בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – קיץ 2023 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סדרות, סטטיסטיקה והסתברות; גאומטרייה; וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. במועד זה עונים על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 20 נקודות לכל שאלה (שלוש שעות וחצי). קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2023 מועד א'

שאלון 471 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2023 מועד א' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית

📄 נוסח השאלה

בבריכת "גלי גיל" מתאמנים לתחרות במשחה של "100 מטר חופשי". השיא שנקבע בעבר במשחה זה היה 51 שניות. קבוצה גדולה של שחיינים מתאמנת לקראת התחרות במשחה זה. זמני השחייה של השחיינים בקבוצה מתפלגים נורמלית עם ממוצע של 57 שניות וסטיית תקן של 2 שניות. בוחרים באקראי שחיין מן הקבוצה.

א. מהי ההסתברות שהשחיין שנבחר ישבור את השיא שנקבע בעבר (כלומר, ישחה בזמן קצר יותר מזמן השיא)?

בבריכה מתאמנות שתי קבוצות: קבוצה של 150 שחיינים שממוצע זמן המשחה שלהם הוא 57 שניות, וקבוצה של 150 שחיינים שממוצע זמן המשחה שלהם הוא 58 שניות.

ב. מהו הממוצע של זמן המשחה של כל 300 השחיינים?

נתון כי זמני המשחה של כל 300 השחיינים מתפלגים נורמלית, וכי זמן המשחה של 50 מבין 300 השחיינים הוא פחות מ־54 שניות.

ג. מהי סטיית התקן של זמני המשחה של כל 300 השחיינים?

בוחרים באקראי שחיין מבין כל 300 השחיינים.

ד. מהי ההסתברות שהשחיין שנבחר ישבור את השיא שנקבע בעבר?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – שבירת השיא בקבוצה הגדולה

נחשב את ציון התקן של 51:
z = (51 − 57) : 2 = −6 : 2 = −3📐 ציון תקןz = x − x̄S
ציון התקן שלילי, אז מסתכלים בטבלה על 3. נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים (בטבלה הזאת מסומן Φ(z)): בשורה 3.0 ובעמודה 0.00 רשום 0.999.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 3.0 עמודה 0.00
בגלל שהגרף סימטרי, מתחת ל־−3 יש בדיוק מה שמעל 3 – עושים 1 פחות:
1 − 0.999 = 0.001
✅ פתרון סופי: 0.001

סעיף ב – הממוצע של 300 השחיינים

x̄ = 150 · 57 + 150 · 58300📐 ממוצע משוקללx̄ = סכום כל הזמניםמספר השחיינים
= 8550 + 8700300 = 17250300 = 57.5
✅ פתרון סופי: 57.5 שניות

סעיף ג – סטיית התקן

50300 = 16 ≈ 0.167 מהשחיינים מתחת ל־54.
54 מתחת לממוצע, אז ציון התקן שלו שלילי. בטבלה מחפשים את הצד השני: עושים 1 פחות – 1 − 0.167 = 0.833.
נחפש בתוך הטבלה את 0.833: הערך הקרוב ביותר הוא 0.834, בשורה 0.9 ובעמודה 0.07. כלומר ציון התקן הוא 0.97, ושל 54 הוא −0.97.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.9 עמודה 0.07
−0.97 = (54 − 57.5) : S = −3.5 : S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 3.5 : 0.97 ≈ 3.61
✅ פתרון סופי: S ≈ 3.61 שניות

סעיף ד – שבירת השיא מבין 300

z = (51 − 57.5) : 3.61 = −6.5 : 3.61 ≈ −1.8📐 ציון תקןz = x − x̄S
בטבלה: בשורה 1.8 ובעמודה 0.00 רשום 0.964.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.8 עמודה 0.00
מתחת ל־−1.8 – עושים 1 פחות:
1 − 0.964 = 0.036
✅ פתרון סופי: 0.036

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א0.001
סעיף ב57.5 שניות
סעיף גS ≈ 3.61
סעיף ד0.036
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ציון תקן 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – מקדם מתאם ורגרסיה

📄 נוסח השאלה

חוקרים בדקו את הקשר בין משקל של עכבר (y בגרמים) ובין משקל מנת המזון היומית שלו (x בגרמים). הם בדקו עשרה עכברים. משקלי העכברים ומשקל מנת המזון היומית של כל אחד מהם מוצגים בטבלה:

מזון x55444
עכבר y3028242220
מזון x33321
עכבר y1615141312

נתון כי המשקל הממוצע של מנת המזון היומית הוא 3.4 גרמים.

א. הראו כי סטיית התקן של משקל מנת המזון היומית היא 1.2 גרמים.

נתון כי המשקל הממוצע של עשרת העכברים הוא 19.4 גרמים, וסטיית התקן של משקלם היא 6.086 גרמים.

ב. לפניכם 4 מספרים שונים: 0 , −0.123 , 0.923 , 1. אחד מן המספרים הוא מקדם המתאם r בין משקל העכבר ובין משקל מנת המזון היומית שלו. בחרו איזה מהם הוא מקדם המתאם, ונמקו את בחירתכם (אין צורך לחשב).

ג. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי משקל העכברים מתוך משקל מנת המזון היומית שלהם.

לאחר זמן מה התגלה כי המאזניים שבהם נשקלו העכברים לא היו מכוילים ויש להפחית 2 גרמים ממשקלו של כל עכבר (המאזניים שבהם נשקלה מנת המזון היומית היו מכוילים).

ד. מה תהיה משוואת ישר הרגרסיה החדש לאחר הכנסת התיקון במשקלי העכברים?

ה. על פי ישר הרגרסיה שמצאתם בסעיף ד, מהו הניבוי למשקל עכבר שמשקל מנת המזון היומית שלו הוא 3.5 גרם?

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – סטיית התקן של X

ההפרשים מהממוצע 3.4 בריבוע:
5:  (1.6)² = 2.56 (פעמיים)
4:  (0.6)² = 0.36 (3 פעמים)
3:  (−0.4)² = 0.16 (3 פעמים)
2:  (−1.4)² = 1.96
1:  (−2.4)² = 5.76
סכום: 5.12 + 1.08 + 0.48 + 1.96 + 5.76 = 14.4
Sx = √14.410 = √1.44 = 1.2📐 סטיית תקןS = √סכום (x − x̄)²n
✅ פתרון סופי: Sx = 1.2 ✓

סעיף ב – מקדם המתאם

בטבלה, כשמנת המזון גדלה גם משקל העכבר גדל – קשר חיובי, ולכן לא 0 ולא −0.123.
הנקודות לא נמצאות כולן על ישר אחד (למשל ל־x = 4 יש שלושה ערכי y שונים), ולכן לא 1.
נשאר קשר חיובי חזק.📐 מקדם המתאםr = 1 ← כל הנקודות על ישר עולה0 < r < 1 ← מגמה עולה
✅ פתרון סופי: r = 0.923

סעיף ג – ישר הרגרסיה

a = 0.923 · 6.0861.2 ≈ 4.681📐 שיפוע ישר הרגרסיהa = r · SySx
19.4 = 4.681 · 3.4 + b📐 ישר הרגרסיה עובר בממוצעיםȳ = a · x̄ + b
19.4 = 15.916 + b ⟸ b ≈ 3.484
✅ פתרון סופי: y = 4.681x + 3.484

סעיף ד – הישר אחרי התיקון

מפחיתים 2 מכל ערך y: הממוצע ȳ יורד ב־2 (ל־17.4), וסטיית התקן ומקדם המתאם לא משתנים – לכן השיפוע נשאר 4.681:
17.4 = 4.681 · 3.4 + b ⟸ b = 1.484
כלומר הישר כולו יורד ב־2.
✅ פתרון סופי: y = 4.681x + 1.484

סעיף ה – ניבוי

y = 4.681 · 3.5 + 1.484 = 16.384 + 1.484 ≈ 17.87
✅ פתרון סופי: ≈ 17.87 גרם

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אSx = 1.2
סעיף בr = 0.923
סעיף גy = 4.681x + 3.484
סעיף דy = 4.681x + 1.484
סעיף ה≈ 17.87 גרם
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת קו הרגרסיה (קו הניבוי)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471 · קורס סטטיסטיקה 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות מותנית

📄 נוסח השאלה

אוניברסיטה גדולה בדקה את הקשר בין ההישגים הלימודיים של הסטודנטים באוניברסיטה ובין ציוני תעודת הבגרות שלהם. 20% מן הסטודנטים סיימו בהצטיינות את בחינות הבגרות, והשאר סיימו בציונים רגילים. מבין הסטודנטים שסיימו את בחינות הבגרות בהצטיינות, 80% הגיעו להישגים גבוהים באוניברסיטה. מבין הסטודנטים שסיימו את בחינות הבגרות בציונים רגילים, 25% הגיעו להישגים גבוהים באוניברסיטה.

א. בוחרים באקראי סטודנט מן האוניברסיטה. מהי ההסתברות שהוא הגיע להישגים גבוהים באוניברסיטה?

ב. בוחרים באקראי סטודנט שהגיע להישגים גבוהים באוניברסיטה. מהי ההסתברות שהוא סיים את בחינות הבגרות בציונים רגילים?

ג. לפניכם שתי טענות (1)–(2), שפורסמו בתקשורת. קבעו בעבור כל אחת מהן אם היא נכונה, ונמקו. (1) מבין הסטודנטים שהגיעו להישגים גבוהים באוניברסיטה, רובם (מעל 50%) סיימו את בחינות הבגרות בהצטיינות. (2) מבין הסטודנטים שלא הגיעו להישגים גבוהים באוניברסיטה, רובם (מעל 50%) סיימו את בחינות הבגרות בציונים רגילים.

ד. רות וענבל הן סטודנטיות באוניברסיטה, והן סיימו את בחינות הבגרות בציונים רגילים. מהי ההסתברות שבדיוק אחת מהן הגיעה להישגים גבוהים באוניברסיטה?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הישגים גבוהים

הצטיינות והישגים גבוהים: 0.2 · 0.8 = 0.16
רגילים והישגים גבוהים: 0.8 · 0.25 = 0.2
P = 0.16 + 0.2 = 0.36📐 הסתברות שלמה (עץ)סכום כל הענפים שמובילים למאורע
✅ פתרון סופי: 0.36

סעיף ב – רגילים, בידיעה שהישגים גבוהים

P = 0.20.36 = 59 ≈ 0.556📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 59 ≈ 0.556

סעיף ג – שתי טענות

(1) מבין בעלי ההישגים הגבוהים, חלק המצטיינים:
0.160.36 = 49 ≈ 0.444 < 0.5
פחות מחצי – הטענה לא נכונה.
(2) לא הגיעו להישגים גבוהים: 1 − 0.36 = 0.64. מתוכם רגילים: 0.8 · 0.75 = 0.6:
0.60.64 = 0.9375 > 0.5
יותר מחצי – הטענה נכונה.
✅ פתרון סופי: (1) לא נכונה   (2) נכונה

סעיף ד – בדיוק אחת מהשתיים

לכל אחת (רגילים) – הישגים גבוהים 0.25, אחרת 0.75. בדיוק אחת: רות כן וענבל לא, או להפך:
2 · 0.25 · 0.75 = 0.375📐 בדיוק הצלחה אחת מתוך שתיים2 · p · (1 − p)
✅ פתרון סופי: 0.375

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.36
סעיף ב59
סעיף ג(1) לא נכונה , (2) נכונה
סעיף ד0.375
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 19 – הסתברות מותנת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – הנדסה אנליטית: טרפז שקודקודיו על הצירים

📄 נוסח השאלה

המרובע ABCD הוא טרפז (AB ∥ CD), שכל קודקודיו מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט. ראשית הצירים O היא מפגש האלכסונים של הטרפז. נתון: A(0 , 6) , AO = OD. ידוע כי שטח המשולש ABD שווה ל־45.

א. (1) מצאו את האורך של BD. (2) מצאו את שיעורי הקודקודים D ו־B.

ב. מצאו את משוואת הצלע CD.

ג. (1) מצאו את גודל הזווית OBC. (2) מצאו את גודל הזווית ABC.

הנקודה E נמצאת על המשך הצלע BC ונתון כי DE = DC (ראו סרטוט).

ד. מצאו את היקף המשולש CDE.

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – BD והקודקודים

(1) BD על ציר ה־x ו־A על ציר ה־y, לכן AO = 6 הוא הגובה של המשולש ABD:
45 = BD · 62 = 3 · BD📐 שטח משולשS = צלע · גובה2
BD = 15
(2) OD = AO = 6, ו־D על החלק השלילי של ציר ה־x ← D(−6 , 0).
OB = 15 − 6 = 9 ← B(9 , 0)
✅ פתרון סופי: (1) BD = 15   (2) D(−6 , 0) , B(9 , 0)

סעיף ב – משוואת CD

mAB = 0 − 69 − 0 = −23📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
CD ∥ AB, לכן אותו שיפוע, דרך D(−6 , 0):
y − 0 = −23(x + 6)📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)
y = −23x − 4
✅ פתרון סופי: y = −23x − 4

סעיף ג – הזוויות

C על ציר ה־y: x = 0  ⟸  y = −4 ← C(0 , −4).
(1) במשולש ישר הזווית OBC (∢O = 90):
tan∢OBC = OCOB = 49📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢OBC ≈ 23.96
(2) במשולש OBA:
tan∢OBA = 69 ⟸ ∢OBA ≈ 33.69
∢ABC = 33.69 + 23.96 = 57.65
✅ פתרון סופי: (1) ≈ 23.96 מעלות   (2) ≈ 57.65 מעלות

סעיף ד – היקף המשולש CDE

DC = √(0 + 6)² + (−4 − 0)² = √52 ≈ 7.21📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
משוואת BC:
mBC = 0 − (−4)9 − 0 = 49 ⟸ y = 49x − 4📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
E(x , 49x − 4) על הישר, ו־DE = √52:
(x + 6)² + (49x − 4)² = 52
x² + 12x + 36 + 1681x² − 329x + 16 = 52
9781x² + 769x = 0
x = 0 (זו C) או x = −68497 ≈ −7.05
y ≈ 49 · (−7.05) − 4 ≈ −7.13 ← E(−7.05 , −7.13)
CE = √7.05² + 3.13² ≈ 7.72📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
P = √52 + √52 + 7.72 ≈ 7.21 + 7.21 + 7.72 = 22.14
✅ פתרון סופי: ≈ 22.14

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אBD = 15 ; D(−6 , 0) , B(9 , 0)
סעיף בy = −23x − 4
סעיף ג23.96 ; 57.65
סעיף ד≈ 22.14
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 26 – מציאת קו ישר מקביל ומאונך 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – מעגל, משיק ודמיון

📄 נוסח השאלה

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו M. הצלע AC היא קוטר במעגל. המעגל משיק לציר ה־y בנקודה C וחותך את ציר ה־x בנקודה B, כמתואר בסרטוט. הנקודה D נמצאת על ציר ה־y וידוע כי ∢BAC = ∢ADC.

א. הוכיחו: △ABC ∼ △DCA.

ב. האם BC ∥ AD? נמקו.

נתון: C(0 , 4) , B(−2 , 0).

ג. (1) מצאו את משוואת הצלע AB. (2) מצאו את שיעורי הקודקוד A. (3) מצאו את משוואת המעגל.

ד. (1) מצאו את יחס הדמיון בין המשולש ABC ובין המשולש DCA. (2) מצאו את שטח המרובע ABCD.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – הוכחת הדמיון

1. ∢ABC = 90📐 זווית היקפיתהנשענת על קוטר היא 90 מעלות
2. ∢DCA = 90📐 רדיוס ומשיקהקוטר AC מאונך למשיק (ציר ה־y) בנקודת ההשקה C
3. ∢BAC = ∢ADC (נתון).
4. △ABC ∼ △DCA📐 משפט דמיוןז.ז
✅ פתרון סופי: △ABC ∼ △DCA לפי ז.ז

סעיף ב – האם BC ∥ AD

מהדמיון, הזוויות המתאימות שוות: ∢BCA = ∢DAC.
אלו זוויות מתחלפות בין הישרים BC ו־AD עם החותך AC.📐 ישרים מקביליםזוויות מתחלפות שוות ← מקבילים
✅ פתרון סופי: כן , BC ∥ AD

סעיף ג – AB , A והמעגל

(1) ∢ABC = 90, כלומר AB ⊥ BC:
mBC = 4 − 00 − (−2) = 2📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
2 · mAB = −1 ⟸ mAB = −12📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1
y − 0 = −12(x + 2) ⟸ y = −12x − 1📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)
(2) AC מאונך לציר ה־y ב־C(0 , 4), לכן AC הוא הישר y = 4:
−12x − 1 = 4  ⟸  x = −10 ← A(−10 , 4)
(3) המרכז הוא אמצע הקוטר AC:
M = (−10 + 02 , 4) = (−5 , 4) , R = 5📐 אמצע קטעxM = x₁ + x₂2 , yM = y₁ + y₂2
(x + 5)² + (y − 4)² = 25📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²
✅ פתרון סופי: (1) y = −12x − 1   (2) A(−10 , 4)   (3) (x + 5)² + (y − 4)² = 25

סעיף ד – יחס הדמיון ושטח המרובע

(1) לפי סדר האותיות ABC ↔ DCA: BC מתאימה ל־CA.
BC = √2² + 4² = √20   ,   CA = 10📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
k = BCCA = √2010 = 1√5 ≈ 0.447
(2)
AB = √8² + 4² = √80
SABC = √80 · √202 = 402 = 20📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
SDCA = 20k² = 20 · 5 = 100📐 יחס שטחיםיחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון
SABCD = 20 + 100 = 120
✅ פתרון סופי: (1) k = 1√5   (2) 120

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אדמיון ז.ז
סעיף בכן
סעיף גy = −12x − 1 ; A(−10 , 4) ; (x + 5)² + (y − 4)² = 25
סעיף דk = 1√5 ; 120
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 41 – משיק למעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית ושטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x + 4x².

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)?

ב. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x. בתשובתכם דייקו 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.

ד. אחד מן הגרפים I–III בסוף השאלה מתאר את הפונקציה f(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x), על ידי הישר x = 1, על ידי הישר x = 2 ועל ידי ציר ה־x.

הגרפים I–III לשאלה 6
✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה

x² ≠ 0  ⟸  x ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
✅ פתרון סופי: x ≠ 0

סעיף ב – חיתוך עם ציר x

x + 4x² = 0
כופלים ב־x²:
x³ + 4 = 0  ⟸  x³ = −4
x = −∛4 ≈ −1.59
✅ פתרון סופי: (−1.59 , 0)

סעיף ג – נקודת קיצון

כותבים 4x² = 4x−2:
f′(x) = 1 − 8x−3 = 1 − 8x³📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹
1 − 8x³ = 0 ⟸ x³ = 8 ⟸ x = 2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
f(2) = 2 + 44 = 3
הצבות: f′(−1) = 1 + 8 > 0 , f′(1) = 1 − 8 < 0 , f′(3) = 1 − 827 > 0:
xx < 000 < x < 22x > 2
f′+✕−0+
f↗✕↘מינ׳↗
✅ פתרון סופי: מינימום (2 , 3)

סעיף ד – איזה גרף

ליד x = 0 השבר 4x² חיובי וגדול מאוד משני הצדדים – הגרף עולה ל־+∞ משני צדי ציר ה־y.
משמאל: הפונקציה עולה וחותכת את ציר ה־x ב־−1.59. מימין: יורדת למינימום (2 , 3) ועולה.
בגרפים I ו־II הענף השמאלי יורד, וליד ציר ה־y יורד ל־−∞ – לא מתאים. רק בגרף III הענף השמאלי עולה ל־+∞ ובענף הימני יש מינימום.
xyx=0(2 , 3)(-1.59 , 0)
✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ה – השטח

בין 1 ל־2 הפונקציה חיובית (מעל ציר ה־x):
S = ∫12 (x + 4x−2) dx = [x²2 − 4x]12📐 אינטגרל של חזקה∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1
= (42 − 42) − (12 − 4) = 0 − (−3.5) = 3.5
✅ פתרון סופי: S = 3.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אx ≠ 0
סעיף ב(−1.59 , 0)
סעיף גמינימום (2 , 3)
סעיף דגרף III
סעיף ה3.5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 49 – חקירת פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471 · קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש עם פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 1 + 12x − √2x + b, b הוא פרמטר. ידוע כי גרף הפונקציה f(x) חותך את ציר ה־x בנקודה (8 , 0) בלבד.

א. מצאו את b.

הציבו b = 9 וענו על הסעיפים ב–ד.

ב. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ג. (1) מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן. (2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־y. (3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ד. אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

הגרפים I–IV לשאלה 7
✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – הפרמטר b

מציבים את הנקודה (8 , 0):
0 = 1 + 4 − √16 + b
√16 + b = 5
מעלים בריבוע:
16 + b = 25  ⟸  b = 9
✅ פתרון סופי: b = 9

סעיף ב – תחום הגדרה

2x + 9 ≥ 0  ⟸  x ≥ −4.5📐 תחום הגדרה של שורשמה שבתוך השורש ≥ 0
✅ פתרון סופי: x ≥ −4.5

סעיף ג – קיצון, חיתוך וסקיצה

(1)
(√2x + 9)′ = 22√2x + 9 = 1√2x + 9📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)
f′(x) = 12 − 1√2x + 9
12 = 1√2x + 9 ⟸ √2x + 9 = 2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
2x + 9 = 4  ⟸  x = −2.5
f(−2.5) = 1 − 1.25 − √4 = −2.25
הצבות: f′(−4) = 12 − 1 < 0 , f′(0) = 12 − 13 > 0:
x−4.5−4.5 < x < −2.5−2.5x > −2.5
f′✕−0+
fמקס׳ קצה↘מינ׳↗
קצה התחום: f(−4.5) = 1 − 2.25 − 0 = −1.25 – לפני הירידה, מקסימום (קצה).
(2) f(0) = 1 + 0 − √9 = −2 ← (0 , −2).
(3) מתחילה ב־(−4.5 , −1.25), יורדת למינימום (−2.5 , −2.25), עולה דרך (0 , −2) ו־(8 , 0):
xy(-2.5 , -2.25)(-4.5 , -1.25)(0 , -2)(8 , 0)
✅ פתרון סופי: (1) מינימום (−2.5 , −2.25) , מקסימום קצה (−4.5 , −1.25)   (2) (0 , −2)

סעיף ד – איזה גרף הוא f′(x)

תחום f′: x > −4.5 (בקצה המכנה מתאפס). כש־x → −4.5, 1√2x + 9 → +∞ ולכן f′ → −∞ – אסימפטוטה אנכית משמאל.
f′ שלילית עד x = −2.5 (משמאל לציר ה־y), שם מתאפסת, ואחר כך חיובית ועולה לאט לכיוון 12.
גרף IV מתחיל מ־−∞ ליד אסימפטוטה משמאל, חותך את ציר ה־x משמאל לציר ה־y ומתקרב לקבוע – מתאים. בגרפים I ו־III האסימפטוטה מימין, ובגרף II הגרף יורד מ־+∞ – לא מתאימים.
✅ פתרון סופי: גרף IV

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אb = 9
סעיף בx ≥ −4.5
סעיף גמינ׳ (−2.5 , −2.25) , מקס׳ קצה (−4.5 , −1.25) ; (0 , −2)
סעיף דגרף IV
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון: טרפז ישר זווית

📄 נוסח השאלה

המרובע ABCD הוא טרפז ישר זווית (AB ∥ DC, ראו סרטוט). גובה הטרפז BE חוצה את הבסיס DC. שטח הטרפז הוא 12√2. נסמן ב־x את אורך הצלע AB.

א. הביעו באמצעות x את אורך גובה הטרפז.

ב. מצאו את x שבעבורו סכום ריבועי השוקיים של הטרפז (AD² + BC²) הוא מינימלי.

ג. האם ייתכן שסכום ריבועי השוקיים של הטרפז הוא 30? נמקו.

סרטוט לשאלה 8
✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – גובה הטרפז

ABED מלבן (זוויות ישרות ב־A , D , E), לכן DE = AB = x. E אמצע DC, ולכן DC = 2x. נסמן את הגובה h:
12√2 = (x + 2x) · h2 = 3xh2📐 שטח טרפזS = (a + b) · h2
h = 24√23x = 8√2x
✅ פתרון סופי: h = 8√2x

סעיף ב – סכום ריבועי השוקיים מינימלי

AD = h. במשולש ישר הזווית BEC: EC = x , BE = h:
BC² = h² + x²📐 משפט פיתגורסa² + b² = c²
h² = 64 · 2x² = 128x²
g(x) = AD² + BC² = 2h² + x² = 256x² + x²
g′(x) = −512x³ + 2x📐 נגזרת של חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹
2x = 512x³ ⟸ x⁴ = 256 ⟸ x = 4📐 נקודת קיצוןg′(x) = 0
הצבות: g′(2) = −64 + 4 < 0 , g′(5) = −4.1 + 10 > 0:
x0 < x < 44x > 4
g′−0+
g↘מינ׳↗
✅ פתרון סופי: x = 4

סעיף ג – סכום 30?

g(4) = 25616 + 16 = 16 + 16 = 32
זה הערך הקטן ביותר של הסכום, ולכן הסכום תמיד ≥ 32.
✅ פתרון סופי: לא – הסכום המינימלי הוא 32 > 30

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אh = 8√2x
סעיף בx = 4
סעיף גלא (מינימום 32)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות