בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – חורף 2025

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות, גאומטרייה, וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. עונים על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 20 נקודות לכל שאלה. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – חורף 2025

שאלון 471 חורף 2025 – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 7
שאלון 471 חורף 2025 – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 7
שאלון 471 חורף 2025 – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 7
שאלון 471 חורף 2025 – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 7
שאלון 471 חורף 2025 – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 7
שאלון 471 חורף 2025 – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 7
שאלון 471 חורף 2025 – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 7

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית

📄 נוסח השאלה

אורך החיים של טלפונים שמייצרים במפעל מסוים מתפלג נורמלית. לפניכם גרף ההתפלגות הנורמלית של אורך חיי הטלפונים ועליו חלק מנתוני אורך החיים (בחודשים): 22.7% מהטלפונים חיים פחות מ־12 חודשים, ו־22.7% חיים יותר מ־18 חודשים.

א. מצאו את ממוצע אורך החיים של הטלפונים ואת סטיית התקן.

3.5% מן הטלפונים – אלה שאורך החיים שלהם הוא הקטן ביותר – נחשבים פגומים.

ב. מהו אורך החיים הגדול ביותר של טלפון שנחשב פגום?

בחודש מסוים ייצרו במפעל 2,000 טלפונים.

ג. על פי גרף ההתפלגות הנורמלית, לכמה מן הטלפונים שייצרו בחודש זה יש אורך חיים גדול מ־20 חודשים?

מהנדסים הצליחו להגדיל פי 1.5 את אורך החיים של כל הטלפונים שהמפעל מייצר.

ד. (1) מהו ממוצע אורך החיים החדש של הטלפונים ומהי סטיית התקן החדשה, לאחר ההגדלה? (2) מצאו את אחוז הטלפונים שאורך החיים שלהם קטן מ־12 חודשים, לאחר ההגדלה.

גרף ההתפלגות לשאלה 1
✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – ממוצע וסטיית תקן

בגרף יש שטח שווה (22.7%) משמאל ל־12 ומימין ל־18. ההתפלגות הנורמלית סימטרית סביב הממוצע, ולכן הממוצע באמצע:📐 סימטריה סביב הממוצעשטחים שווים בצדדים ← הממוצע באמצע
x̄ = (12 + 18) : 2 = 15
22.7% מתחת ל־12, כלומר 12 מתחת לממוצע וציון התקן שלו שלילי. בטבלה מחפשים את הצד השני: עושים 1 פחות – 1 − 0.227 = 0.773.
נחפש בתוך הטבלה (בטבלה הזאת מסומן Φ(z)) את 0.773: הוא נמצא בשורה 0.7 ובעמודה 0.05, כלומר ציון התקן הוא 0.75, ושל 12 הוא −0.75.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.7 עמודה 0.05
−0.75 = (12 − 15) : S = −3 : S📐 ציון תקןz = x − x̄S
S = 3 : 0.75 = 4
✅ פתרון סופי: x̄ = 15 חודשים , S = 4 חודשים

סעיף ב – אורך החיים של טלפון פגום

הפגומים הם 3.5% הקצרים ביותר. מחפשים את אורך החיים שמתחתיו 3.5%. זה מתחת לממוצע, אז בטבלה מחפשים את הצד השני: 1 − 0.035 = 0.965.
נחפש בתוך הטבלה את 0.965: הוא נמצא בשורה 1.8 ובעמודה 0.01, כלומר ציון התקן הוא −1.81.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.8 עמודה 0.01
−1.81 = (x − 15) : 4📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים ב־4:
−7.24 = x − 15
x = 15 − 7.24 = 7.76
✅ פתרון סופי: 7.76 חודשים

סעיף ג – כמה טלפונים חיים יותר מ־20 חודשים

נחשב את ציון התקן של 20:
z = (20 − 15) : 4 = 5 : 4 = 1.25📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.2 ובעמודה 0.05 רשום 0.894.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.2 עמודה 0.05
אנחנו רוצים "יותר מ־20" – עושים 1 פחות:
1 − 0.894 = 0.106
0.106 · 2000 = 212📐 מספר = הסתברות · סך הכולn = P · N
✅ פתרון סופי: 212 טלפונים

סעיף ד – אחרי ההגדלה פי 1.5

(1) כשכופלים כל ערך במספר, גם הממוצע וגם סטיית התקן נכפלים באותו מספר:📐 כפל בקבועx̄ → k · x̄S → k · S
ממוצע חדש: 1.5 · 15 = 22.5
סטיית תקן חדשה: 1.5 · 4 = 6
(2) ציון התקן של 12 בהתפלגות החדשה:
z = (12 − 22.5) : 6 = −10.5 : 6 = −1.75📐 ציון תקןz = x − x̄S
ציון התקן שלילי, אז מסתכלים בטבלה על 1.75: בשורה 1.7 ובעמודה 0.05 רשום 0.960.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.7 עמודה 0.05
בגלל שהגרף סימטרי, מתחת ל־−1.75 יש מה שמעל 1.75 – עושים 1 פחות:
1 − 0.960 = 0.040, כלומר 4%.
✅ פתרון סופי: (1) ממוצע 22.5 , סטיית תקן 6   (2) 4%

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אx̄ = 15 , S = 4
סעיף ב7.76 חודשים
סעיף ג212 טלפונים
סעיף ד22.5 , 6 ; 4%
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ציון תקן 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סטטיסטיקה ורגרסיה

📄 נוסח השאלה

בבית מרקחת א' בעיר מסוימת בדקה המנהלת במשך 5 חודשים את הקשר בין מספר ימי הגשם בחודש (המשתנה x) ובין ההכנסה החודשית של בית המרקחת (המשתנה y) באותו החודש. בטבלה מוצגים הנתונים שאספה המנהלת.

החודשימי הגשם (x)ההכנסה באלפי ₪ (y)
נובמבר660
דצמבר1072
ינואר2085
פברואר1473
מרץ1065

א. מצאו את ממוצע ימי הגשם בחודש ואת סטיית התקן.

לפניכם דיאגרמת פיזור המתארת את y כתלות ב־x. ממוצע ההכנסות החודשי (באלפי שקלים) של בית מרקחת א' הוא 71, וסטיית התקן היא 8.46. אחד מן המספרים −0.959 , 1 , 0.959 הוא מקדם המתאם r.

ב. קבעו איזה מהם הוא מקדם המתאם r, ונמקו את קביעתכם.

ג. (1) מצאו את שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x. (2) מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x.

ד. על פי ישר הרגרסיה, מהו ניבוי ההכנסה בחודש שבו מספר ימי הגשם יהיה 15?

גם בבית מרקחת ב' באותה העיר בדקה המנהלת במשך אותם 5 חודשים את הקשר בין מספר ימי הגשם בחודש ובין ההכנסה החודשית. המנהלת מצאה שבכל חודש הייתה ההכנסה של בית מרקחת ב' קטנה ב־10 אלף שקלים מן ההכנסה של בית מרקחת א'.

ה. כתבו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי ההכנסה החודשית (באלפי שקלים) של בית מרקחת ב' על פי מספר ימי הגשם בחודש.

דיאגרמת הפיזור לשאלה 2
✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א – ממוצע וסטיית תקן של ימי הגשם

x̄ = 6 + 10 + 20 + 14 + 105 = 605 = 12📐 ממוצעx̄ = סכום הערכיםמספר הערכים
מחשבים את הסטייה של כל ערך מהממוצע 12, ומעלים בריבוע:
x610201410
x − x̄−6−282−2
(x − x̄)²3646444
סכום הריבועים: 36 + 4 + 64 + 4 + 4 = 112
Sx² = 1125 = 22.4📐 שונות וסטיית תקןSx² = סכום (x − x̄)²nSx = √Sx²
Sx = √22.4 ≈ 4.73
✅ פתרון סופי: x̄ = 12 ימים , Sx = √22.4 ≈ 4.73

סעיף ב – מקדם המתאם

בדיאגרמה רואים מגמה עולה: ככל שיש יותר ימי גשם, ההכנסה גבוהה יותר. לכן r > 0 – לא −0.959.
הנקודות לא נמצאות כולן על ישר אחד (למשל בדצמבר ובמרץ יש 10 ימי גשם, אבל הכנסות שונות: 72 ו־65). לכן r ≠ 1.
r = 0.959📐 מקדם המתאםr = 1 ← כל הנקודות על ישר עולה0 < r < 1 ← מגמה עולה
✅ פתרון סופי: r = 0.959

סעיף ג – ישר הרגרסיה

(1) השיפוע:
a = r · SySx = 0.959 · 8.464.73📐 שיפוע ישר הרגרסיהa = r · SySx
a ≈ 1.714
(2) ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים (12 , 71):
71 = 1.714 · 12 + b📐 ישר הרגרסיה עובר בממוצעיםȳ = a · x̄ + b
71 = 20.57 + b
b = 71 − 20.57 = 50.43
ישר הרגרסיה: y = 1.714x + 50.43
✅ פתרון סופי: (1) a ≈ 1.714   (2) y = 1.714x + 50.43

סעיף ד – ניבוי ל־15 ימי גשם

מציבים x = 15 בישר הרגרסיה:
y = 1.714 · 15 + 50.43
y = 25.71 + 50.43 = 76.14
✅ פתרון סופי: 76.14 אלף ₪ (בערך 76,140 ₪)

סעיף ה – ישר הרגרסיה של בית מרקחת ב'

ההכנסה של ב' קטנה ב־10 בכל חודש. כל הנקודות יורדות 10 יחידות – הפיזור לא משתנה, ולכן r , Sx , Sy והשיפוע נשארים כמו שהם: a ≈ 1.714.
הממוצע החדש: 71 − 10 = 61📐 הוספת / הפחתת קבועy − 10 ← ȳ − 10
ישר הרגרסיה עובר בנקודת הממוצעים החדשה (12 , 61):
61 = 1.714 · 12 + b
61 = 20.57 + b
b = 40.43
✅ פתרון סופי: y = 1.714x + 40.43

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף אx̄ = 12 , Sx ≈ 4.73
סעיף בr = 0.959
סעיף גa ≈ 1.714 ; y = 1.714x + 50.43
סעיף ד76.14 אלף ₪
סעיף הy = 1.714x + 40.43
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת קו הרגרסיה (קו הניבוי)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471 · קורס סטטיסטיקה 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות

📄 נוסח השאלה

בשכבת י"א בבית ספר מסוים לומדים בנים ובנות. לחלקם יש רישיון נהיגה ולשאר אין. 25% מתלמידי השכבה הם בנים שאין להם רישיון נהיגה. ל־13 מן הבנים בשכבה יש רישיון נהיגה.

א. מצאו את אחוז הבנים בשכבה.

ההסתברות לבחור באקראי מן השכבה בן שיש לו רישיון נהיגה שווה להסתברות לבחור באקראי מן השכבה בת שיש לה רישיון נהיגה.

ב. ידוע שנבחר באקראי תלמיד (בן או בת) מן השכבה שאין לו רישיון נהיגה. מהי ההסתברות שהתלמיד שנבחר הוא בן?

בשכבה זו יש 69 בנים.

ג. מצאו כמה תלמידים יש בשכבה סך הכול.

לשכבה הצטרפו 26 תלמידים חדשים (בנים ובנות). בוחרים באקראי שני תלמידים מן השכבה בזה אחר זה (הוצאה ללא החזרה). ההסתברות ששני התלמידים שנבחרו הם בנים היא 215.

ד. מצאו כמה בנים הצטרפו לשכבה.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – אחוז הבנים

נסמן ב־p את ההסתברות שתלמיד הוא בן. ל־13 מהבנים יש רישיון, ולכן ל־23 מהבנים אין רישיון.
23 · p = 0.25📐 כלל הכפלP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
כופלים ב־32:
p = 0.25 · 32 = 0.375
✅ פתרון סופי: 37.5% בנים

סעיף ב – בן, בידיעה שאין לו רישיון

בן עם רישיון: 13 · 0.375 = 0.125. נתון שגם בת עם רישיון היא 0.125.
בנות: 1 − 0.375 = 0.625. בת בלי רישיון: 0.625 − 0.125 = 0.5.
מסדרים בטבלה דו־ממדית:
רישיוןאין רישיוןסך הכול
בנים0.1250.250.375
בנות0.1250.50.625
סך הכול0.250.751
אין רישיון בכלל: 0.25 + 0.5 = 0.75
בן, בידיעה שאין רישיון: P = 0.250.75 = 13📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
✅ פתרון סופי: 13

סעיף ג – כמה תלמידים בשכבה

69 הבנים הם 37.5% מהשכבה. נסמן ב־N את מספר התלמידים:
0.375 · N = 69📐 מספר = הסתברות · סך הכולn = P · N
N = 690.375 = 184
✅ פתרון סופי: 184 תלמידים

סעיף ד – כמה בנים הצטרפו

אחרי ההצטרפות יש 184 + 26 = 210 תלמידים. נסמן ב־k את מספר הבנים שהצטרפו, כלומר יש עכשיו 69 + k בנים.
69 + k210 · 68 + k209 = 215📐 ללא החזרהP(A , B) = P(A) · P(B | A)
כופלים את שני האגפים ב־210 · 209:
(69 + k)(68 + k) = 2 · 210 · 20915 = 5852
נסמן n = 69 + k (מספר הבנים החדש). אז 68 + k = n − 1:
n(n − 1) = 5852
n² − n − 5852 = 0
n = 1 ± √1 + 4 · 58522 = 1 ± √234092 = 1 ± 1532📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
n = 77  או  n = −76 (נפסל – מספר בנים לא שלילי)
k = 77 − 69 = 8
בדיקה: 77210 · 76209 = 585243890 = 215 ✓
✅ פתרון סופי: 8 בנים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א37.5%
סעיף ב13
סעיף ג184 תלמידים
סעיף ד8 בנים
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 14 – טבלה דו ממדית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – הנדסה אנליטית: משולשים דומים

📄 נוסח השאלה

ABC הוא משולש ישר זווית (∢ABC = 90 מעלות). הצלע AB חותכת את ציר ה־y בנקודה P. נתון כי הישר CP מקביל לציר ה־x. הנקודה E נמצאת על הישר CP כך ש־AE מקביל לציר ה־y (ראו סרטוט).

א. הוכיחו כי △AEP ∼ △CBP.

נתון: יחס הדמיון בין המשולש AEP ובין המשולש CBP הוא 35 , CP = 12.5.

ב. מצאו את אורך הקטע AP.

נתון: A(−6 , 14). שיעור ה־y של הנקודה P קטן מ־14.

ג. מצאו את שיעורי הנקודות P ו־C.

ד. (1) מצאו את משוואת הצלע AB. (2) מצאו את שיעורי הקודקוד B. (3) מצאו את שטח המרובע AEBC.

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הוכחת הדמיון

1. ∢AEP = 90 מעלות📐 ישרים מאונכיםAE מקביל לציר y , EP מקביל לציר x
(הצירים מאונכים זה לזה, ולכן גם AE ⊥ EP.)
2. ∢CBP = ∢ABC = 90 מעלות (נתון).
3. ∢APE = ∢CPB📐 זוויות קודקודיותזוויות קודקודיות שוות
4. △AEP ∼ △CBP📐 משפט דמיוןז.ז – שתי זוויות שוות
✅ פתרון סופי: △AEP ∼ △CBP לפי ז.ז

סעיף ב – אורך AP

בדמיון △AEP ∼ △CBP הקודקודים מתאימים לפי הסדר: A ↔ C , E ↔ B , P ↔ P. לכן AP מתאים ל־CP:
APCP = 35📐 יחס דמיוןצלע במשולש 1צלע מתאימה במשולש 2 = k
AP = 35 · 12.5 = 7.5
✅ פתרון סופי: AP = 7.5

סעיף ג – הנקודות P ו־C

הנקודה P על ציר ה־y: P(0 , p). משתמשים ב־AP = 7.5:
7.5 = √(0 − (−6))² + (p − 14)²📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
מעלים בריבוע:
56.25 = 36 + (p − 14)²
(p − 14)² = 20.25
p − 14 = 4.5  או  p − 14 = −4.5
נתון ש־p < 14, ולכן p = 14 − 4.5 = 9.5.
CP מקביל לציר ה־x, לכן ל־C אותו שיעור y כמו ל־P: 9.5. לפי הסרטוט C מימין ל־P, במרחק 12.5:
xC = 0 + 12.5 = 12.5
✅ פתרון סופי: P(0 , 9.5) , C(12.5 , 9.5)

סעיף ד (1) – משוואת AB

mAB = 9.5 − 140 − (−6) = −4.56 = −0.75📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
הישר חותך את ציר ה־y ב־P(0 , 9.5):
y = −0.75x + 9.5📐 משוואת ישרy = mx + b
בדיקה: A: −0.75 · (−6) + 9.5 = 4.5 + 9.5 = 14 ✓
✅ פתרון סופי: y = −0.75x + 9.5

סעיף ד (2) – הקודקוד B

∢ABC = 90 מעלות, לכן BC ⊥ AB:
−0.75 · mBC = −1 ⟸ mBC = 43📐 ישרים מאונכיםm₁ · m₂ = −1
y − 9.5 = 43(x − 12.5)📐 משוואת ישרy − y₁ = m(x − x₁)
B הוא החיתוך של AB ו־BC. מציבים y = −0.75x + 9.5:
−0.75x + 9.5 − 9.5 = 43x − 503
−34x − 43x = −503
מכנה משותף 12:
−9x + 16x12 = −503
25x12 = 503
x = 503 · 1225 = 8
y = −0.75 · 8 + 9.5 = −6 + 9.5 = 3.5
✅ פתרון סופי: B(8 , 3.5)

סעיף ד (3) – שטח המרובע AEBC

הנקודה E על CP (שיעור y 9.5) ומתחת ל־A: E(−6 , 9.5).
האלכסון EC אופקי ומחלק את המרובע לשני משולשים: AEC (מעליו) ו־EBC (מתחתיו).
EC = 12.5 − (−6) = 18.5
הגובה מ־A אל EC: 14 − 9.5 = 4.5. הגובה מ־B אל EC: 9.5 − 3.5 = 6.
SAEC = 18.5 · 4.52 = 41.625📐 שטח משולשS = צלע · גובה2
SEBC = 18.5 · 62 = 55.5
SAEBC = 41.625 + 55.5 = 97.125
✅ פתרון סופי: 97.125 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אדמיון ז.ז
סעיף בAP = 7.5
סעיף גP(0 , 9.5) , C(12.5 , 9.5)
סעיף דy = −0.75x + 9.5 ; B(8 , 3.5) ; 97.125
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – מציאת משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – הנדסה אנליטית: משולש חסום במעגל

📄 נוסח השאלה

משולש ABC חסום במעגל שמרכזו M, כמתואר בסרטוט. נתון: C(−15 , 0) , M(−5 , 0).

א. מצאו את משוואת המעגל.

נתון: משוואת הצלע AB היא y = 2x.

ב. מצאו את שיעורי הקודקודים A ו־B.

הנקודה O היא ראשית הצירים.

ג. מצאו את גודל הזווית ACO ואת גודל הזווית AOC.

ד. מצאו את שטח המשולש ABC.

הנקודה E נמצאת על הצלע AC כך ששטח המשולש EAB הוא 56.

ה. מצאו את אורך הקטע AE.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – משוואת המעגל

הנקודה C על המעגל, לכן הרדיוס הוא MC:
R = √(−15 − (−5))² + (0 − 0)² = √100 = 10📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
(x + 5)² + y² = 100📐 משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²
✅ פתרון סופי: (x + 5)² + y² = 100

סעיף ב – הקודקודים A ו־B

A ו־B הם נקודות החיתוך של הישר y = 2x עם המעגל. מציבים:
(x + 5)² + (2x)² = 100
x² + 10x + 25 + 4x² = 100📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)² = a² + 2ab + b²
5x² + 10x − 75 = 0
מחלקים ב־5:
x² + 2x − 15 = 0
x = −2 ± √4 + 602 = −2 ± 82📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
x = 3  או  x = −5
x = 3: y = 2 · 3 = 6   ;   x = −5: y = 2 · (−5) = −10
לפי הסרטוט A למעלה ו־B למטה.
✅ פתרון סופי: A(3 , 6) , B(−5 , −10)

סעיף ג – הזוויות ACO ו־AOC

הזווית ACO היא הזווית בין CA לציר ה־x (הקטע CO על ציר ה־x):
mCA = 6 − 03 − (−15) = 618 = 13📐 שיפוע בין שתי נקודותm = y₂ − y₁x₂ − x₁
tan∢ACO = 13 ⟸ ∢ACO = 18.43📐 שיפוע וזווית עם ציר xtan∢ = m
הזווית AOC: הישר OA הוא y = 2x (שיפוע 2). הזווית שלו עם הכיוון החיובי של ציר ה־x:
tan∢ = 2 ⟸ ∢ = 63.43
הקטע OC פונה לכיוון השלילי של ציר ה־x, ולכן הזווית AOC משלימה ל־180:
∢AOC = 180 − 63.43 = 116.57📐 זוויות צמודותסכומן 180 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢ACO ≈ 18.43 , ∢AOC ≈ 116.57 מעלות

סעיף ד – שטח המשולש ABC

נחשב את השטח לפי שתי צלעות והזווית שביניהן: הצלעות AB ו־AC והזווית ∢CAB.
במשולש ACO ידועות שתי זוויות (סעיף ג):
∢CAO = 180 − ∢AOC − ∢ACO = 180 − 116.57 − 18.43 = 45📐 סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש = 180 מעלות
הישר AB הוא y = 2x, והוא עובר בראשית – כלומר O על הצלע AB. לכן ∢CAB = ∢CAO = 45.
AB = √(3 + 5)² + (6 + 10)² = √64 + 256 = √320 = 8√5📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
AC = √(3 + 15)² + (6 − 0)² = √324 + 36 = √360 = 6√10📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
S = 12 · AB · AC · sin(∢CAB)📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin(∢)
S = 12 · 8√5 · 6√10 · sin 45
מציבים ערכים מקורבים:
8√5 ≈ 17.889
6√10 ≈ 18.974
sin 45 ≈ 0.7071
S ≈ 12 · 17.889 · 18.974 · 0.7071 ≈ 120
✅ פתרון סופי: S = 120 יחידות שטח

סעיף ה – אורך AE

הנקודה E על הצלע AC, ולכן במשולש EAB הזווית ב־A היא אותה זווית: ∢EAB = ∢CAB = 45 (סעיף ד).
SEAB = 12 · AB · AE · sin(∢EAB)📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin(∢)
56 = 12 · 8√5 · AE · sin 45
12 · 8√5 · sin 45 ≈ 12 · 17.889 · 0.7071 ≈ 6.325 (בדיוק 2√10)
56 = 2√10 · AE
AE = 562√10 = 28√10 ≈ 8.85
בדיקה: AC = √360 ≈ 18.97, ו־8.85 < 18.97 – הנקודה באמת על הצלע ✓
✅ פתרון סופי: AE = 28√10 ≈ 8.85

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א(x + 5)² + y² = 100
סעיף בA(3 , 6) , B(−5 , −10)
סעיף ג18.43 , 116.57 מעלות
סעיף ד120
סעיף הAE ≈ 8.85
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 44 – משולש כלשהו חסום במעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית ופונקציה קדומה

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x² + x + ax. a ≠ 0 הוא פרמטר.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה (אם יש כאלה).

נתון כי גרף הפונקציה f(x) עובר בנקודה (5 , 9.2).

ב. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 16, וענו על סעיפים ג–ה.

ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

g(x) היא פונקציה שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x). נגזרת הפונקציה g(x) מקיימת g′(x) = f(x) − 11.

ה. (1) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת g′(x). (2) מצאו את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגן.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטות

x ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
אנכית: ב־x = 0 המכנה מתאפס, והמונה שווה 0 + 0 + a = a ≠ 0. לכן יש אסימפטוטה אנכית x = 0.
אופקית: החזקה במונה (2) גדולה מהחזקה במכנה (1), ולכן אין אסימפטוטה אופקית.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקה במונה גדולה יותר ← אין
✅ פתרון סופי: (1) x ≠ 0   (2) x = 0 בלבד

סעיף ב – הערך של a

מציבים את הנקודה (5 , 9.2):
5² + 5 + a5 = 9.2
30 + a5 = 9.2
כופלים ב־5:
30 + a = 46
a = 16
✅ פתרון סופי: a = 16

סעיף ג – נקודות קיצון

עכשיו f(x) = x² + x + 16x. גוזרים לפי נגזרת של מנה עם u = x² + x + 16 , v = x:
f′(x) = (2x + 1) · x − (x² + x + 16) · 1x²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²
f′(x) = 2x² + x − x² − x − 16x² = x² − 16x²
x² − 16 = 0 ⟸ x = 4  או  x = −4📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
המכנה x² חיובי, לכן הסימן של f′ הוא הסימן של x² − 16. הצבות: f′(−5) = 925 > 0 , f′(−1) = −151 = −15 , f′(1) < 0 , f′(5) > 0.
x < −4−4−4 < x < 000 < x < 44x > 4
f′+0−✕−0+
f↗מקס׳↘✕↘מינ׳↗
f(−4) = 16 − 4 + 16−4 = 28−4 = −7
f(4) = 16 + 4 + 164 = 364 = 9
✅ פתרון סופי: מקסימום (−4 , −7) , מינימום (4 , 9)

סעיף ד – סקיצה

אסימפטוטה x = 0 (ציר ה־y), אין חיתוך עם הצירים (x² + x + 16 = 0 – אין פתרון, כי 1 − 64 < 0). משמאל: עולה עד המקסימום (−4 , −7) ויורדת ל־−∞. מימין: יורדת מ־+∞ עד המינימום (4 , 9) ועולה.
xy(-4 , -7) מקס׳(4 , 9) מינ׳
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה – הפונקציה g(x)

(1) g′(x) = f(x) − 11 – זה הגרף של f מוזז 11 יחידות למטה. כל נקודה יורדת ב־11:
(−4 , −7) → (−4 , −18) (4 , 9) → (4 , −2)📐 הזזה אנכיתf(x) − k ← הזזה למטה ב־k
האסימפטוטה x = 0 נשארת.
xy(-4 , -18)(4 , -2)28
(2) נקודות הקיצון של g הן איפה ש־g′(x) = 0, כלומר f(x) = 11:
x² + x + 16x = 11
כופלים ב־x:
x² + x + 16 = 11x
x² − 10x + 16 = 0
x = 10 ± √100 − 642 = 10 ± 62📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
x = 8  או  x = 2
הסוג לפי הסימן של g′ (מהגרף שלה): ב־0 < x < 2 הגרף מעל הציר (g′ > 0), בין 2 ל־8 מתחת (g′ < 0), ואחרי 8 שוב מעל.
0 < x < 222 < x < 88x > 8
g′+0−0+
g↗מקס׳↘מינ׳↗
ב־x < 0 מתקיים g′(x) ≤ −18 < 0 – אין שם קיצון.
✅ פתרון סופי: (2) מקסימום ב־x = 2 , מינימום ב־x = 8

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אx ≠ 0 ; x = 0
סעיף בa = 16
סעיף גמקס׳ (−4 , −7) , מינ׳ (4 , 9)
סעיף דסקיצה
סעיף המקס׳ x = 2 , מינ׳ x = 8
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 49 – חקירת פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש ושטח

📄 נוסח השאלה

הפונקציה f(x) מוגדרת בתחום x ≤ 3, ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרת בתחום x < 3. לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון פנימית אחת בלבד, מסוג מקסימום. בסרטוט מתוארים שני גרפים, I ו־II. אחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x).

א. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x), ונמקו את קביעתכם.

נתון: f(x) = 5x + 2√15 − 5x.

ב. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

גרף הפונקציה f(x) חותך את ציר ה־x בנקודה אחת בלבד, בחלקו השלילי.

ג. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה g(x) = −4 · f′(x).

ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y.

הגרפים I ו־II לשאלה 7
✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – איזה גרף הוא f′(x)

ל־f יש מקסימום פנימי אחד. לפני המקסימום f עולה, ואחריו יורדת:
לכן f′ חיובית לפני נקודת הקיצון, מתאפסת בה, ושלילית אחריה.📐 עלייה וירידהf′ > 0 ← עולהf′ < 0 ← יורדת
גרף I: מעל ציר ה־x, יורד, חותך את הציר ויורד מתחתיו – מתאים.
גרף II: מתחת לציר ואז מעליו – מתאים למינימום, לא למקסימום.
✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ב – נקודות קיצון

גוזרים: הנגזרת של 5x היא 5. את השורש גוזרים עם g(x) = 15 − 5x , g′(x) = −5:
f′(x) = 5 + 2 · −52√15 − 5x = 5 − 5√15 − 5x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)
5 − 5√15 − 5x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
5√15 − 5x = 5
√15 − 5x = 1
מעלים בריבוע:
15 − 5x = 1
−5x = −14
x = 2.8
f(2.8) = 14 + 2√15 − 14 = 14 + 2 = 16
הצבות: f′(0) = 5 − 5√15 ≈ 3.7 > 0 , f′(2.9) = 5 − 5√0.5 ≈ −2.07 < 0.
xx < 2.82.82.8 < x < 33
f′+0−✕
f↗מקס׳↘מינ׳ קצה
גם קצה התחום x = 3 הוא נקודת קיצון: משמאלו הפונקציה יורדת, לכן זה מינימום (קצה).
f(3) = 15 + 2√0 = 15
✅ פתרון סופי: מקסימום (2.8 , 16) , מינימום קצה (3 , 15)

סעיף ג – חיתוך עם ציר ה־x

5x + 2√15 − 5x = 0
2√15 − 5x = −5x
אגף שמאל לא שלילי, לכן חייב −5x ≥ 0, כלומר x ≤ 0. מעלים בריבוע:
4(15 − 5x) = 25x²📐 ריבוע של שורש(√a)² = a
60 − 20x = 25x²
25x² + 20x − 60 = 0
מחלקים ב־5:
5x² + 4x − 12 = 0
x = −4 ± √16 + 24010 = −4 ± 1610📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b² − 4ac2a
x = 1.2  או  x = −2
x = 1.2 נפסל (צריך x ≤ 0; גם f(1.2) = 6 + 2 · 3 = 12 ≠ 0).
בדיקה: f(−2) = −10 + 2√25 = −10 + 10 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: (−2 , 0)

סעיף ד – סקיצה

הפונקציה עולה מ־−∞ דרך (−2 , 0) ו־(0 , 2√15) ≈ (0 , 7.75) עד המקסימום (2.8 , 16), ואז יורדת קצת עד נקודת הקצה (3 , 15).
xy(2.8 , 16)(3 , 15)(-2 , 0)(0 , 2√15)
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו את הגרף (בכחול)

סעיף ה – השטח

g(x) = −4f′(x) מתאפסת היכן ש־f′ = 0: ב־x = 2.8. השטח בין ציר ה־y (x = 0) לבין x = 2.8.
בתחום 0 < x < 2.8 מתקיים f′ > 0, ולכן g = −4f′ < 0 – הגרף מתחת לציר:
S = −∫02.8 g(x) dx = ∫02.8 4f′(x) dx📐 שטח מתחת לצירS = −∫ab g(x) dx כש־g < 0
= 4[f(2.8) − f(0)]📐 אינטגרל מסוים∫ab f′(x) dx = f(b) − f(a)
f(0) = 0 + 2√15 = 2√15
S = 4(16 − 2√15) = 64 − 8√15 ≈ 33.02
✅ פתרון סופי: S = 64 − 8√15 ≈ 33.02

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אגרף I
סעיף במקס׳ (2.8 , 16) , מינ׳ קצה (3 , 15)
סעיף ג(−2 , 0)
סעיף דסקיצה
סעיף ה64 − 8√15 ≈ 33.02
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471 · קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון: שטח משולש מינימלי

📄 נוסח השאלה

בסרטוט מתואר גרף הפונקציה f(x) = x + 3x − 6. הנקודה A נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון. הנקודה C נמצאת על ציר ה־x כך שהקטע AC מקביל לציר ה־y. הנקודה B היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־x.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה.

ב. מצאו את שיעורי הנקודה B.

ג. (1) מצאו את שיעורי הנקודה A שבעבורה שטח המשולש ABC הוא מינימלי. (2) מצאו את השטח המינימלי של המשולש ABC.

סרטוט לשאלה 8
✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטות

x − 6 ≠ 0  ⟸  x ≠ 6📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0
אנכית: ב־x = 6 המכנה מתאפס והמונה 6 + 3 = 9 ≠ 0 ← x = 6.
אופקית: החזקות במונה ובמכנה שוות (1), לוקחים את יחס המקדמים: 11 = 1 ← y = 1.📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם במונהמקדם במכנה
✅ פתרון סופי: (1) x ≠ 6   (2) x = 6 , y = 1

סעיף ב – הנקודה B

חיתוך עם ציר ה־x: f(x) = 0. שבר שווה 0 כשהמונה 0:
x + 3 = 0  ⟸  x = −3
✅ פתרון סופי: B(−3 , 0)

סעיף ג – המשולש הקטן ביותר

נסמן את שיעור ה־x של A ב־x. A ברביע הראשון על הענף הימני, לכן x > 6. אז:
A(x , x + 3x − 6)   ,   C(x , 0)
המשולש ABC ישר זווית ב־C (כי AC אנכי ו־BC על ציר ה־x):
BC = x − (−3) = x + 3   ,   AC = x + 3x − 6
S(x) = (x + 3) · x + 3x − 62 = (x + 3)²2(x − 6)📐 שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
גוזרים לפי נגזרת של מנה עם u = (x + 3)² , v = 2(x − 6):
S′(x) = 2(x + 3) · 2(x − 6) − (x + 3)² · 24(x − 6)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²
מוציאים גורם משותף 2(x + 3) במונה:
S′(x) = 2(x + 3)[2(x − 6) − (x + 3)]4(x − 6)² = (x + 3)(x − 15)2(x − 6)²
(x + 3)(x − 15) = 0📐 נקודת קיצוןS′(x) = 0
x = −3 (נפסל, x > 6)   או   x = 15
הצבות: S′(10) = 13 · (−5)32 < 0 , S′(20) = 23 · 5392 > 0:
x6 < x < 1515x > 15
S′−0+
S↘מינ׳↗
f(15) = 15 + 315 − 6 = 189 = 2 ← A(15 , 2)
S(15) = 18²2 · 9 = 32418 = 18
✅ פתרון סופי: (1) A(15 , 2)   (2) S = 18 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אx ≠ 6 ; x = 6 , y = 1
סעיף בB(−3 , 0)
סעיף גA(15 , 2) ; 18
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471 · קורס חקירת פונקציות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות