בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – קיץ 2023 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות, גאומטרייה, וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. עונים על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 20 נקודות לכל שאלה. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2023 מועד ב'

שאלון 471 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 7
שאלון 471 קיץ 2023 מועד ב' – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 7

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית

📄 נוסח השאלה

חברת קוסמטיקה החליטה לערוך מחקר, ובו לבדוק את קצב התארכות שיער הראש של אנשים בס"מ לשנה. החברה בדקה מספר רב של אנשים. היא גילתה שקצב התארכות השיער שלהם מתפלג נורמלית, והתבררו שני נתונים:

i. השיער של 50% מן הנבדקים התארך בפחות מ־12 ס"מ בשנה.
ii. השיער של 33% מן הנבדקים התארך ביותר מ־12.56 ס"מ בשנה.

א. מהו קצב ההתארכות הממוצע של השיער של הנבדקים?

ב. מהי סטיית התקן של קצב התארכות השיער של הנבדקים?

חברת הקוסמטיקה הכריזה שהיא הצליחה לפתח שמפו שמגביר ב־10% את קצב התארכות השיער.

ג. לפי ההכרזה, מה יהיה הממוצע החדש ומה תהיה סטיית התקן החדשה של קצב התארכות השיער בקרב אוכלוסיית האנשים שישתמשו בשמפו זה?

ד. החברה בדקה מהו אחוז הנבדקים במחקר שקצב התארכות השיער שלהם הוא בין הממוצע ובין סטיית תקן אחת מעל הממוצע. לפי הכרזת החברה, אם ישתמשו כל הנבדקים בשמפו שהיא פיתחה, האם אחוז זה יגדל, יקטן או לא ישתנה? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הממוצע

50% מתחת ל־12 ← 12 הוא בדיוק הממוצע.📐 ממוצע בהתפלגות נורמליתבדיוק חצי מהערכים מתחת לממוצע
✅ פתרון סופי: x̄ = 12 ס"מ בשנה

סעיף ב – סטיית התקן

33% התארכו ביותר מ־12.56, אז עושים 1 פחות: 1 − 0.33 = 0.67 התארכו בפחות מ־12.56.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.670: הוא נמצא בשורה 0.4 ובעמודה 0.04, כלומר z = 0.44. זה ציון התקן של 12.56.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.4 עמודה 0.04
0.44 = 12.56 − 12S = 0.56S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 0.560.44 ≈ 1.27
✅ פתרון סופי: S ≈ 1.27 ס"מ

סעיף ג – ממוצע וסטיית תקן אחרי השמפו

כל קצב גדל ב־10%, כלומר נכפל ב־1.1. אז גם הממוצע וגם סטיית התקן נכפלים ב־1.1:📐 כפל כל הנתונים במספרx̄′ = k · x̄ , S′ = k · S
x̄′ = 1.1 · 12 = 13.2
S′ = 1.1 · 0.560.44 = 0.6160.44 = 1.4
✅ פתרון סופי: x̄′ = 13.2 , S′ = 1.4

סעיף ד – האם האחוז ישתנה

"בין הממוצע לסטיית תקן אחת מעליו" זה תמיד בין ציון תקן 0 לציון תקן 1.
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.0 ובעמודה 0.00 רשום 0.841. מתחת לממוצע נמצאים בדיוק 0.5, אז מחסרים: 0.841 − 0.5 = 0.341 – כ־34.1% (בטבלה מפורטת יותר: 34.13%).
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.0 עמודה 0.00
ההתפלגות החדשה עדיין נורמלית (כל הערכים נכפלו באותו מספר), ולכן התחום עדיין בין ציון תקן 0 ל־1 – והאחוז נשאר אותו אחוז.
✅ פתרון סופי: לא ישתנה

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א12 ס"מ
סעיף בS ≈ 1.27
סעיף ג13.2 , 1.4
סעיף דלא ישתנה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ציון תקן 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סטטיסטיקה ורגרסיה

📄 נוסח השאלה

בעל חנות המוכר טאבלטים בדק את הקשר הלינארי בין גודל המסך של טאבלט באינצ'ים (המשתנה x) ובין מספר הדקות שנדרשו ללקוח להחליט לקנות את הטאבלט (המשתנה y). ביום מסוים הוא מכר 8 דגמים שונים של טאבלטים. לפניכם טבלה המתארת את הנתונים של שמונת הדגמים שהוא מכר באותו יום:

גודל המסך (x)דקות להחלטה (y)
92
910
910
910
1110
1110
1110
1118

א. חשבו את הממוצעים ואת סטיות התקן של שני המשתנים, x ו־y.

ב. חשבו את מקדם המתאם r.

ג. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי מספר הדקות לקבלת החלטה כתלות בגודל המסך.

בעל החנות הזמין לחנותו דגם חדש של טאבלט, שגודל המסך שלו 10 אינצ'ים.

ד. על פי ישר הרגרסיה שמצאתם, מהו ניבוי מספר הדקות לקבלת ההחלטה בעבור דגם זה?

בעקבות העסקתו של מוכר חדש בחנות, התקצר ב־20% זמן קבלת ההחלטה לקנות כל אחד מדגמי הטאבלטים.

ה. בעבור כל אחד מן המדדים שלפניכם קבעו אם ערכו יגדל, יקטן או לא ישתנה בעקבות השינוי הזה. (1) מקדם המתאם r. (2) סטיית התקן של המשתנה y. (3) שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי מספר הדקות לקבלת ההחלטה כתלות בגודל המסך.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – ממוצעים וסטיות תקן

x̄ = 4 · 9 + 4 · 118 = 808 = 10📐 ממוצעx̄ = x1 + x2 + … + xnn
ȳ = 2 + 6 · 10 + 188 = 808 = 10
המרחקים של x מ־10: ארבע פעמים −1 וארבע פעמים 1:
Sx2 = 8 · 18 = 1 → Sx = 1📐 שונות וסטיית תקןS2 = (x1 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2n
המרחקים של y מ־10: −8 , שש פעמים 0 , 8:
Sy2 = 64 + 0 + 648 = 1288 = 16 → Sy = 4
✅ פתרון סופי: x̄ = 10 , Sx = 1
✅ פתרון סופי: ȳ = 10 , Sy = 4

סעיף ב – מקדם המתאם

מכפלות המרחקים מהממוצעים (10 , 10) בכל שורה:
(9 − 10)(2 − 10) = (−1)(−8) = 8
שלוש השורות (9 , 10) ושלוש השורות (11 , 10): (±1) · 0 = 0
(11 − 10)(18 − 10) = 1 · 8 = 8
סכום המכפלות: A = 8 + 0 + 8 = 16
r = 168 · 1 · 4 = 1632 = 0.5📐 מקדם המתאםr = An · Sx · Sy
✅ פתרון סופי: r = 0.5

סעיף ג – ישר הרגרסיה

m = r · SySx = 0.5 · 41 = 2📐 שיפוע ישר הרגרסיהm = r · SySx
y − 10 = 2(x − 10)📐 ישר הרגרסיהy − ȳ = m(x − x̄)
y = 2x − 20 + 10 = 2x − 10
✅ פתרון סופי: y = 2x − 10

סעיף ד – ניבוי למסך של 10 אינצ'ים

y = 2 · 10 − 10 = 10
✅ פתרון סופי: 10 דקות

סעיף ה – אחרי קיצור של 20%

y′ = 0.8 · y📐 כפל כל הנתונים במספרS′ = k · S , r לא משתנה (כש־k > 0)
(1) כפל בקבוע חיובי לא משנה את חוזק הקשר ואת כיוונו: r = 0.5 נשאר.
(2) Sy′ = 0.8 · 4 = 3.2 – קטנה.
(3) m′ = 0.5 · 3.21 = 1.6 – קטן (מ־2).
✅ פתרון סופי: (1) לא ישתנה
✅ פתרון סופי: (2) תקטן
✅ פתרון סופי: (3) יקטן

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אx̄ = 10 , Sx = 1 ; ȳ = 10 , Sy = 4
סעיף בr = 0.5
סעיף גy = 2x − 10
סעיף ד10 דקות
סעיף ה(1) לא ישתנה ; (2) תקטן ; (3) יקטן
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת קו הרגרסיה (קו הניבוי)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות

📄 נוסח השאלה

בקלמר של דנה יש 25 עפרונות זהים בגודלם בשלושה צבעים: 15 עפרונות כחולים, 4 עפרונות אדומים, 6 עפרונות צהובים.

דנה מוציאה באקראי עיפרון מן הקלמר. אם העיפרון הוא כחול או אדום, היא מחזירה את העיפרון לקלמר. אם העיפרון הוא צהוב, היא משאירה אותו מחוץ לקלמר. לאחר מכן דנה מוציאה באקראי עיפרון נוסף מן הקלמר.

א. מהי ההסתברות שדנה תוציא שני עפרונות צהובים?

ב. (1) מהי ההסתברות שדנה תוציא שני עפרונות באותו הצבע? (2) ידוע ששני העפרונות שהוציאה דנה הם באותו הצבע. מהי ההסתברות שהיא הוציאה שני עפרונות אדומים או שני עפרונות צהובים?

דנה החזירה את כל העפרונות לקלמר ונתנה לאחיה מן הקלמר x עפרונות כחולים, 3 עפרונות אדומים ו־2 עפרונות צהובים. לאחר מכן היא הוציאה באקראי שני עפרונות מן הקלמר ללא החזרה.

נתון: ההסתברות שדנה הוציאה עיפרון צהוב ולאחריו עיפרון אדום היא 160.

ג. מצאו את x.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – שני צהובים

אחרי צהוב ראשון הוא לא חוזר: נשארים 5 צהובים מתוך 24 עפרונות.
P = 625 · 524 = 30600 = 120📐 עץ הסתברויותכופלים לאורך ענף
✅ פתרון סופי: 120 = 0.05

סעיף ב (1) – אותו צבע

כחול או אדום חוזרים לקלמר, ולכן בהוצאה השנייה שוב 25 עפרונות:
P(כ, כ) = 1525 · 1525 = 225625 = 0.36
P(א, א) = 425 · 425 = 16625 = 0.0256
P(צ, צ) = 0.05 (סעיף א)
P = 0.36 + 0.0256 + 0.05 = 0.4356📐 חיבור הסתברויותמאורעות זרים – מחברים
✅ פתרון סופי: 0.4356

סעיף ב (2) – אדומים או צהובים, בידיעה שאותו צבע

P = 0.0256 + 0.050.4356 = 0.07560.4356 = 21121 ≈ 0.174📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 21121 ≈ 0.174

סעיף ג – הערך של x

בקלמר נשארו: כחולים 15 − x, אדומים 4 − 3 = 1, צהובים 6 − 2 = 4. סך הכול 25 − x − 5 = 20 − x.
420 − x · 119 − x = 160📐 ללא החזרהאחרי כל הוצאה המכנה קטן ב־1
(20 − x)(19 − x) = 240
380 − 39x + x2 = 240📐 פתיחת סוגריים כפולים(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
x2 − 39x + 140 = 0
(x − 4)(x − 35) = 0📐 טרינוםp · q = c , p + q = b : (−4)(−35) = 140 , −4 − 35 = −39
x = 4 או x = 35 (נפסל – יש רק 15 כחולים)
בדיקה: 416 · 115 = 4240 = 160 ✓
✅ פתרון סופי: x = 4

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.05
סעיף ב (1)0.4356
סעיף ב (2)21121
סעיף גx = 4
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 19 – הסתברות מותנת
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – מקבילית במערכת צירים ודמיון

📄 נוסח השאלה

במקבילית OABC הקודקוד B מונח על ציר ה־y, והנקודה O היא ראשית הצירים. מן הקודקודים A ו־C העבירו אנכים לציר ה־x, החותכים אותו בנקודות E ו־F בהתאמה (ראו סרטוט). נתון: ∢AOE = ∢COB.

א. (1) הוכיחו: ∢AOE = ∢OCF. (2) הוכיחו כי המשולשים OCF ו־AOE דומים.

שטח המשולש OCF גדול פי 4 משטח המשולש AOE. משוואות הישרים AE ו־CF הן x = 4 ו־x = −4 בהתאמה.

ב. (1) מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים OCF ו־AOE. (2) מצאו את אורכי הצלעות OE ו־CF. (3) מצאו את שיעורי הקודקודים C ו־A.

ג. מצאו את שיעורי הקודקוד B.

ד. הוכיחו כי המקבילית OABC היא מלבן.

אלכסוני המלבן OABC נפגשים בנקודה M.

ה. האם נכון כי SAOE + SCFO = 2 · SABM? נמקו את תשובתכם.

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א (1) – ∢AOE = ∢OCF

CF ⊥ ציר ה־x, ו־OB הוא ציר ה־y – גם הוא מאונך לציר ה־x. לכן CF ∥ OB.
∢OCF = ∢COB – זוויות מתחלפות בין המקבילים CF ו־OB (החותך OC).📐 זוויות מתחלפותזוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות
∢COB = ∢AOE – נתון. לכן ∢AOE = ∢OCF.
✅ פתרון סופי: ∢AOE = ∢OCF ✓

סעיף א (2) – דמיון המשולשים

∢OFC = ∢AEO = 90 – אנכים לציר ה־x.
∢OCF = ∢AOE – סעיף א (1).
לכן △OCF ∼ △AOE, בהתאמה C ↔ O , F ↔ E , O ↔ A.📐 משפט דמיון ז.ז.שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
✅ פתרון סופי: △OCF ∼ △AOE ✓

סעיף ב (1) – יחס הדמיון

k2 = 4 → k = 2📐 יחס שטחים במשולשים דומיםיחס השטחים = ריבוע יחס הדמיון
✅ פתרון סופי: k = 2

סעיף ב (2) – OE ו־CF

E על הישר x = 4 ועל ציר ה־x: E(4 , 0), ולכן OE = 4. באותו אופן F(−4 , 0) ו־OF = 4.
לפי ההתאמה C ↔ O , F ↔ E, הצלע CF מתאימה לצלע OE:
CFOE = 2 → CF = 2 · 4 = 8
✅ פתרון סופי: OE = 4 , CF = 8

סעיף ב (3) – שיעורי C ו־A

C מעל F(−4 , 0) במרחק 8: C(−4 , 8).
OF מתאימה ל־AE:
OFAE = 2 → AE = 42 = 2
A מעל E(4 , 0) במרחק 2: A(4 , 2).
✅ פתרון סופי: C(−4 , 8) , A(4 , 2)

סעיף ג – שיעורי B

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן לאלכסונים OB ו־AC אותו אמצע:📐 אלכסוני מקביליתחוצים זה את זה
M = (4 + (−4)2 , 2 + 82) = (0 , 5)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
M הוא גם אמצע OB, ו־O(0 , 0), ולכן B(0 , 10).
✅ פתרון סופי: B(0 , 10)

סעיף ד – המקבילית היא מלבן

mOA = 24 = 12📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
mOC = 8−4 = −2
12 · (−2) = −1 ← OA ⊥ OC📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן.📐 מלבןמקבילית שיש בה זווית ישרה
✅ פתרון סופי: מלבן ✓

סעיף ה – האם השוויון נכון

SAOE = 4 · 22 = 4 ; SCFO = 4 · 82 = 16
צד שמאל: 4 + 16 = 20
OA = √42 + 22 = √20📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
OC = √(−4)2 + 82 = √80
SOABC = √20 · √80 = √1,600 = 40
SABM = 404 = 10📐 אלכסוני מקביליתמחלקים אותה ל־4 משולשים שווי שטח
צד ימין: 2 · 10 = 20. שני הצדדים שווים.
✅ פתרון סופי: נכון (20 = 20)

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אהוכחות
סעיף ב (1)k = 2
סעיף ב (2)OE = 4 , CF = 8
סעיף ב (3)C(−4 , 8) , A(4 , 2)
סעיף גB(0 , 10)
סעיף דהוכחה
סעיף הנכון
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 28 – תרגול מפגש אלכסונים במקבילית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – משולש חסום במעגל

📄 נוסח השאלה

במעגל חסום משולש חד זוויות ABC. נתון: B(3 , 7) , A(−5 , 3). מרכז המעגל M נמצא על ציר ה־y. המעגל חותך את ציר ה־x בנקודות C ו־D, כמתואר בסרטוט שלפניכם.

א. (1) הראו כי שיעורי מרכז המעגל M הם (0 , 3). (2) מצאו את משוואת המעגל. (3) מצאו את שיעורי הנקודות C ו־D.

ב. (1) מצאו את אורך הצלע AC. (2) מצאו את גודל הזווית ABC.

הנקודה E נמצאת על הקשת הקטנה AC. נתון: EC = 7.

ג. מהו גודל הזווית AEC? נמקו את תשובתכם.

ד. מצאו את שטח המשולש AEC.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א (1) – מרכז המעגל

M(0 , m). המרכז במרחק שווה מ־A ומ־B (רדיוסים):
(−5 − 0)2 + (3 − m)2 = (3 − 0)2 + (7 − m)2📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
25 + 9 − 6m + m2 = 9 + 49 − 14m + m2
34 − 6m = 58 − 14m → 8m = 24 → m = 3
✅ פתרון סופי: M(0 , 3) ✓

סעיף א (2) – משוואת המעגל

R2 = MA2 = 25 + (3 − 3)2 = 25
x2 + (y − 3)2 = 25📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
✅ פתרון סופי: x2 + (y − 3)2 = 25

סעיף א (3) – שיעורי C ו־D

על ציר ה־x: y = 0:
x2 + 9 = 25 → x2 = 16 → x = ±4
לפי הסרטוט C מימין ו־D משמאל.
✅ פתרון סופי: C(4 , 0) , D(−4 , 0)

סעיף ב (1) – אורך AC

AC = √(4 + 5)2 + (0 − 3)2 = √81 + 9 = √90 ≈ 9.487📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
✅ פתרון סופי: AC = √90 ≈ 9.487

סעיף ב (2) – הזווית ABC

√90sin(∢ABC) = 2 · 5📐 משפט הסינוסיםasin(A) = 2R
sin(∢ABC) = √9010 ≈ 0.9487
∢ABC ≈ 71.57 או 108.43. המשולש חד זוויות, ולכן ∢ABC ≈ 71.57.
✅ פתרון סופי: ∢ABC ≈ 71.57 מעלות

סעיף ג – הזווית AEC

E על הקשת הקטנה AC, ולכן ABCE מרובע חסום במעגל, ו־∢AEC מול ∢ABC:📐 מרובע חסום במעגלסכום זוויות נגדיות = 180 מעלות
∢AEC = 180 − 71.57 = 108.43
✅ פתרון סופי: ∢AEC ≈ 108.43 מעלות

סעיף ד – שטח המשולש AEC

במשולש AEC ידועים AC = √90 , EC = 7 ו־∢AEC ≈ 108.43. הנקודות A , E , C על המעגל, ולכן גם המשולש AEC חסום במעגל שרדיוסו R = 5. נמצא את הזווית EAC (מול הצלע EC):
ECsin(∢EAC) = 2 · 5📐 משפט הסינוסיםasin(A) = 2R
7sin(∢EAC) = 10 → sin(∢EAC) = 710 = 0.7
∢EAC ≈ 44.43 או 135.57. הזווית AEC קהה, ולכן שתי הזוויות האחרות במשולש חדות: ∢EAC ≈ 44.43.
∢ACE = 180 − 108.43 − 44.43 = 27.14📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש = 180 מעלות
עכשיו ידועות שתי צלעות, AC ו־EC, והזווית שביניהן, ∢ACE:
S = 12 · AC · EC · sin(∢ACE) = 12 · √90 · 7 · sin(27.14)📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin(C)
S = 0.5 · 9.487 · 7 · 0.4561 ≈ 15.15
✅ פתרון סופי: S ≈ 15.15 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א (2)x2 + (y − 3)2 = 25
סעיף א (3)C(4 , 0) , D(−4 , 0)
סעיף ב (1)√90 ≈ 9.487
סעיף ב (2)71.57 מעלות
סעיף ג108.43 מעלות
סעיף ד≈ 15.15
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 44 – משולש כלשהו חסום במעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = 9 − 4x21 − x2.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את האסימפטוטות של הפונקצייה f(x) המאונכות לצירים. (3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים. (4) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. (5) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ג. נתונה הפונקצייה g(x) המקיימת g′(x) = f(x). לפונקציות f(x) ו־g(x) יש אותו תחום הגדרה. מצאו את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקצייה g(x), וקבעו את סוגן. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א (1) – תחום הגדרה

1 − x2 ≠ 0 → x2 ≠ 1 → x ≠ ±1📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
✅ פתרון סופי: x ≠ ±1

סעיף א (2) – אסימפטוטות

אנכיות: המכנה מתאפס ב־x = ±1, והמונה שם 9 − 4 = 5 ≠ 0:
x = 1 , x = −1📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0
אופקית: חזקות שוות (2) במונה ובמכנה:
y = −4−1 = 4📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם מוביל במונהמקדם מוביל במכנה
✅ פתרון סופי: x = ±1 , y = 4

סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: f(0) = 91 = 9.
9 − 4x2 = 0 → x2 = 2.25 → x = ±1.5📐 שבר שווה לאפסab = 0 ⟺ a = 0
✅ פתרון סופי: (0 , 9) , (1.5 , 0) , (−1.5 , 0)

סעיף א (4) – נקודת קיצון

u = 9 − 4x2 , u′ = −8x ; v = 1 − x2 , v′ = −2x:
f′(x) = −8x(1 − x2) − (9 − 4x2)(−2x)(1 − x2)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= −8x + 8x3 + 18x − 8x3(1 − x2)2 = 10x(1 − x2)2
10x = 0 → x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
f(0) = 9
המכנה ריבוע – חיובי. לכן הסימן של f′ כסימן של x:
f′(−0.5) = −50.5625 < 0 ← יורדת
f′(0.5) = 50.5625 > 0 ← עולה
xf′(x)f(x)
x < −1−↘ יורדת
−1 < x < 0−↘ יורדת
00מינימום
0 < x < 1+↗ עולה
x > 1+↗ עולה
✅ פתרון סופי: מינימום (0 , 9)

סעיף א (5) – עלייה וירידה

מהטבלה שבסעיף א (4):
✅ פתרון סופי: עלייה: 0 < x < 1 או x > 1
✅ פתרון סופי: ירידה: x < −1 או −1 < x < 0

סעיף ב – סקיצה

בין −1 ל־1 הגרף כמו "קערה" עם מינימום ב־(0 , 9), ועולה לפלוס אינסוף ליד האסימפטוטות. מחוץ לתחום הזה הגרף מגיע ממינוס אינסוף ליד x = ±1, חוצה את ציר ה־x ב־±1.5, ומתקרב ל־y = 4 מלמטה.
xyx = −1x = 1y = 4(0, 9)(−1.5, 0)(1.5, 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ג – נקודות הקיצון של g(x)

ל־g יש קיצון כש־g′(x) = f(x) = 0 והסימן מתחלף: ב־x = ±1.5.📐 נקודת קיצוןg′(x) = 0 והנגזרת מחליפה סימן
סימן f מהסקיצה: חיובית כש־x < −1.5, שלילית כש־−1.5 < x < −1, חיובית בין −1 ל־1, שלילית כש־1 < x < 1.5, חיובית כש־x > 1.5.
ב־x = −1.5: g′ עוברת מ־+ ל־− ← g עולה ואז יורדת ← מקסימום.
ב־x = 1.5: g′ עוברת מ־− ל־+ ← g יורדת ואז עולה ← מינימום.
(ב־x = ±1 g לא מוגדרת, ולכן אין שם קיצון.)
✅ פתרון סופי: מקסימום ב־x = −1.5
✅ פתרון סופי: מינימום ב־x = 1.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף א (1)x ≠ ±1
סעיף א (2)x = ±1 , y = 4
סעיף א (3)(0 , 9) , (±1.5 , 0)
סעיף א (4)מינימום (0 , 9)
סעיף א (5)עולה x > 0 , יורדת x < 0 (בלי ±1)
סעיף גמקס׳ ב־x = −1.5 , מינ׳ ב־x = 1.5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 49 – חקירת פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – פונקציית שורש וגרף הנגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (x − 1) · √2x + 10.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

בסוף השאלה מופיעים שני גרפים, I–II. אחד מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x), והגרף האחר מתאר את הפונקצייה g(x) = −f′(x).

ה. קבעו איזה מן הגרפים I–II מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את קביעתכם.

ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = 3 ועל ידי ציר ה־x.

הגרפים I–II לשאלה 7
✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

2x + 10 ≥ 0 → x ≥ −5📐 תחום הגדרה של שורשהביטוי בתוך השורש ≥ 0
✅ פתרון סופי: x ≥ −5

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

(x − 1) · √2x + 10 = 0📐 מכפלה שווה לאפסA · B = 0 ⟺ A = 0 או B = 0
x − 1 = 0 → x = 1 ; √2x + 10 = 0 → x = −5
f(0) = (0 − 1) · √10 = −√10 ≈ −3.162
✅ פתרון סופי: ציר ה־x: (1 , 0) , (−5 , 0)
✅ פתרון סופי: ציר ה־y: (0 , −√10)

סעיף ג – נקודות קיצון

(√2x + 10)′ = 22√2x + 10 = 1√2x + 10📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)
f′(x) = 1 · √2x + 10 + (x − 1) · 1√2x + 10📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
מכנה משותף √2x + 10:
f′(x) = 2x + 10 + x − 1√2x + 10 = 3x + 9√2x + 10
3x + 9 = 0 → x = −3📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
f(−3) = (−4) · √4 = −8
f′(−4) = −3√2 < 0 ← יורדת ; f′(0) = 9√10 > 0 ← עולה
xf′(x)f(x)
−5קצה התחוםמקסימום קצה
−5 < x < −3−↘ יורדת
−30מינימום
x > −3+↗ עולה
בקצה x = −5: f(−5) = 0, ומשם הפונקצייה יורדת – מקסימום קצה.
✅ פתרון סופי: מינימום (−3 , −8)
✅ פתרון סופי: מקסימום קצה (−5 , 0)

סעיף ד – סקיצה

הגרף מתחיל ב־(−5 , 0), יורד עד המינימום (−3 , −8), עולה דרך (0 , −√10) וחוצה את ציר ה־x ב־(1 , 0), וממשיך לעלות.
xy(−3, −8)(−5, 0)(1, 0)(0, −√10)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה – איזה גרף מתאר את f′(x)

מסעיף ג: f′ < 0 כש־−5 < x < −3 ו־f′ > 0 כש־x > −3. בנוסף, ליד x = −5 המכנה √2x + 10 שואף ל־0 והמונה שלילי – f′ שואפת למינוס אינסוף.📐 קשר בין פונקציה לנגזרתf′ < 0 ← יורדת ; f′ > 0 ← עולה
בגרף I הגרף מתחיל למטה ליד הישר המקווקו, עולה, חוצה את ציר ה־x וממשיך מעליו – מתאים. גרף II הוא השיקוף שלו (−f′): מתחיל למעלה ונגמר מתחת לציר.
✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ו – השטח

בין x = −3 (החיתוך של f′ עם הציר) ל־x = 3 הנגזרת חיובית, והתחום סגור. הפונקצייה הקדומה של f′ היא f:
S = ∫3−3 f′(x) dx = f(3) − f(−3)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)
f(3) = 2 · √16 = 8
S = 8 − (−8) = 16
✅ פתרון סופי: S = 16 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אx ≥ −5
סעיף ב(1 , 0) , (−5 , 0) , (0 , −√10)
סעיף גמינ׳ (−3 , −8) , מקס׳ קצה (−5 , 0)
סעיף הגרף I
סעיף וS = 16
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון במשולש ישר זווית

📄 נוסח השאלה

ABC הוא משולש ישר זווית, ∢ACB = 90 מעלות. שטח המשולש ABC הוא 72. M היא נקודה על הצלע AC כך שמתקיים MC = 2MA (ראו סרטוט). נסמן את אורך הקטע MA ב־x.

א. הביעו באמצעות x את אורך הצלע BC.

ב. (1) מצאו את x שבעבורו סכום ריבועי מרחקי הנקודה M משלושת קודקודי המשולש (MA2 + MB2 + MC2) הוא מינימלי. (2) האם ייתכן שהסכום MA2 + MB2 + MC2 הוא 300? נמקו את תשובתכם.

סרטוט לשאלה 8
✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – אורך BC

MC = 2x → AC = x + 2x = 3x
3x · BC2 = 72📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
3x · BC = 144 → BC = 48x
✅ פתרון סופי: BC = 48x

סעיף ב (1) – סכום מינימלי

במשולש MCB הזווית C ישרה:
MB2 = MC2 + BC2 = 4x2 + 2,304x2📐 משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
T(x) = x2 + 4x2 + 2,304x2 + 4x2 = 9x2 + 2,304x2
T′(x) = 18x − 4,608x3📐 נגזרת של חזקה(xn)′ = n · xn − 1 , ax2 = a · x−2
18x = 4,608x3 → x4 = 256 → x = 4📐 נקודת קיצוןT′(x) = 0
T′(2) = 36 − 576 < 0 ← יורדת ; T′(8) = 144 − 9 > 0 ← עולה
T(4) = 144 + 144 = 288 – מינימום.
✅ פתרון סופי: x = 4 (הסכום המינימלי 288)

סעיף ב (2) – האם הסכום יכול להיות 300

הסכום המינימלי הוא 288. כש־x מתקרב ל־0 או גדל מאוד, T(x) גדל בלי גבול. לכן T מקבל כל ערך מ־288 ומעלה – גם 300.
בדיקה: 9x2 + 2,304x2 = 300 → 9x4 − 300x2 + 2,304 = 0 ← x2 = 12 או x2 = 643 – שני פתרונות חיוביים ✓
✅ פתרון סופי: כן, ייתכן

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אBC = 48x
סעיף ב (1)x = 4 (288)
סעיף ב (2)כן
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות