בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 471 (35471) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 4 יחידות – שאלון 471 – קיץ 2025 מועד א'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בבחינה 8 שאלות בשלושה פרקים: סטטיסטיקה והסתברות, גאומטרייה, וחשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי. עונים על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק, 20 נקודות לכל שאלה. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה – הנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2025 מועד א'

שאלון 471 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 6
שאלון 471 קיץ 2025 מועד א' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 6

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – התפלגות נורמלית

📄 נוסח השאלה

בבית ספר מסוים נערכה תחרות קפיצה לרוחק. התוצאות שהשיגו המשתתפים בתחרות התפלגו נורמלית. מרחק הקפיצה הממוצע היה 4.2 מטרים. 69.2% מן המשתתפים קפצו למרחק קטן מ־4.5 מטרים.

א. מצאו את סטיית התקן של מרחק הקפיצה.

המשתתפים שמרחק הקפיצה שלהם היה גדול מ־5.16 מטרים זכו במדליה.

ב. מהו אחוז המשתתפים שזכו במדליה?

נתון כי 11 משתתפים זכו במדליה.

ג. על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה משתתפים התחרו בקפיצה לרוחק?

בבית הספר נערכה גם תחרות קפיצה לגובה. גם בתחרות זו התוצאות שהשיגו המשתתפים התפלגו נורמלית. גובה הקפיצה הממוצע היה 1.5 מטרים, וסטיית התקן הייתה 0.2 מטר. אלון השתתף בשתי התחרויות. התוצאה שלו בקפיצה לרוחק הייתה 4.8 מטרים ובקפיצה לגובה 1.75 מטרים.

ד. באיזו מן התחרויות, קפיצה לרוחק או קפיצה לגובה, הייתה התוצאה של אלון מדורגת במקום גבוה יותר בהשוואה למשתתפים האחרים? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – סטיית התקן

נתון: הממוצע x̄ = 4.2. 69.2% קפצו פחות מ־4.5 מטרים, כלומר בטבלה צריך למצוא את 0.692.
נחפש בתוך הטבלה את הערך 0.692: הערך הכי קרוב אליו הוא 0.691, בשורה 0.5 ובעמודה 0.00, כלומר z = 0.5. זה ציון התקן של 4.5.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 0.5 עמודה 0.00
0.5 = 4.5 − 4.2S = 0.3S📐 ציון תקןz = x − x̄S
כופלים ב־S:
0.5S = 0.3
S = 0.30.5 = 0.6
בדיקה: 4.5 − 4.20.6 = 0.30.6 = 0.5 ✓
✅ פתרון סופי: S = 0.6 מטר

סעיף ב – אחוז הזוכים במדליה

z = 5.16 − 4.20.6 = 0.960.6 = 1.6📐 ציון תקןz = x − x̄S
נסתכל בתוך הטבלה ונוציא את הנתונים: בשורה 1.6 ובעמודה 0.00 רשום 0.945. כלומר 94.5% קפצו פחות מ־5.16.
טבלת ההתפלגות הנורמלית – שורה 1.6 עמודה 0.00
הזוכים קפצו יותר מ־5.16, אז עושים 1 פחות:
1 − 0.945 = 0.055
✅ פתרון סופי: 5.5%

סעיף ג – כמה משתתפים התחרו

11 משתתפים הם 5.5% מכל המשתתפים. נסמן את מספר המשתתפים ב־N:
0.055 · N = 11📐 חלק מתוך הכללמספר = N · אחוז
N = 110.055 = 200
✅ פתרון סופי: 200 משתתפים

סעיף ד – באיזו תחרות אלון מדורג גבוה יותר

משווים בין שתי התחרויות לפי ציון התקן – ככל שציון התקן גבוה יותר, המקום ביחס לאחרים גבוה יותר.
zרוחק = 4.8 − 4.20.6 = 0.60.6 = 1📐 ציון תקןz = x − x̄S
zגובה = 1.75 − 1.50.2 = 0.250.2 = 1.25
1.25 > 1. בטבלה: בשורה 1.2 ובעמודה 0.05 רשום 0.894, ובשורה 1.0 ובעמודה 0.00 רשום 0.841 – בגובה אלון עבר יותר משתתפים.
✅ פתרון סופי: בקפיצה לגובה – ציון תקן 1.25 לעומת 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אS = 0.6 מטר
סעיף ב5.5%
סעיף ג200 משתתפים
סעיף דקפיצה לגובה
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 2 – ציון תקן 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס התפלגות נורמלית 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סטטיסטיקה ורגרסיה

📄 נוסח השאלה

מתווך דירות רצה לבדוק את הקשר הליניארי בין שטח הדירות שנמכרו בחודש האחרון בשכונה מסוימת (המשתנה x) לבין המחיר שבו הן נמכרו (המשתנה y). בטבלה מופיעים הנתונים של 5 דירות שבדק המתווך.

שטח הדירה (מ"ר) – xמחיר הדירה (במיליוני שקלים) – y
821
901.8
982.7
1123.4
1184.6

א. (1) מצאו את הממוצע של שטח הדירות. (2) מצאו את סטיית התקן של שטח הדירות.

המתווך חישב את הממוצע ואת סטיית התקן של המשתנה y, ומצא כי ȳ = 2.7 , Sy = 1.249.

ב. מצאו את מקדם המתאם r בין שני המשתנים.

ג. מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי y על פי x.

ד. על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי למחיר של דירה שהשטח שלה הוא 95 מ"ר?

עקב עליית המחירים במשק, גדל המחיר של כל דירה ב־0.2 מיליון שקל.

ה. קבעו בעבור כל אחד מן המדדים (1)–(2) שלפניכם, אם הערך שלו גדל, קטן או לא השתנה. נמקו את קביעותיכם. (1) סטיית התקן של המשתנה y. (2) מקדם המתאם r.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א (1) – ממוצע השטח

x̄ = 82 + 90 + 98 + 112 + 1185📐 ממוצעx̄ = x1 + x2 + … + xnn
= 5005 = 100
✅ פתרון סופי: x̄ = 100 מ"ר

סעיף א (2) – סטיית התקן של השטח

מחשבים לכל דירה את המרחק מהממוצע 100 ומעלים בריבוע:
(82 − 100)2 = (−18)2 = 324
(90 − 100)2 = (−10)2 = 100
(98 − 100)2 = (−2)2 = 4
(112 − 100)2 = 122 = 144
(118 − 100)2 = 182 = 324
מחברים ומחלקים במספר הדירות:
Sx2 = 324 + 100 + 4 + 144 + 3245 = 8965 = 179.2📐 שונות וסטיית תקןS2 = (x1 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2nS = √S2
Sx = √179.2 ≈ 13.387
✅ פתרון סופי: Sx ≈ 13.387 מ"ר

סעיף ב – מקדם המתאם

מחשבים לכל דירה את מכפלת המרחקים מהממוצעים (x̄ = 100 , ȳ = 2.7):
(82 − 100)(1 − 2.7) = (−18)(−1.7) = 30.6
(90 − 100)(1.8 − 2.7) = (−10)(−0.9) = 9
(98 − 100)(2.7 − 2.7) = (−2)(0) = 0
(112 − 100)(3.4 − 2.7) = (12)(0.7) = 8.4
(118 − 100)(4.6 − 2.7) = (18)(1.9) = 34.2
סכום המכפלות: A = 30.6 + 9 + 0 + 8.4 + 34.2 = 82.2
r = 82.25 · 13.387 · 1.249📐 מקדם המתאםr = An · Sx · SyA – סכום המכפלות (x − x̄)(y − ȳ)
= 82.283.60 ≈ 0.983
קשר חיובי חזק מאוד: דירה גדולה יותר – מחיר גבוה יותר.
✅ פתרון סופי: r ≈ 0.983

סעיף ג – ישר הרגרסיה

m = r · SySx = 0.983 · 1.24913.387📐 שיפוע ישר הרגרסיהm = r · SySx
כשמציבים את r המלא, הנוסחה מצטמצמת ל־An · Sx2:
m = 82.25 · 179.2 = 82.2896 ≈ 0.09174
הישר עובר דרך נקודת הממוצעים (100 , 2.7):
y − 2.7 = 0.09174(x − 100)📐 ישר הרגרסיהy − ȳ = m(x − x̄)
פותחים סוגריים:
y − 2.7 = 0.09174x − 9.174
y = 0.09174x − 9.174 + 2.7
y ≈ 0.0917x − 6.474
✅ פתרון סופי: y = 0.0917x − 6.474

סעיף ד – ניבוי לדירה של 95 מ"ר

מציבים x = 95 (עם השיפוע המדויק):
y = 0.09174 · 95 − 6.474
y = 8.715 − 6.474 ≈ 2.241
✅ פתרון סופי: y ≈ 2.24 מיליון ₪ (בערך 2,241,000 ₪)

סעיף ה – אחרי שכל מחיר גדל ב־0.2

y′ = y + 0.2📐 הוספת מספר לכל הנתוניםȳ′ = ȳ + 0.2סטיית התקן ומקדם המתאם לא משתנים
(1) סטיית התקן של y: כל המחירים זזים באותו מרחק, גם הממוצע זז ב־0.2, ולכן המרחק של כל מחיר מהממוצע נשאר אותו דבר:
(y + 0.2) − (ȳ + 0.2) = y − ȳ
(2) מקדם המתאם: המרחקים מהממוצעים לא השתנו וגם סטיות התקן לא השתנו, ולכן גם r לא משתנה (הנקודות רק זזות למעלה, הקשר נשאר אותו קשר).
✅ פתרון סופי: (1) לא השתנתה
✅ פתרון סופי: (2) לא השתנה

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

סעיף א (1)x̄ = 100
סעיף א (2)Sx ≈ 13.387
סעיף בr ≈ 0.983
סעיף גy = 0.0917x − 6.474
סעיף ד≈ 2.24 מיליון ₪
סעיף השניהם לא השתנו
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – מציאת קו הרגרסיה (קו הניבוי)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס סטטיסטיקה 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס רגרסיה 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות

📄 נוסח השאלה

חלק מן התלמידים בשכבת י"א בבית ספר מסוים הם בנים והשאר הן בנות. חלק מן התלמידים בשכבה מתנדבים והשאר אינם מתנדבים. 75% מתלמידי השכבה מתנדבים.

35 מן התלמידים שמתנדבים הם בנות. נתון כי מספר הבנות שמתנדבות גדול פי 3 ממספר הבנות שאינן מתנדבות.

א. מהי ההסתברות לבחור באקראי מן השכבה בת שמתנדבת?

ב. מצאו את אחוז הבנים בשכבה.

בוחרים באקראי תלמיד מן השכבה.

ג. ידוע שהתלמיד שנבחר הוא בן. מהי ההסתברות שהוא מתנדב?

בכתבה שהכינה דנה לעיתון השכבה היא כתבה: "אחוז המתנדבות מבין הבנות בשכבה גדול מאחוז המתנדבים מבין הבנים בשכבה".

ד. האם המשפט שכתבה דנה נכון? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – בת שמתנדבת

נסמן: G – בת, G – בן, V – מתנדב/ת. נתון P(V) = 0.75, ו־35 מהמתנדבים הן בנות: P(G | V) = 35.
P(G ∩ V) = P(V) · P(G | V)📐 כפל הסתברויותP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
= 0.75 · 35 = 0.45
✅ פתרון סופי: 0.45

סעיף ב – אחוז הבנים

הבנות המתנדבות הן פי 3 מהבנות שלא מתנדבות:
P(G ∩ V) = P(G ∩ V)3 = 0.453 = 0.15
P(G) = P(G ∩ V) + P(G ∩ V) = 0.45 + 0.15 = 0.6📐 פירוק לפי טבלהP(G) = P(G ∩ V) + P(G ∩ V)
P(G) = 1 − 0.6 = 0.4📐 מאורע משליםP(G) = 1 − P(G)
ממלאים טבלה דו־ממדית:
בת Gבן Gסה"כ
מתנדב/ת V0.450.30.75
לא מתנדב/ת V0.150.10.25
סה"כ0.60.41
✅ פתרון סופי: 40%

סעיף ג – בן שמתנדב

מהטבלה: בנים מתנדבים P(G ∩ V) = 0.75 − 0.45 = 0.3
P(V | G) = P(G ∩ V)P(G)📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
= 0.30.4 = 0.75
✅ פתרון סופי: 0.75

סעיף ד – האם דנה צודקת

אחוז המתנדבות מבין הבנות:
P(V | G) = P(G ∩ V)P(G) = 0.450.6 = 0.75📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
אחוז המתנדבים מבין הבנים (סעיף ג): 0.75.
שני האחוזים שווים – 75% בשני המקרים.
✅ פתרון סופי: לא נכון – האחוזים שווים (75% ו־75%)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א0.45
סעיף ב40%
סעיף ג0.75
סעיף דלא נכון – 75% = 75%
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 14 – טבלה דו ממדית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – משולש ישר זווית, תיכון וטריגונומטריה

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם משולש ישר זווית ABC, שבו ∢ACB = 90 מעלות. הקודקוד B נמצא על ציר ה־y. נתון כי שיעורי הקודקוד A הם (−16 , 0), ומשוואת הצלע CB היא y = −25x + 11.

א. מצאו את משוואת הצלע AC.

ב. מצאו את שיעורי הקודקוד C.

BE הוא תיכון לצלע AC.

ג. (1) מצאו את אורך הקטע EC. (2) מצאו את גודל הזווית CEB.

הנקודה K נמצאת על הקטע EB. נתון: שטח המשולש AEK הוא 30.

ד. מצאו את אורך הקטע EK.

סרטוט לשאלה 4
✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – משוואת AC

∢ACB = 90, ולכן AC ⊥ CB. שיפוע CB הוא −25:
mAC · (−25) = −1 → mAC = 52📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
הישר עובר דרך A(−16 , 0):
y − 0 = 52(x + 16)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y = 52x + 40
✅ פתרון סופי: y = 52x + 40

סעיף ב – שיעורי C

C היא נקודת החיתוך של AC ו־CB. משווים:
52x + 40 = −25x + 11
כופלים ב־10 (מכנה משותף):
25x + 400 = −4x + 110📐 כפל במכנה משותףכופלים כל איבר במכנה המשותף
25x + 4x = 110 − 400 → 29x = −290 → x = −10
y = 52 · (−10) + 40 = −25 + 40 = 15
✅ פתרון סופי: C(−10 , 15)

סעיף ג (1) – אורך EC

BE תיכון ל־AC, ולכן E אמצע AC:
E = (−16 + (−10)2 , 0 + 152) = (−13 , 7.5)📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
EC = √(−10 + 13)2 + (15 − 7.5)2 = √9 + 56.25 = √65.25 ≈ 8.078📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
✅ פתרון סופי: EC = √65.25 ≈ 8.08

סעיף ג (2) – הזווית CEB

המשולש ECB ישר זווית ב־C. מוצאים את CB (B – חיתוך CB עם ציר ה־y: B(0 , 11)):
CB = √(0 + 10)2 + (11 − 15)2 = √100 + 16 = √116 ≈ 10.770📐 מרחק בין נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
ב־∢CEB הצלע CB היא הניצב שמול הזווית, ו־EC הניצב שליד הזווית:
tan(∢CEB) = CBEC = 10.7708.078 ≈ 1.333📐 טנגנס במשולש ישר זוויתtan = ניצב מולניצב ליד
∢CEB ≈ 53.13
✅ פתרון סופי: ∢CEB ≈ 53.13 מעלות

סעיף ד – אורך EK

הזווית AEK משלימה את ∢CEB ל־180 (A , E , C על ישר אחד):
∢AEK = 180 − 53.13 = 126.87📐 זוויות צמודותסכום זוויות צמודות = 180 מעלות
AE = EC ≈ 8.078 (כי E אמצע AC). שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית ביניהן:
30 = 12 · 8.078 · EK · sin(126.87)📐 שטח משולשS = 12 · a · b · sin(∢)
sin(126.87) = 0.8
30 = 0.5 · 8.078 · 0.8 · EK = 3.231 · EK
EK = 303.231 ≈ 9.28
✅ פתרון סופי: EK ≈ 9.28

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף אy = 52x + 40
סעיף בC(−10 , 15)
סעיף ג (1)EC ≈ 8.08
סעיף ג (2)53.13 מעלות
סעיף דEK ≈ 9.28
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 58 – תרגול במשולש ישר זווית 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – מעגל, משיק ודמיון

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו M. המעגל חותך את החלק החיובי של ציר ה־x בנקודה A. הנקודה B נמצאת על המעגל כך ש־AB הוא קוטר במעגל. דרך הנקודה B העבירו משיק למעגל, החותך את ציר ה־x בנקודה C. נתון כי משוואת המעגל היא (x − 2)2 + (y − 6)2 = 100.

א. מצאו את שיעורי הנקודה A.

ב. מצאו את משוואת המשיק BC.

ג. מצאו את אורך הצלע AC.

הנקודה D נמצאת על המעגל כך ש־AB חוצה את הזווית DAC.

ד. (1) הסבירו מדוע ∢ADB = 90 מעלות. (2) הוכיחו: △ABC ∼ △ADB.

ה. מצאו פי כמה גדול שטח המשולש ABC משטח המשולש ADB.

סרטוט לשאלה 5
✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – שיעורי A

A על ציר ה־x, ולכן y = 0. מציבים במשוואת המעגל:
(x − 2)2 + (0 − 6)2 = 100📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b), רדיוס R
(x − 2)2 + 36 = 100 → (x − 2)2 = 64
x − 2 = 8 → x = 10 או x − 2 = −8 → x = −6
A על החלק החיובי של ציר ה־x, ולכן x = 10.
✅ פתרון סופי: A(10 , 0)

סעיף ב – משוואת המשיק BC

AB קוטר, ולכן המרכז M(2 , 6) הוא אמצע AB:
2 = 10 + xB2 → xB = −6 , 6 = 0 + yB2 → yB = 12📐 אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
B(−6 , 12)
mMB = 12 − 6−6 − 2 = 6−8 = −34📐 שיפועm = y2 − y1x2 − x1
המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה:
m · (−34) = −1 → m = 43📐 משיק מאונך לרדיוסm1 · m2 = −1
y − 12 = 43(x + 6)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y = 43x + 8 + 12 = 43x + 20
✅ פתרון סופי: y = 43x + 20

סעיף ג – אורך AC

C – חיתוך המשיק עם ציר ה־x, מציבים y = 0:
0 = 43x + 20 → 43x = −20 → x = −15 , C(−15 , 0)
A ו־C שתיהן על ציר ה־x:
AC = 10 − (−15) = 25
✅ פתרון סופי: AC = 25

סעיף ד (1) – למה ∢ADB = 90

הזווית ADB היא זווית היקפית שנשענת על הקוטר AB, ולכן היא ישרה.📐 זווית על קוטרזווית היקפית שנשענת על קוטר שווה ל־90 מעלות
✅ פתרון סופי: ∢ADB = 90 מעלות ✓

סעיף ד (2) – הוכחת הדמיון

∢ABC = 90 – BC משיק ו־AB קוטר (רדיוס), והמשיק מאונך לרדיוס.📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢ADB = 90 – סעיף ד (1).
∢DAB = ∢BAC – AB חוצה את הזווית DAC.
שתי זוויות שוות בשני המשולשים, ולכן הם דומים.📐 משפט דמיון ז.ז.אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש אחר – המשולשים דומים
התאמה: A ↔ A , B ↔ D , C ↔ B.
✅ פתרון סופי: △ABC ∼ △ADB ✓

סעיף ה – פי כמה גדול השטח

אורך הקוטר: AB = 2R = 2 · 10 = 20.
לפי ההתאמה, היתר AC במשולש ABC מתאים ליתר AB במשולש ADB:
k = ACAB = 2520 = 1.25📐 יחס דמיוןהיחס בין צלעות מתאימות
SABCSADB = k2 = 1.252 = 1.5625📐 יחס שטחיםיחס השטחים = k2
בדיקה: BC = √92 + 122 = 15, SABC = 20 · 152 = 150; AD = 16 , DB = 12, SADB = 16 · 122 = 96; 15096 = 1.5625 ✓
✅ פתרון סופי: פי 1.5625 (כלומר 2516)

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף אA(10 , 0)
סעיף בy = 43x + 20
סעיף גAC = 25
סעיף דהסבר והוכחה
סעיף הפי 1.5625
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 41 – משיק למעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית בשילוב טריגו 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציה רציונלית וגרף הנגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = x2 − 9x2 + 1 + 1, המוגדרת לכל x.

א. מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־x של הפונקצייה f(x).

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. (2) רשמו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ה. (1) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את קביעתכם. (2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 2 ו־x = −2.

הגרפים I–IV לשאלה 6
✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – אסימפטוטה אופקית

בשבר x2 − 9x2 + 1 החזקה הגבוהה במונה ובמכנה שווה (2), ולכן השבר שואף ל־11 = 1:
x2 − 9x2 + 1 → 1📐 אסימפטוטה אופקיתחזקות שוות ← y = מקדם במונהמקדם במכנה
ועוד 1 שמחוץ לשבר:
y = 1 + 1 = 2
✅ פתרון סופי: y = 2

סעיף ב (1) – נקודת קיצון

הנגזרת של +1 היא 0. גוזרים את השבר לפי נגזרת של מנה: u = x2 − 9 , u′ = 2x ; v = x2 + 1 , v′ = 2x.
f′(x) = 2x(x2 + 1) − (x2 − 9) · 2x(x2 + 1)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
פותחים סוגריים במונה:
2x3 + 2x − 2x3 + 18x = 20x
f′(x) = 20x(x2 + 1)2
20x = 0 → x = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
f(0) = 0 − 90 + 1 + 1 = −9 + 1 = −8
סימן הנגזרת (המכנה תמיד חיובי, הסימן לפי 20x):
f′(−1) = −204 = −5 < 0 ← יורדת
f′(1) = 204 = 5 > 0 ← עולה
xf′(x)f(x)
x < 0−↘ יורדת
00מינימום
x > 0+↗ עולה
✅ פתרון סופי: מינימום (0 , −8)

סעיף ב (2) – עלייה וירידה

מטבלת הסימנים שבסעיף ב (1):
✅ פתרון סופי: עלייה: x > 0
✅ פתרון סופי: ירידה: x < 0

סעיף ג – חיתוך עם ציר ה־x

מציבים y = 0:
x2 − 9x2 + 1 + 1 = 0
מעבירים אגף וכופלים ב־x2 + 1 (תמיד חיובי):
x2 − 9 = −(x2 + 1)
x2 − 9 = −x2 − 1
2x2 = 8 → x2 = 4
x = 2 או x = −2📐 שורש ריבועיx2 = a → x = ±√a
✅ פתרון סופי: (2 , 0) , (−2 , 0)

סעיף ד – סקיצה

מסמנים: אסימפטוטה y = 2, מינימום (0 , −8), חיתוכים (−2 , 0) ו־(2 , 0). הפונקצייה יורדת משמאל ל־0 ועולה מימין ל־0, ומתקרבת ל־2 מלמטה בשני הצדדים. הגרף סימטרי לציר ה־y.
xyy = 2(0, −8)(−2, 0)(2, 0)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה (1) – איזה גרף מתאר את f′(x)

f′(x) = 20x(x2 + 1)2:
• f′(0) = 0 – הגרף עובר בראשית הצירים.
• x < 0: f′(x) < 0 – הגרף מתחת לציר ה־x; x > 0: f′(x) > 0 – מעליו (הפונקצייה יורדת ואחר כך עולה).
• רחוק מהראשית הנגזרת מתקרבת ל־0 (המכנה גדל הרבה יותר מהמונה).
רק גרף I עובר בראשית, מתחת לציר משמאל ומעליו מימין.
✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ה (2) – השטח

בין −2 ל־0 הנגזרת שלילית (השטח מתחת לציר), ובין 0 ל־2 חיובית. מחשבים כל חלק לחוד. הפונקצייה הקדומה של f′(x) היא f(x):
∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)
הערכים (מסעיפים ב, ג): f(−2) = 0 , f(0) = −8 , f(2) = 0.
∫0−2 f′(x) dx = f(0) − f(−2) = −8 − 0 = −8 ← שטח 8 (מתחת לציר)
∫20 f′(x) dx = f(2) − f(0) = 0 − (−8) = 8
S = 8 + 8 = 16📐 שטח מתחת לצירשטח = ערך מוחלט של האינטגרל
✅ פתרון סופי: S = 16 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

סעיף אy = 2
סעיף ב (1)מינימום (0 , −8)
סעיף ב (2)יורדת x < 0 , עולה x > 0
סעיף ג(2 , 0) , (−2 , 0)
סעיף ה (1)גרף I
סעיף ה (2)16
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 36 – קשר בין הפונקציה לנגזרת 1
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – חקירת פונקציית שורש והזזה

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (3x − 6) · √14 − x.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ג. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = f(x + 5), המוגדרת בתחום x ≤ 9.

ה. (1) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקצייה g(x). נמקו את קביעתכם. (2) מה הם שיעורי נקודת הקיצון הפנימית של הפונקצייה g(x)?

הגרפים I–IV לשאלה 7
✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א – תחום הגדרה

14 − x ≥ 0📐 תחום הגדרה של שורש√A מוגדר רק כש־A ≥ 0
−x ≥ −14 → x ≤ 14 (בחילוק במספר שלילי הופכים את סימן אי־השוויון)
✅ פתרון סופי: x ≤ 14

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־x (y = 0):
(3x − 6) · √14 − x = 0📐 מכפלה שווה לאפסA · B = 0 ⟺ A = 0 או B = 0
3x − 6 = 0 → x = 2
√14 − x = 0 → x = 14
ציר ה־y (x = 0):
f(0) = (0 − 6) · √14 = −6√14 ≈ −22.45
✅ פתרון סופי: עם ציר ה־x: (2 , 0) , (14 , 0)
✅ פתרון סופי: עם ציר ה־y: (0 , −6√14) ≈ (0 , −22.45)

סעיף ג – נקודות קיצון

גוזרים לפי נגזרת של מכפלה: u = 3x − 6 , u′ = 3 ; v = √14 − x:
v′ = −12√14 − x📐 נגזרת של שורש(√g(x))′ = g′(x)2√g(x)
f′(x) = 3√14 − x + (3x − 6) · −12√14 − x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
מכנה משותף 2√14 − x:
3√14 − x = 3 · 2 · (14 − x)2√14 − x📐 שורש כפול שורש√A · √A = A
f′(x) = 6(14 − x) − (3x − 6)2√14 − x = 84 − 6x − 3x + 62√14 − x
f′(x) = 90 − 9x2√14 − x
90 − 9x = 0 → x = 10📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0
f(10) = (30 − 6) · √4 = 24 · 2 = 48
בודקים את סימן הנגזרת:
f′(0) = 902√14 > 0 ← עולה
f′(13) = 90 − 1172√1 = −13.5 < 0 ← יורדת
xf′(x)f(x)
x < 10+↗ עולה
100מקסימום
10 < x < 14−↘ יורדת
14קצה התחוםמינימום קצה
בקצה x = 14: f(14) = 36 · 0 = 0. הפונקצייה יורדת עד שם, ולכן (14 , 0) מינימום קצה.
✅ פתרון סופי: מקסימום: (10 , 48)
✅ פתרון סופי: מינימום קצה: (14 , 0)

סעיף ד – סקיצה

מסמנים: התחום x ≤ 14, חיתוכים (2 , 0), (14 , 0), (0 , −22.45), מקסימום (10 , 48) ומינימום קצה (14 , 0). משמאל הגרף מגיע מלמטה ועולה עד המקסימום, ואז יורד עד 14.
xy(10, 48)(14, 0)(2, 0)(0, −22.45)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ה (1) – איזה גרף מתאר את g(x)

g(x) = f(x + 5) הוא הגרף של f(x) מוזז 5 יחידות שמאלה.📐 הזזה אופקיתf(x + a) ← הזזה של a יחידות שמאלה (כש־a > 0)
כל נקודה זזה 5 שמאלה: החיתוכים עם ציר ה־x עוברים ל־x = −3 ול־x = 9, המקסימום ל־x = 5.
g(0) = f(5) = (15 − 6) · √9 = 27 > 0
מחפשים גרף שחותך את ציר ה־x משמאל לציר ה־y, חותך את ציר ה־y מעל הראשית, עולה למקסימום מימין לציר ה־y ויורד לנקודת קצה על ציר ה־x. זה גרף III.
✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ה (2) – נקודת הקיצון הפנימית של g(x)

המקסימום של f ב־(10 , 48) זז 5 שמאלה, והגובה לא משתנה:
x = 10 − 5 = 5 , y = 48
בדיקה: g(5) = f(10) = 48 ✓
✅ פתרון סופי: מקסימום (5 , 48)

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

סעיף אx ≤ 14
סעיף ב(2 , 0) , (14 , 0) , (0 , −6√14)
סעיף גמקס׳ (10 , 48) , מינ׳ קצה (14 , 0)
סעיף ה (1)גרף III
סעיף ה (2)מקסימום (5 , 48)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – תחום הגדרה ונקודות קיצון בחקירת שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית שורש 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – משיק ובעיית קיצון בפונקציה רציונלית

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה f(x) = ax − 4, המוגדרת בתחום x ≠ 4. a הוא פרמטר שונה מ־0.

הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־y. דרך הנקודה A העבירו משיק לגרף הפונקצייה f(x). נתון כי שיפוע המשיק הוא −1.5.

א. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 24 בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ב–ג.

ב. מצאו את משוואת המשיק.

הנקודה B נמצאת על גרף הפונקצייה f(x), בתחום x > 4. הנקודה C נמצאת על המשיק כך שהקטע BC מקביל לציר ה־y. נסמן ב־t את שיעור ה־x של הנקודה B.

ג. (1) הביעו באמצעות t את אורך הקטע BC. (2) מצאו את הערך של t שבעבורו אורך הקטע BC הוא מינימלי.

סרטוט לשאלה 8
✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א – הערך של a

גוזרים לפי נגזרת של מנה (u = a , u′ = 0 ; v = x − 4 , v′ = 1):
f′(x) = 0 · (x − 4) − a · 1(x − 4)2 = −a(x − 4)2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
A על ציר ה־y, כלומר x = 0, והשיפוע שם −1.5:
f′(0) = −a(0 − 4)2 = −a16 = −1.5📐 שיפוע המשיקm = f′(x0)
כופלים ב־16:
−a = −24 → a = 24
✅ פתרון סופי: a = 24

סעיף ב – משוואת המשיק

f(0) = 240 − 4 = −6 , A(0 , −6)
y − (−6) = −1.5(x − 0)📐 משוואת ישרy − y1 = m(x − x1)
y = −1.5x − 6
✅ פתרון סופי: y = −1.5x − 6

סעיף ג (1) – אורך BC באמצעות t

B(t , 24t − 4) – על הגרף, t > 4
C(t , −1.5t − 6) – על המשיק, מתחת ל־B
BC מקביל לציר ה־y, ולכן אורכו הוא הפרש ה־y (העליון פחות התחתון):
BC = 24t − 4 − (−1.5t − 6)📐 אורך קטע אנכיd = y1 − y2(ה־y העליון פחות התחתון)
BC = 24t − 4 + 1.5t + 6
✅ פתרון סופי: BC = 24t − 4 + 1.5t + 6

סעיף ג (2) – אורך BC מינימלי

נסמן d(t) = BC. את 24t − 4 גוזרים לפי נגזרת של מנה (כמו בסעיף א):
d′(t) = −24(t − 4)2 + 1.5📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
−24(t − 4)2 + 1.5 = 0📐 נקודת קיצוןd′(t) = 0
מעבירים אגף וכופלים ב־(t − 4)2:
1.5(t − 4)2 = 24 → (t − 4)2 = 16
t − 4 = 4 → t = 8 או t − 4 = −4 → t = 0 (נפסל, כי t > 4)
בודקים שזה מינימום:
d′(6) = −244 + 1.5 = −4.5 < 0 ← יורדת
d′(12) = −2464 + 1.5 = 1.125 > 0 ← עולה
יורדת ואז עולה – מינימום. האורך המינימלי:
d(8) = 244 + 12 + 6 = 24
✅ פתרון סופי: t = 8 (האורך המינימלי BC = 24)

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

סעיף אa = 24
סעיף בy = −1.5x − 6
סעיף ג (1)BC = 24t − 4 + 1.5t + 6
סעיף ג (2)t = 8 (BC = 24)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 1 – מהי בעיית קיצון
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 471
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 471
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק לשאלון 471 כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות