בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · שאלות לפי נושא

שאלות בגרות 471 לפי נושא – סטטיסטיקה ורגרסיה

כל שאלות הסטטיסטיקה והרגרסיה מבחינות הבגרות בשאלון 471 (תוכנית חדשה), מהבחינה החדשה ביותר אחורה: ממוצע, סטיית תקן, מקדם מתאם וקו רגרסיה. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.

⬅️ חזרה לקורס: סטטיסטיקה – 471⬅️ חזרה לקורס: רגרסיה – 471

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 471 לפי נושא

21 שאלות פתורות: 13 משאלון 471 ו־8 משאלון 472 (2022–2023, כשהסטטיסטיקה עוד הייתה בשאלון 472). לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה.

📅 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 2

📄 נוסח השאלה

חוקר סביבה בדק ב־6 ערים שונות את הקשר בין גודל השטח הירוק (פארקים וגינות) לנפש בעיר (המשתנה x) ובין רמת זיהום האוויר בעיר (המשתנה y). החוקר קבע את רמת זיהום האוויר בכל עיר על פי מדד איכות האוויר (מדד מספרי של כמות המזהמים באוויר). הנתונים מוצגים בדיאגרמת הפיזור.

נסמן ב־r את מקדם המתאם בין x ל־y.

א. לפניכם ארבעה היגדים I–IV. קבעו איזה היגד נכון. נמקו את קביעתכם.
I. 0 < r < 1
II. r = −1
III. −1 < r < 0
IV. אי אפשר לקבוע את טווח הערכים של r.

ב. (1) חשבו את ממוצע גודל השטח הירוק לנפש ב־6 הערים. (2) חשבו את ממוצע רמת זיהום האוויר ב־6 הערים.

נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x היא y = −1.8x + b.

ג. (1) מצאו את הערך של b. (2) על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי לרמת זיהום האוויר בעיר שגודל השטח הירוק שלה הוא 18 מ"ר לנפש?

ד. חשבו את סטיית התקן של גודל השטח הירוק ב־6 הערים.

החוקר מצא כי סטיית התקן של רמת זיהום האוויר היא Sy = √5003.

ה. היעזרו במשוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x ומצאו את מקדם המתאם r.

החוקר גילה שהייתה תקלה במכשיר המדידה, וכי למעשה רמת זיהום האוויר בכל אחת מ־6 הערים הייתה גבוהה ב־4 מרמת הזיהום שנמדדה. החוקר תיקן את הנתונים בהתאם לכך.

ו. (1) האם שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x לאחר תיקון הנתונים גדל, קטן או לא השתנה? נמקו. (2) כתבו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x לאחר תיקון הנתונים.

דיאגרמת הפיזור לשאלה 2
✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – איזה היגד נכון

קוראים את 6 הנקודות מהדיאגרמה:
עיר123456
x51015152025
y504030203010
כאשר x (השטח הירוק) גדל, y (הזיהום) בדרך כלל קטן – זו מגמה יורדת, ולכן המתאם שלילי: r < 0.
הנקודות לא נמצאות כולן על ישר אחד (למשל ב־x = 15 יש שתי נקודות שונות: 30 ו־20), ולכן המתאם לא מלא: r ≠ −1.
−1 < r < 0📐 מקדם המתאם−1 ≤ r ≤ 1r = −1 ← כל הנקודות על ישר יורד
✅ פתרון סופי: היגד III – −1 < r < 0

סעיף ב – הממוצעים

x̄ = 5 + 10 + 15 + 15 + 20 + 256📐 ממוצעx̄ = סכום הערכיםמספר הערכים
x̄ = 906 = 15
ȳ = 50 + 40 + 30 + 20 + 30 + 106
ȳ = 1806 = 30
✅ פתרון סופי: (1) x̄ = 15 מ"ר לנפש   (2) ȳ = 30

סעיף ג – ישר הרגרסיה והניבוי

(1) ישר הרגרסיה תמיד עובר בנקודת הממוצעים (x̄ , ȳ) = (15 , 30). מציבים אותה במשוואה:
30 = −1.8 · 15 + b📐 ישר הרגרסיה עובר בממוצעיםȳ = a · x̄ + b
30 = −27 + b
מעבירים אגפים:
b = 30 + 27 = 57
ישר הרגרסיה: y = −1.8x + 57
(2) מציבים x = 18:
y = −1.8 · 18 + 57
y = −32.4 + 57 = 24.6
✅ פתרון סופי: (1) b = 57   (2) 24.6

סעיף ד – סטיית התקן של השטח הירוק

מחשבים את הסטייה של כל ערך מהממוצע x̄ = 15, ומעלים בריבוע:
x51015152025
x − x̄−10−500510
(x − x̄)²100250025100
סכום הריבועים: 100 + 25 + 0 + 0 + 25 + 100 = 250
Sx² = 2506 = 1253 ≈ 41.67📐 שונות וסטיית תקןSx² = סכום (x − x̄)²nSx = √Sx²
Sx = √1253 ≈ 6.45
✅ פתרון סופי: Sx = √1253 ≈ 6.45

סעיף ה – מקדם המתאם

שיפוע ישר הרגרסיה a = −1.8 קשור למקדם המתאם בנוסחה:
−1.8 = r · SySx📐 שיפוע ישר הרגרסיהa = r · SySx
מחשבים את היחס בין סטיות התקן:
SySx = √5003√1253 = √500125 = √4 = 2
−1.8 = r · 2
מחלקים ב־2:
r = −1.82 = −0.9
מתאים לסעיף א: −1 < −0.9 < 0 ✓
✅ פתרון סופי: r = −0.9

סעיף ו – אחרי תיקון הנתונים

(1) לכל ערך של y מוסיפים 4. כל הנקודות עולות 4 יחידות למעלה – בלי לשנות את המרחקים ביניהן.
לכן מקדם המתאם r לא משתנה, Sx לא משתנה, וגם Sy לא משתנה (הוספת קבוע לא משנה את הפיזור).
a = r · SySx = −1.8📐 שיפוע ישר הרגרסיהa = r · SySx
כלומר השיפוע לא השתנה.
(2) הממוצע החדש של y גדל ב־4:
הממוצע החדש: ȳ = 30 + 4 = 34📐 הוספת קבועy + 4 ← ȳ + 4
ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים החדשה (15 , 34):
34 = −1.8 · 15 + b
34 = −27 + b
b = 34 + 27 = 61
✅ פתרון סופי: (1) השיפוע לא השתנה   (2) y = −1.8x + 61

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהיגד III
סעיף בx̄ = 15 , ȳ = 30
סעיף גb = 57 ; ניבוי 24.6
סעיף דSx ≈ 6.45
סעיף הr = −0.9
סעיף והשיפוע לא השתנה; y = −1.8x + 61
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471 · קורס סטטיסטיקה 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2026 מועד א', שאלה 2

📄 נוסח השאלה

בחברת שיווק בדקו את הקשר בין ההוצאות על פרסום (המשתנה x) ובין ההכנסות (המשתנה y) של 5 חברות א'–ה' בחודש מסוים. הנתונים (באלפי שקלים):

החברההוצאות על פרסום xהכנסות y
א'1016
ב'1517
ג'2020
ד'2534
ה'3068

א. (1) חשבו את ממוצע ההוצאות על פרסום של 5 החברות בחודש זה. (2) חשבו את סטיית התקן של ההוצאות על פרסום של 5 החברות בחודש זה.

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 5 החברות בחודש זה היה 31 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 8√6 אלף שקלים.

ב. מצאו את מקדם המתאם r.

ג. (1) מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x. (2) על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי להכנסות החודשיות בחברה שההוצאות החודשיות שלה על פרסום הן 24 אלף שקלים?

בחודש שלאחר מכן גדלו ההכנסות של כל אחת מן החברות ב־15% (ההוצאות על פרסום לא השתנו).

ד. קבעו בעבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון, ונמקו:
I. בחודש שבו גדלו ההכנסות הייתה סטיית התקן של ההכנסות 10√6.
II. בחודש שבו גדלו ההכנסות, שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x לא השתנה.
III. הנקודה (20 , 35.65) נמצאת על ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x בחודש שבו גדלו ההכנסות.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א (1) – ממוצע ההוצאות

x̄ = 10 + 15 + 20 + 25 + 305 = 1005 = 20📐 ממוצעx̄ = x1 + x2 + … + xnn
✅ פתרון סופי: x̄ = 20 אלף ₪

סעיף א (2) – סטיית התקן של ההוצאות

מחשבים את המרחק של כל ערך מהממוצע 20, ומעלים בריבוע:
(10 − 20)2 = (−10)2 = 100
(15 − 20)2 = (−5)2 = 25
(20 − 20)2 = 0
(25 − 20)2 = 52 = 25
(30 − 20)2 = 102 = 100
מחשבים את השונות (ממוצע הריבועים):
Sx2 = 100 + 25 + 0 + 25 + 1005 = 2505 = 50📐 שונות וסטיית תקןS2 = (x1 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2nS = √S2
מוציאים שורש:
Sx = √50 = 5√2 ≈ 7.07
✅ פתרון סופי: Sx = √50 ≈ 7.07 אלף ₪

סעיף ב – מקדם המתאם

מחשבים לכל חברה את מכפלת המרחקים מהממוצעים (x̄ = 20 , ȳ = 31):
(10 − 20)(16 − 31) = (−10)(−15) = 150
(15 − 20)(17 − 31) = (−5)(−14) = 70
(20 − 20)(20 − 31) = 0 · (−11) = 0
(25 − 20)(34 − 31) = 5 · 3 = 15
(30 − 20)(68 − 31) = 10 · 37 = 370
סכום המכפלות: A = 150 + 70 + 0 + 15 + 370 = 605
מציבים בנוסחת מקדם המתאם:
r = 6055 · √50 · 8√6📐 מקדם המתאםr = An · Sx · SyA – סכום המכפלות (x − x̄)(y − ȳ)
= 6055 · 7.071 · 19.596
= 605692.82 ≈ 0.873
הקשר חיובי וחזק: ככל שמשקיעים יותר בפרסום, ההכנסות גבוהות יותר.
✅ פתרון סופי: r ≈ 0.873

סעיף ג (1) – ישר הרגרסיה

מחשבים את השיפוע:
m = r · SySx = 6055 · 50 = 605250 = 2.42📐 שיפוע ישר הרגרסיהm = r · SySx
(כשמציבים את r המלא, השורשים מצטמצמים ויוצא בדיוק 2.42.)
ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (20 , 31):
y − 31 = 2.42(x − 20)📐 ישר הרגרסיהy − ȳ = m(x − x̄)
פותחים סוגריים:
y − 31 = 2.42x − 48.4
y = 2.42x − 48.4 + 31
y = 2.42x − 17.4
✅ פתרון סופי: y = 2.42x − 17.4

סעיף ג (2) – ניבוי עבור 24 אלף ₪

מציבים x = 24 במשוואת הישר:
y = 2.42 · 24 − 17.4
y = 58.08 − 17.4 = 40.68
✅ פתרון סופי: y ≈ 40.68 אלף ₪ (בערך 40,680 ₪)

סעיף ד – נכון או לא נכון

כל הכנסה גדלה ב־15%, כלומר כל y נכפל ב־1.15:
y′ = 1.15 · y📐 הגדלה באחוזיםגדל ב־15% ← כופלים ב־1.15
היגד I: כשכופלים את כל הנתונים במספר חיובי, גם סטיית התקן נכפלת בו:
Sy′ = 1.15 · 8√6 = 9.2√6📐 כפל כל הנתוניםy′ = k · y → S′ = k · S
יצא 9.2√6 ולא 10√6, ולכן היגד I לא נכון.
היגד II: מקדם המתאם r לא משתנה כשכופלים במספר חיובי, אבל Sy גדל פי 1.15, ולכן השיפוע גדל:
m′ = r · 1.15 · SySx = 1.15 · 2.42 = 2.783📐 שיפוע ישר הרגרסיהm = r · SySx
השיפוע השתנה, ולכן היגד II לא נכון.
היגד III: ישר הרגרסיה תמיד עובר דרך נקודת הממוצעים. הממוצע של x לא השתנה (20), והממוצע של y גדל ב־15%:
ȳ′ = 1.15 · 31 = 35.65📐 נקודה על ישר הרגרסיה(x̄ , ȳ)
הנקודה (20 , 35.65) היא נקודת הממוצעים החדשה, ולכן היגד III נכון.
✅ פתרון סופי: I – לא נכון
✅ פתרון סופי: II – לא נכון
✅ פתרון סופי: III – נכון

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א (1)x̄ = 20 אלף ₪
סעיף א (2)Sx = √50 ≈ 7.07 אלף ₪
סעיף בr ≈ 0.873
סעיף ג (1)y = 2.42x − 17.4
סעיף ג (2)y ≈ 40.68 אלף ₪ (בערך 40,680 ₪)
סעיף דI – לא נכון
II – לא נכון
III – נכון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2026, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

תזונאי בדק את הקשר בין הטמפרטורה המקסימלית בירושלים ביום מסוים (המשתנה x) ובין צריכת המים באותו היום (המשתנה y) של יוסי, תושב ירושלים. בטבלה מוצגים הנתונים שהתקבלו בבדיקה של התזונאי בעבור 6 ימים.

הטמפרטורה המקסימלית (מעלות צלזיוס) – xצריכת המים של יוסי (ליטרים) – y
201.6
221.7
242.4
262.7
282.9
303.1

א. (1) מצאו את הממוצע של הטמפרטורה המקסימלית ב־6 הימים שנבדקו. (2) מצאו את סטיית התקן של הטמפרטורה המקסימלית ב־6 הימים שנבדקו.

התזונאי חישב ומצא כי הממוצע של צריכת המים של יוסי ב־6 הימים שנבדקו הוא 2.4 ליטר, וסטיית התקן של צריכת המים שלו היא 7√630 ליטר.

ב. מצאו את מקדם המתאם r בין שני המשתנים.

ג. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x.

התזונאי הכפיל כל אחד מנתוני צריכת המים של יוסי (המשתנה y) פי 3, כדי לייצג את צריכת המים של המשפחה של יוסי.

ד. בעבור כל אחד מן המדדים I, II שלפניכם, קבעו אם הערך שלו גדל, קטן או לא השתנה לאחר ההכפלה. נמקו את קביעותיכם.
I. הממוצע של המשתנה y.
II. סטיית התקן של המשתנה y.

ה. מצאו את השיפוע של ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x לאחר ההכפלה. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א (1) – ממוצע הטמפרטורה

x̄ = 20 + 22 + 24 + 26 + 28 + 306📐 ממוצעx̄ = x1 + x2 + … + xnn
= 1506 = 25
✅ פתרון סופי: x̄ = 25 מעלות

סעיף א (2) – סטיית התקן של הטמפרטורה

מחשבים לכל יום את המרחק מהממוצע 25 ומעלים בריבוע:
(20 − 25)2 = (−5)2 = 25
(22 − 25)2 = (−3)2 = 9
(24 − 25)2 = (−1)2 = 1
(26 − 25)2 = 12 = 1
(28 − 25)2 = 32 = 9
(30 − 25)2 = 52 = 25
מחברים ומחלקים במספר הימים:
Sx2 = 25 + 9 + 1 + 1 + 9 + 256 = 706 ≈ 11.667📐 שונות וסטיית תקןS2 = (x1 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2nS = √S2
Sx = √706 ≈ 3.416
✅ פתרון סופי: Sx ≈ 3.416 מעלות

סעיף ב – מקדם המתאם

מחשבים לכל יום את מכפלת המרחקים מהממוצעים (x̄ = 25 , ȳ = 2.4):
(20 − 25)(1.6 − 2.4) = (−5)(−0.8) = 4
(22 − 25)(1.7 − 2.4) = (−3)(−0.7) = 2.1
(24 − 25)(2.4 − 2.4) = (−1)(0) = 0
(26 − 25)(2.7 − 2.4) = (1)(0.3) = 0.3
(28 − 25)(2.9 − 2.4) = (3)(0.5) = 1.5
(30 − 25)(3.1 − 2.4) = (5)(0.7) = 3.5
סכום המכפלות: A = 4 + 2.1 + 0 + 0.3 + 1.5 + 3.5 = 11.4
סטיית התקן של y נתונה: Sy = 7√630 ≈ 0.5715. מציבים בנוסחת מקדם המתאם:
r = 11.46 · 3.416 · 0.5715📐 מקדם המתאםr = An · Sx · SyA – סכום המכפלות (x − x̄)(y − ȳ)
= 11.411.713 ≈ 0.973
הקשר חיובי וחזק מאוד: בימים חמים יותר יוסי שותה יותר מים.
✅ פתרון סופי: r ≈ 0.973

סעיף ג – ישר הרגרסיה

מחשבים את השיפוע:
m = r · SySx = 0.973 · 0.57153.416📐 שיפוע ישר הרגרסיהm = r · SySx
כשמציבים את r המלא, הנוסחה מצטמצמת ל־An · Sx2, ולכן:
m = 11.46 · 11.667 = 11.470 ≈ 0.16286
ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (25 , 2.4):
y − 2.4 = 0.16286(x − 25)📐 ישר הרגרסיהy − ȳ = m(x − x̄)
פותחים סוגריים:
y − 2.4 = 0.16286x − 4.0715
y = 0.16286x − 4.0715 + 2.4
y ≈ 0.163x − 1.671
✅ פתרון סופי: y = 0.163x − 1.671

סעיף ד – מה קורה למדדים אחרי ההכפלה פי 3

כל נתון של y נכפל ב־3:
y′ = 3 · y📐 כפל כל הנתונים במספרy′ = k · y → ȳ′ = k · ȳS′ = k · S (כש־k > 0)
מדד I – הממוצע: כשכל הנתונים נכפלים ב־3, גם הממוצע נכפל ב־3:
ȳ′ = 3 · 2.4 = 7.2
מדד II – סטיית התקן: כל המרחקים מהממוצע גדלים פי 3, ולכן גם סטיית התקן:
Sy′ = 3 · 7√630 = 7√610 ≈ 1.715
✅ פתרון סופי: I. הממוצע גדל (מ־2.4 ל־7.2)
✅ פתרון סופי: II. סטיית התקן גדלה (פי 3, בערך 1.715)

סעיף ה – השיפוע אחרי ההכפלה

מקדם המתאם לא משתנה כשכופלים את כל הנתונים במספר חיובי (הנקודות רק "נמתחות" למעלה, הקשר נשאר אותו קשר): r′ = r.
Sx לא השתנה (הטמפרטורות לא השתנו), ו־Sy′ = 3Sy:
m′ = r · 3SySx = 3 · r · SySx = 3m📐 שיפוע ישר הרגרסיהm = r · SySx
m′ = 3 · 0.16286 ≈ 0.489
✅ פתרון סופי: m′ ≈ 0.489 (פי 3 מהשיפוע המקורי)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א (1)x̄ = 25
סעיף א (2)Sx ≈ 3.416
סעיף בr ≈ 0.973
סעיף גy = 0.163x − 1.671
סעיף דI גדל, II גדלה
סעיף הm′ ≈ 0.489
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 2

📄 נוסח השאלה

יואב בדק את הקשר הליניארי בין מרחק הריצה שלו (המשתנה x) לבין מהירות הריצה שלו (המשתנה y) ב־6 מסלולים שונים א'–ו'. הנתונים מוצגים בטבלה.

המסלולמרחק הריצה (ק"מ) – xמהירות הריצה (קמ"ש) – y
א'213
ב'4.512
ג'612.5
ד'7?
ה'89.5
ו'8.58

א. חשבו את מרחק הריצה הממוצע של יואב ב־6 המסלולים.

ב. הראו כי סטיית התקן של מרחק הריצה של יואב ב־6 המסלולים היא Sx = √5912.

יואב מצא כי ממוצע מהירות הריצה שלו ב־6 המסלולים שווה למהירות הריצה שלו במסלול ד'.

ג. חשבו את מהירות הריצה של יואב במסלול ד'.

נתונים המספרים: 0.95 , 0.24 , −1 , −0.86. אחד מהם הוא מקדם המתאם r.

ד. קבעו איזה מן המספרים הוא מקדם המתאם r, ונמקו את קביעתכם.

יואב חישב את סטיית התקן של מהירות הריצה שלו ב־6 המסלולים ומצא כי Sy = √3712.

ה. (1) מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x. (2) על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי למהירות הריצה של יואב למרחק של 4 ק"מ?

לפניכם שלוש דיאגרמות פיזור I–III. הנקודות בכל אחת מן הדיאגרמות מתארות את נתוני הריצה של יואב ב־6 המסלולים.

ו. קבעו באיזו מן הדיאגרמות I–III מסורטט ישר הרגרסיה שמצאתם בסעיף ה. נמקו את קביעתכם.

דיאגרמות הפיזור I–III לשאלה 2
✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – מרחק ממוצע

x̄ = 2 + 4.5 + 6 + 7 + 8 + 8.56📐 ממוצעx̄ = x1 + x2 + … + xnn
= 366 = 6
✅ פתרון סופי: x̄ = 6 ק"מ

סעיף ב – סטיית התקן של המרחק

מרחק מהממוצע 6 בריבוע:
(2 − 6)2 = (−4)2 = 16
(4.5 − 6)2 = (−1.5)2 = 2.25
(6 − 6)2 = 02 = 0
(7 − 6)2 = 12 = 1
(8 − 6)2 = 22 = 4
(8.5 − 6)2 = 2.52 = 6.25
Sx2 = 16 + 2.25 + 0 + 1 + 4 + 6.256 = 29.56 = 5912📐 שונות וסטיית תקןS2 = (x1 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2nS = √S2
Sx = √5912 ≈ 2.217
✅ פתרון סופי: Sx = √5912 ✓

סעיף ג – המהירות במסלול ד'

נסמן את המהירות במסלול ד' ב־y. הממוצע שווה ל־y:
13 + 12 + 12.5 + y + 9.5 + 86 = y📐 ממוצעȳ = y1 + … + ynn
55 + y6 = y
כופלים ב־6:
55 + y = 6y → 55 = 5y → y = 11
✅ פתרון סופי: y = 11 קמ"ש

סעיף ד – מקדם המתאם

ככל שהמרחק גדל המהירות קטנה (13, 12, 12.5, 11, 9.5, 8) – הקשר שלילי, ולכן r שלילי: 0.95 ו־0.24 נפסלים.
r = −1 אומר שכל הנקודות על ישר אחד בדיוק – וזה לא המצב כאן (למשל המהירות במסלול ג' עולה לעומת ב').
הקשר שלילי וחזק אבל לא מושלם.
✅ פתרון סופי: r = −0.86

סעיף ה (1) – ישר הרגרסיה

מכפלות המרחקים מהממוצעים (x̄ = 6 , ȳ = 11):
(2 − 6)(13 − 11) = (−4)(2) = −8
(4.5 − 6)(12 − 11) = (−1.5)(1) = −1.5
(6 − 6)(12.5 − 11) = (0)(1.5) = 0
(7 − 6)(11 − 11) = (1)(0) = 0
(8 − 6)(9.5 − 11) = (2)(−1.5) = −3
(8.5 − 6)(8 − 11) = (2.5)(−3) = −7.5
סכום המכפלות: A = −8 − 1.5 + 0 + 0 − 3 − 7.5 = −20
m = r · SySx = An · Sx2📐 שיפוע ישר הרגרסיהm = r · SySxr = An · Sx · Sy
m = −206 · 5912 = −2029.5 ≈ −0.678
בדיקה: r = −206 · 2.217 · 1.756 ≈ −0.86 – מתאים לסעיף ד ✓
y − 11 = −0.678(x − 6)📐 ישר הרגרסיהy − ȳ = m(x − x̄)
y = −0.678x + 4.068 + 11
y ≈ −0.678x + 15.07
✅ פתרון סופי: y = −0.678x + 15.07

סעיף ה (2) – ניבוי ל־4 ק"מ

מציבים x = 4:
y = −0.678 · 4 + 15.07 = −2.712 + 15.07 ≈ 12.36
✅ פתרון סופי: y ≈ 12.36 קמ"ש

סעיף ו – באיזו דיאגרמה ישר הרגרסיה

ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (6 , 11), שנמצאת "באמצע" ענן הנקודות.📐 נקודה על ישר הרגרסיה(x̄ , ȳ)
לכן חלק מהנקודות מעל הישר וחלק מתחתיו. בדיאגרמה I הישר מתחת לכל הנקודות, ובדיאגרמה III מעל כולן – שתיהן לא מתאימות.
✅ פתרון סופי: דיאגרמה II

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אx̄ = 6
סעיף בSx = √5912 ✓
סעיף ג11 קמ"ש
סעיף דr = −0.86
סעיף ה (1)y = −0.678x + 15.07
סעיף ה (2)≈ 12.36
סעיף ודיאגרמה II
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד א', שאלה 2

📄 נוסח השאלה

מתווך דירות רצה לבדוק את הקשר הליניארי בין שטח הדירות שנמכרו בחודש האחרון בשכונה מסוימת (המשתנה x) לבין המחיר שבו הן נמכרו (המשתנה y). בטבלה מופיעים הנתונים של 5 דירות שבדק המתווך.

שטח הדירה (מ"ר) – xמחיר הדירה (במיליוני שקלים) – y
821
901.8
982.7
1123.4
1184.6

א. (1) מצאו את הממוצע של שטח הדירות. (2) מצאו את סטיית התקן של שטח הדירות.

המתווך חישב את הממוצע ואת סטיית התקן של המשתנה y, ומצא כי ȳ = 2.7 , Sy = 1.249.

ב. מצאו את מקדם המתאם r בין שני המשתנים.

ג. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x.

ד. על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי למחיר של דירה שהשטח שלה הוא 95 מ"ר?

עקב עליית המחירים במשק, גדל המחיר של כל דירה ב־0.2 מיליון שקל.

ה. קבעו בעבור כל אחד מן המדדים (1)–(2) שלפניכם, אם הערך שלו גדל, קטן או לא השתנה. נמקו את קביעותיכם. (1) סטיית התקן של המשתנה y. (2) מקדם המתאם r.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א (1) – ממוצע השטח

x̄ = 82 + 90 + 98 + 112 + 1185📐 ממוצעx̄ = x1 + x2 + … + xnn
= 5005 = 100
✅ פתרון סופי: x̄ = 100 מ"ר

סעיף א (2) – סטיית התקן של השטח

מחשבים לכל דירה את המרחק מהממוצע 100 ומעלים בריבוע:
(82 − 100)2 = (−18)2 = 324
(90 − 100)2 = (−10)2 = 100
(98 − 100)2 = (−2)2 = 4
(112 − 100)2 = 122 = 144
(118 − 100)2 = 182 = 324
מחברים ומחלקים במספר הדירות:
Sx2 = 324 + 100 + 4 + 144 + 3245 = 8965 = 179.2📐 שונות וסטיית תקןS2 = (x1 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2nS = √S2
Sx = √179.2 ≈ 13.387
✅ פתרון סופי: Sx ≈ 13.387 מ"ר

סעיף ב – מקדם המתאם

מחשבים לכל דירה את מכפלת המרחקים מהממוצעים (x̄ = 100 , ȳ = 2.7):
(82 − 100)(1 − 2.7) = (−18)(−1.7) = 30.6
(90 − 100)(1.8 − 2.7) = (−10)(−0.9) = 9
(98 − 100)(2.7 − 2.7) = (−2)(0) = 0
(112 − 100)(3.4 − 2.7) = (12)(0.7) = 8.4
(118 − 100)(4.6 − 2.7) = (18)(1.9) = 34.2
סכום המכפלות: A = 30.6 + 9 + 0 + 8.4 + 34.2 = 82.2
r = 82.25 · 13.387 · 1.249📐 מקדם המתאםr = An · Sx · SyA – סכום המכפלות (x − x̄)(y − ȳ)
= 82.283.60 ≈ 0.983
קשר חיובי חזק מאוד: דירה גדולה יותר – מחיר גבוה יותר.
✅ פתרון סופי: r ≈ 0.983

סעיף ג – ישר הרגרסיה

m = r · SySx = 0.983 · 1.24913.387📐 שיפוע ישר הרגרסיהm = r · SySx
כשמציבים את r המלא, הנוסחה מצטמצמת ל־An · Sx2:
m = 82.25 · 179.2 = 82.2896 ≈ 0.09174
הישר עובר דרך נקודת הממוצעים (100 , 2.7):
y − 2.7 = 0.09174(x − 100)📐 ישר הרגרסיהy − ȳ = m(x − x̄)
פותחים סוגריים:
y − 2.7 = 0.09174x − 9.174
y = 0.09174x − 9.174 + 2.7
y ≈ 0.0917x − 6.474
✅ פתרון סופי: y = 0.0917x − 6.474

סעיף ד – ניבוי לדירה של 95 מ"ר

מציבים x = 95 (עם השיפוע המדויק):
y = 0.09174 · 95 − 6.474
y = 8.715 − 6.474 ≈ 2.241
✅ פתרון סופי: y ≈ 2.24 מיליון ₪ (בערך 2,241,000 ₪)

סעיף ה – אחרי שכל מחיר גדל ב־0.2

y′ = y + 0.2📐 הוספת מספר לכל הנתוניםȳ′ = ȳ + 0.2סטיית התקן ומקדם המתאם לא משתנים
(1) סטיית התקן של y: כל המחירים זזים באותו מרחק, גם הממוצע זז ב־0.2, ולכן המרחק של כל מחיר מהממוצע נשאר אותו דבר:
(y + 0.2) − (ȳ + 0.2) = y − ȳ
(2) מקדם המתאם: המרחקים מהממוצעים לא השתנו וגם סטיות התקן לא השתנו, ולכן גם r לא משתנה (הנקודות רק זזות למעלה, הקשר נשאר אותו קשר).
✅ פתרון סופי: (1) לא השתנתה
✅ פתרון סופי: (2) לא השתנה

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א (1)x̄ = 100
סעיף א (2)Sx ≈ 13.387
סעיף בr ≈ 0.983
סעיף גy = 0.0917x − 6.474
סעיף ד≈ 2.24 מיליון ₪
סעיף השניהם לא השתנו
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2025, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

בבית מרקחת א' בעיר מסוימת בדקה המנהלת במשך 5 חודשים את הקשר בין מספר ימי הגשם בחודש (המשתנה x) ובין ההכנסה החודשית של בית המרקחת (המשתנה y) באותו החודש. בטבלה מוצגים הנתונים שאספה המנהלת.

החודשימי הגשם (x)ההכנסה באלפי ₪ (y)
נובמבר660
דצמבר1072
ינואר2085
פברואר1473
מרץ1065

א. מצאו את ממוצע ימי הגשם בחודש ואת סטיית התקן.

לפניכם דיאגרמת פיזור המתארת את y כתלות ב־x. ממוצע ההכנסות החודשי (באלפי שקלים) של בית מרקחת א' הוא 71, וסטיית התקן היא 8.46. אחד מן המספרים −0.959 , 1 , 0.959 הוא מקדם המתאם r.

ב. קבעו איזה מהם הוא מקדם המתאם r, ונמקו את קביעתכם.

ג. (1) מצאו את שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x. (2) מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x.

ד. על פי ישר הרגרסיה, מהו ניבוי ההכנסה בחודש שבו מספר ימי הגשם יהיה 15?

גם בבית מרקחת ב' באותה העיר בדקה המנהלת במשך אותם 5 חודשים את הקשר בין מספר ימי הגשם בחודש ובין ההכנסה החודשית. המנהלת מצאה שבכל חודש הייתה ההכנסה של בית מרקחת ב' קטנה ב־10 אלף שקלים מן ההכנסה של בית מרקחת א'.

ה. כתבו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי ההכנסה החודשית (באלפי שקלים) של בית מרקחת ב' על פי מספר ימי הגשם בחודש.

דיאגרמת הפיזור לשאלה 2
✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – ממוצע וסטיית תקן של ימי הגשם

x̄ = 6 + 10 + 20 + 14 + 105 = 605 = 12📐 ממוצעx̄ = סכום הערכיםמספר הערכים
מחשבים את הסטייה של כל ערך מהממוצע 12, ומעלים בריבוע:
x610201410
x − x̄−6−282−2
(x − x̄)²3646444
סכום הריבועים: 36 + 4 + 64 + 4 + 4 = 112
Sx² = 1125 = 22.4📐 שונות וסטיית תקןSx² = סכום (x − x̄)²nSx = √Sx²
Sx = √22.4 ≈ 4.73
✅ פתרון סופי: x̄ = 12 ימים , Sx = √22.4 ≈ 4.73

סעיף ב – מקדם המתאם

בדיאגרמה רואים מגמה עולה: ככל שיש יותר ימי גשם, ההכנסה גבוהה יותר. לכן r > 0 – לא −0.959.
הנקודות לא נמצאות כולן על ישר אחד (למשל בדצמבר ובמרץ יש 10 ימי גשם, אבל הכנסות שונות: 72 ו־65). לכן r ≠ 1.
r = 0.959📐 מקדם המתאםr = 1 ← כל הנקודות על ישר עולה0 < r < 1 ← מגמה עולה
✅ פתרון סופי: r = 0.959

סעיף ג – ישר הרגרסיה

(1) השיפוע:
a = r · SySx = 0.959 · 8.464.73📐 שיפוע ישר הרגרסיהa = r · SySx
a ≈ 1.714
(2) ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים (12 , 71):
71 = 1.714 · 12 + b📐 ישר הרגרסיה עובר בממוצעיםȳ = a · x̄ + b
71 = 20.57 + b
b = 71 − 20.57 = 50.43
ישר הרגרסיה: y = 1.714x + 50.43
✅ פתרון סופי: (1) a ≈ 1.714   (2) y = 1.714x + 50.43

סעיף ד – ניבוי ל־15 ימי גשם

מציבים x = 15 בישר הרגרסיה:
y = 1.714 · 15 + 50.43
y = 25.71 + 50.43 = 76.14
✅ פתרון סופי: 76.14 אלף ₪ (בערך 76,140 ₪)

סעיף ה – ישר הרגרסיה של בית מרקחת ב'

ההכנסה של ב' קטנה ב־10 בכל חודש. כל הנקודות יורדות 10 יחידות – הפיזור לא משתנה, ולכן r , Sx , Sy והשיפוע נשארים כמו שהם: a ≈ 1.714.
הממוצע החדש: 71 − 10 = 61📐 הוספת / הפחתת קבועy − 10 ← ȳ − 10
ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים החדשה (12 , 61):
61 = 1.714 · 12 + b
61 = 20.57 + b
b = 40.43
✅ פתרון סופי: y = 1.714x + 40.43

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אx̄ = 12 , Sx ≈ 4.73
סעיף בr = 0.959
סעיף גa ≈ 1.714 ; y = 1.714x + 50.43
סעיף ד76.14 אלף ₪
סעיף הy = 1.714x + 40.43
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471 · קורס סטטיסטיקה 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 2

📄 נוסח השאלה

לפניכם שלוש טבלאות שבהן מוצגים ערכים של שני משתנים, שנמדדו בתצפיות שונות: משתנה x ומשתנה y.

טבלה 1

x12345
y246810
טבלה 2
x45678
y911192217
טבלה 3
x1617181920
y3534333231

נסמן את מקדם המתאם בין x ל־y ב־r.

א. התאימו כל אחד מן ההיגדים I–III לטבלאות 1–3:
I. 0 < r < 1
II. r = 1
III. r = −1

הנתונים בטבלה 2 מתייחסים לקבוצה של 5 ספורטאים. בטבלה מתואר הקשר בין מספר הפעמים בשבוע שכל אחד מן הספורטאים מתאמן (המשתנה x) ובין מספר השעות בשבוע שהוא מתאמן (המשתנה y). נתון כי משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x היא y = 2.7x + b, b הוא פרמטר.

ב. מצאו כמה פעמים בשבוע בממוצע מתאמן ספורטאי בקבוצה זו, וכמה שעות בשבוע בממוצע הוא מתאמן.

ג. מצאו את ערך הפרמטר b.

נתון כי היחס בין סטיות התקן של הנתונים בטבלה 2 הוא SySx = 3.45.

ד. חשבו את הערך של r.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – התאמת ההיגדים

טבלה 1: בכל שורה y = 2x (2, 4, 6, 8, 10). כל הנקודות על ישר עולה ← r = 1.
טבלה 3: בכל שורה x + y = 51, כלומר y = 51 − x. כל הנקודות על ישר יורד ← r = −1.
טבלה 2: בדרך כלל כש־x גדל גם y גדל, אבל לא תמיד (מ־7 ל־8: y יורד מ־22 ל־17). מגמה עולה אבל לא על ישר ← 0 < r < 1.
סיכום:📐 מקדם המתאםr = 1 ← ישר עולהr = −1 ← ישר יורד0 < r < 1 ← מגמה עולה
✅ פתרון סופי: טבלה 1 – היגד II , טבלה 2 – היגד I , טבלה 3 – היגד III

סעיף ב – הממוצעים

x̄ = 4 + 5 + 6 + 7 + 85 = 305 = 6📐 ממוצעx̄ = סכום הערכיםמספר הערכים
ȳ = 9 + 11 + 19 + 22 + 175 = 785 = 15.6
✅ פתרון סופי: 6 פעמים בשבוע , 15.6 שעות בשבוע

סעיף ג – הפרמטר b

ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים (6 , 15.6):
15.6 = 2.7 · 6 + b📐 ישר הרגרסיה עובר בממוצעיםȳ = a · x̄ + b
15.6 = 16.2 + b
b = 15.6 − 16.2 = −0.6
✅ פתרון סופי: b = −0.6

סעיף ד – מקדם המתאם

2.7 = r · 3.45📐 שיפוע ישר הרגרסיהa = r · SySx
r = 2.73.45 ≈ 0.78
מתאים לסעיף א: 0 < 0.78 < 1 ✓
✅ פתרון סופי: r ≈ 0.78

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א1 – II , 2 – I , 3 – III
סעיף ב6 , 15.6
סעיף גb = −0.6
סעיף דr ≈ 0.78
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471 · קורס סטטיסטיקה 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד א', שאלה 2

📄 נוסח השאלה

סטטיסטיקאית ערכה מחקר בקרב זוגות. היא החליטה לבדוק את הקשר בין מספר הילדים שיש לזוג (המשתנה x) ובין ההוצאה החודשית על דלק של הזוג (המשתנה y). לצורך כך היא דגמה 4 זוגות ממאגר הנתונים שלה:

– זוג ללא ילדים שההוצאה החודשית שלו על דלק היא 1,500 שקלים.
– זוג שיש לו ילד אחד, וההוצאה החודשית שלו על דלק היא 1,800 שקלים.
– זוג שיש לו שלושה ילדים, וההוצאה החודשית שלו על דלק היא 2,900 שקלים.
– זוג שיש לו ארבעה ילדים, וההוצאה החודשית שלו על דלק היא 3,800 שקלים.

א. סרטטו את דיאגרמת הפיזור המתאימה לארבעת הזוגות שבמדגם. רשמו את ערכי הנקודות על הצירים.

הסטטיסטיקאית חישבה את סטיית התקן של המשתנה y וקיבלה כי Sy = √835,000.

ב. (1) מצאו את הממוצע של מספר הילדים שיש לזוג במדגם ואת ההוצאה החודשית הממוצעת על דלק של זוג במדגם. (2) חשבו את מקדם המתאם בין שני המשתנים.

ג. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי ההוצאה החודשית על דלק לפי מספר הילדים.

בעקבות עליית מחירי הדלק, עלתה ב־6% ההוצאה החודשית של כל אחד מן הזוגות על דלק.

ד. בעבור כל אחד מן המדדים שלפניכם קבעו אם ערכו גדל, קטן או לא השתנה. (1) סטיית התקן של המשתנה y. (2) מקדם המתאם r.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – דיאגרמת פיזור

כל זוג הוא נקודה (x , y): (0 , 1500) , (1 , 1800) , (3 , 2900) , (4 , 3800).
xy012341,5001,8002,9003,800
✅ פתרון סופי: הדיאגרמה למעלה

סעיף ב (1) – הממוצעים

x̄ = 0 + 1 + 3 + 44 = 84 = 2📐 ממוצעx̄ = x1 + x2 + … + xnn
ȳ = 1,500 + 1,800 + 2,900 + 3,8004 = 10,0004 = 2,500
✅ פתרון סופי: x̄ = 2 ילדים , ȳ = 2,500 ₪

סעיף ב (2) – מקדם המתאם

סטיית התקן של x:
המרחקים מהממוצע 2: −2 , −1 , 1 , 2. הריבועים שלהם: 4 , 1 , 1 , 4.
Sx2 = 4 + 1 + 1 + 44 = 104 = 2.5📐 שונות וסטיית תקןS2 = (x1 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2n
Sx = √2.5 ≈ 1.581 , Sy = √835,000 ≈ 913.78
מכפלות המרחקים מהממוצעים (2 , 2500):
(0 − 2)(1,500 − 2,500) = (−2)(−1,000) = 2,000
(1 − 2)(1,800 − 2,500) = (−1)(−700) = 700
(3 − 2)(2,900 − 2,500) = 1 · 400 = 400
(4 − 2)(3,800 − 2,500) = 2 · 1,300 = 2,600
סכום המכפלות: A = 2,000 + 700 + 400 + 2,600 = 5,700
r = 5,7004 · 1.581 · 913.78 = 5,7005,779.2 ≈ 0.986📐 מקדם המתאםr = An · Sx · Sy
✅ פתרון סופי: r ≈ 0.986

סעיף ג – ישר הרגרסיה

m = r · SySx = An · Sx2 = 5,7004 · 2.5 = 570📐 שיפוע ישר הרגרסיהm = r · SySx
y − 2,500 = 570(x − 2)📐 ישר הרגרסיהy − ȳ = m(x − x̄)
y = 570x − 1,140 + 2,500
y = 570x + 1,360
✅ פתרון סופי: y = 570x + 1,360

סעיף ד – אחרי עלייה של 6%

y′ = 1.06 · y📐 כפל כל הנתונים במספרS′ = k · S , r לא משתנה (כש־k > 0)
(1) כל הוצאה גדלה פי 1.06, ולכן גם המרחקים מהממוצע גדלים פי 1.06: Sy′ = 1.06 · 913.78 ≈ 968.6.
(2) כפל בקבוע חיובי רק "מותח" את הנקודות לגובה – הקשר נשאר אותו קשר, ו־r לא משתנה.
✅ פתרון סופי: (1) גדלה
✅ פתרון סופי: (2) לא השתנה

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אדיאגרמת פיזור
סעיף ב (1)x̄ = 2 , ȳ = 2,500
סעיף ב (2)r ≈ 0.986
סעיף גy = 570x + 1,360
סעיף ד(1) גדלה ; (2) לא השתנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2024, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

דן ערך מחקר. הוא בדק את הקשר בין אחוז הגידול השנתי של האוכלוסייה ב־12 מדינות (משתנה x) ובין אחוז הילדים בני 0–14 באותן המדינות (משתנה y).

דן רצה למצוא ישר רגרסיה לניבוי y לפי x. הוא חישב את הממוצע ואת סטיית התקן של אחוז הגידול השנתי של האוכלוסיות, וכן את מקדם המתאם בין שני המשתנים, וקיבל: x̄ = 0.465 , Sx = 0.683 , r = 0.871.

דן מצא כי משוואת ישר הרגרסיה היא y = 11.3x + 16.3.

א. (1) מצאו את הממוצע של אחוז הילדים באותן המדינות (הממוצע של המשתנה y). (2) מצאו את סטיית התקן של אחוז הילדים באותן המדינות.

במדינה מסוימת נתון כי גודל האוכלוסייה נשאר קבוע (אין גידול שנתי באוכלוסייה שלה).

ב. על פי ישר הרגרסיה, מהו אחוז הילדים במדינה זו?

נתונה מדינה נוספת, שאחוז הגידול השנתי של האוכלוסייה שלה הוא 2.

ג. האם אפשר להסיק כי אחוז הילדים במדינה זו הוא בדיוק 38.9? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – ממוצע וסטיית תקן של y

(1) ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים, לכן מציבים x̄:
ȳ = 11.3 · 0.465 + 16.3📐 ישר הרגרסיה עובר בממוצעיםȳ = a · x̄ + b
ȳ = 5.2545 + 16.3 = 21.5545
(2)
11.3 = 0.871 · Sy0.683📐 שיפוע ישר הרגרסיהa = r · SySx
כופלים ב־0.683 ומחלקים ב־0.871:
Sy = 11.3 · 0.6830.871 = 7.71790.871 ≈ 8.86
✅ פתרון סופי: (1) ȳ ≈ 21.55%   (2) Sy ≈ 8.86

סעיף ב – אין גידול באוכלוסייה

אין גידול ← x = 0:
y = 11.3 · 0 + 16.3 = 16.3
✅ פתרון סופי: 16.3%

סעיף ג – בדיוק 38.9?

y = 11.3 · 2 + 16.3 = 22.6 + 16.3 = 38.9
38.9 הוא ניבוי בלבד. הנקודות אינן נמצאות כולן על הישר (r = 0.871 ≠ 1), ולכן הערך האמיתי יכול להיות שונה.
תזכורת:📐 מקדם המתאםרק כש־r = ±1 הניבוי מדויק
✅ פתרון סופי: לא – זה רק ניבוי, כי r ≠ 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אȳ ≈ 21.55 ; Sy ≈ 8.86
סעיף ב16.3%
סעיף גלא (רק ניבוי)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471 · קורס סטטיסטיקה 471
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

מורה למתמטיקה לתלמידי כיתה י"א רצתה לבדוק את הקשר הלינארי בין ציוני תלמידיה בבחינת הבגרות במתמטיקה (המשתנה x) ובין ציוני ההגשה שלהם (המשתנה y). בטבלה שלפניכם מוצגים הציונים של חמישה תלמידים שנבחנו בשנת 2022. ציון ההגשה של התלמיד החמישי אינו מוצג.

ציון בחינת הבגרות (x)ציון ההגשה (y)
5978
6081
6081
6081
61?

א. מצאו את ממוצע ציוני בחינת הבגרות של תלמידים אלה.

המורה חישבה את ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x. נתון כי בעבור x = 60 מנובא הערך y = 80. נתון גם כי שיפוע ישר הרגרסיה הוא 0.5.

ב. (1) מצאו את משוואת ישר הרגרסיה. (2) מצאו את ציון ההגשה של התלמיד החמישי. נמקו.

בעבור חמישה תלמידים שנבחנו בשנת 2021 חישבה המורה את מקדם המתאם בין שני המשתנים, ואז חישבה את ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x. היא גילתה שציון ההגשה של כל אחד מן התלמידים זהה בדיוק לציון ההגשה המנובא לו באמצעות ישר הרגרסיה.

ג. קבעו מה הן שתי הטענות האפשריות מבין הטענות (1)–(4) שלפניכם. נמקו. (1) 0 < r < 1 (2) r = 1 (3) −1 < r < 0 (4) r = −1

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – ממוצע ציוני הבגרות

x̄ = 59 + 60 + 60 + 60 + 615 = 3005 = 60📐 ממוצעx̄ = x1 + x2 + … + xnn
✅ פתרון סופי: x̄ = 60

סעיף ב (1) – משוואת ישר הרגרסיה

הישר עובר דרך (60 , 80) ושיפועו 0.5:
y − 80 = 0.5(x − 60)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y = 0.5x − 30 + 80 = 0.5x + 50
✅ פתרון סופי: y = 0.5x + 50

סעיף ב (2) – ציון ההגשה של החמישי

ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (x̄ , ȳ). כש־x̄ = 60 הישר נותן 80, ולכן ȳ = 80.📐 נקודה על ישר הרגרסיה(x̄ , ȳ)
נסמן את הציון החסר ב־k:
78 + 81 + 81 + 81 + k5 = 80 → 321 + k = 400 → k = 79
בדיקה: שיפוע: (−1)(−2) + 0 + 0 + 0 + 1 · (−1)1 + 0 + 0 + 0 + 1 = 12 = 0.5 ✓
✅ פתרון סופי: 79

סעיף ג – שתי הטענות האפשריות

כל ציון שווה בדיוק לניבוי ← כל הנקודות על ישר הרגרסיה. זה קורה רק כש־r = 1 (ישר עולה) או r = −1 (ישר יורד).📐 מקדם המתאם|r| = 1 ⟺ כל הנקודות על ישר אחד
בטענות (1) ו־(3) הקשר לא מושלם – חלק מהנקודות מחוץ לישר.
✅ פתרון סופי: טענות (2) ו־(4)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א60
סעיף ב (1)y = 0.5x + 50
סעיף ב (2)79
סעיף ג(2) ו־(4)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 2

📄 נוסח השאלה

בעל חנות המוכר טאבלטים בדק את הקשר הלינארי בין גודל המסך של טאבלט באינצ'ים (המשתנה x) ובין מספר הדקות שנדרשו ללקוח להחליט לקנות את הטאבלט (המשתנה y). ביום מסוים הוא מכר 8 דגמים שונים של טאבלטים. לפניכם טבלה המתארת את הנתונים של שמונת הדגמים שהוא מכר באותו יום:

גודל המסך (x)דקות להחלטה (y)
92
910
910
910
1110
1110
1110
1118

א. חשבו את הממוצעים ואת סטיות התקן של שני המשתנים, x ו־y.

ב. חשבו את מקדם המתאם r.

ג. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי מספר הדקות לקבלת החלטה כתלות בגודל המסך.

בעל החנות הזמין לחנותו דגם חדש של טאבלט, שגודל המסך שלו 10 אינצ'ים.

ד. על פי ישר הרגרסיה שמצאתם, מהו ניבוי מספר הדקות לקבלת ההחלטה בעבור דגם זה?

בעקבות העסקתו של מוכר חדש בחנות, התקצר ב־20% זמן קבלת ההחלטה לקנות כל אחד מדגמי הטאבלטים.

ה. בעבור כל אחד מן המדדים שלפניכם קבעו אם ערכו יגדל, יקטן או לא ישתנה בעקבות השינוי הזה. (1) מקדם המתאם r. (2) סטיית התקן של המשתנה y. (3) שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי מספר הדקות לקבלת ההחלטה כתלות בגודל המסך.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – ממוצעים וסטיות תקן

x̄ = 4 · 9 + 4 · 118 = 808 = 10📐 ממוצעx̄ = x1 + x2 + … + xnn
ȳ = 2 + 6 · 10 + 188 = 808 = 10
המרחקים של x מ־10: ארבע פעמים −1 וארבע פעמים 1:
Sx2 = 8 · 18 = 1 → Sx = 1📐 שונות וסטיית תקןS2 = (x1 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2n
המרחקים של y מ־10: −8 , שש פעמים 0 , 8:
Sy2 = 64 + 0 + 648 = 1288 = 16 → Sy = 4
✅ פתרון סופי: x̄ = 10 , Sx = 1
✅ פתרון סופי: ȳ = 10 , Sy = 4

סעיף ב – מקדם המתאם

מכפלות המרחקים מהממוצעים (10 , 10) בכל שורה:
(9 − 10)(2 − 10) = (−1)(−8) = 8
שלוש השורות (9 , 10) ושלוש השורות (11 , 10): (±1) · 0 = 0
(11 − 10)(18 − 10) = 1 · 8 = 8
סכום המכפלות: A = 8 + 0 + 8 = 16
r = 168 · 1 · 4 = 1632 = 0.5📐 מקדם המתאםr = An · Sx · Sy
✅ פתרון סופי: r = 0.5

סעיף ג – ישר הרגרסיה

m = r · SySx = 0.5 · 41 = 2📐 שיפוע ישר הרגרסיהm = r · SySx
y − 10 = 2(x − 10)📐 ישר הרגרסיהy − ȳ = m(x − x̄)
y = 2x − 20 + 10 = 2x − 10
✅ פתרון סופי: y = 2x − 10

סעיף ד – ניבוי למסך של 10 אינצ'ים

y = 2 · 10 − 10 = 10
✅ פתרון סופי: 10 דקות

סעיף ה – אחרי קיצור של 20%

y′ = 0.8 · y📐 כפל כל הנתונים במספרS′ = k · S , r לא משתנה (כש־k > 0)
(1) כפל בקבוע חיובי לא משנה את חוזק הקשר ואת כיוונו: r = 0.5 נשאר.
(2) Sy′ = 0.8 · 4 = 3.2 – קטנה.
(3) m′ = 0.5 · 3.21 = 1.6 – קטן (מ־2).
✅ פתרון סופי: (1) לא ישתנה
✅ פתרון סופי: (2) תקטן
✅ פתרון סופי: (3) יקטן

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אx̄ = 10 , Sx = 1 ; ȳ = 10 , Sy = 4
סעיף בr = 0.5
סעיף גy = 2x − 10
סעיף ד10 דקות
סעיף ה(1) לא ישתנה ; (2) תקטן ; (3) יקטן
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד א', שאלה 2

📄 נוסח השאלה

חוקרים בדקו את הקשר בין משקל של עכבר (y בגרמים) ובין משקל מנת המזון היומית שלו (x בגרמים). הם בדקו עשרה עכברים. משקלי העכברים ומשקל מנת המזון היומית של כל אחד מהם מוצגים בטבלה:

מזון x55444
עכבר y3028242220
מזון x33321
עכבר y1615141312

נתון כי המשקל הממוצע של מנת המזון היומית הוא 3.4 גרמים.

א. הראו כי סטיית התקן של משקל מנת המזון היומית היא 1.2 גרמים.

נתון כי המשקל הממוצע של עשרת העכברים הוא 19.4 גרמים, וסטיית התקן של משקלם היא 6.086 גרמים.

ב. לפניכם 4 מספרים שונים: 0 , −0.123 , 0.923 , 1. אחד מן המספרים הוא מקדם המתאם r בין משקל העכבר ובין משקל מנת המזון היומית שלו. בחרו איזה מהם הוא מקדם המתאם, ונמקו את בחירתכם (אין צורך לחשב).

ג. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי משקל העכברים מתוך משקל מנת המזון היומית שלהם.

לאחר זמן מה התגלה כי המאזניים שבהם נשקלו העכברים לא היו מכוילים ויש להפחית 2 גרמים ממשקלו של כל עכבר (המאזניים שבהם נשקלה מנת המזון היומית היו מכוילים).

ד. מה תהיה משוואת ישר הרגרסיה החדש לאחר הכנסת התיקון במשקלי העכברים?

ה. על פי ישר הרגרסיה שמצאתם בסעיף ד, מהו הניבוי למשקל עכבר שמשקל מנת המזון היומית שלו הוא 3.5 גרם?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – סטיית התקן של X

ההפרשים מהממוצע 3.4 בריבוע:
5:  (1.6)² = 2.56 (פעמיים)
4:  (0.6)² = 0.36 (3 פעמים)
3:  (−0.4)² = 0.16 (3 פעמים)
2:  (−1.4)² = 1.96
1:  (−2.4)² = 5.76
סכום: 5.12 + 1.08 + 0.48 + 1.96 + 5.76 = 14.4
Sx = √14.410 = √1.44 = 1.2📐 סטיית תקןS = √סכום (x − x̄)²n
✅ פתרון סופי: Sx = 1.2 ✓

סעיף ב – מקדם המתאם

בטבלה, כשמנת המזון גדלה גם משקל העכבר גדל – קשר חיובי, ולכן לא 0 ולא −0.123.
הנקודות לא נמצאות כולן על ישר אחד (למשל ל־x = 4 יש שלושה ערכי y שונים), ולכן לא 1.
נשאר קשר חיובי חזק.📐 מקדם המתאםr = 1 ← כל הנקודות על ישר עולה0 < r < 1 ← מגמה עולה
✅ פתרון סופי: r = 0.923

סעיף ג – ישר הרגרסיה

a = 0.923 · 6.0861.2 ≈ 4.681📐 שיפוע ישר הרגרסיהa = r · SySx
19.4 = 4.681 · 3.4 + b📐 ישר הרגרסיה עובר בממוצעיםȳ = a · x̄ + b
19.4 = 15.916 + b ⟸ b ≈ 3.484
✅ פתרון סופי: y = 4.681x + 3.484

סעיף ד – הישר אחרי התיקון

מפחיתים 2 מכל ערך y: הממוצע ȳ יורד ב־2 (ל־17.4), וסטיית התקן ומקדם המתאם לא משתנים – לכן השיפוע נשאר 4.681:
17.4 = 4.681 · 3.4 + b ⟸ b = 1.484
כלומר הישר כולו יורד ב־2.
✅ פתרון סופי: y = 4.681x + 1.484

סעיף ה – ניבוי

y = 4.681 · 3.5 + 1.484 = 16.384 + 1.484 ≈ 17.87
✅ פתרון סופי: ≈ 17.87 גרם

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אSx = 1.2
סעיף בr = 0.923
סעיף גy = 4.681x + 3.484
סעיף דy = 4.681x + 1.484
סעיף ה≈ 17.87 גרם
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471 · קורס סטטיסטיקה 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א'⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 2

📄 נוסח השאלה

ביישוב א' בדקו כמה מכוניות יש לכל משפחה. התברר שביישוב א' יש משפחות שאין ברשותן מכוניות כלל ומשפחות שיש ברשותן מכונית אחת, 2 מכוניות או 3 מכוניות בלבד. הטבלה שלפניכם מתארת את התפלגות מספר המכוניות למשפחה ביישוב א'.

מספר המכוניות למשפחה0123
מספר המשפחות30yx6

ידוע כי ביישוב א' יש בממוצע מכונית אחת למשפחה.

א. מצאו את x (מספר המשפחות ביישוב א' שיש ברשותן 2 מכוניות).

נתון כי סטיית התקן של מספר המכוניות למשפחה ביישוב א' היא 67.

ב. (1) מצאו כמה משפחות יש ביישוב א'. (2) מצאו את השכיח ואת החציון של מספר המכוניות למשפחה ביישוב א'.

גם ביישוב ב' יש משפחות שאין ברשותן מכוניות כלל ומשפחות שיש ברשותן מכונית אחת, 2 מכוניות או 3 מכוניות בלבד. מספר המשפחות ביישוב ב' שווה למספר המשפחות ביישוב א'. החציון של מספר המכוניות למשפחה ביישוב ב' הוא 0.5.

ג. לכמה משפחות ביישוב ב' אין מכוניות כלל?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הערך של x

N = 30 + y + x + 6 = 36 + x + y
0 · 30 + 1 · y + 2x + 3 · 636 + x + y = 1📐 ממוצע בטבלת שכיחויותx̄ = סכום של ערך · שכיחותN
y + 2x + 18 = 36 + x + y → x = 18
✅ פתרון סופי: x = 18

סעיף ב (1) – מספר המשפחות

הממוצע 1. סכום ריבועי המרחקים מ־1, כפול השכיחויות (y משפחות עם מכונית אחת תורמות 0):
30 · (0 − 1)2 + 18 · (2 − 1)2 + 6 · (3 − 1)2 = 30 + 18 + 24 = 72
72N = (67)2 = 3649📐 שונותS2 = (x1 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2n
N = 72 · 4936 = 98
y = 98 − 30 − 18 − 6 = 44
✅ פתרון סופי: 98 משפחות

סעיף ב (2) – שכיח וחציון

מספר המכוניות0123
מספר המשפחות3044186
השכיח: הערך עם השכיחות הגדולה ביותר – 1 (44 משפחות).📐 שכיחהערך שמופיע הכי הרבה פעמים
98 ערכים ← החציון הוא ממוצע הערכים במקום ה־49 וה־50. 30 הראשונים הם 0, ובמקומות 31 עד 74 הערך 1.📐 חציוןמסדרים את הערכים; במספר זוגי – ממוצע שני האמצעיים
1 + 12 = 1
✅ פתרון סופי: שכיח 1 , חציון 1

סעיף ג – יישוב ב'

גם ביישוב ב' 98 משפחות. החציון 0.5 הוא ממוצע הערכים במקום ה־49 וה־50, והערכים שלמים. לכן במקום ה־49 הערך 0 ובמקום ה־50 הערך 1:
0 + 12 = 0.5 ✓
לכן בדיוק 49 משפחות בלי מכונית.
✅ פתרון סופי: 49 משפחות

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אx = 18
סעיף ב (1)98
סעיף ב (2)שכיח 1 , חציון 1
סעיף ג49
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 471
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב'⬆️ חזרה לכפתורים

📘 בגרויות שאלון 472

📅 שאלון 472 · קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

חקלאית בעלת מטע עצי שזיף התעניינה בקשר הלינארי שבין קוטר השזיפים (המשתנה x) ובין משקלם (המשתנה y). היא בחרה באקראי 4 שזיפים, מדדה את הקוטר (במילימטרים) של כל אחד מהם, ומדדה את המשקל (בגרמים) של כל אחד מהם.

נמצא כי Sy < Sx (סטיית התקן של משתנה הקוטר גדולה מסטיית התקן של משתנה המשקל), וכי מקדם המתאם הוא r = 0.8. לאחר מכן חישבה החקלאית את ישר הרגרסיה לניבוי משקלם של השזיפים לפי קוטרם.

א. (1) הביעו באמצעות Sx ו־Sy את שיפוע ישר הרגרסיה. (2) האם השיפוע של ישר הרגרסיה גדול מ־1 או קטן מ־1? נמקו את תשובתכם.

נתון כי ישר הרגרסיה לניבוי משקל השזיפים לפי קוטרם הוא y = 34x + 15, וכי x = 80. לפניכם טבלה, ובה נתונים על המשקל של שלושה מתוך ארבעת השזיפים שנבחרו.

שזיףהמשקל (y)
א70
ב70
ג80
ד?

ב. (1) מצאו את המשקל של שזיף ד. (2) מצאו את סטיית התקן של משקל השזיפים. (3) מצאו את סטיית התקן של קוטר השזיפים.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – שיפוע ישר הרגרסיה

(1)
b = 0.8 · SySx📐 שיפוע ישר הרגרסיהb = r · SySx
(2) נתון Sy < Sx, ולכן SySx < 1:
b = 0.8 · SySx < 0.8 · 1 = 0.8 < 1
✅ פתרון סופי: (1) b = 0.8 · SySx
(2) השיפוע קטן מ־1

סעיף ב – שזיף ד וסטיות התקן

(1) ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים – מציבים x = 80:
y = 34 · 80 + 15 = 60 + 15 = 75📐 ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים(x , y)
70 + 70 + 80 + y44 = 75📐 ממוצעy = y1 + y2 + … + ynn
220 + y4 = 300 y4 = 80
(2) הסטיות מהממוצע 75: −5 , −5 , 5 , 5.
Sy = √25 + 25 + 25 + 254 = √25 = 5📐 סטיית תקןS = √(y1 − y)2 + … + (yn − y)2n
(3) משיפוע הישר:
34 = 0.8 · 5Sx = 4Sx📐 שיפוע ישר הרגרסיהb = r · SySx
Sx = 40.75 = 163 ≈ 5.33
בדיקה: Sy = 5 < Sx ≈ 5.33 ✓ – מתאים לנתון.
✅ פתרון סופי: (1) 80 גרם
(2) Sy = 5 גרם
(3) Sx = 163 ≈ 5.33 מילימטר

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א0.8 · SySx
קטן מ־1
סעיף ב80 גרם
5 גרם
163 ≈ 5.33 מ"מ
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 6 – נקודת הממוצעים, מציאת קו הניבוי
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 472 · קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

מרצה באוניברסיטה רצתה לבדוק אם היעדרות משיעורים בקורס שנתי (המשתנה x) קשורה לינארית לציון במבחן הסופי (המשתנה y).

נתון: ממוצע ההיעדרות מן השיעורים היה x = 10, הציון הממוצע היה y = 70, ומקדם המתאם היה שלילי (r < 0). המרצה מצאה את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y מ־x.

א. אחת מן המשוואות 1–4 שלפניכם היא המשוואה שמצאה המרצה. קבעו איזו מהן היא המשוואה, ונמקו את קביעתכם.
1. y = 10x − 30
2. y = x + 60
3. y = −2x + 70
4. y = −2x + 90

המרצה חישבה את סטיות התקן בעבור ההיעדרות מן השיעורים ובעבור הציונים במבחן הסופי, וקיבלה: Sx = 4 , Sy = 10.

ב. חשבו את מקדם המתאם r.

ג. מהו מספר ההיעדרויות שישר הרגרסיה מנבא בעבורו ציון 80?

דוד, מרצה אחר, רצה לערוך את אותה בדיקה בנוגע לתלמידיו. הוא מצא את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y מ־x, וגילה כי בעבור כל מספר של היעדרויות – הישר מנבא תמיד את הציון 65.

ד. מצאו את ערכו של כל אחד מן המדדים בעבור התלמידים של דוד: (1) שיפוע ישר הרגרסיה. (2) הציון הממוצע (y).

ה. על פי הנתונים שבשאלה, האם אפשר למצוא את הממוצע של היעדרויות התלמידים של דוד? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – איזו משוואה

שני תנאים: (1) r < 0 ⟸ השיפוע שלילי; (2) הישר עובר דרך נקודת הממוצעים (10 , 70).
השיפוע שלילי רק במשוואות 3 ו־4 (במשוואות 1 ו־2 השיפוע חיובי).📐 שיפוע ישר הרגרסיהb = r · SySx
משוואה 3 – מציבים x = 10:
y = −2 · 10 + 70 = 50 ≠ 70📐 ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים(x , y)
משוואה 4 – מציבים x = 10:
y = −2 · 10 + 90 = 70 ✓
✅ פתרון סופי: משוואה 4 : y = −2x + 90

סעיף ב – מקדם המתאם

−2 = r · 104📐 שיפוע ישר הרגרסיהb = r · SySx
−2 = 2.5r r = −22.5 = −0.8
✅ פתרון סופי: r = −0.8

סעיף ג – כמה היעדרויות מנבאות ציון 80

80 = −2x + 90 2x = 10 x = 5
xy51020657080(10 , 70)(5 , 80)
ישר הרגרסיה של המרצה (כחול) עובר דרך (10 , 70) ו־(5 , 80). הישר של דוד (סגול) – אופקי, y = 65.
✅ פתרון סופי: 5 היעדרויות

סעיף ד – ישר הרגרסיה של דוד

(1) הישר מנבא תמיד 65 ⟸ זה ישר אופקי y = 65, והשיפוע שלו 0.
b = 0
(2) ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים, כלומר בעבור x = x הניבוי הוא y. אבל הניבוי תמיד 65:
y = 65📐 ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים(x , y)
✅ פתרון סופי: (1) 0
(2) y = 65

סעיף ה – האם אפשר למצוא את ממוצע ההיעדרויות

ידוע רק שנקודת הממוצעים (x , 65) נמצאת על הישר y = 65. כל נקודה על הישר האופקי הזה מקיימת זאת – בלי קשר לערך של x.
לכן הנתונים לא קובעים את x.📐 ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים(x , y)
✅ פתרון סופי: לא – כל ערך של x מתאים לישר y = 65

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אמשוואה 4: y = −2x + 90
סעיף בr = −0.8
סעיף ג5 היעדרויות
סעיף ד0
65
סעיף הלא
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 11 – מציאת המקדם בהינתן קו הרגרסיה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 472 · קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

תלמידי כיתה י"ב התבקשו לכתוב עבודה ולהגישה. הציון שקיבלו על העבודה שוקלל בציון הסופי של כל תלמיד. המורה רצתה לבדוק את הקשר בין הציון על העבודה ובין הציון הסופי, ולשם כך סרטטה את דיאגרמת הפיזור של שני הציונים: X – הציון על העבודה, Y – הציון הסופי. הדיאגרמה שהתקבלה מתוארת בתרשים שלפניכם.

דיאגרמת הפיזור מהשאלון

א. האם אפשר להסיק מן הדיאגרמה הנתונה שכל תלמיד שקיבל על העבודה ציון גבוה יותר מתלמיד אחר קיבל בהכרח ציון סופי גבוה יותר מן התלמיד האחר? נמקו.

ב. אחד מן המספרים שלפניכם הוא מקדם המתאם המתאים לקשר בין שני המשתנים. קבעו מיהו מבין המספרים האלה: 0.675 , 0 , 0.999 , −0.8 , 1.6

נתונים הממוצעים וסטיות התקן של שני המשתנים: X̄ = 71 , SX = 23 , Ȳ = 75 , SY = 14.

ג. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי הציון הסופי על פי הציון על העבודה.

הוחלט להעלות את הציון הסופי של כל תלמיד ב־5 נקודות, ובעקבות העלאה זו התקבל ישר רגרסיה חדש.

ד. (1) האם השתנתה סטיית התקן SY לאחר העלאת הציונים? (2) אחד מן הגרפים I–III שבסוף השאלה מייצג את הישר הישן, שלפני העלאת הציון הסופי (מסורטט בקו מלא), ואת הישר החדש, שאחרי ההעלאה (מסורטט בקו מקווקו). קבעו מיהו הגרף, ונמקו.

ה. אם קיים בכיתה תלמיד שהציון שלו על העבודה הוא 71, מה צריך להיות הציון הסופי שלו (לאחר ההעלאה בציון) כדי שהנקודה המייצגת את שני הציונים שלו תהיה על ישר הרגרסיה החדש?

הגרפים I–III לשאלה 2
✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – האם ציון גבוה יותר בעבודה מבטיח ציון סופי גבוה יותר?

לא. הקשר חיובי אבל לא מושלם: הנקודות לא נמצאות על ישר עולה אחד.
דוגמה מהדיאגרמה: תלמיד אחד קיבל בערך 50 בעבודה וכ־85 בציון הסופי, ותלמיד אחר קיבל כ־65 בעבודה רק כ־60 בציון הסופי. ⚠️ הערכים נקראו מתוך הדיאגרמה.
אילו המסקנה הייתה נכונה, מקדם המתאם היה מראה קשר מושלם – וזה לא המצב כאן.
📐 מקדם המתאם−1 ≤ r ≤ 1
✅ פתרון סופי: לא

סעיף ב – מקדם המתאם

1.6 – לא ייתכן, מקדם מתאם לא גדול מ־1.
📐 מקדם המתאם−1 ≤ r ≤ 1
−0.8 – שלילי, אבל בדיאגרמה ככל ש־X גדל, Y נוטה לגדול (קשר חיובי).
0 – אין קשר, אבל יש מגמה עולה ברורה.
0.999 – כמעט קשר מושלם, והנקודות היו כמעט על ישר. בדיאגרמה יש פיזור רב (סעיף א).
נשאר 0.675 – קשר חיובי בינוני־חזק.
✅ פתרון סופי: r = 0.675

סעיף ג – ישר הרגרסיה

b = 0.675 · 1423 ≈ 0.411📐 ישר רגרסיהŷ = b · x + ab = r · SYSX , a = Ȳ − b · X̄
a = 75 − 0.41087 · 71 ≈ 75 − 29.17 ≈ 45.83
ŷ = 0.411x + 45.83
בדיקה: הישר עובר בנקודת הממוצעים: 0.41087 · 71 + 45.83 ≈ 75 ✓
✅ פתרון סופי: ŷ = 0.411x + 45.83

סעיף ד (1) – האם SY השתנתה?

כל הציונים הסופיים עלו באותם 5 נקודות: הממוצע עולה ב־5, אבל המרחקים מהממוצע לא משתנים.
📐 הוספת קבוע לכל הנתוניםהממוצע גדל באותו קבוע, סטיית התקן לא משתנה
Ȳחדש = 75 + 5 = 80 , SY = 14 (ללא שינוי)
✅ פתרון סופי: לא – סטיית התקן לא השתנתה

סעיף ד (2) – איזה גרף מתאים?

הציונים לא השתנו בצורה ש"מותחת" אותם – SX, SY ו־r נשארו (גם r לא משתנה מהוספת קבוע). לכן השיפוע נשאר:
bחדש = 0.675 · 1423 = bישן📐 ישר רגרסיהŷ = b · x + ab = r · SYSX , a = Ȳ − b · X̄
aחדש = 80 − 0.41087 · 71 ≈ 50.83 = aישן + 5
כלומר הישר החדש מקביל לישן ונמצא 5 נקודות מעליו לכל אורכו. בגרף II הקו המקווקו מקביל לקו המלא וגבוה ממנו במעט; בגרף I ובגרף III הקווים לא מקבילים (המרחק ביניהם משתנה). ⚠️ זיהוי הגרף נעשה לפי התמונות בשאלון.
5050100100XY(71 , 80)מלא – הישר הישןמקווקו – החדש (+5)
הישר הישן והישר החדש – משורטטים מהמשוואות
✅ פתרון סופי: גרף II

סעיף ה – הציון הסופי שמתאים לציון 71 בעבודה

71 הוא בדיוק הממוצע X̄. ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים, ואחרי ההעלאה Ȳ = 80.
📐 נקודת הממוצעיםישר הרגרסיה עובר תמיד בנקודה (X̄ , Ȳ)
ŷ = 0.41087 · 71 + 50.83 ≈ 29.17 + 50.83 = 80
✅ פתרון סופי: 80

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אלא
סעיף בr = 0.675
סעיף גŷ = 0.411x + 45.83
סעיף ד (1)לא השתנתה
סעיף ד (2)גרף II
סעיף ה80
📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות: פתרון בגרות 4 יחידות – תוכנית חדשה
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 472 · חורף 2023, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

במחקר שנועד לבדוק את ההשפעה של קורס לגמילה מעישון, השתתפו 9 מעשנים שנכחו בקורס. בעבור כל אחד מהם נמדדה צריכת הסיגריות היומית לפני הקורס (X), וצריכת הסיגריות היומית לאחר שבוע מתחילת הקורס (Y). הנתונים שהתקבלו מפורטים בטבלה שלפניכם:

משתתףX – לפני הקורסY – אחרי שבוע
153
21510
32019
42220
52222
62522
72824
83030
94030

א. חשבו את ממוצע צריכת הסיגריות היומית למשתתף במחקר לפני הקורס ואת ממוצע צריכת הסיגריות היומית למשתתף במחקר לאחר שבוע מתחילת הקורס.

ב. סרטטו דיאגרמת פיזור של Y כתלות ב־X (כל משבצת במחברת מייצגת 2 סיגריות ליום).

ג. על פי הדיאגרמה שסרטטתם, בחרו במקדם המתאם המתאים לנתונים מבין המספרים שלפניכם, ורשמו אותו: r = 1 , r = 0.949 , r = 0.212 , r = −0.633.

נתונות סטיות התקן SX = 9.226 , SY = 8.26.

ד. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי Y על פי X.

ה. אלעד מעשן 21 סיגריות ביום. הוא רוצה להשתתף בקורס לגמילה מעישון. על פי ישר הרגרסיה שמצאתם, מהו הניבוי לצריכת הסיגריות היומית שלו לאחר שבוע מתחילת הקורס?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – הממוצעים

סכום ערכי X: 5 + 15 + 20 + 22 + 22 + 25 + 28 + 30 + 40 = 207
X̄ = 2079📐 ממוצעממוצע = x1 + x2 + … + xnn
X̄ = 2079 = 23
סכום ערכי Y: 3 + 10 + 19 + 20 + 22 + 22 + 24 + 30 + 30 = 180
Ȳ = 1809📐 ממוצעממוצע = x1 + x2 + … + xnn
Ȳ = 1809 = 20
✅ פתרון סופי: לפני הקורס: X̄ = 23 סיגריות ביום
אחרי שבוע: Ȳ = 20 סיגריות ביום

סעיף ב – דיאגרמת פיזור

כל משתתף הוא נקודה (X , Y): ציר ה־x – הצריכה לפני הקורס, ציר ה־y – הצריכה אחרי שבוע.
הנקודות: (5 , 3), (15 , 10), (20 , 19), (22 , 20), (22 , 22), (25 , 22), (28 , 24), (30 , 30), (40 , 30).
51015202530354051015202530xy
✅ פתרון סופי: דיאגרמת הפיזור בסרטוט

סעיף ג – בחירת מקדם המתאם

בדיאגרמה הנקודות עולות משמאל לימין – קשר חיובי. לכן r = −0.633 נפסל.
הנקודות קרובות מאוד לקו ישר עולה – קשר חזק. לכן r = 0.212 (קשר חלש) נפסל.
אבל הנקודות לא נמצאות בדיוק על ישר אחד (למשל (30 , 30) ו־(40 , 30) באותו גובה) – לכן r = 1 (קשר מושלם) נפסל.
r קרוב ל־1 ← קשר חיובי חזק📐 משמעות מקדם המתאםr = 1 – כל הנקודות על ישר עולהr קרוב ל־1 – קשר חיובי חזקr קרוב ל־0 – קשר חלש
✅ פתרון סופי: r = 0.949

סעיף ד – משוואת ישר הרגרסיה

b = r · SYSX📐 שיפוע ישר הרגרסיהb = r · SYSX
b = 0.949 · 8.269.226 ≈ 0.949 · 0.8953 ≈ 0.85
ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (X̄ , Ȳ) = (23 , 20):
y − 20 = 0.85(x − 23)📐 ישר הרגרסיה דרך נקודת הממוצעיםy − Ȳ = b(x − X̄)
y − 20 = 0.85x − 19.55
y = 0.85x + 0.45
51015202530354051015202530xyy = 0.85x + 0.45(23, 20)(21, 18.3)
✅ פתרון סופי: y = 0.85x + 0.45

סעיף ה – הניבוי לאלעד

מציבים x = 21 במשוואת ישר הרגרסיה:
y = 0.85 · 21 + 0.45 = 17.85 + 0.45 = 18.3📐 ישר הרגרסיה (סעיף ד)y = 0.85x + 0.45
✅ פתרון סופי: הניבוי: כ־18 סיגריות ביום (18.3)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אX̄ = 23 , Ȳ = 20
סעיף בדיאגרמת פיזור
סעיף גr = 0.949
סעיף דy = 0.85x + 0.45
סעיף הכ־18 סיגריות ביום
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת קו הרגרסיה (קו הניבוי)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 472 · קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

מנהל חברה בדק את הקשר בין ההוצאה החודשית של החברה על פרסום מוצריה, ובין ההכנסות מן המכירות שלה בחודש שלאחר מכן. הוא בדק נתונים מכמה חודשים רצופים. בטבלה שלפניכם מוצגים הנתונים על ההוצאות וההכנסות באלפי שקלים:

הוצאה על פרסום (X)הכנסות בחודש שלאחר מכן (Y)
9180
10200
13300
24450
28400
48510

המנהל חישב ומצא כי ממוצע ההוצאות לחודש על פרסום הוא X̄ = 22 וסטיית התקן היא SX = 13.6. ממוצע ההכנסות ממכירות לחודש הוא Ȳ = 340 וסטיית התקן היא SY = 123.4.

לפניכם שתי דיאגרמות פיזור (1)–(2). אחת מהן מתארת את הקשר בין שני המשתנים (X ו־Y).

דיאגרמות הפיזור 1 ו־2 מהשאלון

א. מבין שתי הדיאגרמות (1)–(2), מהי הדיאגרמה המתארת את הקשר בין שני המשתנים? נמקו את תשובתכם.

נתונים ארבעה מקדמי מתאם: r = −0.7 , r = −0.9 , r = 1 , r = 0.9.

ב. אחד מארבעת מקדמי המתאם מתאים לנתונים. קבעו מיהו ונמקו את קביעתכם.

ג. מהי משוואת ישר הרגרסייה לניבוי ההכנסות ממכירות כתלות בהוצאה על פרסום?

ד. על פי ישר הרגרסייה שמצאתם, מהי ההערכה להכנסות ממכירות (באלפי שקלים) בעבור הוצאה של 19,000 שקלים לחודש על פרסום? נמקו את תשובתכם.

החברה המירה את ההוצאות וההכנסות בשקלים להוצאות והכנסות בדולרים (ולכן כל המספרים בטבלה קטנו בערך פי 3).

ה. מהי ההשפעה של המרת השקלים לדולרים על כל אחד מן הגדלים (1)–(3) שלפניכם (כלומר האם הוא גדל, קטן, או לא השתנה)? נמקו את תשובותיכם. (1) X̄   (2) SX   (3) r

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – איזו דיאגרמה מתאימה?

בטבלה, ככל שההוצאה על פרסום גדלה, ההכנסות נוטות לגדול (מ־180 ל־510) – קשר חיובי. נקודות הדיאגרמה צריכות לעלות משמאל לימין.
בדיאגרמה 1 הנקודות עולות, ובדיאגרמה 2 הן יורדות (קשר שלילי). ⚠️ הכיוון של כל דיאגרמה נקרא מהתמונות בשאלון.
📐 מקדם המתאם−1 ≤ r ≤ 1
✅ פתרון סופי: דיאגרמה 1

סעיף ב – מקדם המתאם

הקשר חיובי, ולכן −0.7 ו־−0.9 נפסלים.
📐 מקדם המתאם−1 ≤ r ≤ 1
r = 1 פירושו שכל הנקודות על ישר עולה אחד. אבל ההוצאה 28 הביאה הכנסה 400, נמוכה מ־450 שהביאה ההוצאה 24 – הנקודות לא על ישר אחד.
נשאר r = 0.9 – קשר חיובי חזק אבל לא מושלם.
✅ פתרון סופי: r = 0.9

סעיף ג – ישר הרגרסיה

b = 0.9 · 123.413.6 ≈ 8.166📐 ישר רגרסיהŷ = b · x + ab = r · SYSX , a = Ȳ − b · X̄
a = 340 − 8.166 · 22 ≈ 340 − 179.66 ≈ 160.34
ŷ = 8.166x + 160.34
✅ פתרון סופי: ŷ = 8.166x + 160.34

סעיף ד – ההערכה עבור הוצאה של 19,000 שקלים

הנתונים בטבלה באלפי שקלים, ולכן הוצאה של 19,000 שקלים היא x = 19.
ŷ = 8.166 · 19 + 160.34 ≈ 155.15 + 160.34 ≈ 315.5📐 ישר רגרסיהŷ = b · x + ab = r · SYSX , a = Ȳ − b · X̄
הערך x = 19 נמצא בתוך טווח הנתונים (מ־9 עד 48), ולכן אפשר להשתמש בישר לניבוי.
1020304050100200300400500(19 , 315.5)XY
הנתונים, ישר הרגרסיה והניבוי ב־x = 19
✅ פתרון סופי: בערך 315.5 אלף שקלים

סעיף ה – ההשפעה של המרה לדולרים

כל המספרים מחולקים בערך ב־3 (כפל בקבוע של בערך ⅓):
📐 כפל כל הנתונים בקבועהממוצע וסטיית התקן מוכפלים באותו קבוע; מקדם המתאם לא משתנה
(1) X̄ ≈ 223 ≈ 7.3 – קטן
(2) SX ≈ 13.63 ≈ 4.5 – קטנה
(3) r – לא משתנה: הצורה של דיאגרמת הפיזור נשארת אותה צורה, רק קנה המידה משתנה.
✅ פתרון סופי: (1) קטן (2) קטנה (3) לא השתנה

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אדיאגרמה 1
סעיף בr = 0.9
סעיף גŷ = 8.166x + 160.34
סעיף ד≈ 315.5 אלף ₪
סעיף הX̄ קטן, SX קטנה, r לא השתנה
📝 לכל פתרונות הבגרות 4 יחידות: פתרון בגרות 4 יחידות – תוכנית חדשה
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 472 · קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

כדי לבדוק את הקשר בין ציוני בחינת הבגרות במתמטיקה (X) ובין ציוני בחינת הבגרות במדעי המחשב (Y), חושבו בשנה מסוימת הממוצעים, סטיות התקן ומקדם המתאם של הציונים בבחינות האלה. תוצאות החישובים היו: X = 64 , Y = 72 , sx = 14 , sy = 9 , r = 0.77.

א. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי הציון במדעי המחשב על פי הציון במתמטיקה.

באותה השנה דני נבחן במתמטיקה ובמדעי המחשב, והציון שקיבל במתמטיקה היה 90.

ב. על פי ישר הרגרסיה שמצאתם, מהו הציון המשוער של דני בבחינת הבגרות במדעי המחשב?

לאחר שהתברר שהבחינה במתמטיקה באותה השנה הייתה קשה, הוסיפו לכל אחד מן הציונים במתמטיקה 4 נקודות.

ג. מהי ההשפעה של התוספת לציונים על כל אחד מן הגדלים (1)–(3) (כלומר, האם הוא גדל, קטן או לא השתנה)? נמקו את תשובותיכם. (1) X (2) sx (3) r

בשנה שאחרי כן התקבלו בבחינות במתמטיקה ובמדעי המחשב אותם הממוצעים ואותן סטיות התקן כמפורט בתחילת השאלה. ידוע שמשוואת ישר הרגרסיה של הציונים בשנה זו הייתה: y = mx + 43.2.

ד. (1) מצאו את הערך של m. (2) מצאו את מקדם המתאם של הציונים בשנה זו.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – משוואת ישר הרגרסיה

b = 0.77 · 914 = 0.495📐 שיפוע ישר הרגרסיהb = r · sysx
72 = 0.495 · 64 + a 72 = 31.68 + a a = 40.32📐 ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים(X , Y)
✅ פתרון סופי: y = 0.495x + 40.32

סעיף ב – הציון המשוער של דני

y = 0.495 · 90 + 40.32 = 44.55 + 40.32 = 84.87
✅ פתרון סופי: בערך 85

סעיף ג – השפעת התוספת של 4 נקודות

(1) כל ציון גדל ב־4, ולכן גם הממוצע גדל ב־4: X = 64 + 4 = 68 – גדל.📐 ממוצעX = x1 + x2 + … + xnn
(2) סטיית התקן מודדת את הפיזור סביב הממוצע. כל ציון וגם הממוצע זזו ב־4, ולכן המרחקים x − X לא השתנו – sx לא השתנתה.
(3) הזזה של כל הציונים לא משנה את עוצמת הקשר הלינארי ואת כיוונו (כל הנקודות בדיאגרמה זזות יחד ימינה) – r לא השתנה.
✅ פתרון סופי: (1) גדל (ב־4)
(2) לא השתנתה
(3) לא השתנה

סעיף ד – השנה שאחרי

72 = m · 64 + 43.2 64m = 28.8 m = 0.45📐 ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים(X , Y)
0.45 = r · 914 r = 0.45 · 149 = 0.7📐 שיפוע ישר הרגרסיהb = r · sysx
✅ פתרון סופי: (1) m = 0.45
(2) r = 0.7

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אy = 0.495x + 40.32
סעיף בבערך 85
סעיף גגדל
לא השתנתה
לא השתנה
סעיף דm = 0.45
r = 0.7
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 14 – טרנספורמציות (הזזות) ברגרסיה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 472 · חורף 2022 נבצרים, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

במחקר על הקשר בין טמפרטורת המים X לבין כמות המדוזות Y, נאספו 30 זוגות נתונים והתקבלו התוצאות הבאות: X̄ = 26.5 , SX = 3.5 , Ȳ = 14 , SY = 2.5 (הטמפרטורות במעלות). נערך ניבוי בעזרת ישר רגרסיה לכמות המדוזות לפי טמפרטורת המים.

א. מה יהיה הניבוי לכמות המדוזות כאשר טמפרטורת המים היא הטמפרטורה הממוצעת 26.5 מעלות?

נתון בנוסף כי מקדם המתאם הוא r = 0.8.

ב. לפניך שלושה היגדים (1–3). קבע אלו מההיגדים נכונים. נמק. (1) מקדם המתאם לא מאפשר ניבוי טוב כי הוא קטן מ־1. (2) ככל שהטמפרטורה יורדת, ננבא כמות גדולה יותר של מדוזות. (3) ככל שהטמפרטורה עולה, ננבא כמות גדולה יותר של מדוזות.

ג. מצא את ישר הרגרסיה לניבוי כמות המדוזות לפי הטמפרטורה.

ד. על פי ישר הרגרסיה, מה יהיה הניבוי לכמות המדוזות ביום שבו טמפרטורת המים היא 33 מעלות?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – ניבוי בטמפרטורה הממוצעת

ישר הרגרסיה עובר דרך (X̄ , Ȳ)📐 נקודת הממוצעיםישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים (X̄ , Ȳ)
לכן כש־x = X̄ = 26.5, הניבוי הוא y = Ȳ = 14 – גם בלי לדעת את מקדם המתאם.
✅ פתרון סופי: הניבוי: 14 מדוזות

סעיף ב – שלושת ההיגדים

r קרוב ל־1 ← קשר חיובי חזק📐 משמעות מקדם המתאםr > 0 ← קשר חיובי (x עולה ← y עולה)|r| קרוב ל־1 ← קשר חזק, ניבוי טוב
היגד (1): r = 0.8 הוא קשר חזק – הניבוי טוב. r = 1 אומר שכל הנקודות בדיוק על ישר, אבל גם בלי זה הניבוי טוב ← לא נכון.
היגד (2): r > 0 ← שיפוע ישר הרגרסיה חיובי. כשהטמפרטורה יורדת, ננבא פחות מדוזות ← לא נכון.
היגד (3): שיפוע חיובי ← כשהטמפרטורה עולה, ננבא יותר מדוזות ← נכון.
✅ פתרון סופי: רק היגד (3) נכון

סעיף ג – ישר הרגרסיה

b = r · SYSX = 0.8 · 2.53.5 = 47 ≈ 0.571📐 שיפוע ישר הרגרסיהb = r · SYSX
y − 14 = 47(x − 26.5)📐 ישר הרגרסיה דרך נקודת הממוצעיםy − Ȳ = b(x − X̄)
y − 14 = 47x − 1067📐 פתיחת סוגריים47 · 26.5 = 1067
y = 47x − 1067 + 987 = 47x − 87
202530355101520xy = 4/7x − 8/7(26.5, 14)(33, 17.71)
✅ פתרון סופי: y = 47x − 87 ≈ 0.571x − 1.143

סעיף ד – ניבוי ב־33 מעלות

y = 47 · 33 − 87 = 132 − 87 = 1247 ≈ 17.71📐 ישר הרגרסיה (סעיף ג)y = 47x − 87
✅ פתרון סופי: כ־17.71 מדוזות (בערך 18)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א14 מדוזות
סעיף ברק היגד (3)
סעיף גy = 47x − 87
סעיף דכ־17.71
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 6 – נקודת הממוצעים ומציאת קו הניבוי
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 472 · חורף 2022, שאלה 2

📄 נוסח השאלה

חוקרים בדקו אם יש קשר בין קו הרוחב שבו נמצא אזור מסוים ובין שיעור מקרי סרטן העור (מלנומה) באוכלוסייה באותו אזור. המחקר נערך בתשעה אזורים שונים בארצות הברית, במשך שלוש שנים. בכל אחד מן האזורים נבדקו 100,000 תושבים. נתוני המחקר מוצגים בטבלה (x – קו רוחב, y – שיעור מקרי המלנומה, מקרים ל־100,000):

קו רוחב xמקרי מלנומה y
32.89
33.95.9
34.16.6
37.95.8
40.05.5
40.83
41.73.4
42.23.1
45.03.8

ממוצע: x = 38.71 , y = 5.12. סטיית תקן: sx = 4.04 , sy – לא נתונה.

א. הראה כי סטיית התקן של שיעור מקרי המלנומה היא sy = 1.88.

לפניך דיאגרמת הפיזור של y כתלות ב־x (ציר אופקי – קו רוחב, ציר אנכי – מקרים ל־100,000 איש):

דיאגרמת פיזור – קו רוחב ומקרי מלנומה – שאלה 2

ב. אחד מבין מקדמי המתאם (1)–(4) שלפניך מייצג את הקשר בין הנתונים. קבע איזה מהם מייצג את הקשר, ונמק את קביעתך.
(1) r = 1
(2) r = −0.857
(3) r = 0.651
(4) r = −1

ג. מצא את משוואת קו הרגרסיה לניבוי מקרי המלנומה y על פי קו הרוחב x.

ד. מהו הניבוי לשיעור מקרי המלנומה y בקו רוחב 36?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – סטיית התקן של y

סטיית התקן מחושבת מסכום ריבועי הסטיות מהממוצע y = 5.12, מחולק במספר האזורים n = 9. נחשב כל סטייה ואת הריבוע שלה:
yi − y📐 נוסחה: סטייה מהממוצעסטייה = ערך − ממוצע
yy − y(y − y)2
199 − 5.12 = 3.8815.0544
25.95.9 − 5.12 = 0.780.6084
36.66.6 − 5.12 = 1.482.1904
45.85.8 − 5.12 = 0.680.4624
55.55.5 − 5.12 = 0.380.1444
633 − 5.12 = −2.124.4944
73.43.4 − 5.12 = −1.722.9584
83.13.1 − 5.12 = −2.024.0804
93.83.8 − 5.12 = −1.321.7424
סכום31.7356
sy2 = 31.73569 ≈ 3.5262📐 נוסחה: סטיית תקןsy2 = An , sy = √sy2A = (y1 − y)2 + (y2 − y)2+ … + (yn − y)2
sy = √3.5262 ≈ 1.8778 ≈ 1.88
✅ פתרון סופי: הראינו: sy ≈ 1.88

סעיף ב – בחירת מקדם המתאם

נסתכל בדיאגרמת הפיזור:
• ככל שקו הרוחב x גדל, שיעור המלנומה y בדרך כלל קטן – הנקודות יורדות משמאל לימין. לכן הקשר שלילי, ו־r שלילי. זה פוסל את (1) r = 1 ואת (3) r = 0.651.
• הנקודות לא נמצאות כולן על קו ישר אחד, לכן הקשר אינו לינארי מושלם, ו־r ≠ −1. זה פוסל את (4).
−1 < r < 0 ⟸ r = −0.857📐 כלל: משמעות מקדם המתאםr = −1 – כל הנקודות על ישר יורד−1 < r < 0 – קשר שלילי, לא מושלם
✅ פתרון סופי: (2) r = −0.857 – קשר שלילי חזק אך לא מושלם.

סעיף ג – משוואת קו הרגרסיה

שיפוע = r · sysx = −0.857 · 1.884.04 ≈ −0.3988📐 נוסחה: שיפוע קו הרגרסיהשיפוע = r · sysx
y − 5.12 = −0.3988 · (x − 38.71)📐 נוסחה: משוואת קו הרגרסיהy − y = r · sysx · (x − x)
y − 5.12 = −0.3988x + 15.44
y = −0.3988x + 15.44 + 5.12
y ≈ −0.399x + 20.56
(חישוב עזר: 0.3988 · 38.71 ≈ 15.44.)
✅ פתרון סופי: y = −0.399x + 20.56

סעיף ד – ניבוי בקו רוחב 36

מציבים x = 36 במשוואת קו הרגרסיה שמצאנו בסעיף ג:
y = −0.399 · 36 + 20.56📐 נוסחה: ניבוי לפי קו הרגרסיהŷ = שיפוע · x + חותך
= −14.36 + 20.56
≈ 6.2
✅ פתרון סופי: בערך 6.2 מקרי מלנומה ל־100,000 תושבים.

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אהוכחה: sy ≈ 1.88
סעיף ב(2) r = −0.857
סעיף גy = −0.399x + 20.56
סעיף ד≈ 6.2 מקרים ל־100,000
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת קו הרגרסיה (קו הניבוי)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 4 יחידות
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022⬆️ חזרה לכפתורים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות