת מכפלה, עם u = 3x ו־v = ln(ax):
(ln(ax))′ = aax = 1x📐 נגזרת של ln של פונקציה(ln g)′ = g′g
f′(x) = 3 · ln(ax) + 3x · 1x = 3ln(ax) + 3📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
בנקודת קיצון הנגזרת שווה לאפס. מציבים x = 13e:
3ln(a · 13e) + 3 = 0
ln(a3e) = −1
a3e = e−1 = 1e📐 משוואה עם lnln u = k ⟺ u = ek
כופלים את שני האגפים ב־3e:
a = 3e · 1e = 3
a = 3 > 0, כנדרש.
✅ פתרון סופי: a = 3
סעיף ג – חיתוך עם ציר ה־x
עכשיו f(x) = 3x · ln(3x). פותרים f(x) = 0. מכפלה שווה לאפס כשאחד הגורמים שווה לאפס:
3x = 0 ⟸ x = 0 – לא בתחום ההגדרה, נפסל.
ln(3x) = 0 ⟸ 3x = 1 ⟸ x = 13📐 משוואה עם lnln u = 0 ⟺ u = 1
✅ פתרון סופי: (13 , 0)
סעיף ד – שיעור ה־y וסוג הקיצון
מציבים x = 13e בפונקציה. שימו לב: 3 · 13e = 1e:
f(13e) = 3 · 13e · ln(1e) = 1e · (−1) = −1e ≈ −0.37📐 ln של חזקה של eln 1e = ln e−1 = −1
בודקים את סימן הנגזרת f′(x) = 3ln(3x) + 3 משני צדי x = 13e ≈ 0.12:
x = 0.05 : 3ln(0.15) + 3 ≈ 3 · (−1.90) + 3 ≈ −2.69 < 0 ← יורדת
x = 1 : 3ln 3 + 3 ≈ 6.30 > 0 ← עולה
| x | f′(x) | f(x) |
|---|---|---|
| 0 < x < 13e | − | ↘ יורדת |
| 13e | 0 | מינימום |
| x > 13e | + | ↗ עולה |
יורדת ואז עולה – מינימום.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימום✅ פתרון סופי: y = −1e ≈ −0.37 , מינימום
סעיף ה – סקיצה
מרכזים את מה שמצאנו: התחום x > 0; כש־x שואף ל־0 מימין, 3x שואף ל־0 מהר יותר משהלוגריתם שואף למינוס אין־סוף, והגרף מתקרב לראשית מלמטה (נקודה ריקה, כי x = 0 לא בתחום).
הגרף יורד עד המינימום (13e , −1e), עולה, חותך את ציר ה־x ב־(13 , 0) וממשיך לעלות.
✅ פתרון סופי: סקיצה: יורדת עד המינימום (0.12 , −0.37) , עולה וחותכת את ציר ה־x ב־(13 , 0)
סעיף ו – נקודת קיצון של g(x)
נקודת קיצון של g(x) נמצאת במקום שבו g′(x) = 0 והסימן של g′(x) מתחלף.
g′(x) = −f(x) = 0 ⟸ f(x) = 0 ⟸ x = 13 (סעיף ג)
הסימן של g′(x) הפוך לסימן של f(x). לפי הסקיצה:
0 < x < 13 : f(x) < 0 ⟸ g′(x) > 0 ← עולה
x > 13 : f(x) > 0 ⟸ g′(x) < 0 ← יורדת
עולה ואז יורדת – ל־g(x) יש מקסימום ב־x = 13.
📐 סוג הקיצוןg′: פלוס ← מינוס = מקסימום✅ פתרון סופי: כן – מקסימום ב־x = 13
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x > 0 |
|---|---|
| סעיף ב | a = 3 |
| סעיף ג | (13 , 0) |
| סעיף ד | y = −1e , מינימום (ב־x = 13e) |
| סעיף ה | סקיצה |
| סעיף ו | כן, מקסימום ב־x = 13 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – מציאת פרמטר: קיצון עם מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2021 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – קיץ 2019 מועד ב׳, שאלה 5 פרמטר · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 1 + ln xax. a > 0 הוא פרמטר.
א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)?
ב. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).
ג. מצא את שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.
ד. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).
נתון כי שיעור ה־y של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) הוא 14.
ה. (1) מצא את הערך של a. (2) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ו. נתונה הפונקציה g(x) = −f(x). מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), וקבע את סוגה.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום ההגדרה
צריך x > 0 בשביל ln x, וגם ax ≠ 0 – מתקיים כש־x > 0.
📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0✅ פתרון סופי: x > 0
סעיף ב – נקודות חיתוך עם הצירים
ציר ה־y: x = 0 לא בתחום – אין חיתוך. ציר ה־x: שבר שווה לאפס כשהמונה שווה לאפס:
1 + ln x = 0 ⟸ ln x = −1 ⟸ x = e−1 = 1e📐 משוואה עם lnln x = k ⟺ x = ek
✅ פתרון סופי: (1e , 0)
סעיף ג – נקודת הקיצון
נגזרת מנה עם u = 1 + ln x (u′ = 1x) ו־v = ax (v′ = a):
f′(x) = 1x · ax − (1 + ln x) · aa2x2📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= a − a − a · ln xa2x2 = −ln xax2
f′(x) = 0 ⟸ ln x = 0 ⟸ x = 1
המכנה ax2 חיובי, ולכן הסימן הפוך לסימן ln x:
0 < x < 1 : ln x < 0 ⟸ f′ > 0 ← עולה
x > 1 : ln x > 0 ⟸ f′ < 0 ← יורדת
עולה ואז יורדת – מקסימום.
📐 סוג הקיצוןf′: פלוס ← מינוס = מקסימום✅ פתרון סופי: מקסימום ב־x = 1
סעיף ד – תחומי עלייה וירידה
לפי סעיף ג:
✅ פתרון סופי: עולה: 0 < x < 1 ; יורדת: x > 1
סעיף ה – הערך של a וסקיצה
f(1) = 1 + ln 1a · 1 = 1a
1a = 14 ⟸ a = 4
(2) f(x) = 1 + ln x4x. כש־x שואף ל־0 מימין, המונה שואף למינוס אין־סוף והמכנה ל־0 – הגרף יורד למינוס אין־סוף לאורך ציר ה־y. הגרף עולה, חותך את הציר ב־(1e , 0), מגיע למקסימום (1 , 14) ויורד לאט לכיוון ציר ה־x (נשאר מעליו).
✅ פתרון סופי: (1) a = 4
סעיף ו – נקודת הקיצון של g(x)
g(x) = −f(x) – שיקוף של הגרף בציר ה־x. שיעור ה־x נשאר, שיעור ה־y מחליף סימן, והמקסימום הופך למינימום.
📐 שיקוף בציר ה־x−f(x): (x , y) → (x , −y)✅ פתרון סופי: מינימום (1 , −14)
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x > 0 |
|---|---|
| סעיף ב | (1e , 0) |
| סעיף ג | מקסימום ב־x = 1 |
| סעיף ד | עולה 0 < x < 1 ; יורדת x > 1 |
| סעיף ה | a = 4 |
| סעיף ו | מינימום (1 , −14) |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – קיצון עם מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2019 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – קיץ 2019 מועד א׳, שאלה 5 פרמטר
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ln(−x2 + ax), שתחום ההגדרה שלה הוא 0 < x < a. a > 0 הוא פרמטר.
ידוע כי לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון.
א. הראה כי שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) הוא a2.
נתון כי שיעור ה־y של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) הוא ln(94).
ב. מצא את a.
ג. קבע את הסוג של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x).
ד. (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x. בתשובתך השאר 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית. (2) מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לציר ה־x. (3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – שיעור ה־x של נקודת הקיצון
f′(x) = −2x + a−x2 + ax📐 נגזרת של ln של פונקציה(ln u)′ = u′u
f′(x) = 0 ⟸ −2x + a = 0 ⟸ x = a2
a2 נמצא בתחום 0 < x < a, וזה מה שהיה צריך להראות.
✅ פתרון סופי: x = a2
סעיף ב – מציאת a
f(a2) = ln(−a24 + a22) = ln(a24)
ln(a24) = ln(94) ⟸ a2 = 9📐 השוואת לוגריתמיםln u = ln w ⟺ u = w
a > 0, ולכן:
✅ פתרון סופי: a = 3
סעיף ג – סוג נקודת הקיצון
f′(x) = −2x + 3x(3 − x)
בתחום 0 < x < 3 המכנה חיובי, ולכן הסימן הוא סימן −2x + 3:
x = 1 : −2 + 3 = 1 > 0 ← עולה
x = 2 : −4 + 3 = −1 < 0 ← יורדת
עולה ואז יורדת – מקסימום.
📐 סוג הקיצוןf′: פלוס ← מינוס = מקסימום✅ פתרון סופי: מקסימום (1.5 , ln 94)
סעיף ד – חיתוך, אסימפטוטות וסקיצה
עכשיו f(x) = ln(−x2 + 3x). (1) ציר ה־x:
−x2 + 3x = 1 ⟸ x2 − 3x + 1 = 0📐 ln שווה אפסln u = 0 ⟺ u = 1
x = 3 ± √(9 − 4)2 = 3 ± √52📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x1 ≈ 0.38 x2 ≈ 2.62
(2) בקצוות התחום −x2 + 3x שואף ל־0 מצד חיובי והלוגריתם למינוס אין־סוף – אסימפטוטות x = 0 ו־x = 3.
📐 אסימפטוטה אנכית של lnln u → −∞ כאשר u → 0+(3) בין האסימפטוטות: הגרף עולה ממינוס אין־סוף, חותך את הציר ב־0.38, מגיע למקסימום (1.5 , ln 94) ≈ (1.5 , 0.81), יורד, חותך ב־2.62 ושואף למינוס אין־סוף.
✅ פתרון סופי: (1) (0.38 , 0) , (2.62 , 0)
(2) x = 0 , x = 3
(2) x = 0 , x = 3
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x = a2 |
|---|---|
| סעיף ב | a = 3 |
| סעיף ג | מקסימום |
| סעיף ד | (0.38 , 0) , (2.62 , 0) x = 0 , x = 3 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 21 – קיץ 2019
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2019 מועד א׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – חורף 2018, שאלה 5 פרמטר · שטח · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 2ln x + 33.
א. (1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)? (2) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (3) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה). (4) כתוב את משוואת האסימפטוטה האנכית של הפונקציה f(x). (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ב. (1) כתוב את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת f′(x). (2) סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x).
b > 1 הוא פרמטר. השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x, על ידי הישר x = 1 ועל ידי הישר x = b שווה ל־ln 4.
ג. מצא את הערך של b.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – חקירת f(x)
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0
(2) ציר ה־y: x = 0 לא בתחום – אין חיתוך. ציר ה־x:
2ln x + 3 = 0 ⟸ ln x = −32 ⟸ x = e−1.5 ≈ 0.22📐 משוואה עם lnln x = k ⟺ x = ek
f′(x) = 13 · 2 · 1x = 23x📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
(3) בתחום x > 0 הנגזרת חיובית תמיד – הפונקציה עולה בכל התחום, ואין תחומי ירידה.
(4) כש־x שואף ל־0 מימין, ln x שואף למינוס אין־סוף – האסימפטוטה x = 0.
(5) הגרף עולה ממינוס אין־סוף ליד ציר ה־y, וחותך את ציר ה־x ב־(e−1.5 , 0).
✅ פתרון סופי: (1) x > 0
(2) (e−1.5 , 0)
(3) עולה x > 0
(4) x = 0
(2) (e−1.5 , 0)
(3) עולה x > 0
(4) x = 0
סעיף ב – גרף הנגזרת
f′(x) = 23x, מוגדרת כש־x > 0.
כש־x שואף ל־0 מימין, המכנה שואף ל־0 והשבר לפלוס אין־סוף – אסימפטוטה אנכית x = 0. כש־x שואף לאין־סוף, השבר שואף ל־0 – אסימפטוטה אופקית y = 0.
📐 אסימפטוטות של שברמכנה ← 0 : אנכיתמכנה ← ∞ : אופקית(2) הגרף כולו מעל ציר ה־x (ענף של היפרבולה) ויורד:
✅ פתרון סופי: (1) x = 0 , y = 0
סעיף ג – מציאת b
f′(x) > 0, ולכן השטח הוא האינטגרל עצמו. הפונקציה הקדומה של f′ היא f:
S = ∫b1 f′(x) dx = f(b) − f(1)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)
= 2ln b + 33 − 0 + 33 = 23 ln b
23 ln b = ln 4 ⟸ ln b = 32 ln 4
ln b = ln 432 = ln 8 ⟸ b = 8📐 חוק החזקה של lnn · ln a = ln(an)
✅ פתרון סופי: b = 8
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x > 0 ; (e−1.5 , 0) עולה x > 0 ; x = 0 |
|---|---|
| סעיף ב | x = 0 , y = 0 |
| סעיף ג | b = 8 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27 – מציאת שטח
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף 2018 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – קיץ 2016 מועד ב׳, שאלה 5 פרמטר · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = xm − ln(x4). m הוא מספר טבעי.
א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
ב. נתון שלפונקציה f(x) יש נקודת קיצון ששיעור ה־x שלה שווה ל־1. מצא את הערך של m.
ג. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן.
ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ה. נתונה פונקציה g(x) המקיימת: g(x) = f(x) − 3. כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x? נמק.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום ההגדרה
x4 > 0 ⟸ x ≠ 0📐 תחום הגדרה של lnln u מוגדר רק כאשר u > 0
✅ פתרון סופי: x ≠ 0
סעיף ב – מציאת m
f′(x) = m · xm − 1 − 4x3x4 = m · xm − 1 − 4x📐 נגזרת של ln של פונקציה(ln u)′ = u′u
f′(1) = m − 4 = 0 ⟸ m = 4📐 תנאי לקיצוןf′(x0) = 0
✅ פתרון סופי: m = 4
סעיף ג – נקודות הקיצון
f′(x) = 4x3 − 4x = 4(x4 − 1)x
x4 = 1 ⟸ x = ±1
| x | x4 − 1 | x | f′(x) | f(x) |
|---|---|---|---|---|
| x < −1 | + | − | − | ↘ |
| −1 < x < 0 | − | − | + | ↗ |
| 0 < x < 1 | − | + | − | ↘ |
| x > 1 | + | + | + | ↗ |
f(±1) = 1 − ln 1 = 1📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימום
✅ פתרון סופי: מינימום (1 , 1) , מינימום (−1 , 1)
סעיף ד – סקיצה
הפונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־y. ליד x = 0 האיבר −ln(x4) שואף לפלוס אין־סוף (x = 0 אסימפטוטה אנכית), ובקצוות x4 שולט והגרף עולה. בכל ענף מינימום אחד בגובה 1.
✅ פתרון סופי: סקיצה (ראו למעלה)
סעיף ה – מספר נקודות החיתוך של g(x)
g(x) = f(x) − 3 – הזזה של הגרף ב־3 יחידות למטה. נקודות המינימום עוברות ל־(±1 , −2), מתחת לציר ה־x.
📐 הזזה אנכיתf(x) + k – הזזה ב־k לאורך ציר ה־yבכל ענף הגרף יורד מפלוס אין־סוף אל מתחת לציר ועולה בחזרה לפלוס אין־סוף – חותך את הציר פעמיים. שני ענפים:
✅ פתרון סופי: 4 נקודות חיתוך
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x ≠ 0 |
|---|---|
| סעיף ב | m = 4 |
| סעיף ג | מינימום (1 , 1) , (−1 , 1) |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה | 4 נקודות |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 10 – נגזרת מורכבת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2016 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📈 ללא פרמטר
📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 5 שטח · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = x2−6 + 4ln x.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־x של הפונקצייה f(x).
ב. האם גרף הפונקצייה f(x) חותך את ציר ה־x? נמקו את תשובתכם.
ג. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. (2) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).
תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת f′(x) זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
ד. (1) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקצייה f(x), ואיזה מהם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את קביעותיכם. (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = e3.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
שני תנאים: ה־ln צריך להיות מוגדר, והמכנה לא יכול להיות 0.
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0
המכנה שונה מ־0:
−6 + 4ln x ≠ 0
בודקים מתי המכנה שווה 0:
4ln x = 6
ln x = 64 = 1.5
x = e1.5 ≈ 4.48📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ e1.5 (כלומר 0 < x < e1.5 או x > e1.5)
סעיף א (2) – האסימפטוטה האנכית
ב־x = e1.5 המכנה מתאפס. בודקים את המונה שם:
(e1.5)2 = e1.5 · 2 = e3 ≈ 20.09 ≠ 0📐 חזקה של חזקה(am)n = am · n
המכנה 0 והמונה לא 0, ולכן יש אסימפטוטה אנכית ב־x = e1.5.
📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0ב־x = 0 (קצה התחום) אין אסימפטוטה: כשמתקרבים ל־0 המונה מתקרב ל־0 והמכנה שלילי וגדול, כך ש־f מתקרבת ל־0. למשל f(0.01) = 0.0001−6 + 4 · (−4.605) ≈ −0.000004.
✅ פתרון סופי: x = e1.5 (בערך x ≈ 4.48)
סעיף ב – האם הגרף חותך את ציר ה־x?
שבר שווה 0 רק כשהמונה שווה 0:
x2 = 0
x = 0
אבל x = 0 לא בתחום ההגדרה (צריך x > 0).
📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0✅ פתרון סופי: לא – הנקודה היחידה שמאפסת את המונה, x = 0, לא בתחום ההגדרה.
סעיף ג (1) – נקודת הקיצון
הפונקצייה היא מנה: u = x2 , v = −6 + 4ln x.
המונה של f′(x): (x2)′ · (−6 + 4ln x) − x2 · (−6 + 4ln x)′
📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2המכנה של f′(x): (−6 + 4ln x)2
(x2)′ = 2x📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn − 1
(−6 + 4ln x)′ = 0 + 4 · 1x = 4x📐 נגזרת ln(ln x)′ = 1x
המונה של הנגזרת:
2x(−6 + 4ln x) − x2 · 4x
= −12x + 8x ln x − 4x
= 8x ln x − 16x = 8x(ln x − 2)
f′(x) = 8x(ln x − 2)(−6 + 4ln x)2
8x(ln x − 2) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
בתחום x > 0, ולכן 8x ≠ 0. נשאר:
ln x − 2 = 0
ln x = 2
x = e2 ≈ 7.39📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
סוג הקיצון: המכנה בריבוע חיובי, ו־8x > 0, ולכן סימן הנגזרת הוא סימן של ln x − 2. בודקים משני הצדדים של e2:
x = e1.8 : ln x − 2 = 1.8 − 2 = −0.2 < 0 ← יורדת
x = e3 : ln x − 2 = 3 − 2 = 1 > 0 ← עולה
יורדת ואז עולה – מינימום.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימוםשיעור ה־y:
f(e2) = (e2)2−6 + 4ln(e2)📐 חזקה של חזקה(am)n = am · n
ln(e2) = 2 ← f(e2) = e4−6 + 4 · 2 = e42 ≈ 27.30📐 ln של חזקת eln(ek) = k
✅ פתרון סופי: מינימום (e2 , e42) ≈ (7.39 , 27.30)
סעיף ג (2) – תחומי עלייה וירידה
הנגזרת שלילית כש־ln x < 2 (כלומר x < e2) וחיובית כש־x > e2. צריך לזכור שהאסימפטוטה x = e1.5 חוצה את תחום הירידה לשני חלקים (הפונקצייה לא מוגדרת שם).
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת| x | f′(x) | f(x) |
|---|---|---|
| 0 < x < e1.5 | − | ↘ יורדת |
| e1.5 | לא מוגדרת | אסימפטוטה |
| e1.5 < x < e2 | − | ↘ יורדת |
| e2 | 0 | מינימום |
| x > e2 | + | ↗ עולה |
✅ פתרון סופי: ירידה: 0 < x < e1.5 , e1.5 < x < e2 ; עלייה: x > e2
סעיף ד (1) – זיהוי הגרפים
הגרף של f(x): משמאל לאסימפטוטה (0 < x < e1.5) מתקיים ln x < 1.5, ולכן המכנה −6 + 4ln x < 0, בעוד שהמונה x2 > 0. לכן שם f(x) < 0 – הגרף מתחת לציר ה־x, יורד לכיוון האסימפטוטה. מימין לאסימפטוטה הגרף יורד עד המינימום (7.39 , 27.30) ואז עולה.
רק בגרף III הענף השמאלי מתחת לציר ה־x (בגרף IV הוא מעל הציר), ולכן f(x) הוא גרף III.
הגרף של f′(x): מסעיף ג: f′ < 0 בשני החלקים שמשמאל ל־e2, f′ = 0 ב־x = e2, ו־f′ > 0 מימינה. כלומר הגרף מתחת לציר ה־x משני צידי האסימפטוטה, חותך את ציר ה־x פעם אחת מימין לאסימפטוטה, ואחר כך מעל הציר.
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדתגרף II מתאים לזה. בגרף I הענף השמאלי מעל ציר ה־x, ושם הנגזרת שלילית – לא מתאים.
✅ פתרון סופי: f(x) – גרף III ; f′(x) – גרף II
סעיף ד (2) – השטח
הגרף של f′ חותך את ציר ה־x ב־x = e2 (סעיף ג). משמאל ל־e2 הנגזרת שלילית ויורדת למינוס אינסוף ליד האסימפטוטה – שם אין שטח סגור. לכן השטח המוגבל על ידי f′, ציר ה־x והישר x = e3 הוא בין x = e2 ל־x = e3, ושם f′ ≥ 0.
S = ∫e2e3 f′(x) dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫ab h(x) dx , h ≥ 0
הפונקצייה הקדומה של f′ היא f עצמה:
S = f(e3) − f(e2)📐 אינטגרל של נגזרת∫ab f′(x) dx = f(b) − f(a)
f(e3) = (e3)2−6 + 4ln(e3) = e6−6 + 4 · 3 = e66📐 חזקה של חזקה(am)n = am · n
ln(e3) = 3📐 ln של חזקת eln(ek) = k
f(e2) = e42 (מסעיף ג)
S = e66 − e42
≈ 67.238 − 27.299 ≈ 39.94
✅ פתרון סופי: S = e66 − e42 ≈ 39.94 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | x > 0 , x ≠ e1.5 |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = e1.5 |
| סעיף ב | לא |
| סעיף ג (1) | מינימום (e2 , e4/2) ≈ (7.39 , 27.30) |
| סעיף ג (2) | ירידה: 0 < x < e1.5 , e1.5 < x < e2 עלייה: x > e2 |
| סעיף ד (1) | f – גרף III f′ – גרף II |
| סעיף ד (2) | e6/6 − e4/2 ≈ 39.94 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – תחום הגדרה וקיצון עם מנה ופונקציה מורכבת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 5 הזזות · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) המוגדרות בתחום x > 0. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x). כל נקודות הקיצון ונקודות החיתוך עם ציר ה־x של גרף הנגזרת f′(x) מופיעות בסרטוט.
א. לפניכם שני היגדים I–II. קבעו בעבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם.
I. לפונקצייה f(x) יש בדיוק שלוש נקודות קיצון.
II. שיעור ה־x של נקודת המינימום של הפונקצייה f(x) גדול משיעור ה־x של נקודת המקסימום שלה.
נתון כי f(x) = 14(ln x)2x2.
ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן. (3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).
נתונה הפונקצייה g(x) = f(x − 4).
ד. (1) מהו תחום ההגדרה של הפונקצייה g(x)? (2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה g(x), וקבעו את סוגן.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – נכון או לא נכון (לפי גרף הנגזרת)
לפונקצייה f יש נקודת קיצון רק במקום שבו f′ מתאפסת ומחליפה סימן, כלומר במקום שבו גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x.
f′(x0) = 0 וגם f′ מחליפה סימן📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
בסרטוט גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x בשתי נקודות בלבד. נקרא להן x1 < x2:
• משמאל ל־x1 גרף הנגזרת מתחת לציר: f′ < 0, ולכן f יורדת.
• בין x1 ל־x2 גרף הנגזרת מעל הציר: f′ > 0, ולכן f עולה.
יורדת ואחר כך עולה ← ב־x1 יש מינימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
• אחרי x2 גרף הנגזרת שוב מתחת לציר: f′ < 0, ולכן f יורדת.
עולה ואחר כך יורדת ← ב־x2 יש מקסימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
• נקודות הקיצון של גרף הנגזרת עצמו – ה"פסגה" וה"עמק" שלו – הן לא נקודות קיצון של f, כי שם f′ ≠ 0.
היגד I: ל־f יש בדיוק שתי נקודות קיצון, ב־x1 וב־x2, ולא שלוש ← לא נכון.
היגד II: המינימום ב־x1 והמקסימום ב־x2, ו־x1 < x2. כלומר שיעור ה־x של המינימום קטן משל המקסימום ← לא נכון.
בסעיף ב נמצא ש־x1 = 1 ו־x2 = e, וזה מאשר את הקריאה מהגרף.
✅ פתרון סופי: היגד I – לא נכון (שתי נקודות קיצון). היגד II – לא נכון (המינימום משמאל למקסימום)
סעיף ב (1) – חיתוך עם הצירים
ציר ה־y: צריך להציב x = 0, אבל הפונקצייה מוגדרת רק ל־x > 0 ← אין חיתוך עם ציר ה־y.
ציר ה־x: משווים ל־0. שבר שווה 0 כשהמונה 0 (המכנה x2 חיובי):
14(ln x)2x2 = 0
(ln x)2 = 0
ln x = 0
x = e0 = 1📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
✅ פתרון סופי: אין חיתוך עם ציר ה־y; חיתוך עם ציר ה־x: (1 , 0)
סעיף ב (2) – נקודות הקיצון
גוזרים לפי כלל המנה, עם u = 14(ln x)2 ו־v = x2.
u′ = 14 · 2 ln x · 1x = 28 ln xx📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[g(x)n]′ = n · g(x)n − 1 · g′(x)
(ln x)′ = 1x📐 נגזרת ln(ln x)′ = 1x
v′ = 2x📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn − 1
f′(x) = 28 ln xx · x2 − 14(ln x)2 · 2x(x2)2📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
מפשטים: 28 ln xx · x2 = 28x ln x ו־(x2)2 = x4:
f′(x) = 28x ln x − 28x(ln x)2x4
מוציאים גורם משותף 28x ln x במונה ומצמצמים x:
f′(x) = 28x ln x (1 − ln x)x4 = 28 ln x (1 − ln x)x3
משווים את הנגזרת ל־0 (המכנה x3 חיובי, אז המונה 0):
28 ln x (1 − ln x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
ln x = 0 ⟸ x = e0 = 1📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
1 − ln x = 0 ⟸ ln x = 1 ⟸ x = e1 = e📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
שיעורי ה־y:
f(1) = 14 · 0212 = 0
f(e) = 14 · (ln e)2e2 = 14 · 1e2 = 14e2 ≈ 1.89📐 ln של eln e = 1
סוג הנקודות – סימן הנגזרת בכל תחום (המכנה חיובי, בודקים את המונה 28 ln x (1 − ln x)):
x = 0.5 : ln 0.5 ≈ −0.69 < 0 , 1 − ln 0.5 > 0 ← f′ < 0 יורדת
x = 2 : ln 2 ≈ 0.69 > 0 , 1 − 0.69 = 0.31 > 0 ← f′ > 0 עולה
x = 3 : ln 3 ≈ 1.10 > 0 , 1 − 1.10 = −0.10 < 0 ← f′ < 0 יורדת
ב־x = 1: ממינוס לפלוס ← מינימום. ב־x = e: מפלוס למינוס ← מקסימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
✅ פתרון סופי: מינימום (1 , 0)
מקסימום (e , 14e2) ≈ (2.72 , 1.89)
מקסימום (e , 14e2) ≈ (2.72 , 1.89)
סעיף ב (3) – תחומי עלייה וירידה
לפי טבלת הסימנים של סעיף ב (2), בתחום ההגדרה x > 0:
f′ < 0 ב־0 < x < 1 וב־x > e; f′ > 0 ב־1 < x < e.
f′ > 0 ← עולה; f′ < 0 ← יורדת📐 עלייה וירידה לפי הנגזרתf′(x) > 0 ← הפונקצייה עולהf′(x) < 0 ← הפונקצייה יורדת
✅ פתרון סופי: עלייה: 1 < x < e; ירידה: 0 < x < 1 וגם x > e
סעיף ג – סקיצה
מה שמצאנו: מוגדרת רק ל־x > 0; יורדת עד המינימום (1 , 0) (שהוא גם החיתוך עם ציר ה־x), עולה עד המקסימום (e , 1.89), ואחר כך יורדת.
f(x) ≥ 0 לכל x בתחום: (ln x)2 ≥ 0 ו־x2 > 0. לכן הגרף אף פעם לא יורד מתחת לציר ה־x, והוא רק נוגע בו ב־(1 , 0).
ליד x = 0 (מימין) הגרף עולה מאוד גבוה (למשל f(0.5) ≈ 26.9), וכש־x גדל הגרף יורד ומתקרב לציר ה־x מלמעלה (למשל f(10) ≈ 0.74).
הגרף שלמטה סורטט בקנה מידה מהפונקצייה עצמה:
✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט
סעיף ד (1) – תחום ההגדרה של g
g(x) = f(x − 4) = 14(ln(x − 4))2(x − 4)2
f מוגדרת רק כשהקלט שלה חיובי, ולכן צריך:
x − 4 > 0📐 תחום הגדרה של lnln t מוגדר רק כש־t > 0
x > 4
✅ פתרון סופי: x > 4
סעיף ד (2) – נקודות הקיצון של g
g(x) = f(x − 4) היא הזזה של הגרף של f ב־4 יחידות ימינה. כל נקודה (x , y) על הגרף של f עוברת ל־(x + 4 , y), והסוג שלה לא משתנה:
(1 , 0) → (1 + 4 , 0) = (5 , 0)📐 הזזה אופקיתg(x) = f(x − k) (x , y) → (x + k , y)
(e , 14e2) → (e + 4 , 14e2)📐 הזזה אופקיתg(x) = f(x − k) (x , y) → (x + k , y)
e + 4 ≈ 6.72 , 14e2 ≈ 1.89
בדיקה: g′(x) = f′(x − 4) מתאפסת כש־x − 4 = 1 או x − 4 = e, כלומר ב־x = 5 וב־x = e + 4 ✓
✅ פתרון סופי: מינימום (5 , 0)
מקסימום (e + 4 , 14e2) ≈ (6.72 , 1.89)
מקסימום (e + 4 , 14e2) ≈ (6.72 , 1.89)
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | I – לא נכון, II – לא נכון |
|---|---|
| סעיף ב (1) | (1 , 0); אין חיתוך עם ציר ה־y |
| סעיף ב (2) | מינימום (1 , 0) מקסימום (e , 14e2) |
| סעיף ב (3) | עלייה: 1 < x < e ירידה: 0 < x < 1 וגם x > e |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד (1) | x > 4 |
| סעיף ד (2) | מינימום (5 , 0) מקסימום (e + 4 , 14e2) |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – תחום הגדרה וקיצון עם מנה ופונקציה מורכבת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 5 שטח · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
הפונקצייה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרות בתחום x > 0. לפונקצייה f(x) יש נקודת מינימום אחת בלבד ונקודת מקסימום אחת בלבד. נתון כי נקודת המינימום נמצאת מימין לנקודת המקסימום.
א. אחד מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.
נתון כי f(x) = 3x · (ln x)2.
ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.
ג. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את הפונקצייה f(x).
ד. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – איזה גרף מתאר את f′(x)?
ל־f יש קודם מקסימום ואחר כך מינימום (המינימום מימין). לכן f עולה, אחר כך יורדת, ואחר כך עולה שוב.
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדתבהתאם, f′ חיובית, אחר כך שלילית, ואחר כך חיובית: הגרף של f′ מעל ציר ה־x, יורד וחוצה אותו (במקסימום של f), נמצא מתחתיו, ושוב חוצה אותו כלפי מעלה (במינימום) – בדיוק שתי חציות.
גרף I: מתחת, מעל ושוב מתחת – זה מינימום ואחריו מקסימום, הפוך מהנתון. גרף III: מחליף סימן שלוש פעמים – שלוש נקודות קיצון. גרף IV: לא יורד מתחת לציר ה־x, רק נוגע בו – אין החלפת סימן ואין קיצון. גרף II: מעל, מתחת ושוב מעל – מתאים.
✅ פתרון סופי: גרף II מתאר את f′(x)
סעיף ב (1) – נקודות החיתוך עם הצירים
ציר y: צריך x = 0, אבל התחום הוא x > 0 – אין חיתוך עם ציר y.
📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0ציר x: f(x) = 0:
3x · (ln x)2 = 0
3x ≠ 0 (כי x > 0), ולכן:
(ln x)2 = 0 ln x = 0
x = e0 = 1📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
✅ פתרון סופי: (1 , 0) בלבד
סעיף ב (2) – נקודות הקיצון
מכפלה: u = 3x , v = (ln x)2.
f′(x) = (3x)′ · (ln x)2 + 3x · ((ln x)2)′📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
(3x)′ = 3📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn − 1
((ln x)2)′ = 2 ln x · 1x📐 נגזרת של חזקה של ln((ln x)2)′ = 2 ln x · 1x
f′(x) = 3(ln x)2 + 3x · 2 ln x · 1x
= 3(ln x)2 + 6 ln x = 3 ln x (ln x + 2)
3 ln x (ln x + 2) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
ln x = 0 ⟸ x = e0 = 1 או ln x = −2 ⟸ x = e−2 ≈ 0.135📐 הגדרת lnln x = k ⟺ x = ek
סימן הנגזרת – בודקים נקודה בכל תחום:
x = e−3 : 3 · (−3) · (−1) = 9 > 0 ← עולה
x = e−1 : 3 · (−1) · 1 = −3 < 0 ← יורדת
x = e : 3 · 1 · 3 = 9 > 0 ← עולה
| x | f′(x) | f(x) |
|---|---|---|
| 0 < x < e−2 | + | ↗ עולה |
| e−2 | 0 | מקסימום |
| e−2 < x < 1 | − | ↘ יורדת |
| 1 | 0 | מינימום |
| x > 1 | + | ↗ עולה |
עולה ואז יורדת – מקסימום ב־x = e⁻²; יורדת ואז עולה – מינימום ב־x = 1.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימוםf(e−2) = 3e−2 · (ln e−2)2 = 3e−2 · (−2)2 = 12e−2 = 12e2 ≈ 1.62📐 ln של חזקת eln(ek) = k
f(1) = 3 · 1 · (ln 1)2 = 3 · 0 = 0
✅ פתרון סופי: מקסימום (e−2 , 12e2) ≈ (0.135 , 1.62) , מינימום (1 , 0)
סעיף ג – איזה גרף מתאר את f(x)?
f(x) = 3x(ln x)2 ≥ 0 לכל x > 0 (מכפלה של מספר חיובי בריבוע), ונוגעת בציר ה־x רק ב־(1 , 0), שהיא נקודת מינימום. לפניה יש מקסימום ב־(0.135 , 1.62), וכש־x מתקרב ל־0 גם f מתקרבת ל־0 (למשל f(0.001) ≈ 0.14).
גרף IV הוא היחיד שכולו מעל ציר ה־x, יוצא מהראשית, עולה למקסימום, יורד ונוגע בציר ה־x, ואחר כך עולה.
✅ פתרון סופי: גרף IV
סעיף ד – השטח בין f′(x) לציר ה־x
f′ חותכת את ציר ה־x ב־x = e−2 וב־x = 1, וביניהן היא שלילית (מתחת לציר). משמאל ל־e−2 ומימין ל־1 הגרף עולה לאינסוף ולא סוגר שטח. לכן השטח הסגור הוא בין e−2 ל־1, מתחת לציר:
S = −∫e−21 f′(x) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = −∫ab h(x) dx , h ≤ 0
= −[f(1) − f(e−2)] = f(e−2) − f(1)📐 אינטגרל של נגזרת∫ab f′(x) dx = f(b) − f(a)
= 12e2 − 0 = 12e2 ≈ 1.62
✅ פתרון סופי: S = 12e2 ≈ 1.62 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | גרף II |
|---|---|
| סעיף ב (1) | (1 , 0); אין חיתוך עם ציר y |
| סעיף ב (2) | מקסימום (e−2 , 12/e2) ≈ (0.135 , 1.62) מינימום (1 , 0) |
| סעיף ג | גרף IV |
| סעיף ד | 12/e2 ≈ 1.62 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – מציאת נקודות קיצון עם נגזרת מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 5 שטח · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים, I ו־II. אחד מן הגרפים מתאר את הפונקצייה f(x), והאחר מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x).
א. קבעו איזה מן הגרפים I , II מתאר את גרף פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את קביעתכם.
נתון: f(x) = x2 · (2ln x − 1).
ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה על פי הגרף.
הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף I עם ציר ה־x, והנקודה C היא נקודת החיתוך של גרף II עם ציר ה־x.
ג. מצאו את אורך הקטע AC.
דרך הנקודה C העבירו ישר המקביל לציר ה־y.
ד. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף I, על ידי הישר המקביל לציר ה־y ועל ידי ציר ה־x (השטח שברביע הראשון).
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – איזה גרף הוא הנגזרת
בנקודת קיצון של f הנגזרת שווה 0, כלומר גרף הנגזרת חותך שם את ציר ה־x.
לגרף II יש נקודת מינימום בדיוק מעל הנקודה A – שם גרף I חותך את ציר ה־x. משמאל ל־A גרף II יורד וגרף I מתחת לציר (שלילי); מימין ל־A גרף II עולה וגרף I מעל הציר (חיובי).
כלומר גרף I הוא הסימן של השיפוע של גרף II – גרף I הוא הנגזרת.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
✅ פתרון סופי: גרף I הוא גרף הנגזרת f′(x) (וגרף II הוא f(x))
סעיף ב – תחום הגדרה ונקודת קיצון
(1)
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x ⟸ x > 0
(2) גוזרים לפי נגזרת של מכפלה: u = x2 , v = 2ln x − 1.
u′ = 2x📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn−1
v′ = 2 · 1x = 2x📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
f′(x) = 2x(2ln x − 1) + x2 · 2x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
= 4x·ln x − 2x + 2x = 4x·ln x
4x·ln x = 0 ; x > 0 ולכן ln x = 0 ⟹ x = 1
f(1) = 12 · (2ln1 − 1) = 1 · (0 − 1) = −1📐 ln של 1ln 1 = 0
לפי הגרף (גרף II הוא f): בנקודה x = 1 הגרף עובר מירידה לעלייה ⟸ מינימום. (מתאים גם לנגזרת: 4x·ln x שלילית ל־0 < x < 1 וחיובית ל־x > 1.)
✅ פתרון סופי: (1) x > 0
(2) מינימום (1 , −1)
(2) מינימום (1 , −1)
סעיף ג – אורך הקטע AC
A – חיתוך גרף I (הנגזרת) עם ציר ה־x: מסעיף ב x = 1, כלומר A(1 , 0).
C – חיתוך גרף II (הפונקציה) עם ציר ה־x:
x2(2ln x − 1) = 0 ; x ≠ 0 ולכן 2ln x − 1 = 0 ln x = 12
x = e0.5 = √e📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
C(√e , 0)
AC = √e − 1 ≈ 1.6487 − 1 ≈ 0.65
✅ פתרון סופי: AC = √e − 1 ≈ 0.65
סעיף ד – השטח מתחת לגרף I
הישר דרך C המקביל לציר ה־y הוא x = √e. ברביע הראשון גרף I (הנגזרת) מעל ציר ה־x בין A(1 , 0) ל־x = √e.
הגרפים לפי החישוב: I = f′ (כחול), II = f (סגול). השטח בתכלת בין A ל־x = √e.
גרף I הוא הנגזרת של f, ולכן הפונקציה הקדומה שלו היא f עצמה:
S = ∫1√e f′(x)dx = f(√e) − f(1)📐 אינטגרל של נגזרת ∫ab f′(x)dx = f(b) − f(a)
f(√e) = 0 (נקודת החיתוך C) , f(1) = −1
S = 0 − (−1) = 1
✅ פתרון סופי: S = 1 יחידת שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | גרף I |
|---|---|
| סעיף ב | x > 0 מינימום (1 , −1) |
| סעיף ג | √e − 1 ≈ 0.65 |
| סעיף ד | 1 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27 – מציאת שטח 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2024, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = 3x22 ln(x) + 1.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) האם גרף הפונקצייה f(x) חותך את ציר ה־x? נמקו את תשובתכם. (3) מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־x של הפונקצייה f(x).
ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.
ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).
ד. קבעו איזה מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה הוא גרף הפונקצייה f(x).
הישר y = t משיק לגרף הפונקצייה f(x).
ה. האם הישר y = t − 5 חותך את גרף הפונקצייה f(x)? אם כן – מצאו בכמה נקודות הוא חותך. אם לא – נמקו.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
שני תנאים: ln מוגדר רק למספרים חיוביים, והמכנה לא יכול להיות 0.
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln t מוגדר רק כש־t > 0
2 ln x + 1 ≠ 0 ⟸ 2 ln x ≠ −1 ⟸ ln x ≠ −12
x ≠ e−0.5 ≈ 0.61📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ e−0.5
סעיף א (2) – חיתוך עם ציר ה־x
שבר שווה 0 רק כשהמונה שווה 0:
3x2 = 0 ⟸ x = 0
אבל x = 0 לא בתחום ההגדרה (x > 0), ולכן אין נקודת חיתוך.
✅ פתרון סופי: לא – הגרף לא חותך את ציר ה־x
סעיף א (3) – האסימפטוטה האנכית
ב־x = e−0.5 המכנה מתאפס (2 · (−0.5) + 1 = 0), והמונה 3e−1 ≠ 0.
מכנה = 0 ומונה ≠ 0📐 אסימפטוטה אנכיתמכנה = 0 ומונה ≠ 0 ← אסימפטוטה אנכית
✅ פתרון סופי: x = e−0.5 (≈ 0.61)
סעיף ב – נקודת הקיצון
כלל המנה עם u = 3x2 ⟸ u′ = 6x ו־v = 2 ln x + 1:
v′ = 2 · 1x = 2x📐 נגזרת ln(ln x)′ = 1x
f′(x) = 6x · (2 ln x + 1) − 3x2 · 2x(2 ln x + 1)2📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
מפשטים את המונה: 3x2 · 2x = 6x:
f′(x) = 12x ln x + 6x − 6x(2 ln x + 1)2 = 12x ln x(2 ln x + 1)2
f′(x) = 0 ⟸ 12x ln x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
בתחום x > 0, ולכן 12x ≠ 0:
ln x = 0 ⟸ x = e0 = 1📐 הגדרת lnln x = b ⟺ x = eb
f(1) = 3 · 122 ln 1 + 1 = 30 + 1 = 3📐 ln של 1ln 1 = 0
סימן הנגזרת: המכנה (ריבוע) חיובי ו־12x > 0, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של ln x:
x = 0.8 : ln 0.8 < 0 , f′ < 0 ← יורדת
x = 2 : ln 2 > 0 , f′ > 0 ← עולה
ב־x = 1: יורדת ואז עולה ← מינימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום
✅ פתרון סופי: מינימום (1 , 3)
סעיף ג – תחומי עלייה וירידה
כמו בסעיף ב: הסימן של f′ הוא הסימן של ln x. צריך לזכור גם את האסימפטוטה x = e−0.5 – היא מפרידה בין תחומים.
0 < x < e−0.5 : ln x < 0 , f′ < 0 ← יורדת
e−0.5 < x < 1 : ln x < 0 , f′ < 0 ← יורדת
x > 1 : ln x > 0 , f′ > 0 ← עולה
f′ > 0 ← עולה, f′ < 0 ← יורדת📐 עלייה וירידה לפי הנגזרתf′(x) > 0 ← הפונקצייה עולהf′(x) < 0 ← הפונקצייה יורדת
✅ פתרון סופי: עלייה: x > 1
ירידה: 0 < x < e−0.5 וגם e−0.5 < x < 1
ירידה: 0 < x < e−0.5 וגם e−0.5 < x < 1
סעיף ד – איזה גרף
משמאל לאסימפטוטה (0 < x < e−0.5): ln x < −0.5, ולכן המכנה 2 ln x + 1 < 0 והמונה 3x2 > 0 – הפונקצייה שלילית (מתחת לציר ה־x) ויורדת. זה פוסל את II ואת IV (שבהם הענף השמאלי עולה למעלה).
מימין לאסימפטוטה: המכנה חיובי – הפונקצייה חיובית, עם מינימום (1 , 3). זה פוסל את I (שבו הענף הימני מתחת לציר ה־x).
נשאר גרף III: ענף שמאלי שיורד מתחת לציר ה־x לכיוון האסימפטוטה, וענף ימני מעל הציר עם נקודת מינימום. הגרף בקנה מידה של הפונקצייה (הקו המקווקו הירוק – האסימפטוטה):
✅ פתרון סופי: גרף III
סעיף ה – האם y = t − 5 חותך את הגרף
ישר מהצורה y = t הוא ישר אופקי (שיפוע 0). משיק אופקי יש רק בנקודה שבה f′ = 0 – נקודת הקיצון (1 , 3).
t = f(1) = 3📐 שיפוע משיקשיפוע המשיק = f′(x0)
y = t − 5 = 3 − 5 = −2
בענף הימני (x > e−0.5): הערך הקטן ביותר הוא המינימום 3, ולכן תמיד f(x) ≥ 3 > −2 – אין חיתוך.
בענף השמאלי (0 < x < e−0.5): הפונקצייה רציפה ויורדת. כש־x מתקרב ל־0, המונה 3x2 שואף ל־0 והמכנה שואף למינוס אינסוף, ולכן f מתקרבת ל־0 (מלמטה). כש־x מתקרב לאסימפטוטה, f יורדת למינוס אינסוף.
לכן בענף השמאלי הפונקצייה עוברת על כל הערכים השליליים, ובכל אחד פעם אחת בדיוק (כי היא יורדת כל הזמן) – גם על −2.
(בדיקה מספרית: f(x) = −2 מתקבל ב־x ≈ 0.50.)
✅ פתרון סופי: כן – הישר y = −2 חותך את הגרף בנקודה אחת
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | x > 0 , x ≠ e−0.5 |
|---|---|
| סעיף א (2) | לא |
| סעיף א (3) | x = e−0.5 |
| סעיף ב | מינימום (1 , 3) |
| סעיף ג | עלייה x > 1 ירידה 0 < x < e−0.5 , e−0.5 < x < 1 |
| סעיף ד | גרף III |
| סעיף ה | כן – בנקודה אחת |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 23 – חורף 2024
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5 שטח · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = (2 + ln x) · (−4 + ln x).
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).
ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).
ה. (1) אחד מן הגרפים I–III שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם. (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = √e ועל ידי ציר ה־x.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום הגדרה
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x ⟸ x > 0
✅ פתרון סופי: x > 0
סעיף ב – חיתוך עם הצירים
ציר ה־y (x = 0) לא בתחום – אין חיתוך עם ציר ה־y.
ציר ה־x: מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0:
2 + ln x = 0 ln x = −2 x = e−2📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
−4 + ln x = 0 ln x = 4 x = e4📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
✅ פתרון סופי: (e−2 , 0) , (e4 , 0) ; אין חיתוך עם ציר ה־y
סעיף ג – נקודת הקיצון
נגזרת של מכפלה: u = 2 + ln x , v = −4 + ln x, ולשניהם הנגזרת 1x.
u′ = v′ = 1x📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
f′(x) = 1x · (−4 + ln x) + (2 + ln x) · 1x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
= 2ln x − 2x = 2(ln x − 1)x
ln x − 1 = 0 ⟹ x = e📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
f(e) = (2 + 1)(−4 + 1) = 3 · (−3) = −9
הסימן של f′ לפי ln x − 1 (x > 0): שלילי עבור 0 < x < e, חיובי עבור x > e.
מ־− ל־+ ב־x = e ⟸ מינימום.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
✅ פתרון סופי: מינימום (e , −9)
סעיף ד – סקיצה
כש־x → 0+ ln x → −∞ ושני הגורמים שליליים, ולכן f → +∞. יורדת עד המינימום (e , −9), חותכת את ציר ה־x ב־e−2 ≈ 0.14 וב־e4 ≈ 54.6, ועולה.
הגרף של f לפי החישוב (נקודת החיתוך e−2 ≈ 0.14 צמודה לציר ה־y).
✅ פתרון סופי: סקיצה למעלה
סעיף ה – גרף הנגזרת והשטח
(1) מסעיף ג: f′(x) = 2(ln x − 1)x – מוגדרת רק עבור x > 0, שלילית עבור 0 < x < e, מתאפסת רק ב־x = e (לא בראשית), וחיובית אחר כך.
• גרף II מתחיל גבוה מעל ציר ה־x – כלומר f′ > 0 ליד 0 ✗
• גרף I חותך את ציר ה־x בראשית ✗
• גרף III מתחיל מלמטה, חותך את ציר ה־x בנקודה חיובית ונשאר חיובי ✓
• גרף I חותך את ציר ה־x בראשית ✗
• גרף III מתחיל מלמטה, חותך את ציר ה־x בנקודה חיובית ונשאר חיובי ✓
(2) בין x = √e ≈ 1.65 ל־x = e (שם f′ חותכת את הציר) הנגזרת שלילית – השטח מתחת לציר:
גרף הנגזרת לפי החישוב; השטח בין x = √e ל־x = e (בתכלת).
S = |∫√ee f′(x)dx| = |f(e) − f(√e)|📐 אינטגרל של נגזרת ∫ab f′(x)dx = f(b) − f(a)
f(√e) = (2 + 0.5)(−4 + 0.5) = 2.5 · (−3.5) = −8.75
S = |−9 − (−8.75)| = 0.25
✅ פתרון סופי: (1) גרף III
(2) S = 0.25
(2) S = 0.25
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x > 0 |
|---|---|
| סעיף ב | (e−2 , 0) , (e4 , 0) |
| סעיף ג | מינימום (e , −9) |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה | גרף III 0.25 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – מציאת נקודות קיצון עם נגזרת מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 5 שטח · הזזות · משיק
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = (ln x)24x.
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
ב. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.
ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.
נתונה הפונקצייה g(x) = −f(x).
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x) וסקיצה של גרף הפונקצייה g(x) באותה מערכת צירים.
נסמן ב־S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה f(x) ועל ידי הישר המשיק לגרף הפונקצייה f(x) בנקודת המקסימום שלה.
ה. (1) מצאו את משוואת הישר המשיק לגרף הפונקצייה f(x) בנקודת המקסימום שלה. (2) מצאו ערך של c שבעבורו השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה g(x) ועל ידי הישר y = c שווה ל־S. נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום הגדרה
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x ⟸ x > 0
גם המכנה 4x ≠ 0 – כבר מתקיים כש־x > 0.
✅ פתרון סופי: x > 0
סעיף ב – חיתוך עם ציר x
(ln x)2 = 0 ln x = 0
x = 1📐 ln של 1ln 1 = 0
✅ פתרון סופי: (1 , 0)
סעיף ג – נקודות הקיצון
נגזרת של מנה: u = (ln x)2 , v = 4x.
u′ = 2 ln x · 1x = 2ln xx📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[(g(x))2]′ = 2g(x) · g′(x)
v′ = 4📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn−1
f′(x) = 2ln xx · 4x − (ln x)2 · 416x2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 8ln x − 4(ln x)216x2 = ln x · (2 − ln x)4x2
ln x = 0 ⟹ x = 1
2 − ln x = 0 ⟹ x = e2📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
f(1) = 0 f(e2) = (ln e2)24e2 = 44e2 = 1e2 ≈ 0.135
טבלת סימנים (4x2 > 0; הסימן לפי ln x ו־2 − ln x):
| x | ln x | 2 − ln x | f′ | f |
|---|---|---|---|---|
| 0 < x < 1 | − | + | − | יורדת |
| 1 < x < e2 | + | + | + | עולה |
| x > e2 | + | − | − | יורדת |
מינימום ב־x = 1, מקסימום ב־x = e2.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
✅ פתרון סופי: מינימום (1 , 0) , מקסימום (e2 , 1e2)
סעיף ד – סקיצה של f ושל g
ל־f: f ≥ 0 (מונה בריבוע, מכנה חיובי); ליד x = 0 המונה גדל והמכנה שואף ל־0, ולכן f → ∞ (אסימפטוטה x = 0); כש־x → ∞ f → 0.
g(x) = −f(x) – שיקוף של f בציר ה־x: המינימום של f נשאר (1 , 0) (והופך למקסימום), והמקסימום הופך למינימום (e2 , −1e2).📐 שיקוף בציר xg(x) = −f(x)(x , y) → (x , −y)
f (כחול) ו־g (סגול) לפי החישוב. בירוק המשיקים y = 1/e² ו־y = −1/e²; השטח S והשיקוף שלו בתכלת.
✅ פתרון סופי: סקיצה למעלה
סעיף ה – המשיק בנקודת המקסימום והערך של c
(1) בנקודת קיצון f′ = 0, כלומר שיפוע המשיק 0 – המשיק אופקי, דרך (e2 , 1e2):
y − 1e2 = 0 · (x − e2)📐 שיפוע המשיקm = f′(x0)
y = 1e2
(2) הגרף של g הוא שיקוף של הגרף של f בציר ה־x. בשיקוף הזה הישר y = 1e2 עובר לישר y = −1e2 (המשיק ל־g בנקודת המינימום שלו), והשטח S עובר לשטח החסום על ידי g והישר הזה.
שיקוף לא משנה מרחקים ולכן לא משנה שטח: השטח המשוקף שווה ל־S.📐 שיקוף בציר xg(x) = −f(x)(x , y) → (x , −y)
c = −1e2
✅ פתרון סופי: (1) y = 1e2
(2) c = −1e2 ≈ −0.135
(2) c = −1e2 ≈ −0.135
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x > 0 |
|---|---|
| סעיף ב | (1 , 0) |
| סעיף ג | מינימום (1 , 0) , מקסימום (e2 , 1e2) |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה | y = 1e2 c = −1e2 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – ת"ה וקיצון עם מנה ופונקציה מורכבת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 5 הזזות
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה h(x) = −2x3 + 6x2 המוגדרת לכל x.
א. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה h(x) עם ציר ה־x. (2) היעזרו בגרף, ומצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקצייה h(x).
נתונה הפונקצייה f(x) = ln(−2x3 + 6x2).
ב. היעזרו בתשובתכם לתת־סעיף א(2), ומצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
ג. מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לציר ה־x של הפונקצייה f(x).
ד. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.
נתונה הפונקצייה: g(x) = −f(x) + 4 המוגדרת באותו התחום שבו מוגדרת הפונקצייה f(x).
ה. מה הם שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה g(x), ומהו סוגה?
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – החיתוך של h עם ציר ה־x
−2x3 + 6x2 = 0
−2x2(x − 3) = 0
x = 0 או x = 3📐 מכפלה שווה אפסa · b = 0 כאשר a = 0 או b = 0
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (3 , 0)
סעיף א (2) – תחומי חיוביות ושליליות של h
לפי הגרף, ונבדוק בהצבה בכל תחום:
x = −1 : h = 2 + 6 = 8 > 0
x = 1 : h = −2 + 6 = 4 > 0
x = 4 : h = −128 + 96 = −32 < 0
ב־x = 0 הגרף רק נוגע בציר (x2 לא מחליף סימן), וב־x = 3 הוא חוצה אותו.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום✅ פתרון סופי: חיובית: x < 3 , x ≠ 0
שלילית: x > 3
שלילית: x > 3
סעיף ב – תחום ההגדרה של f
−2x3 + 6x2 > 0📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0
זה בדיוק תחום החיוביות של h מסעיף א(2).
✅ פתרון סופי: x < 3 , x ≠ 0
סעיף ג – אסימפטוטות אנכיות
בנקודות שבהן h(x) מתאפסת (מצד החיוביות), ln של מספר שמתקרב ל־0 שואף למינוס אינסוף.
📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0x = 0 (משני הצדדים) , x = 3 (משמאל)
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = 3
סעיף ד – נקודת הקיצון
f′(x) = (−2x3 + 6x2)′−2x3 + 6x2📐 נגזרת ln של פונקצייה(ln(h(x)))′ = h′(x)h(x)
= −6x2 + 12x−2x3 + 6x2📐 נגזרת חזקה(xn)′ = n · xn − 1
מפרקים לגורמים:
= −6x(x − 2)−2x2(x − 3) = 3(x − 2)x(x − 3)
(צמצמנו −2x – מותר כי x ≠ 0.)
3(x − 2) = 0 ⟸ x = 2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
סימן הנגזרת בכל תחום:
x = −1 : 3 · (−3)(−1)(−4) = −94 < 0 ← יורדת
x = 1 : 3 · (−1)1 · (−2) = 32 > 0 ← עולה
x = 2.5 : 3 · 0.52.5 · (−0.5) = −1.2 < 0 ← יורדת
| x | f′(x) | f(x) |
|---|---|---|
| x < 0 | − | ↘ יורדת |
| 0 | לא מוגדרת | אסימפטוטה |
| 0 < x < 2 | + | ↗ עולה |
| 2 | 0 | מקסימום |
| 2 < x < 3 | − | ↘ יורדת |
ב־x = 2 עולה ואז יורדת – מקסימום.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימוםf(2) = ln(−2 · 8 + 6 · 4) = ln(−16 + 24) = ln 8 ≈ 2.08
✅ פתרון סופי: מקסימום (2 , ln 8) ≈ (2 , 2.08)
סעיף ה – הקיצון של g(x)
g′(x) = −f′(x)📐 נגזרת של קבוע היא 0(−f(x) + 4)′ = −f′(x) + 0
g′ מתאפסת באותה נקודה x = 2 עם סימנים הפוכים: יורדת ואז עולה – מינימום (הכפלה ב־−1 הופכת מקסימום למינימום).
g(2) = −ln 8 + 4 ≈ 1.92
✅ פתרון סופי: מינימום (2 , 4 − ln 8) ≈ (2 , 1.92)
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | (0 , 0) , (3 , 0) חיובית x < 3 , x ≠ 0 ; שלילית x > 3 |
|---|---|
| סעיף ב | x < 3 , x ≠ 0 |
| סעיף ג | x = 0 , x = 3 |
| סעיף ד | מקסימום (2 , ln 8) |
| סעיף ה | מינימום (2 , 4 − ln 8) |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – ת"ה + קיצון עם מנה ופונקציה מורכבת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 4 שטח · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = (ln x)3 − 3(ln x)2.
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.
ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).
ה. (1) רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של פונקציית הנגזרת f′(x). (2) מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = 1e, על ידי הישר x = e ועל ידי ציר ה־x.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – תחום הגדרה
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x ⟸ x > 0
✅ פתרון סופי: x > 0
סעיף ב – חיתוך עם ציר x
מוציאים גורם משותף (ln x)2:
(ln x)2(ln x − 3) = 0
ln x = 0 ⟹ x = 1 ln x = 3 ⟹ x = e3📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
✅ פתרון סופי: (1 , 0) , (e3 , 0)
סעיף ג – נקודות הקיצון
f′(x) = 3(ln x)2 · 1x − 6 ln x · 1x📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[(g(x))n]′ = n(g(x))n−1 · g′(x)
= 3 ln x (ln x − 2)x
ln x = 0 ⟹ x = 1 ln x = 2 ⟹ x = e2📐 ln של חזקת eln(ek) = k ; ln x = k ⟺ x = ek
f(1) = 0 f(e2) = 23 − 3 · 22 = 8 − 12 = −4
| x | ln x | ln x − 2 | f′ | f |
|---|---|---|---|---|
| 0 < x < 1 | − | − | + | עולה |
| 1 < x < e2 | + | − | − | יורדת |
| x > e2 | + | + | + | עולה |
מקסימום ב־x = 1, מינימום ב־x = e2.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום
✅ פתרון סופי: מקסימום (1 , 0) , מינימום (e2 , −4)
סעיף ד – סקיצה
כש־x → 0+ ln x → −∞ והאיבר (ln x)3 שולט, ולכן f → −∞. כש־x → ∞ f → ∞.
הגרף של f לפי החישוב.
✅ פתרון סופי: סקיצה למעלה
סעיף ה – סימני הנגזרת והשטח
(1) מטבלת הסימנים:
f′ > 0 : 0 < x < 1 , x > e2 f′ < 0 : 1 < x < e2
(2) בין 1e ל־1 הנגזרת חיובית (שטח מעל הציר), ובין 1 ל־e שלילית (שטח מתחת לציר). הפונקציה הקדומה של f′ היא f:
גרף הנגזרת לפי החישוב; שני חלקי השטח בתכלת (החלק השמאלי ממשיך מעל גבול הציור).
f(1e) = (−1)3 − 3 · (−1)2 = −4 f(e) = 1 − 3 = −2
S1 = ∫1/e1 f′(x)dx = f(1) − f(1e) = 0 − (−4) = 4📐 אינטגרל של נגזרת ∫ab f′(x)dx = f(b) − f(a)
S2 = −∫1e f′(x)dx = f(1) − f(e) = 0 − (−2) = 2📐 אינטגרל של נגזרת ∫ab f′(x)dx = f(b) − f(a)
S = 4 + 2 = 6
✅ פתרון סופי: (1) חיובית: 0 < x < 1 , x > e2 ; שלילית: 1 < x < e2
(2) S = 6
(2) S = 6
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | x > 0 |
|---|---|
| סעיף ב | (1 , 0) , (e3 , 0) |
| סעיף ג | מקסימום (1 , 0) , מינימום (e2 , −4) |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה | חיובית 0 < x < 1 , x > e2 שלילית 1 < x < e2 6 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 16 – אינטגרל ln
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ln(x + 1)x + 1.
א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצא את האסימפטוטה של הפונקציה f(x) המאונכת לציר ה־x.
ב. מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.
ג. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.
ד. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).
ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ו. מצא את התחום שבעבורו מתקיים f(x) · f′(x) > 0.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א(1) – תחום הגדרה
x + 1 > 0📐 נוסחה: תחום הגדרה של lnln(g(x)) מוגדר רק כאשר g(x) > 0
x > −1
גם המכנה x + 1 אינו 0 בתחום הזה (הוא חיובי), אז אין הגבלה נוספת.
✅ פתרון סופי: תחום ההגדרה: x > −1
סעיף א(2) – אסימפטוטה אנכית
אסימפטוטה המאונכת לציר ה־x היא ישר אנכי x = k. בודקים את קצה התחום x = −1: כש־x מתקרב ל־−1 מימין, x + 1 מתקרב ל־0 מהצד החיובי.
x → −1+ : ln(x + 1) → −∞ , x + 1 → 0+📐 נוסחה: התנהגות ln ליד 0a → 0+ ⟸ ln a → −∞
המונה שלילי וגדול מאוד בערכו המוחלט, והמכנה חיובי וקטן מאוד – לכן המנה שואפת למינוס אינסוף.
בדיקה במספרים: f(−0.9) = ln 0.10.1 ≈ −23.03 , f(−0.99) = ln 0.010.01 ≈ −460.5.
הפונקציה שואפת למינוס אינסוף, ולכן הישר x = −1 הוא אסימפטוטה אנכית.
✅ פתרון סופי: x = −1
סעיף ב – חיתוך עם ציר x
על ציר ה־x: f(x) = 0. שבר שווה 0 כשהמונה שווה 0:
ln(x + 1)x + 1 = 0 ⟸ ln(x + 1) = 0
x + 1 = 1📐 נוסחה: ln שווה 0ln a = 0 ⟺ a = 1
x = 0
x = 0 בתחום ההגדרה (0 > −1). זו גם נקודת החיתוך עם ציר ה־y.
✅ פתרון סופי: (0 , 0)
סעיף ג – נקודת הקיצון
נגזור לפי כלל המנה, עם u = ln(x + 1) ו־v = x + 1:
u′ = 1x + 1 · 1 = 1x + 1📐 נוסחה: נגזרת של ln (עם פונקציה מורכבת)(ln g(x))′ = g′(x)g(x)
v′ = 1
לפי כלל המנה, נחשב קודם את המונה של הנגזרת:
u′ · v − u · v′ = 1x + 1 · (x + 1) − ln(x + 1) · 1 = 1 − ln(x + 1)📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
f′(x) = 1 − ln(x + 1)(x + 1)2
נקודת קיצון: f′(x) = 0. המכנה חיובי, אז המונה שווה 0:
1 − ln(x + 1) = 0
ln(x + 1) = 1
x + 1 = e1 = e📐 נוסחה: מעבר מ־ln לחזקהln a = b ⟺ a = eb
x = e − 1 ≈ 1.72
f(e − 1) = ln ee = 1e ≈ 0.37📐 נוסחה: ln של eln e = 1
סוג הנקודה – מציבים בנגזרת נקודה מכל צד:
f′(0) = 1 − ln 112 = 1 − 01 = 1 > 0📐 נוסחה: ln של 1ln 1 = 0
f′(e2 − 1) = 1 − ln e2(e2)2 = 1 − 2e4 < 0📐 נוסחה: ln של חזקה של eln en = n
| x | f′(x) | f(x) |
|---|---|---|
| −1 < x < e − 1 | + | עולה ↗ |
| x = e − 1 | 0 | מקסימום |
| x > e − 1 | − | יורדת ↘ |
✅ פתרון סופי: נקודת מקסימום (e − 1 , 1/e) ≈ (1.72 , 0.37)
סעיף ד – תחומי עלייה וירידה
מטבלת הסימן של סעיף ג:
✅ פתרון סופי: עלייה: −1 < x < e − 1 ; ירידה: x > e − 1
סעיף ה – סקיצה
מה שמצאנו: תחום x > −1, אסימפטוטה אנכית x = −1 (הגרף יורד שם למינוס אינסוף), חיתוך ב־(0 , 0), עלייה עד המקסימום (e − 1 , 1/e) ואחריו ירידה. כש־x גדל מאוד הפונקציה חיובית וקטנה ומתקרבת ל־0.
הגרף של f(x) משורטט לפי הפונקציה עצמה (בציר y קנה מידה מוגדל).
✅ פתרון סופי: הסקיצה בציור שלמעלה.
סעיף ו – מתי f · f′ > 0
מכפלה של שני מספרים חיובית כששניהם באותו סימן. נבדוק את הסימן של f(x) ושל f′(x):
f(x) > 0 ⟺ ln(x + 1) > 0 ⟺ x + 1 > 1 ⟺ x > 0📐 נוסחה: סימן של lnln a > 0 ⟺ a > 1
(המכנה x + 1 חיובי בכל התחום, לכן הסימן של f הוא הסימן של המונה.) כלומר f(x) < 0 כאשר −1 < x < 0.
מסעיף ד: f′(x) > 0 כאשר −1 < x < e − 1, ו־f′(x) < 0 כאשר x > e − 1.
טבלת סימנים:📐 כלל: סימן של מכפלהa · b > 0 רק כאשר a , b באותו סימן
| x | f(x) | f′(x) | f · f′ |
|---|---|---|---|
| −1 < x < 0 | − | + | − |
| 0 < x < e − 1 | + | + | + |
| x > e − 1 | + | − | − |
✅ פתרון סופי: 0 < x < e − 1, כלומר בערך 0 < x < 1.72
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | תחום: x > −1 אסימפטוטה: x = −1 |
|---|---|
| סעיף ב | (0 , 0) |
| סעיף ג | מקסימום (e − 1 , 1/e) ≈ (1.72 , 0.37) |
| סעיף ד | עלייה −1 < x < e − 1 ירידה x > e − 1 |
| סעיף ה | סקיצה |
| סעיף ו | 0 < x < e − 1 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – ת"ה + קיצון עם מנה ופונקציה מורכבת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 5 שטח · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = x · (ln x)2.
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
ב. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.
ג. הסבירו מדוע מתקיים f(x) ≥ 0 בעבור כל x בתחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
ד. אחד מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את גרף הפונקצייה f(x), ואחד מהם מתאר את גרף פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם מתאר את גרף הפונקצייה f(x) ואיזה מהם מתאר את גרף פונקציית הנגזרת f′(x), ונמקו את קביעותיכם.
ה. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום ההגדרה
בפונקצייה מופיע ln x. הלוגריתם מוגדר רק כשמה שבתוכו חיובי:
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln u מוגדר רק כאשר u > 0
החלק x שמחוץ ללוגריתם מוגדר לכל x, ולכן אין הגבלה נוספת.
✅ פתרון סופי: x > 0
סעיף ב – נקודות הקיצון
הפונקצייה היא מכפלה של u = x ושל v = (ln x)2. גוזרים לפי נגזרת מכפלה:
f′(x) = (x)′ · (ln x)2 + x · ((ln x)2)′📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
נגזרת של (ln x)2 לפי כלל השרשרת (חזקה של פונקצייה):
((ln x)2)′ = 2 · ln x · (ln x)′ = 2 · ln x · 1x📐 נגזרת של חזקה של פונקצייה(gn)′ = n · gn − 1 · g′(ln x)′ = 1x
מציבים:
f′(x) = 1 · (ln x)2 + x · 2 · ln x · 1x
f′(x) = (ln x)2 + 2ln x
מוציאים גורם משותף ln x:
f′(x) = ln x · (ln x + 2)
משווים את הנגזרת לאפס. מכפלה שווה לאפס כאשר אחד הגורמים שווה לאפס:
ln x = 0 ⟸ x = e0 = 1📐 משוואה עם lnln x = k ⟺ x = ek
ln x + 2 = 0 ⟸ ln x = −2 ⟸ x = e−2📐 משוואה עם lnln x = k ⟺ x = ek
שתי הנקודות בתחום ההגדרה (x > 0). בודקים את סימן הנגזרת בכל תחום (מציבים נקודה):
x = e−3 : ln x = −3 f′ = (−3) · (−1) = 3 > 0 ← עולה
x = e−1 : ln x = −1 f′ = (−1) · 1 = −1 < 0 ← יורדת
x = e : ln x = 1 f′ = 1 · 3 = 3 > 0 ← עולה
| x | f′(x) | f(x) |
|---|---|---|
| 0 < x < e−2 | + | ↗ עולה |
| e−2 | 0 | מקסימום |
| e−2 < x < 1 | − | ↘ יורדת |
| 1 | 0 | מינימום |
| x > 1 | + | ↗ עולה |
עולה ואז יורדת – מקסימום ב־x = e−2. יורדת ואז עולה – מינימום ב־x = 1.
📐 סוג הקיצוןf′: פלוס ← מינוס = מקסימוםf′: מינוס ← פלוס = מינימוםמחשבים את שיעורי ה־y (מציבים בפונקצייה המקורית):
f(e−2) = e−2 · (ln e−2)2 = e−2 · (−2)2 = 4e−2 = 4e2 ≈ 0.54📐 לוגריתם של חזקה של eln ek = k
f(1) = 1 · (ln 1)2 = 1 · 02 = 0📐 ln של 1ln 1 = 0
✅ פתרון סופי: מקסימום (e−2 , 4e2) ; מינימום (1 , 0)
סעיף ג – למה f(x) ≥ 0
בתחום ההגדרה x > 0, ולכן הגורם x חיובי.
הגורם (ln x)2 הוא ריבוע, ולכן תמיד (ln x)2 ≥ 0.
📐 ריבוע אינו שליליk2 ≥ 0 לכל kמכפלה של מספר חיובי במספר שאינו שלילי היא מספר שאינו שלילי:
x > 0 (ln x)2 ≥ 0 ⟸ f(x) = x · (ln x)2 ≥ 0
✅ פתרון סופי: f(x) ≥ 0 כי x > 0 בתחום ההגדרה ו־(ln x)2 ≥ 0 (ריבוע)
סעיף ד – זיהוי הגרפים
גרף הפונקצייה: לפי סעיפים ב–ג, הגרף נמצא כולו מעל ציר ה־x או נוגע בו, כי f(x) ≥ 0, עולה עד מקסימום קטן ב־x = e−2 ≈ 0.14, יורד ונוגע בציר ה־x בנקודת המינימום (1 , 0), ואחר כך עולה.
גרף I יורד ונוגע בציר, ורק אחר כך יוצר "גבעה" – לא מתאים. גרף IV יורד מתחת לציר ה־x – לא מתאים, כי f(x) ≥ 0. גרף III מתחיל ליד הראשית, עולה לגבעה קטנה, נוגע בציר ה־x ועולה – מתאים.
גרף הנגזרת: לפי טבלת הסימנים, f′(x) חיובית עד x = e−2, שלילית בין e−2 ל־1 וחיובית אחרי x = 1. כלומר גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x בשתי נקודות, ונמצא מתחת לציר ביניהן.
בנוסף, כש־x שואף ל־0 מימין, ln x שואף למינוס אין־סוף, ולכן f′(x) = (ln x)2 + 2ln x שואפת לפלוס אין־סוף. רק גרף II מתחיל גבוה ליד ציר ה־y, יורד מתחת לציר ה־x בין שתי נקודות החיתוך, ואחר כך עולה – מתאים.
📐 קשר בין הנגזרת לפונקצייהf′ > 0 ⟸ f עולהf′ < 0 ⟸ f יורדת✅ פתרון סופי: גרף הפונקצייה f(x): III ; גרף הנגזרת f′(x): II
סעיף ה – השטח בין גרף הנגזרת לציר ה־x
גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x ב־x = e−2 וב־x = 1 (סעיף ב), ובין שתי הנקודות f′(x) < 0. לכן השטח נמצא מתחת לציר ה־x, ולוקחים את האינטגרל עם סימן מינוס:
S = −∫1e−2 f′(x) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = −∫ba g(x) dx כאשר g(x) ≤ 0
פונקצייה קדומה של f′(x) היא f(x) עצמה, ולכן:
S = −[f(x)]e−21 = −(f(1) − f(e−2))📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)
את הערכים חישבנו בסעיף ב:
S = −(0 − 4e2) = 4e2 ≈ 0.54
✅ פתרון סופי: S = 4e2 ≈ 0.54 יחידות שטח
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x > 0 |
|---|---|
| סעיף ב | מקסימום (e−2 , 4e2) מינימום (1 , 0) |
| סעיף ג | הסבר |
| סעיף ד | f(x): גרף III ; f′(x): גרף II |
| סעיף ה | 4e2 ≈ 0.54 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – מציאת נקודות קיצון עם נגזרת מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2022 מועד א׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – חורף 2022, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 4x1 + ln(2x).
א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
ב. (1) האם גרף הפונקציה f(x) חותך את ציר ה־x? נמק. (2) מצא את האסימפטוטה האנכית של הפונקציה f(x).
ג. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.
ד. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).
ה. אחד מן הסרטוטים I–IV שבסוף השאלה מתאים לגרף הפונקציה f(x). קבע איזה מהם, ונמק את קביעתך.
ו. מצא את התחום שבעבורו מתקיים f(x) · f′(x) < 0.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום ההגדרה
יש שני תנאים: מה שבתוך הלוגריתם חיובי, והמכנה שונה מאפס.
2x > 0 ⟸ x > 0📐 תחום הגדרה של lnln u מוגדר רק כאשר u > 0
1 + ln(2x) ≠ 0 ⟸ ln(2x) ≠ −1📐 תחום הגדרה של שברמכנה ≠ 0
2x ≠ e−1 ⟸ x ≠ 12e📐 משוואה עם lnln u = k ⟺ u = ek
בדיקה: 12e ≈ 0.18 הוא מספר חיובי, ולכן מוציאים אותו מתוך התחום x > 0.
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ 12e
סעיף ב – חיתוך עם ציר ה־x ואסימפטוטה אנכית
(1) בנקודת חיתוך עם ציר ה־x מתקיים f(x) = 0. שבר שווה לאפס רק כשהמונה שווה לאפס:
4x = 0 ⟸ x = 0📐 שבר שווה אפסab = 0 ⟺ a = 0 , b ≠ 0
אבל x = 0 לא בתחום ההגדרה (x > 0). לכן הגרף לא חותך את ציר ה־x.
(2) אסימפטוטה אנכית נמצאת בנקודה שבה המכנה מתאפס (והמונה לא): x = 12e. בודקים את המונה:
4 · 12e = 2e ≠ 0📐 אסימפטוטה אנכיתמכנה = 0 , מונה ≠ 0
✅ פתרון סופי: (1) לא – הפתרון היחיד x = 0 לא בתחום ; (2) x = 12e
סעיף ג – נקודת הקיצון
גוזרים לפי נגזרת מנה, עם u = 4x ו־v = 1 + ln(2x):
u′ = 4📐 נגזרת של ax(ax)′ = a
v′ = 12x · 2 = 1x📐 נגזרת של ln של פונקציה(ln g)′ = g′g
f′(x) = 4 · (1 + ln(2x)) − 4x · 1x(1 + ln(2x))2📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
מצמצמים במונה:
f′(x) = 4 + 4ln(2x) − 4(1 + ln(2x))2 = 4ln(2x)(1 + ln(2x))2
משווים לאפס – המונה שווה לאפס:
4ln(2x) = 0 ⟸ ln(2x) = 0 ⟸ 2x = 1 ⟸ x = 12📐 משוואה עם lnln u = 0 ⟺ u = 1
המכנה הוא ריבוע ולכן חיובי, כך שסימן הנגזרת הוא סימן ln(2x). בודקים בכל תחום:
x = 0.1 : ln(0.2) < 0 ⟸ f′ < 0 ← יורדת
x = 0.3 : ln(0.6) < 0 ⟸ f′ < 0 ← יורדת
x = 1 : ln 2 > 0 ⟸ f′ > 0 ← עולה
| x | f′(x) | f(x) |
|---|---|---|
| 0 < x < 12e | − | ↘ יורדת |
| 12e | לא מוגדרת | |
| 12e < x < 12 | − | ↘ יורדת |
| 12 | 0 | מינימום |
| x > 12 | + | ↗ עולה |
יורדת ואז עולה – מינימום ב־x = 12.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםמחשבים את שיעור ה־y:
f(12) = 4 · 121 + ln(2 · 12) = 21 + ln 1 = 21 + 0 = 2📐 ln של 1ln 1 = 0
✅ פתרון סופי: מינימום (12 , 2)
סעיף ד – תחומי עלייה וירידה
לפי טבלת הסימנים מסעיף ג (בלי הנקודה שבה הפונקציה לא מוגדרת):
עולה: x > 12
יורדת: 0 < x < 12e וגם 12e < x < 12
✅ פתרון סופי: עולה: x > 12
יורדת: 0 < x < 12e , 12e < x < 12
יורדת: 0 < x < 12e , 12e < x < 12
סעיף ה – זיהוי הסרטוט
בודקים את סימן הפונקציה משני צדי האסימפטוטה. המונה 4x חיובי בכל התחום, ולכן הסימן נקבע לפי המכנה:
0 < x < 12e : ln(2x) < −1 ⟸ 1 + ln(2x) < 0 ⟸ f(x) < 0
x > 12e : 1 + ln(2x) > 0 ⟸ f(x) > 0
כלומר משמאל לאסימפטוטה הגרף מתחת לציר ה־x ויורד, ומימין לה הגרף מעל הציר, יורד עד המינימום (12 , 2) ואז עולה. אין חיתוך עם הצירים.
📐 סימן של שברמונה חיובי ומכנה שלילי ⟸ שבר שלילירק בסרטוט IV החלק השמאלי נמצא מתחת לציר ה־x והחלק הימני מעל הציר עם נקודת מינימום אחת.
✅ פתרון סופי: סרטוט IV
סעיף ו – התחום שבו f(x) · f′(x) < 0
מכפלה של שני מספרים שלילית כאשר הם בעלי סימנים שונים. מסכמים את הסימנים מסעיפים ג ו־ה:
| x | f(x) | f′(x) | f · f′ |
|---|---|---|---|
| 0 < x < 12e | − | − | + |
| 12e < x < 12 | + | − | − |
| x > 12 | + | + | + |
המכפלה שלילית רק בתחום האמצעי.
📐 סימן של מכפלהפלוס · מינוס = מינוסמינוס · מינוס = פלוס✅ פתרון סופי: 12e < x < 12
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x > 0 , x ≠ 12e |
|---|---|
| סעיף ב | (1) לא ; (2) x = 12e |
| סעיף ג | מינימום (12 , 2) |
| סעיף ד | עולה: x > 12 יורדת: 0 < x < 12e , 12e < x < 12 |
| סעיף ה | סרטוט IV |
| סעיף ו | 12e < x < 12 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 11 – אסימפטוטה אנכית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף 2022 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – חורף מאוחר 2021, שאלה 5 הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = x2 · ln x.
א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
ב. מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.
ג. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.
ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ה. נתונות הפונקציות g(x) = −2f(x) , h(x) = f(x) − 2. רשום את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה h(x) ואת שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x). קבע את הסוג של כל אחת מהן. נמק את תשובותיך.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום ההגדרה
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln u מוגדר רק כאשר u > 0
✅ פתרון סופי: x > 0
סעיף ב – חיתוך עם ציר ה־x
מכפלה שווה לאפס כשאחד הגורמים שווה לאפס:
x2 = 0 ⟸ x = 0 – לא בתחום, נפסל.
ln x = 0 ⟸ x = 1📐 ln שווה אפסln u = 0 ⟺ u = 1
✅ פתרון סופי: (1 , 0)
סעיף ג – נקודת הקיצון
f′(x) = 2x · ln x + x2 · 1x = 2x · ln x + x📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′(ln x)′ = 1x
f′(x) = x(2ln x + 1)
משווים לאפס. x > 0 בתחום, ולכן:
2ln x + 1 = 0 ⟸ ln x = −12 ⟸ x = e−12 = 1√e ≈ 0.61📐 משוואה עם lnln x = k ⟺ x = ek
x = 0.5 : 0.5 · (2ln 0.5 + 1) ≈ 0.5 · (−0.39) < 0 ← יורדת
x = 1 : 1 · (0 + 1) = 1 > 0 ← עולה
יורדת ואז עולה – מינימום.
📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf(1√e) = (1√e)2 · ln e−12 = 1e · (−12) = −12e ≈ −0.18📐 ln של חזקה של eln ek = k
✅ פתרון סופי: מינימום (1√e , −12e) ≈ (0.61 , −0.18)
סעיף ד – סקיצה
כש־x שואף ל־0 מימין, x2 שואף ל־0 מהר יותר משהלוגריתם שואף למינוס אין־סוף, והגרף מתקרב לראשית (נקודה ריקה). הגרף יורד עד המינימום, עולה, חותך את ציר ה־x ב־(1 , 0) וממשיך לעלות.
✅ פתרון סופי: סקיצה (ראו למעלה)
סעיף ה – נקודות הקיצון של h(x) ושל g(x)
h(x) = f(x) − 2: הזזה של הגרף ב־2 למטה. שיעור ה־x לא משתנה, שיעור ה־y קטן ב־2, וסוג הקיצון נשאר מינימום.
📐 הזזה אנכיתf(x) + k – כל נקודה זזה ב־k לאורך ציר ה־yy = −12e − 2 ≈ −2.18
g(x) = −2f(x): כל ערך של הפונקציה מוכפל ב־−2. שיעור ה־x לא משתנה, שיעור ה־y מוכפל ב־−2, ובגלל המינוס הגרף מתהפך (שיקוף בציר ה־x) – המינימום הופך למקסימום.
📐 מתיחה ושיקוףk · f(x) עם k < 0 – שיקוף ומתיחהy = −2 · (−12e) = 1e ≈ 0.37
אפשר לבדוק בנגזרת: g′(x) = −2f′(x), ולכן הסימנים של g′ הפוכים לסימנים של f′: פלוס ואז מינוס – מקסימום.
✅ פתרון סופי: h: מינימום (1√e , −12e − 2)
g: מקסימום (1√e , 1e)
g: מקסימום (1√e , 1e)
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x > 0 |
|---|---|
| סעיף ב | (1 , 0) |
| סעיף ג | מינימום (1√e , −12e) |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה | h: מינימום (1√e , −12e − 2) g: מקסימום (1√e , 1e) |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – מציאת נקודות קיצון עם נגזרת מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף מאוחר 2021 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – חורף נבצרים 2021, שאלה 5 הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = −1 + 2x + ln(x2).
א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
ב. מצא את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה f(x) המאונכת לציר ה־x.
ג. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה), וקבע את סוגן.
ד. (1) מצא את f(1). (2) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ה. נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + 5. כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x? נמק.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום ההגדרה
x2 > 0📐 תחום הגדרה של lnln u מוגדר רק כאשר u > 0
ריבוע של מספר חיובי תמיד, חוץ מ־x = 0 שבו הוא שווה לאפס.
✅ פתרון סופי: x ≠ 0
סעיף ב – אסימפטוטה אנכית
כש־x שואף ל־0, x2 שואף ל־0 מצד חיובי ו־ln(x2) שואף למינוס אין־סוף. לכן x = 0 היא אסימפטוטה אנכית.
📐 אסימפטוטה אנכית של lnln u → −∞ כאשר u → 0+✅ פתרון סופי: x = 0
סעיף ג – נקודות הקיצון
(ln(x2))′ = 2xx2 = 2x📐 נגזרת של ln של פונקציה(ln g)′ = g′g
f′(x) = 2 + 2x = 2x + 2x = 2(x + 1)x
f′(x) = 0 ⟸ x + 1 = 0 ⟸ x = −1
x = −2 : 2 · (−1)−2 = 1 > 0 ← עולה
x = −0.5 : 2 · 0.5−0.5 = −2 < 0 ← יורדת
x = 1 : 2 · 21 = 4 > 0 ← עולה
| x | f′(x) | f(x) |
|---|---|---|
| x < −1 | + | ↗ עולה |
| −1 | 0 | מקסימום |
| −1 < x < 0 | − | ↘ יורדת |
| x > 0 | + | ↗ עולה |
עולה ואז יורדת – מקסימום. מימין לאסימפטוטה הפונקציה רק עולה, ואין שם קיצון.
📐 סוג הקיצוןf′: פלוס ← מינוס = מקסימוםf(−1) = −1 + 2 · (−1) + ln((−1)2) = −1 − 2 + ln 1 = −3📐 ln של 1ln 1 = 0
✅ פתרון סופי: מקסימום (−1 , −3)
סעיף ד – f(1) וסקיצה
f(1) = −1 + 2 · 1 + ln 1 = −1 + 2 + 0 = 1📐 ln של 1ln 1 = 0
(2) משמאל לאסימפטוטה: הגרף עולה (כש־x שואף למינוס אין־סוף, האיבר 2x מושך את הגרף למטה) עד המקסימום (−1 , −3), ויורד למינוס אין־סוף ליד x = 0 – כולו מתחת לציר ה־x. מימין לאסימפטוטה: הגרף עולה ממינוס אין־סוף, עובר דרך (1 , 1) וממשיך לעלות.
✅ פתרון סופי: (1) f(1) = 1
סעיף ה – מספר נקודות החיתוך של g(x)
g(x) = f(x) + 5 הוא הגרף של f מוזז ב־5 יחידות למעלה. המקסימום עובר ל־(−1 , −3 + 5) = (−1 , 2).
📐 הזזה אנכיתf(x) + k – הזזה ב־k לאורך ציר ה־yמשמאל לאסימפטוטה: הגרף עולה ממינוס אין־סוף עד (−1 , 2) שמעל ציר ה־x, ויורד שוב למינוס אין־סוף – חותך את הציר פעמיים.
מימין לאסימפטוטה: הגרף עולה כל הזמן ממינוס אין־סוף לפלוס אין־סוף – חותך את הציר פעם אחת.
✅ פתרון סופי: 3 נקודות חיתוך
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x ≠ 0 |
|---|---|
| סעיף ב | x = 0 |
| סעיף ג | מקסימום (−1 , −3) |
| סעיף ד | f(1) = 1 ; סקיצה |
| סעיף ה | 3 נקודות |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 11 – אסימפטוטה אנכית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף נבצרים 2021 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – חורף 2021, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
לפניך גרף הפונקציה f(x) = x2 − 4, המוגדרת לכל x.
א. (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (2) מה הם תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f(x)?
נתונה הפונקציה g(x) = ln(f(x)).
ב. (1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)? (2) מצא את משוואות האסימפטוטות האנכיות של הפונקציה g(x). (3) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x. תוכל להשאיר שורש בתשובתך. (4) מה הם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה g(x)? (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – חיתוך עם הצירים, חיוביות ושליליות
f(0) = 0 − 4 = −4 ← חיתוך עם ציר ה־y
x2 − 4 = 0 ⟸ x2 = 4 ⟸ x = ±2 ← חיתוך עם ציר ה־x
(2) פרבולה "מחייכת" עם שורשים ±2: חיובית מחוץ לשורשים, שלילית ביניהם.
📐 סימן של פרבולה מחייכתחיובית מחוץ לשורשים, שלילית בין השורשים✅ פתרון סופי: (1) (0 , −4) , (2 , 0) , (−2 , 0)
(2) חיובית: x < −2 , x > 2 ; שלילית: −2 < x < 2
(2) חיובית: x < −2 , x > 2 ; שלילית: −2 < x < 2
סעיף ב – חקירת g(x) = ln(f(x))
(1) הלוגריתם מוגדר רק כשמה שבתוכו חיובי, כלומר בתחומי החיוביות של f(x) (סעיף א):
x2 − 4 > 0 ⟸ x < −2 , x > 2📐 תחום הגדרה של lnln u מוגדר רק כאשר u > 0
(2) בקצוות התחום x2 − 4 שואף ל־0 מצד חיובי, ו־g שואפת למינוס אין־סוף – אסימפטוטות x = −2 , x = 2.
📐 אסימפטוטה אנכית של lnln u → −∞ כאשר u → 0+(3) חיתוך עם ציר ה־x:
ln(x2 − 4) = 0 ⟸ x2 − 4 = 1 ⟸ x2 = 5 ⟸ x = ±√5📐 ln שווה אפסln u = 0 ⟺ u = 1
שתי הנקודות בתחום (√5 ≈ 2.24 > 2).
(4) הנגזרת:
g′(x) = 2xx2 − 4📐 נגזרת של ln של פונקציה(ln u)′ = u′u
בתחום ההגדרה המכנה חיובי, ולכן הסימן הוא סימן 2x: שלילי כש־x < −2 (יורדת), חיובי כש־x > 2 (עולה).
(5) שני ענפים סימטריים: משמאל הגרף יורד מפלוס אין־סוף, חותך את הציר ב־(−√5 , 0) ושואף למינוס אין־סוף ליד x = −2; מימין הגרף עולה ממינוס אין־סוף ליד x = 2 וחותך ב־(√5 , 0).
✅ פתרון סופי: (1) x < −2 או x > 2
(2) x = −2 , x = 2
(3) (√5 , 0) , (−√5 , 0)
(4) יורדת x < −2 ; עולה x > 2
(2) x = −2 , x = 2
(3) (√5 , 0) , (−√5 , 0)
(4) יורדת x < −2 ; עולה x > 2
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | (0 , −4) , (±2 , 0) חיובית x < −2 , x > 2 ; שלילית −2 < x < 2 |
|---|---|
| סעיף ב | (1) x < −2 או x > 2 (2) x = ±2 (3) (±√5 , 0) (4) יורדת x < −2 ; עולה x > 2 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – תחום הגדרה של ln
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף 2021 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – קיץ 2020 מועד ב׳, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 5 · ln(x2 − 2x + 1).
א. (1) הראה כי תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) הוא x ≠ 1. (2) מצא את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה f(x) המאונכת לציר ה־x.
ב. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
ג. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.
ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ה. נתונה הפונקציה g(x) המוגדרת בתחום x ≠ 1, ונתון כי g′(x) = f(x). מצא את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של g(x), וקבע את סוגן. נמק.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטה
x2 − 2x + 1 = (x − 1)2📐 נוסחת הכפל המקוצר(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(x − 1)2 > 0 ⟸ x − 1 ≠ 0 ⟸ x ≠ 1📐 תחום הגדרה של lnln u מוגדר רק כאשר u > 0
ריבוע תמיד חיובי חוץ מהמקום שבו הוא שווה לאפס – וזה קורה רק ב־x = 1.
(2) כש־x שואף ל־1, (x − 1)2 שואף ל־0 מצד חיובי ו־f שואפת למינוס אין־סוף.
📐 אסימפטוטה אנכית של lnln u → −∞ כאשר u → 0+✅ פתרון סופי: (1) הוכח ; (2) x = 1
סעיף ב – תחומי עלייה וירידה
f′(x) = 5 · 2x − 2(x − 1)2 = 10(x − 1)(x − 1)2 = 10x − 1📐 נגזרת של ln של פונקציה(ln u)′ = u′u
x < 1 : x − 1 < 0 ⟸ f′ < 0 ← יורדת
x > 1 : x − 1 > 0 ⟸ f′ > 0 ← עולה
✅ פתרון סופי: יורדת: x < 1 ; עולה: x > 1
סעיף ג – נקודות חיתוך עם הצירים
f(0) = 5 · ln 1 = 0📐 ln של 1ln 1 = 0
ציר ה־x:
5 · ln((x − 1)2) = 0 ⟸ (x − 1)2 = 1 ⟸ x − 1 = ±1📐 ln שווה אפסln u = 0 ⟺ u = 1
x = 2 x = 0
✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (2 , 0)
סעיף ד – סקיצה
הגרף סימטרי סביב האסימפטוטה x = 1: משמאל יורד מפלוס אין־סוף דרך (0 , 0) למינוס אין־סוף, ומימין עולה ממינוס אין־סוף דרך (2 , 0) לפלוס אין־סוף.
✅ פתרון סופי: סקיצה (ראו למעלה)
סעיף ה – נקודות הקיצון של g(x)
g′(x) = f(x), ולכן בודקים איפה f מתאפסת ומחליפה סימן – לפי הסקיצה:
| x | g′(x) = f(x) | g(x) |
|---|---|---|
| x < 0 | + | ↗ עולה |
| 0 | 0 | מקסימום |
| 0 < x < 1 | − | ↘ יורדת |
| 1 < x < 2 | − | ↘ יורדת |
| 2 | 0 | מינימום |
| x > 2 | + | ↗ עולה |
ב־x = 0 הסימן עובר מפלוס למינוס, וב־x = 2 ממינוס לפלוס.
📐 סוג הקיצוןפלוס ← מינוס = מקסימוםמינוס ← פלוס = מינימום✅ פתרון סופי: מקסימום ב־x = 0 ; מינימום ב־x = 2
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x = 1 |
|---|---|
| סעיף ב | יורדת x < 1 ; עולה x > 1 |
| סעיף ג | (0 , 0) , (2 , 0) |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה | מקסימום ב־x = 0 מינימום ב־x = 2 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 11 – אסימפטוטה אנכית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2020 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – קיץ 2020 מועד א׳, שאלה 4 הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 4x · ln x.
א. (1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)? (2) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (3) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה. (4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = −2f(x).
ב. סרטט באותה מערכת צירים שבה סרטטת את הסקיצה של גרף הפונקציה f(x) סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
ג. מצא את המרחק בין נקודת הקיצון של הפונקציה f(x) לנקודת הקיצון של הפונקציה g(x).
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – חקירת f(x)
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0
(2) ציר ה־y: x = 0 לא בתחום – אין חיתוך. ציר ה־x:
4x · ln x = 0 ⟸ x = 0 (נפסל) או ln x = 0 ⟸ x = 1📐 ln שווה אפסln x = 0 ⟺ x = 1
(3) נגזרת מכפלה:
f′(x) = 4 · ln x + 4x · 1x = 4ln x + 4📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′(ln x)′ = 1x
4ln x + 4 = 0 ⟸ ln x = −1 ⟸ x = e−1 = 1e ≈ 0.37📐 משוואה עם lnln x = k ⟺ x = ek
x = 0.1 : 4ln 0.1 + 4 ≈ −5.2 < 0 ← יורדת
x = 1 : 0 + 4 = 4 > 0 ← עולה
f(1e) = 4 · 1e · ln 1e = 4e · (−1) = −4e ≈ −1.47📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימום
(4) כש־x שואף ל־0 מימין, f שואפת ל־0 (נקודה ריקה בראשית). הגרף יורד עד המינימום, עולה וחותך את הציר ב־(1 , 0). הסקיצה מופיעה בסעיף ב יחד עם g.
✅ פתרון סופי: (1) x > 0
(2) (1 , 0)
(3) מינימום (1e , −4e)
(2) (1 , 0)
(3) מינימום (1e , −4e)
סעיף ב – סקיצה של f(x) ושל g(x)
g(x) = −2f(x): כל ערך של f מוכפל ב־−2. הגרף מתהפך סביב ציר ה־x ונמתח פי 2: נקודות החיתוך עם הציר נשארות, והמינימום הופך למקסימום (1e , 8e).
📐 מתיחה ושיקוףk · f(x) עם k < 0 – שיקוף ומתיחה✅ פתרון סופי: סקיצה (ראו למעלה; f בכחול, g בסגול)
סעיף ג – המרחק בין נקודות הקיצון
g(1e) = −2 · (−4e) = 8e
לשתי הנקודות אותו שיעור x (1e), ולכן המרחק הוא ההפרש בין שיעורי ה־y:
d = 8e − (−4e) = 12e ≈ 4.41📐 מרחק בין נקודותd = √((x1 − x2)2 + (y1 − y2)2)
✅ פתרון סופי: d = 12e ≈ 4.41
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | x > 0 ; (1 , 0) מינימום (1e , −4e) |
|---|---|
| סעיף ב | סקיצה |
| סעיף ג | 12e ≈ 4.41 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 17 – מציאת נקודות קיצון עם נגזרת מכפלה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2020 מועד א׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – חורף 2020, שאלה 4 שטח · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 9 − (ln x)2.
א. (1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)? (2) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (3) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה. (4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ב. בציור שלפניך מוצג גרף של פונקציית הנגזרת f′(x). מצא את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = e ועל ידי ציר ה־x.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – חקירת f(x)
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0
(2) ציר ה־y: x = 0 לא בתחום – אין חיתוך. ציר ה־x:
9 − (ln x)2 = 0 ⟸ (ln x)2 = 9 ⟸ ln x = ±3
x = e3 ≈ 20.09 x = e−3 ≈ 0.05📐 משוואה עם lnln x = k ⟺ x = ek
(3) גוזרים (כלל השרשרת):
f′(x) = −2 ln x · 1x = −2ln xx📐 נגזרת של חזקה של פונקציה(u2)′ = 2u · u′(ln x)′ = 1x
f′(x) = 0 ⟸ ln x = 0 ⟸ x = 1
המכנה x חיובי, ולכן הסימן הפוך לסימן ln x: כש־0 < x < 1 ln x < 0 ו־f′ > 0 (עולה); כש־x > 1 f′ < 0 (יורדת).
f(1) = 9 − 02 = 9📐 סוג הקיצוןf′: פלוס ← מינוס = מקסימום
(4) כש־x שואף ל־0 מימין, (ln x)2 שואף לאין־סוף ו־f שואפת למינוס אין־סוף. הגרף עולה, חותך את הציר ב־(e−3 , 0) (קרוב מאוד לציר ה־y), מגיע למקסימום (1 , 9), יורד וחותך שוב ב־(e3 , 0).
✅ פתרון סופי: (1) x > 0
(2) (e−3 , 0) , (e3 , 0)
(3) מקסימום (1 , 9)
(2) (e−3 , 0) , (e3 , 0)
(3) מקסימום (1 , 9)
סעיף ב – השטח מתחת לגרף הנגזרת
גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x ב־x = 1 (סעיף א). בין x = 1 ל־x = e הנגזרת שלילית, כלומר השטח נמצא מתחת לציר:
S = −∫e1 f′(x) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = −∫ba f(x) dx
אין צורך לחשב אינטגרל חדש: הפונקציה הקדומה של f′(x) היא f(x) עצמה.
📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)f(e) = 9 − (ln e)2 = 9 − 1 = 8
S = −(f(e) − f(1)) = −(8 − 9) = 1
✅ פתרון סופי: S = 1
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | x > 0 (e−3 , 0) , (e3 , 0) מקסימום (1 , 9) |
|---|---|
| סעיף ב | S = 1 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27 – מציאת שטח
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף 2020 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – חורף 2019, שאלה 5 הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 2ln(x) + 2ln(x2) − 3.
א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
ב. מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.
ג. מצא את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ה. הוסף בקו מקווקו למערכת הצירים שסרטטת בסעיף ד סקיצה של גרף הפונקציה −f(x).
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום ההגדרה
ln x דורש x > 0, ו־ln(x2) דורש x ≠ 0. שני התנאים יחד:
📐 תחום הגדרה של lnln u מוגדר רק כאשר u > 0✅ פתרון סופי: x > 0
סעיף ב – חיתוך עם ציר ה־x
בתחום x > 0 אפשר לפשט:
ln(x2) = 2ln x📐 חוק החזקה של lnln(an) = n · ln a
f(x) = 2ln x + 4ln x − 3 = 6ln x − 3
6ln x − 3 = 0 ⟸ ln x = 12 ⟸ x = e12 = √e ≈ 1.65📐 משוואה עם lnln x = k ⟺ x = ek
✅ פתרון סופי: (√e , 0)
סעיף ג – תחומי עלייה וירידה
f′(x) = 6x📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
בתחום x > 0 הנגזרת חיובית תמיד – הפונקציה עולה בכל התחום, ואין לה תחומי ירידה.
✅ פתרון סופי: עולה: x > 0 ; אין תחומי ירידה
סעיפים ד–ה – סקיצה של f(x) ושל −f(x)
ד. כש־x שואף ל־0 מימין, ln x שואף למינוס אין־סוף, ולכן x = 0 היא אסימפטוטה אנכית. הגרף עולה כל הזמן וחותך את ציר ה־x ב־(√e , 0) (קו מלא כחול).
ה. −f(x) הוא שיקוף של הגרף בציר ה־x: אותה נקודת חיתוך, והגרף יורד במקום לעלות (קו מקווקו סגול).
📐 שיקוף בציר ה־x−f(x): (x , y) → (x , −y)✅ פתרון סופי: סקיצה (ראו למעלה)
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x > 0 |
|---|---|
| סעיף ב | (√e , 0) |
| סעיף ג | עולה x > 0 |
| סעיפים ד–ה | סקיצה |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 6 – משוואות עם חוקי הלוגריתמים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף 2019 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – קיץ 2018 מועד ב׳, שאלה 5 גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ln(x2)x2.
א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצא את משוואת האסימפטוטה האנכית של הפונקציה f(x). (3) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (4) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן. (5) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x). (6) מצא את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f(x).
ב. לפניך ארבעה גרפים (I–IV). איזה מהם הוא הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)? נמק.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – חקירת f(x)
x2 > 0 ⟸ x ≠ 0📐 תחום הגדרה של lnln u מוגדר רק כאשר u > 0
(2) כש־x שואף ל־0, המונה שואף למינוס אין־סוף והמכנה ל־0 מצד חיובי – f שואפת למינוס אין־סוף. אסימפטוטה: x = 0.
(3) ציר ה־y: x = 0 לא בתחום. ציר ה־x:
ln(x2) = 0 ⟸ x2 = 1 ⟸ x = ±1📐 ln שווה אפסln u = 0 ⟺ u = 1
(4) נגזרת מנה:
f′(x) = 2xx2 · x2 − ln(x2) · 2xx4📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 2x(1 − ln(x2))x4 = 2(1 − ln(x2))x3
1 − ln(x2) = 0 ⟸ x2 = e ⟸ x = ±√e ≈ ±1.65📐 משוואה עם lnln u = k ⟺ u = ek
f(±√e) = ln ee = 1e
טבלת סימנים (הסימן של המונה 1 − ln(x2): חיובי כש־x2 < e, ושל המכנה x3: כסימן x):
| x | f′(x) | f(x) |
|---|---|---|
| x < −√e | + | ↗ עולה |
| −√e | 0 | מקסימום |
| −√e < x < 0 | − | ↘ יורדת |
| 0 < x < √e | + | ↗ עולה |
| √e | 0 | מקסימום |
| x > √e | − | ↘ יורדת |
(5) הפונקציה זוגית (f(−x) = f(x)) – הגרף סימטרי לציר ה־y. בקצוות הגרף מתקרב לציר ה־x מלמעלה, וליד x = 0 יורד למינוס אין־סוף.
(6) המכנה x2 חיובי, ולכן הסימן הוא סימן ln(x2): חיובי כש־x2 > 1, ושלילי כש־x2 < 1 (בלי 0).
📐 סימן של lnln u > 0 ⟺ u > 1✅ פתרון סופי: (1) x ≠ 0 ; (2) x = 0
(3) (1 , 0) , (−1 , 0)
(4) מקסימום (√e , 1e) , מקסימום (−√e , 1e)
(6) חיובית: x < −1 , x > 1
שלילית: −1 < x < 0 , 0 < x < 1
(3) (1 , 0) , (−1 , 0)
(4) מקסימום (√e , 1e) , מקסימום (−√e , 1e)
(6) חיובית: x < −1 , x > 1
שלילית: −1 < x < 0 , 0 < x < 1
סעיף ב – זיהוי גרף הנגזרת
בודקים את הסימן של f′ בכל תחום (מסעיף א4) ואת ההתנהגות ליד x = 0:
מימין לציר ה־y: f′ חיובית עד √e ושלילית אחריו, וליד 0 היא שואפת לפלוס אין־סוף (המכנה x3 קטן וחיובי).
משמאל לציר ה־y: f′ חיובית עד −√e ושלילית אחריו, וליד 0 היא שואפת למינוס אין־סוף (המכנה שלילי).
רק בגרף IV הענף הימני יורד מלמעלה וחוצה את ציר ה־x, והענף השמאלי חוצה את הציר כלפי מטה ויורד למינוס אין־סוף.
✅ פתרון סופי: גרף IV
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | (1) x ≠ 0 ; (2) x = 0 (3) (±1 , 0) (4) מקסימום (±√e , 1e) (6) חיובית |x| > 1 ; שלילית 0 < |x| < 1 |
|---|---|
| סעיף ב | גרף IV |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – קיצון עם מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2018 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – קיץ 2018 מועד א׳, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 2xln(x) − 2.
א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
ב. (1) האם גרף הפונקציה f(x) חותך את הצירים? אם כן, מצא את נקודות החיתוך. אם לא, נמק. (2) לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אנכית אחת. מצא את משוואתה. (3) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה. (4) מה הם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)? (5) חשב את f(0.1) וסרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
הפונקציה g(x) מקיימת g′(x) = f(x).
ג. מהו תחום העלייה של הפונקציה g(x)?
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום ההגדרה
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0
ln x − 2 ≠ 0 ⟸ ln x ≠ 2 ⟸ x ≠ e2📐 תחום הגדרה של שברמכנה ≠ 0
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ e2
סעיף ב – חקירת f(x)
(1) ציר ה־y: x = 0 לא בתחום. ציר ה־x: המונה 2x = 0 רק כש־x = 0 – גם לא בתחום. לכן הגרף לא חותך את הצירים.
(2) ב־x = e2 המכנה מתאפס והמונה 2e2 ≠ 0 – אסימפטוטה אנכית.
(3) נגזרת מנה:
f′(x) = 2(ln x − 2) − 2x · 1x(ln x − 2)2 = 2ln x − 6(ln x − 2)2📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
2ln x − 6 = 0 ⟸ ln x = 3 ⟸ x = e3 ≈ 20.09📐 משוואה עם lnln x = k ⟺ x = ek
המכנה ריבוע חיובי, ולכן הסימן הוא סימן 2ln x − 6: שלילי כש־x < e3, חיובי כש־x > e3.
f(e3) = 2e33 − 2 = 2e3 ≈ 40.17📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימום
(4) יורדת: 0 < x < e2 , e2 < x < e3. עולה: x > e3.
f(0.1) = 0.2ln 0.1 − 2 ≈ 0.2−4.30 ≈ −0.05
(5) הערך הזה מראה שליד x = 0 הגרף קרוב מאוד לראשית ומתחת לציר. משמאל לאסימפטוטה הגרף יורד מהראשית (נקודה ריקה) למינוס אין־סוף; מימין הוא יורד מפלוס אין־סוף עד המינימום (e3 , 2e3) ועולה שוב.
✅ פתרון סופי: (1) אין חיתוך ; (2) x = e2
(3) מינימום (e3 , 2e3)
(5) f(0.1) ≈ −0.05
(3) מינימום (e3 , 2e3)
(5) f(0.1) ≈ −0.05
סעיף ג – תחום העלייה של g(x)
g′(x) = f(x), ולכן g עולה איפה ש־f(x) > 0. המונה 2x חיובי בתחום, ולכן צריך מכנה חיובי:
📐 עלייה לפי הנגזרתg′ > 0 ⟸ g עולהln x − 2 > 0 ⟸ x > e2
✅ פתרון סופי: x > e2
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x > 0 , x ≠ e2 |
|---|---|
| סעיף ב | אין חיתוך ; x = e2 מינימום (e3 , 2e3) יורדת 0 < x < e2 , e2 < x < e3 עולה x > e3 |
| סעיף ג | x > e2 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – קיצון עם מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2018 מועד א׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – קיץ 2017 מועד א׳, שאלה 5 הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ln(1 + x)2 + 2x.
א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
ב. מצא את האסימפטוטה של הפונקציה f(x) המאונכת לציר ה־x.
ג. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).
ד. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.
ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
ו. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה −f(x).
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום ההגדרה
1 + x > 0 ⟸ x > −1📐 תחום הגדרה של lnln u מוגדר רק כאשר u > 0
בתחום הזה גם המכנה 2 + 2x = 2(1 + x) שונה מאפס.
✅ פתרון סופי: x > −1
סעיף ב – אסימפטוטה אנכית
כש־x שואף ל־−1 מימין, ln(1 + x) שואף למינוס אין־סוף והמכנה ל־0 מצד חיובי – f שואפת למינוס אין־סוף.
✅ פתרון סופי: x = −1
סעיף ג – נקודות חיתוך עם הצירים
f(0) = ln 12 = 0📐 ln של 1ln 1 = 0
ln(1 + x) = 0 ⟸ 1 + x = 1 ⟸ x = 0
נקודת החיתוך היחידה – ראשית הצירים.
✅ פתרון סופי: (0 , 0)
סעיף ד – נקודת הקיצון
נגזרת מנה עם u = ln(1 + x) (u′ = 11 + x) ו־v = 2 + 2x (v′ = 2):
f′(x) = 11 + x · 2(1 + x) − 2ln(1 + x)4(1 + x)2 = 2 − 2ln(1 + x)4(1 + x)2📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
2 − 2ln(1 + x) = 0 ⟸ ln(1 + x) = 1 ⟸ 1 + x = e ⟸ x = e − 1 ≈ 1.72📐 משוואה עם lnln u = k ⟺ u = ek
x = 0 : 2 − 0 = 2 > 0 ← עולה
x = 5 : 2 − 2ln 6 ≈ −1.6 < 0 ← יורדת
f(e − 1) = ln e2e = 12e ≈ 0.18📐 סוג הקיצוןf′: פלוס ← מינוס = מקסימום
✅ פתרון סופי: מקסימום (e − 1 , 12e)
סעיפים ה–ו – סקיצה של f(x) ושל −f(x)
ה. הגרף של f (כחול) עולה ממינוס אין־סוף ליד x = −1, עובר בראשית, מגיע למקסימום (e − 1 , 12e), ויורד לאט לכיוון ציר ה־x (נשאר מעליו).
ו. −f(x) (סגול, מקווקו) – שיקוף בציר ה־x: יורד מפלוס אין־סוף, עובר בראשית, מינימום (e − 1 , −12e), ועולה לכיוון הציר.
📐 שיקוף בציר ה־x−f(x): (x , y) → (x , −y)✅ פתרון סופי: סקיצה (ראו למעלה)
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x > −1 |
|---|---|
| סעיף ב | x = −1 |
| סעיף ג | (0 , 0) |
| סעיף ד | מקסימום (e − 1 , 12e) |
| סעיפים ה–ו | סקיצה |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 18 – קיצון עם מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – קיץ 2017 מועד א׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📅 שאלון 482 – חורף 2017, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = (ln x)2 − 2ln x.
א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה.
ב. מצא את השיעורים של נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה), וקבע את סוגן.
ג. מצא את השיעורים של נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.
ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
ה. מצא את התחום שבו גם f(x) חיובית וגם f′(x) חיובית.
ו. g(x) היא פונקציה המקיימת g′(x) = f(x) בתחום x > 0. מצא את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של g(x), וקבע את סוגן.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום ההגדרה
x > 0📐 תחום הגדרה של lnln x מוגדר רק כאשר x > 0
✅ פתרון סופי: x > 0
סעיף ב – נקודות הקיצון
f′(x) = 2ln x · 1x − 2x = 2(ln x − 1)x📐 נגזרת של חזקה של פונקציה(u2)′ = 2u · u′(ln x)′ = 1x
ln x − 1 = 0 ⟸ ln x = 1 ⟸ x = e
x > 0, ולכן הסימן הוא סימן ln x − 1: שלילי כש־x < e, חיובי כש־x > e.
f(e) = 12 − 2 · 1 = −1📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימום
✅ פתרון סופי: מינימום (e , −1)
סעיף ג – חיתוך עם ציר ה־x
ln x(ln x − 2) = 0📐 הוצאת גורם משותףt2 − 2t = t(t − 2)
ln x = 0 ⟸ x = 1
ln x = 2 ⟸ x = e2 ≈ 7.39
✅ פתרון סופי: (1 , 0) , (e2 , 0)
סעיף ד – סקיצה
כש־x שואף ל־0 מימין, (ln x)2 שואף לאין־סוף מהר יותר, ו־f שואפת לפלוס אין־סוף (x = 0 אסימפטוטה). הגרף יורד, חותך ב־(1 , 0), מגיע למינימום (e , −1), עולה וחותך שוב ב־(e2 , 0).
✅ פתרון סופי: סקיצה (ראו למעלה)
סעיף ה – f(x) חיובית וגם f′(x) חיובית
לפי הסקיצה f(x) > 0 כש־0 < x < 1 או x > e2. לפי סעיף ב f′(x) > 0 כש־x > e. החלק המשותף:
✅ פתרון סופי: x > e2
סעיף ו – נקודות הקיצון של g(x)
g′(x) = f(x): הנגזרת של g מתאפסת ב־x = 1 וב־x = e2, והסימנים לפי הסקיצה של f:
| x | g′(x) = f(x) | g(x) |
|---|---|---|
| 0 < x < 1 | + | ↗ עולה |
| 1 | 0 | מקסימום |
| 1 < x < e2 | − | ↘ יורדת |
| e2 | 0 | מינימום |
| x > e2 | + | ↗ עולה |
ב־x = 1 מפלוס למינוס, וב־x = e2 ממינוס לפלוס.
📐 סוג הקיצוןפלוס ← מינוס = מקסימוםמינוס ← פלוס = מינימום✅ פתרון סופי: מקסימום ב־x = 1 ; מינימום ב־x = e2
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x > 0 |
|---|---|
| סעיף ב | מינימום (e , −1) |
| סעיף ג | (1 , 0) , (e2 , 0) |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה | x > e2 |
| סעיף ו | מקסימום ב־x = 1 מינימום ב־x = e2 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 5 – משוואות עם ln והצבה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln 4 יחידות
📄 השאלון המלא – חורף 2017 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 472 לפי נושא
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.
השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il