השאלה:

ציוני בחינות בבית ספר גדול מתפלגים נורמלית.

הציון הממוצע הוא 75, וסטיית התקן היא 15.

א. בוחרים באקראי תלמיד. מהי ההסתברות שהציון שלו נמוך מ-95?

ב. בוחרים באקראי תלמיד. מהי ההסתברות שהציון שלו בין 60 ל-95?

פתרון מלא ומפורט

ריכוז הנתונים והנוסחה

נתוני השאלה:

• ציון ממוצע: X̄ = 75
• סטיית תקן: S = 15

נוסחת ציון התקן (Z):

Z = (X – X̄) / S

פתרון סעיף א'

אנחנו מחפשים את ההסתברות P(X < 95).

1. חישוב ציון התקן (Z) עבור X = 95:

Z = (95 – 75) / 15

Z = 20 / 15 = 1.33

2. מציאת ההסתברות בטבלה:

לפי טבלת התפלגות נורמלית סטנדרטית, השטח שמשמאל ל-Z = 1.33 הוא 0.9082.

תשובה סופית לסעיף א': ההסתברות שהציון של תלמיד שנבחר באקראי נמוך מ-95 היא 0.9082 (או 90.82%).

פתרון סעיף ב'

אנחנו מחפשים את ההסתברות שהציון בין 60 ל-95, כלומר P(60 < X < 95).

1. ציון התקן עבור הגבול העליון (X = 95):

Z₂ = 1.33 (כפי שחישבנו בסעיף א').

ההסתברות המתאימה מתוך הטבלה: P(Z < 1.33) = 0.9082.

2. ציון התקן עבור הגבול התחתון (X = 60):

Z₁ = (60 – 75) / 15

Z₁ = -15 / 15 = -1.00

לפי טבלת התפלגות נורמלית, השטח שמשמאל ל-Z = -1.00 הוא 0.1587.

3. חישוב ההסתברות שבין שני הערכים:

P(60 < X < 95) = P(Z < 1.33) - P(Z < -1.00)

0.9082 – 0.1587 = 0.7495

תשובה סופית לסעיף ב': ההסתברות שהציון של תלמיד שנבחר באקראי הוא בין 60 ל-95 היא 0.7495 (או 74.95%).