שיעור 7- תרגיל 4
שאלה: התפלגות נורמלית – חישוב ממוצע, חציון, שכיח וסטיית תקן
בכיתה ט' נערך מבחן במתמטיקה. הציונים במבחן מתפלגים נורמלית.
ידוע ש-50% מהתלמידים קיבלו ציון גבוה מ-75 ו-50% קיבלו ציון נמוך מ-75.
א. מצא את הממוצע, החציון והשכיח.
ב. משה קיבל במבחן זה 85, וידוע ש-20% מהתלמידים ציונם גבוה ממנו. מצא את סטיית התקן.
פתרון מלא ומפורט
סעיף א': מציאת הממוצע, החציון והשכיח
בהתפלגות נורמלית, הגרף סימטרי לחלוטין סביב המרכז. הציון שמשמאלו נמצאים 50% מהנתונים ומימינו נמצאים 50% מהנתונים הוא בדיוק נקודת האמצע.
- ממוצע (X̄): X̄ = 75
- חציון: בהתפלגות נורמלית החציון שווה לממוצע, לכן החציון הוא 75.
- שכיח: בהתפלגות נורמלית השכיח שווה לממוצע ולחציון, לכן השכיח הוא 75.
סעיף ב': חישוב סטיית התקן (S)
1. מציאת השטח משמאל לציון:
נתון ש-20% מהתלמידים קיבלו ציון גבוה מ-85.
מכאן שההסתברות לתלמיד שקיבל ציון נמוך מ-85 היא: 100% – 20% = 80% (או P = 0.80).
2. מציאת ציון התקן (Z) בטבלה:
מחפשים בטבלת התפלגות נורמלית את ערך ההסתברות 0.8000.
הערך הקרוב ביותר בטבלה מתאים לציון תקן של: Z = 0.84.
3. הצבה בנוסחה וחישוב סטיית התקן (S):
נוסחת ציון התקן היא: Z = (X – X̄) / S
נבדד את סטיית התקן (S): S = (X – X̄) / Z
S = (85 – 75) / 0.84
S = 10 / 0.84
S = 11.9
תשובות סופיות:
א. הממוצע הוא X̄ = 75, החציון הוא 75, והשכיח הוא 75.
ב. סטיית התקן היא S = 11.9 (או 11.90).
