בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · שאלות לפי נושא

שאלות בגרות 571 לפי נושא – שאלות קצרות

כל השאלות הקצרות (שאלה 1) מבחינות הבגרות בשאלון 571, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. שאלה 1 בכל בחינה: כמה סעיפים קצרים מנושאים שונים – אינדוקציה, גאומטרייה, הסתברות, חקירה ואינטגרל. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 571 לפי נושא

20 שאלות פתורות: 20 מבחינות 571 של 2021–2026, מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.

📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א. נתון כי השוויון 1³ + 2³ + 3³ + … + n³ = n²(n + 1)²b מתקיים בעבור n = 2. b הוא פרמטר שונה מ־0.

(1) מצאו את הערך של b.

(2) הציבו b = 4 והוכיחו באינדוקציה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי השוויון הנתון מתקיים לכל n טבעי.

ב. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x) המוגדרת בתחום x ≤ 6. אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקציה f(x):

I. f(x) = x√6 − x II. f(x) = −x√6 − x III. f(x) = x√x − 6 IV. f(x) = −x√x − 6

גרף הפונקציה f(x) מסעיף ב בשאלה 1 בשאלון

(1) קבעו איזה מן הביטויים מייצג את הפונקציה f(x). נמקו את קביעתכם.

נתונה הפונקציה g(x) = (f(x))² המוגדרת בתחום x ≤ 6.

(2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) ועל ידי ציר ה־x.

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x) המוגדרת לכל x. לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון אחת בלבד ואסימפטוטה אופקית אחת בלבד שמשוואתה היא y = 0. שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה ושיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־y מוצגים בסרטוט.

גרף הפונקציה f(x) מסעיף ג בשאלה 1 בשאלון

נתונה הפונקציה g(x) = 1f(x) − 2.

(1) כמה אסימפטוטות המאונכות לציר ה־x יש לפונקציה g(x)? נמקו את תשובתכם.

(2) מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־y של הפונקציה g(x).

(3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

ד. בסרטוט שבשאלון מתואר משולש ישר זווית ABC (הזווית CAB היא בת 90 מעלות). נתון כי אורכי צלעות המשולש הם שלושת האיברים הראשונים בסדרה הנדסית. האיבר הראשון בסדרה שווה לאורך הצלע AB. נתון: AB = 1.

(1) האם ייתכן שהאיבר השני בסדרה שווה לאורך הצלע BC? נמקו את תשובתכם.

(2) מצאו את אורך הצלע BC (בתשובתכם תוכלו להשאיר שורש).

✏️ פתרון שאלה 1

בבחינה עונים על שניים מארבעת הסעיפים בלבד. כאן פתרנו את כל הארבעה, כדי שתוכלו לבחור.

סעיף א (1) – מציאת b

נציב n = 2 בשני האגפים של השוויון.

אגף שמאל: סכום החזקות השלישיות עד 2³:

1³ + 2³ = 1 + 8 = 9

אגף ימין:

2² · (2 + 1)²b = 4 · 9b

= 36b

השוויון מתקיים, ולכן:

36b = 9

9b = 36

b = 369 = 4

✅ פתרון סופי: b = 4

סעיף א (2) – הוכחה באינדוקציה

צריך להוכיח שלכל n טבעי:

1³ + 2³ + … + n³ = n²(n + 1)²4📐 אינדוקציה מתמטית1. בדיקה: הטענה נכונה ל־n = 12. הנחה: נניח שהטענה נכונה ל־n = k3. צעד: מוכיחים שהיא נכונה ל־n = k + 1

שלב 1 – בדיקה ל־n = 1:

אגף שמאל: 1³ = 1

אגף ימין: 1² · (1 + 1)²4 = 1 · 44 = 1

שני האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה ל־n = 1.

שלב 2 – הנחת האינדוקציה: נניח שהטענה נכונה ל־n = k, כלומר:

1³ + 2³ + … + k³

= k²(k + 1)²4

שלב 3 – צריך להוכיח ל־n = k + 1:

1³ + 2³ + … + k³ + (k + 1)³

= (k + 1)²(k + 2)²4

נתחיל מאגף שמאל. לפי ההנחה, הסכום עד k³ שווה ל־k²(k + 1)²4, ולכן:

1³ + … + k³ + (k + 1)³

= k²(k + 1)²4 + (k + 1)³

נוציא גורם משותף (k + 1)²:

= (k + 1)² · [k²4 + (k + 1)]

נכתוב את הסוגריים עם מכנה משותף 4:

= (k + 1)² · k² + 4k + 44

בסוגריים יש ריבוע של סכום:📐 נוסחת כפל מקוצר(a + b)² = a² + 2ab + b²

k² + 4k + 4 = (k + 2)²

= (k + 1)²(k + 2)²4

קיבלנו בדיוק את אגף ימין שרצינו להוכיח (ל־n = k + 1).

לפי עקרון האינדוקציה המתמטית, השוויון מתקיים לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: השוויון 1³ + … + n³ = n²(n + 1)²4 מתקיים לכל n טבעי ∎

סעיף ב (1) – איזה ביטוי מייצג את f(x)

שורש ריבועי מוגדר רק כאשר הביטוי שבתוכו אינו שלילי.📐 תחום הגדרה של שורש√A מוגדר כאשר A ≥ 0

בביטויים I ו־II:

6 − x ≥ 0

x ≤ 6

בביטויים III ו־IV:

x − 6 ≥ 0

x ≥ 6

הפונקציה בסרטוט מוגדרת בתחום x ≤ 6, ולכן הביטוי הוא I או II.

נבדוק את הסימן. בסרטוט, בתחום 0 < x < 6 הגרף נמצא מתחת לציר ה־x (שלילי).

בתחום הזה x > 0 וגם √6 − x > 0. נציב למשל x = 2:

ביטוי I: 2 · √6 − 2 = 2 · 2 = 4 > 0 – חיובי, לא מתאים.

ביטוי II: −2 · √6 − 2 = −2 · 2 = −4 < 0 – שלילי, מתאים.

בדיקה נוספת: בסרטוט, בתחום x < 0 הגרף מעל ציר ה־x. בביטוי II, למשל x = −3: −(−3) · √9 = 3 · 3 = 9 > 0 ✓

✅ פתרון סופי: הביטוי II: f(x) = −x√6 − x – תחום ההגדרה x ≤ 6, שלילי ב־0 < x < 6 וחיובי ב־x < 0

סעיף ב (2) – השטח בין g(x) לציר ה־x

נמצא את g(x):

g(x) = (−x√6 − x)²

g(x) = x² · (√6 − x)²📐 ריבוע של שורש(√A)² = A RAW:(כאשר A ≥ 0)

g(x) = x²(6 − x)

g(x) = 6x² − x³

נמצא את נקודות החיתוך של g(x) עם ציר ה־x:

x²(6 − x) = 0

x = 0 או x = 6

בתחום x < 0 הגרף של g(x) לא חוזר לציר ה־x: שם x² > 0 ו־6 − x > 0, ולכן g(x) > 0, וכש־x יורד g(x) רק גדל. לכן השטח המוגבל על ידי הגרף וציר ה־x הוא בין x = 0 ל־x = 6.

בתחום 0 ≤ x ≤ 6 מתקיים g(x) ≥ 0 (ריבוע), ולכן השטח הוא האינטגרל:

S = ∫60(6x² − x³) dx📐 שטח בין גרף לציר xS = ∫bag(x) dx(כאשר g(x) ≥ 0 בתחום)

S = [6 · x³3 − x⁴4]₀⁶📐 אינטגרל של חזקה∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

S = [2x³ − x⁴4]₀⁶

= (2 · 6³ − 6⁴4) − (0 − 0)

S = 2 · 216 − 12964

S = 432 − 324

S = 108

✅ פתרון סופי: השטח הוא 108 יחידות שטח

סעיף ג (1) – כמה אסימפטוטות אנכיות יש ל־g(x)

לפונקציה g(x) יש אסימפטוטה אנכית (מאונכת לציר ה־x) בכל נקודה שבה המכנה מתאפס (והמונה 1 לא מתאפס):📐 אסימפטוטה אנכית של מנההמכנה = 0 והמונה ≠ 0

f(x) − 2 = 0

f(x) = 2

לכן צריך לספור כמה פעמים הגרף של f(x) מגיע לגובה y = 2.

מהנתונים ומהסרטוט: ל־f(x) יש נקודת קיצון אחת בלבד, המקסימום (3 , 4), והאסימפטוטה האופקית היחידה היא y = 0.

• משמאל ל־x = 3: הפונקציה עולה מגובה שמתקרב ל־0 (האסימפטוטה) עד לגובה 4. בדרך היא עוברת פעם אחת בדיוק בגובה 2 (למשל f(0) = 1 < 2 ו־f(3) = 4 > 2).

• מימין ל־x = 3: הפונקציה יורדת מגובה 4 ומתקרבת ל־0. גם כאן היא עוברת פעם אחת בדיוק בגובה 2.

נסמן את שתי הנקודות: x₁ (בין 0 ל־3) ו־x₂ (גדול מ־3).

✅ פתרון סופי: ל־g(x) יש 2 אסימפטוטות מאונכות לציר ה־x – הישר y = 2 חותך את גרף f(x) בשתי נקודות

סעיף ג (2) – האסימפטוטה האופקית של g(x)

האסימפטוטה האופקית של f(x) היא y = 0, כלומר כאשר x → ∞ או x → −∞:

f(x) → 0

לכן:

g(x) = 1f(x) − 2 → 10 − 2

= −12

✅ פתרון סופי: משוואת האסימפטוטה: y = −12

סעיף ג (3) – סקיצה של g(x)

נאסוף את מה שידוע על g(x):

נקודת חיתוך עם ציר ה־y: f(0) = 1, ולכן:

g(0) = 11 − 2 = −1

חיתוך עם ציר ה־x: אין – המונה הוא 1 ואף פעם לא מתאפס.

סימן: בין x₁ ל־x₂ מתקיים f(x) > 2, ולכן g(x) > 0. משמאל ל־x₁ ומימין ל־x₂ מתקיים f(x) < 2, ולכן g(x) < 0.

עלייה וירידה – בלי לגזור, קוראים מהסקיצות:

סקיצה 1 – הגרף של f (כחול) והישר y = 2 (תכלת, מקווקו). ‏f(x) − 2 היא אותו גרף מוזז 2 יחידות למטה, ולכן היא עולה ויורדת באותם תחומים כמו f:

בכל קטע שבו f(x) − 2 לא מחליפה סימן: כש־f עולה, g יורדת, וכש־f יורדת, g עולה.📐 הפונקציה 1 חלקי fבקטע שבו f לא מחליפה סימן: f עולה ⇐ 1f יורדת; f יורדת ⇐ 1f עולה

• x < 3 (f עולה): g יורדת.

• x > 3 (f יורדת): g עולה.

לכן ב־x = 3 יש ל־g נקודת מינימום:

g(3) = 14 − 2 = 12

אסימפטוטות: x = x₁, x = x₂ ו־y = −12.

סקיצה 2 – הגרף של g (המיקום המדויק של x₁ ו־x₂ לא ידוע, כי הנוסחה של f(x) לא נתונה – ידוע רק ש־0 < x₁ < 3 < x₂):

✅ פתרון סופי: סקיצה: (0 , −1), מינימום (3 , 12) בין האסימפטוטות, אסימפטוטות x = x₁, x = x₂, y = −½

סעיף ד (1) – האם האיבר השני יכול להיות BC

במשולש ישר זווית היתר הוא הצלע הארוכה ביותר. הזווית הישרה היא A, ולכן היתר הוא BC, והוא ארוך מ־AB ומ־AC.

האיברים: a₁ = AB = 1, a₂, a₃ (כולם אורכים, ולכן חיוביים, והמנה q > 0).

נניח שהאיבר השני הוא BC:📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · qⁿ⁻¹

a₂ = BC = 1 · q = q

a₃ = AC = 1 · q² = q²

כי BC הוא היתר, הוא ארוך מ־AB: q > 1.

אבל אז גם AC ארוך מ־BC:

q > 1 ⇒ q² > q

⇒ AC > BC

כלומר הניצב AC ארוך מהיתר – זה בלתי אפשרי.

✅ פתרון סופי: לא ייתכן – אם BC = q אז היתר חייב להיות גדול מ־1, ואז AC = q² > q = BC, והניצב ארוך מהיתר

סעיף ד (2) – אורך הצלע BC

לפי סעיף ד(1), האיבר השני הוא AC והשלישי הוא BC:

AC = q , BC = q²📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · qⁿ⁻¹

(היתר BC הארוך ביותר, ולכן q > 1 – הסדרה עולה.)

AB² + AC² = BC²📐 משפט פיתגורסניצב² + ניצב² = יתר²

1² + q² = (q²)²

1 + q² = q⁴

q⁴ − q² − 1 = 0

נסמן t = q² (וזה בדיוק BC):

t² − t − 1 = 0

t = 1 ± √1 + 42 = 1 ± √52📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b² − 4ac2a

t = q² חיובי, ולכן הפתרון 1 − √52 < 0 נפסל.

BC = t = 1 + √52 ≈ 1.618

בדיקה: AC² = q² ≈ 1.618, 1 + 1.618 = 2.618, BC² ≈ 1.618² ≈ 2.618 ✓

✅ פתרון סופי: BC = 1 + √52 ≈ 1.618

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)	b = 4
סעיף א (2)	הוכחה באינדוקציה
סעיף ב (1)	ביטוי II
סעיף ב (2)	108
סעיף ג (1)	2 אסימפטוטות
סעיף ג (2)	y = −½
סעיף ג (3)	סקיצה
סעיף ד (1)	לא
סעיף ד (2)	BC = 1 + √52

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 49 – שאלה קצרה מבגרות 2026 מועד ב (חקירת שורש)
שיעור 93 – שאלה קצרה מבגרות 2026 מועד ב: הפונקציה 1 חלקי f(x) − 2

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת שורש 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

בשאלה זו ענו על שניים מן הסעיפים א–ד (לכל סעיף 10 נקודות). בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:

1²1 · 3 + 2²3 · 5 + … +
+ n²(2n − 1)(2n + 1) = n(n + 1)2(2n + 1)

ב. בספרייה 60% מן הספרים הם ספרי קומיקס, ו־70% מן הספרים הם ספרים בעברית. לפניכם שתי טענות. קבעו עבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעתכם.

I. בספרייה אין ספרי קומיקס בעברית.

II. ההסתברות לבחור באקראי ספר בעברית מבין ספרי הקומיקס גדולה מן ההסתברות לבחור באקראי ספר קומיקס מבין הספרים בעברית.

ג. הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x. בסרטוט שלפניכם מוצג הגרף של f(x). ידוע כי לגרף הפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אחת, והיא y = 0; לגרף יש נקודת חיתוך אחת עם ציר ה־x, והיא (12 , 0); הנקודות (6 , a) ו־(18 , −2a) הן נקודות הקיצון של הפונקציה, a > 1.

נתונה הפונקציה g(x) = 1f²(x).

(1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).

(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

(3) ידוע כי הישר y = a27 חותך את גרף הפונקציה g(x) בשלוש נקודות בדיוק. מצאו את a.

ד. נתונה הפונקציה f(x) = −30x²(x³ − 8)². בסרטוט שלפניכם מוצג הגרף של f(x).

g(x) היא פונקציה שהנגזרת שלה היא f(x). ידוע כי g(0) = 0.75.

(1) מצאו את הפונקציה g(x).

(2) איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם הוא הגרף של g(x)? נמקו את קביעתכם.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

מוכיחים באינדוקציה בשלושה שלבים: בדיקה עבור n = 1, הנחה עבור n = k, והוכחה עבור n = k + 1.

שלב 1 – בדיקה עבור n = 1. בצד שמאל יש רק את האיבר הראשון:📐 שיטהשיטה: הוכחה באינדוקציה – בודקים עבור n = 1, מניחים עבור n = k, מוכיחים עבור n = k + 1

אגף שמאל: 1²1 · 3 = 13

אגף ימין: 1 · (1 + 1)2 · (2 · 1 + 1) = 26 = 13

שני האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה עבור n = 1.

שלב 2 – הנחת האינדוקציה. נניח שהטענה נכונה עבור n = k:

1²1 · 3 + 2²3 · 5 + …

+ k²(2k − 1)(2k + 1) = k(k + 1)2(2k + 1)

שלב 3 – נוכיח עבור n = k + 1. צריך להוכיח:

1²1 · 3 + … + k²(2k − 1)(2k + 1)

+ (k + 1)²(2k + 1)(2k + 3) = (k + 1)(k + 2)2(2k + 3)

האיבר האחרון מתקבל מהצבת k + 1 במקום n: 2(k + 1) − 1 = 2k + 1 וגם 2(k + 1) + 1 = 2k + 3.

לפי הנחת האינדוקציה, סכום k האיברים הראשונים שווה ל־k(k + 1)2(2k + 1). נציב באגף שמאל:

אגף שמאל

= k(k + 1)2(2k + 1) + (k + 1)²(2k + 1)(2k + 3)

מכנה משותף: 2(2k + 1)(2k + 3)

= k(k + 1)(2k + 3) + 2(k + 1)²2(2k + 1)(2k + 3)

מוציאים גורם משותף (k + 1) מהמונה:

= (k + 1)[k(2k + 3) + 2(k + 1)]2(2k + 1)(2k + 3)

= (k + 1)(2k² + 3k + 2k + 2)2(2k + 1)(2k + 3)

= (k + 1)(2k² + 5k + 2)2(2k + 1)(2k + 3)

נפרק את הטרינום 2k² + 5k + 2. נמצא את השורשים של 2k² + 5k + 2 = 0:

k_1,2 = −5 ± √25 − 4 · 2 · 22 · 2📐 נוסחה: שורשי משוואה ריבועיתx_1,2 = −b ± √b² − 4ac2a

= −5 ± 34

k₁ = −24 = −12 , k₂ = −84 = −2

2k² + 5k + 2 = 2(k + 12)(k + 2)📐 נוסחה: פירוק טרינוםax² + bx + c == a(x − x₁)(x − x₂)

= (2k + 1)(k + 2)

אגף שמאל = (k + 1)(2k + 1)(k + 2)2(2k + 1)(2k + 3)

מצמצמים ב־(2k + 1):

= (k + 1)(k + 2)2(2k + 3) = אגף ימין

קיבלנו בדיוק את הטענה עבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הטענה הוכחה לכל n טבעי.

סעיף ב – שתי טענות על ספרי הספרייה

נסמן: K – הספר הוא ספר קומיקס, H – הספר הוא בעברית. נתון:

P(K) = 0.6

P(H) = 0.7

טענה I. נמצא כמה ספרים לפחות הם גם קומיקס וגם בעברית.

P(K ∪ H) = 0.6 + 0.7 − P(K ∩ H)📐 נוסחה: הסתברות של איחודP(A ∪ B) == P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

נבודד את החיתוך:

P(K ∩ H) = 0.6 + 0.7 − P(K ∪ H)

P(K ∩ H) = 1.3 − P(K ∪ H)

הסתברות של כל מאורע היא לכל היותר 1, ולכן P(K ∪ H) ≤ 1:

P(K ∩ H) ≥ 1.3 − 1

P(K ∩ H) ≥ 0.3

כלומר לפחות 30% מן הספרים בספרייה הם ספרי קומיקס בעברית. לכן הטענה "אין ספרי קומיקס בעברית" לא נכונה.

טענה II. "בחירת ספר בעברית מבין ספרי הקומיקס" היא הסתברות מותנה:

P(H | K) = P(H ∩ K)P(K) = P(H ∩ K)0.6📐 נוסחה: הסתברות מותנהP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

P(K | H) = P(K ∩ H)P(H) = P(K ∩ H)0.7📐 נוסחה: הסתברות מותנהP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

בשני השברים המונה זהה (אותו חיתוך), והוא חיובי – לפי טענה I הוא לפחות 0.3.

כשהמונה זהה וחיובי, השבר עם המכנה הקטן יותר גדול יותר. המכנה 0.6 קטן מ־0.7, ולכן:

P(H | K) > P(K | H)

לכן הטענה נכונה.

✅ פתרון סופי: טענה I – לא נכונה (לפחות 30% מהספרים הם קומיקס בעברית); טענה II – נכונה.

סעיף ג – הפונקציה g(x) = 1f²(x)

(1) תחום ההגדרה

הפונקציה g(x) = 1f²(x) היא שבר, ולכן היא מוגדרת רק כשהמכנה שונה מאפס:

f²(x) ≠ 0

f(x) ≠ 0

הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x, ולפי הנתון היא מתאפסת רק בנקודה אחת – נקודת החיתוך עם ציר ה־x, (12 , 0). לכן:

x ≠ 12

✅ פתרון סופי: תחום ההגדרה: x ≠ 12

(2) סקיצה של g

נאסוף את התכונות של g מתוך התכונות של f.

אסימפטוטה אנכית: כש־x מתקרב ל־12, f(x) מתקרב ל־0, ולכן f²(x) מתקרב ל־0 מצד החיובי ו־g(x) שואף ל־+∞. לכן x = 12 היא אסימפטוטה אנכית של g.

התנהגות בקצוות: לגרף f יש אסימפטוטה y = 0, כלומר כש־x → ±∞, f(x) → 0. לכן שם g(x) → +∞, ולגרף g אין אסימפטוטה אופקית.

סימן: f²(x) > 0 בכל תחום ההגדרה, ולכן g(x) > 0 – כל הגרף מעל ציר ה־x, ואין לו נקודות חיתוך עם ציר ה־x.

עלייה וירידה – בלי לגזור, בעזרת שתי סקיצות: קודם f², ואחר כך g = 1f².

סקיצה 1 – הגרף של f² (מתוך הגרף הנתון של f; החלק שמתחת לציר ה־x עולה מעליו):

• ב־x < 6 הפונקציה f עולה מ־0 עד a, ולכן f² עולה מ־0 עד a².

• ב־6 < x < 12 הפונקציה f יורדת מ־a עד 0, ולכן f² יורדת מ־a² עד 0.

• ב־12 < x < 18 הפונקציה f יורדת מ־0 עד −2a, ולכן f² עולה מ־0 עד 4a².

• ב־x > 18 הפונקציה f עולה מ־−2a עד 0, ולכן f² יורדת מ־4a² עד 0.

▬ f² (כחול) – לדוגמה עבור a = 3

סקיצה 2 – הגרף של g = 1f² (נקרא מסקיצה 1):📐 משפט: הגרף של 1 חלקי פונקציהu עולה ⇐ 1u יורדת (ולהפך)
מקסימום של u ⇐ מינימום של 1u
כש־u → 0⁺ ⇐ 1u → +∞

• ב־x < 6 הפונקציה f² עולה, ולכן g יורדת מ־+∞ עד 1a².

• ב־6 < x < 12 הפונקציה f² יורדת אל 0, ולכן g עולה ל־+∞.

• ב־12 < x < 18 הפונקציה f² עולה, ולכן g יורדת מ־+∞ עד 14a².

• ב־x > 18 הפונקציה f² יורדת אל 0, ולכן g עולה ל־+∞.

המקסימומים של f² ב־x = 6 וב־x = 18 הופכים למינימומים של g:

g(6) = 1f²(6) = 1a²

g(18) = 1f²(18) = 1(−2a)² = 14a²

מינימום (6 , 1a²)

מינימום (18 , 14a²)

הסקיצה (צוירה לדוגמה עבור a = 3, בקנה מידה):

✅ פתרון סופי: אסימפטוטה אנכית x = 12, אין אסימפטוטה אופקית; מינימום (6 , 1a²) ומינימום (18 , 14a²); הגרף כולו מעל ציר ה־x.

(3) מציאת a

נבדוק כמה פעמים ישר אופקי y = c (עם c > 0) חותך את גרף g. בכל אחד מארבעת התחומים g עולה או יורדת, ולכן בכל תחום יש לכל היותר נקודת חיתוך אחת. ערכי המינימום הם 1a² ו־14a², ו־14a² < 1a².

גובה הישר	מספר נקודות החיתוך
c > 1a²	4
c = 1a²	3 (אחת מהן נקודת המינימום השמאלית)
14a² < c < 1a²	2
c = 14a²	1
c < 14a²	0

שלוש נקודות חיתוך בדיוק מתקבלות רק כשהישר עובר דרך נקודת המינימום (6 , 1a²):

a27 = 1a²

a · a² = 27

a³ = 27

a = 3

בדיקה: a = 3 > 1, כנדרש.

✅ פתרון סופי: a = 3

סעיף ד – הפונקציה הקדומה g

(1) מציאת g

g(x) היא פונקציה קדומה של f(x). הנגזרת של הביטוי שבתוך החזקה היא (x³ − 8)′ = 3x², ובמונה יש −30x² = −10 · 3x². לכן זה אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית:

g(x) = ∫ −30x²(x³ − 8)² dx

= ∫ −10 · 3x² · (x³ − 8)⁻² dx

g(x) = −10 · (x³ − 8)⁻¹−1 + C📐 נוסחה: אינטגרל עם הנגזרת הפנימית∫ u′(x) · [u(x)]ⁿ dx == [u(x)]ⁿ⁺¹n + 1 + C

g(x) = 10x³ − 8 + C

בדיקה בגזירה: (10x³ − 8)′ = −10 · 3x²(x³ − 8)² = −30x²(x³ − 8)² ✓

נמצא את C לפי g(0) = 0.75:

100³ − 8 + C = 0.75

10−8 + C = 0.75

−1.25 + C = 0.75

C = 0.75 + 1.25

C = 2

✅ פתרון סופי: g(x) = 10x³ − 8 + 2

(2) איזה גרף הוא של g

נאסוף תכונות של g(x) = 10x³ − 8 + 2:

1. עלייה וירידה: g′(x) = f(x) = −30x²(x³ − 8)². המכנה חיובי ו־−30x² ≤ 0, ולכן g′(x) ≤ 0: הפונקציה g יורדת בכל תחום הגדרתה (רואים זאת גם בגרף של f, שאינו עולה מעל ציר ה־x).

בגרף III הפונקציה יורדת ואחר כך עולה (יש לה מינימום), ובגרף IV הפונקציה עולה – לכן III ו־IV נפסלים.

2. משיק אופקי: g′(0) = f(0) = 0, ולכן לגרף g יש משיק אופקי בנקודה שבה x = 0, כלומר על ציר ה־y, בנקודה (0 , 0.75). זו לא נקודת קיצון, כי משני צדדיה g′(x) < 0 (נקודת פיתול עם משיק אופקי).

בגרף I יש משיק אופקי בנקודה שעל ציר ה־y; בגרף II אין משיק אופקי כזה – לכן II נפסל.

3. בדיקה נוספת: אסימפטוטה אנכית x = 2 (שם x³ − 8 = 0), אסימפטוטה אופקית y = 2 (כש־x → ±∞ השבר שואף ל־0), ו־g(0) = 0.75 > 0. כל אלה מתאימים לגרף I.

הגרף של g בקנה מידה:

✅ פתרון סופי: הגרף של g הוא גרף I.

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	הוכחה
סעיף ב	I – לא נכונה, II – נכונה
סעיף ג (1)	x ≠ 12
סעיף ג (2)	מינימום (6 , 1a²), מינימום (18 , 14a²), אסימפטוטה x = 12
סעיף ג (3)	a = 3
סעיף ד (1)	g(x) = 10x³ − 8 + 2
סעיף ד (2)	גרף I

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 36 – הפונקציה 1 חלקי f(x) בריבוע (בגרות 2026, שאלה קצרה)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2026, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

שימו לב: בשאלה 1 עונים על שניים מן הסעיפים א–ד בלבד. כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. בסרטוט שלפניכם מעגל שמרכזו O ורדיוסו R.

דרך הנקודות A ו־E שעל המעגל העבירו שני משיקים המאונכים זה לזה.

המשיקים נחתכים בנקודה K.

הקטע KO חותך את המעגל בנקודה B.

מעגל שמרכזו O, שני משיקים מאונכים בנקודות A ו־E הנחתכים ב־K – הסרטוט מהשאלון

(1) מצאו פי כמה גדול שטח המשולש AOB משטח המשולש AKB.

נתון כי שטח המשולש AOB הוא 16.

(2) מצאו את אורך הגובה לצלע AK במשולש AKB.

ב. בתחרות שחמט, שני שחקנים – יאיר ונדב – מתחרים זה נגד זה.

כל משחק יכול להסתיים באחת מ־3 התוצאות האלה: ניצחון של יאיר, ניצחון של נדב או תיקו.

בכל משחק ההסתברות שיאיר ינצח היא קבועה וגדולה פי 2 מן ההסתברות שנדב ינצח.

נסמן ב־p את ההסתברות שנדב ינצח במשחק אחד.

יאיר ונדב משחקים שני משחקים.

(1) הביעו באמצעות p את ההסתברות שאחד מן השחקנים ישיג שני ניצחונות.

ידוע שאם שום שחקן לא השיג שני ניצחונות, ההסתברות שכל אחד מן המשחקים יסתיים בתיקו היא 931.

(2) קבעו איזו מן האפשרויות I–III שלפניכם מתאימה לערך של p. נמקו את קביעתכם.

I. 110 II. 1127 III. 16

ג. נתונה הפונקציה f(x) = √x² − 1 + 2√16 − x².

(1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה f(x). קבעו איזה מהם ונמקו את קביעתכם.

ד. נתונה סדרה אין־סופית שאיבריה מקיימים a_n = cos(π · 2ⁿ)5 · 2ⁿ לכל n טבעי.

(1) מצאו את שלושת האיברים הראשונים בסדרה a_n.

(2) הוכיחו כי הסדרה a_n היא הנדסית, ומצאו את המנה שלה.

(3) מצאו את סכום הסדרה a_n.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – יחס השטחים

הרדיוסים OA ו־OE מאונכים למשיקים, והמשיקים מאונכים זה לזה:

∢OAK = ∢OEK = 90 , ∢AKE = 90📐 משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

מרובע עם שלוש זוויות ישרות הוא מלבן, ויש בו שתי צלעות סמוכות שוות (OA = OE = R), ולכן OAKE הוא ריבוע שצלעו R.

האלכסון OK:

OK² = R² + R² = 2R²📐 משפט פיתגורסa² + b² = c²

OK = R√2

OB = R (רדיוס), ולכן:

BK = OK − OB = R√2 − R

= R(√2 − 1)

למשולשים AOB ו־AKB יש אותו גובה מ־A לישר OK, והבסיסים שלהם הם OB ו־BK:

📐 משולשים עם גובה משותףיחס השטחים שווה ליחס הבסיסים

S_AOBS_AKB = OBBK = RR(√2 − 1)

= 1√2 − 1

= √2 + 1(√2 − 1)(√2 + 1)

= √2 + 12 − 1 = √2 + 1 ≈ 2.41

בסרטוט (בקנה מידה): משולש AOB בתכלת ומשולש AKB בירוק.

✅ פתרון סופי: פי √2 + 1 ≈ 2.41

סעיף א (2) – הגובה לצלע AK

האלכסון בריבוע חוצה את הזווית, ולכן ∢AOB = 45 מעלות. נחשב את שטח AOB:

S_AOB = 12 · R · R · sin45📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢∢ – הזווית שבין a ו־b

16 = 12 · R² · √22

16 = √24R²

R² = 64√2 = 32√2

R = √32√2 ≈ 6.727

לפי סעיף א(1):

S_AKB = 16√2 + 1

= 16(√2 − 1) ≈ 6.627

נסמן ב־h את הגובה לצלע AK. צלע הריבוע AK = R:

S_AKB = AK · h2📐 שטח משולשS = a · h2

16(√2 − 1) = 6.727 · h2

h = 32(√2 − 1)6.727

h ≈ 1.97

✅ פתרון סופי: h ≈ 1.97

סעיף ב (1) – שני ניצחונות לאחד השחקנים

בכל משחק: נדב מנצח – p, יאיר מנצח – 2p, ולכן תיקו – 1 − 3p.

המשחקים בלתי תלויים, ולכן מכפילים לאורך הענף. "אחד השחקנים ישיג שני ניצחונות" = יאיר ניצח פעמיים או נדב ניצח פעמיים:

P = 2p · 2p + p · p📐 מאורעות בלתי תלויים / זריםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)מאורעות זרים – מחברים

P = 4p² + p² = 5p²

✅ פתרון סופי: 5p²

סעיף ב (2) – איזה ערך מתאים ל־p

ההסתברות המותנית: "שני תיקו" בתנאי ש"אף שחקן לא השיג שני ניצחונות". המאורע "שני תיקו" כלול בתנאי:

P = (1 − 3p)²1 − 5p² = 931📐 הסתברות מותניתP(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

נבדוק כל אפשרות:

I. p = 110:

(1 − 0.3)²1 − 5 · 0.01 = 0.490.95

= 4995 ≠ 931

II. p = 1127: אז 3p = 3327 > 1, וההסתברות לתיקו 1 − 3p שלילית – לא ייתכן.

III. p = 16:

1 − 3 · 16 = 12 ,

1 − 5 · 136 = 3136

(12)²3136 = 14 · 3631 = 931 ✓

✅ פתרון סופי: אפשרות III , p = 16

סעיף ג (1) – תחום ההגדרה

ביטוי בתוך שורש ריבועי חייב להיות אי־שלילי – בשני השורשים:

x² − 1 ≥ 0📐 תנאי לשורש√g ⟸ g ≥ 0

⟸ x ≤ −1 , x ≥ 1

16 − x² ≥ 0

⟸ −4 ≤ x ≤ 4

החיתוך של שני התנאים:

✅ פתרון סופי: −4 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 4

סעיף ג (2) – איזה גרף

לפי סעיף ג(1) הפונקציה אינה מוגדרת בין −1 ל־1, ולכן הגרף בנוי משני חלקים נפרדים. גרפים I ו־II עוברים באזור x = 0 – הם נפסלים.

נשאר להחליט בין III ל־IV. נחשב כמה ערכים (הפונקציה זוגית, כי x מופיע רק בריבוע, ולכן די לבדוק x חיוביים):

f(1) = √0 + 2√15 = 2√15

≈ 7.75

f(2) = √3 + 2√12

= √3 + 4√3 = 5√3 ≈ 8.66

f(4) = √15 + 2√0 = √15

≈ 3.87

מ־x = 1 הגרף עולה (7.75 ← 8.66) ואחר כך יורד עד 3.87 בקצה x = 4. כלומר בכל חלק יש נקודה גבוהה באמצע, והקצה הפנימי גבוה בהרבה מהקצה החיצוני – זו הצורה של גרף IV (בגרף III יש "שקע", צורת ∪).

הגרף בקנה מידה, מהפונקציה עצמה:

✅ פתרון סופי: גרף IV

סעיף ד (1) – שלושת האיברים הראשונים

לכל n טבעי, 2ⁿ הוא מספר זוגי, ולכן π · 2ⁿ הוא כפולה זוגית של π – והקוסינוס שם שווה 1:

cos(π · 2ⁿ) = 1📐 מחזוריות הקוסינוסcos(2πm) = 1

a_n = 15 · 2ⁿ

a₁ = 15 · 2 = 110

a₂ = 15 · 4 = 120

a₃ = 15 · 8 = 140

✅ פתרון סופי: a₁ = 110 , a₂ = 120 , a₃ = 140

סעיף ד (2) – הסדרה הנדסית

נחשב את המנה בין איבר לאיבר שלפניו:

a_n+1a_n = 15 · 2ⁿ⁺¹15 · 2ⁿ📐 סדרה הנדסיתהמנה a_n+1a_n קבועה

= 5 · 2ⁿ5 · 2ⁿ⁺¹ = 12

המנה קבועה (לא תלויה ב־n), ולכן הסדרה הנדסית.

✅ פתרון סופי: הנדסית, q = 12

סעיף ד (3) – סכום הסדרה

|q| = 12 < 1, ולכן הסכום מתכנס:

S = a₁1 − q = 1101 − 12📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופיתS = a₁1 − q , |q| < 1

S = 110 · 2 = 15

✅ פתרון סופי: S = 15

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א (1)	פי √2 + 1 ≈ 2.41
א (2)	h ≈ 1.97
ב (1)	5p²
ב (2)	III , p = 16
ג (1)	−4 ≤ x ≤ −1 או 1 ≤ x ≤ 4
ג (2)	גרף IV
ד (1)	110 , 120 , 140
ד (2)	הנדסית, q = 12
ד (3)	S = 15

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

בשאלה זו ענו על שניים מן הסעיפים א–ד (לכל סעיף 10 נקודות). בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. הוכיחו באינדוקציה כי לכל n טבעי מתקיים:

23 + 69 + 1027 + … +
+ 4n − 23ⁿ = 2 − 2n + 23ⁿ

ב. בסרטוט שלפניכם הטרפז ABCD (BC ∥ AD) והטרפז BCDE (CD ∥ BE). M היא נקודת החיתוך של AD ו־BE. נתון: AB ⊥ BM, ED ⊥ AD, EM = BM, AM = 2.5DM.

(1) מצאו את גודל הזווית ∢EMD (בשאלון היא מסומנת באות; כאן נקרא לה ∢EMD).

נתון: DM = 6. (2) מצאו את שטח הטרפז ABCD.

ג. נתונות הפונקציות f(x) = xⁿ(x − 1) ו־g(x) = xⁿ(x + 1), המוגדרות לכל x. n הוא פרמטר טבעי הגדול מ־1. כל אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את אחת הפונקציות f(x) או g(x), עבור n זוגי או עבור n אי־זוגי.

(1) קבעו איזה גרף מתאר את f(x) ואיזה מתאר את g(x), ועבור כל גרף קבעו אם n זוגי או אי־זוגי. נמקו.

(2) נתון: n = 2. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) ועל ידי ציר ה־x.

ד. בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה f(x), המוגדרת לכל x. נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה־x הן (0 , 0) , (1 , 0) , (2.7 , 0) , (4.5 , 0).

נתונה הפונקציה g(x) = ∫₀^x f(t) dt, המוגדרת לכל x ≥ 0.

(1) מצאו את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגן.

נסמן ב־S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי ציר ה־x בתחום 1 ≤ x ≤ 2.7. נתון: g(4.5) = 3S , g(2.7) = 0.

(2) הביעו באמצעות S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי ציר ה־x בתחום 0 ≤ x ≤ 4.5.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

מוכיחים באינדוקציה בשלושה שלבים: בדיקה עבור n = 1, הנחה עבור n = k, והוכחה עבור n = k + 1.

אגף שמאל: 4 · 1 − 23¹ = 23

אגף ימין: 2 − 2 · 1 + 23¹ = 2 − 43

= 23

שני האגפים שווים, ולכן הטענה נכונה עבור n = 1.

שלב 2 – הנחת האינדוקציה. נניח שהטענה נכונה עבור n = k:

23 + 69 + … + 4k − 23^k = 2 − 2k + 23^k

שלב 3 – נוכיח עבור n = k + 1. צריך להוכיח:

23 + … + 4k − 23^k + 4(k + 1) − 23^k+1

= 2 − 2(k + 1) + 23^k+1

נפשט: 4(k + 1) − 2 = 4k + 2 ו־2(k + 1) + 2 = 2k + 4. כלומר צריך להוכיח שאגף שמאל שווה ל־2 − 2k + 43^k+1.

לפי הנחת האינדוקציה, נחליף את סכום k האיברים הראשונים:

אגף שמאל = 2 − 2k + 23^k + 4k + 23^k+1

מכנה משותף 3^k+1 (נכפול את השבר הראשון ב־33):

= 2 − 3(2k + 2)3^k+1 + 4k + 23^k+1📐 נוסחה: חוקי חזקות3 · 3^k = 3^k+1

= 2 − 3(2k + 2) − (4k + 2)3^k+1

= 2 − 6k + 6 − 4k − 23^k+1

= 2 − 2k + 43^k+1 = אגף ימין

קיבלנו בדיוק את הטענה עבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הטענה הוכחה לכל n טבעי.

סעיף ב – שני טרפזים

(1) גודל הזווית ∢EMD

נסמן DM = x. לפי הנתון AM = 2.5x.

∢AMB = ∢EMD📐 משפטזוויות קודקודיות שוות

במשולש ישר הזווית EDM (∢EDM = 90 מעלות), EM הוא היתר ו־DM הוא הניצב ליד הזווית ∢EMD:

cos∢EMD = DMEM ⇐ EM = xcos∢EMD📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר

במשולש ישר הזווית ABM (∢ABM = 90 מעלות), AM הוא היתר ו־BM הוא הניצב ליד הזווית ∢AMB = ∢EMD:

cos∢EMD = BMAM ⇐ BM📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר

= 2.5x · cos∢EMD

נתון EM = BM:

xcos∢EMD = 2.5x · cos∢EMD

x = 2.5x · cos²∢EMD

cos²∢EMD = 12.5 = 0.4

cos∢EMD = √0.4 ≈ 0.6325

(הזווית חדה, ולכן לוקחים את השורש החיובי.)

∢EMD ≈ 50.77 מעלות

✅ פתרון סופי: ∢EMD ≈ 50.77 מעלות

(2) שטח הטרפז ABCD

DM = 6, ולכן AM = 2.5 · 6 = 15 ו־AD = AM + DM = 15 + 6 = 21.

במרובע BCDM: BC ∥ DM (כי BC ∥ AD) וגם CD ∥ BM (כי CD ∥ BE). לכן BCDM מקבילית:📐 משפטבמקבילית הצלעות הנגדיות שוות

BC = DM = 6

גובה הטרפז (h) הוא המרחק של B מהבסיס AD. נמצא קודם את BM במשולש ABM:

BM = AM · cos∢EMD📐 נוסחה: cos במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר

= 15 · √0.4 ≈ 9.487

נוריד גובה מ־B ל־AD. במשולש ישר הזווית שנוצר, BM הוא היתר והגובה הוא הניצב מול הזווית ∢EMD:

h = BM · sin∢EMD📐 נוסחה: sin במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר

sin²∢EMD = 1 − 0.4 = 0.6 📐 נוסחה: זהות יסודיתsin²x + cos²x = 1

⇐ sin∢EMD = √0.6

h = 15 · √0.4 · √0.6 = 15√0.24

= 3√6 ≈ 7.348

S = AD + BC2 · h = 21 + 62 · 3√6📐 נוסחה: שטח טרפזS = a + b2 · h

S = 13.5 · 3√6 = 40.5√6 ≈ 99.2

✅ פתרון סופי: S = 40.5√6 ≈ 99.2

סעיף ג – זיהוי גרפים ושטח

(1) התאמת הגרפים

שתי הפונקציות הן פולינומים ממעלה n + 1. נבדוק שלושה דברים: איפה הגרף חותך את ציר ה־x, מה קורה ב־x = 0, ומה קורה בקצוות.

נקודות חיתוך עם ציר ה־x:

f(x) = 0 ⇐ x = 0 או x = 1

g(x) = 0 ⇐ x = 0 או x = −1

לכן הגרף שחותך את ציר ה־x בנקודה חיובית (x = 1) הוא של f, והגרף שחותך בנקודה שלילית (x = −1) הוא של g.

הקצוות: הפולינום ממעלה n + 1 והמקדם המוביל הוא 1.

אם n אי־זוגי, המעלה n + 1 זוגית: הגרף עולה ל־+∞ בשני הקצוות (צורת "קערה"). אם n זוגי, המעלה אי־זוגית: משמאל הגרף יורד ל־−∞ ומימין עולה ל־+∞.

ב־x = 0: אם n זוגי, xⁿ ≥ 0 ולכן הגרף רק משיק לציר ב־x = 0 ולא מחליף סימן. אם n אי־זוגי, הסימן מתחלף ב־x = 0.

גרף I: שני הקצוות עולים, ויש "שקע" מתחת לציר מימין לראשית (בין 0 ל־1). זו f(x) עם n אי־זוגי.

גרף II: שני הקצוות עולים, ויש שקע מתחת לציר משמאל לראשית (בין −1 ל־0). זו g(x) עם n אי־זוגי.

גרף III: משמאל יורד ל־−∞, יש "גבעה" מעל הציר בין −1 ל־0, ובראשית הגרף משיק לציר. זו g(x) עם n זוגי.

גרף IV: משמאל יורד ל־−∞, משיק לציר בראשית מלמטה, וחותך את הציר ב־x = 1. זו f(x) עם n זוגי.

✅ פתרון סופי:
גרף I – f(x) כאשר n אי־זוגי
גרף II – g(x) כאשר n אי־זוגי
גרף III – g(x) כאשר n זוגי
גרף IV – f(x) כאשר n זוגי

(2) השטח עבור n = 2

עבור n = 2: g(x) = x²(x + 1) = x³ + x². נקודות החיתוך עם ציר ה־x: x = −1 ו־x = 0.

בתחום −1 ≤ x ≤ 0 מתקיים x² ≥ 0 וגם x + 1 ≥ 0, לכן הגרף מעל ציר ה־x. זה התחום היחיד שבו השטח סגור.

S = ∫₋₁⁰ (x³ + x²) dx📐 נוסחה: שטח מעל ציר ה־xS = ∫_a^b f(x) dx

= [x⁴4 + x³3]₋₁⁰📐 נוסחה: אינטגרל של חזקה∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + C

= 0 − (14 − 13)

= −(−112) = 112

✅ פתרון סופי: S = 112

סעיף ד – פונקציה צוברת שטח

(1) נקודות הקיצון של g

לפי המשפט היסודי: g′(x) = f(x). לכן נקודות הקיצון של g הן איפה ש־f מחליפה סימן.📐 משפטהמשפט היסודי של החשבון האינטגרלי – אם g(x) = ∫_a^x f(t) dt אז g′(x) = f(x)

נקרא את סימן f מהגרף (בתחום x ≥ 0):

0 < x < 1: הגרף מתחת לציר, f < 0, ולכן g יורדת.

1 < x < 2.7: f > 0, g עולה.

2.7 < x < 4.5: f > 0 (ב־x = 2.7 הגרף רק משיק לציר), g ממשיכה לעלות.

x > 4.5: f < 0, g יורדת.

מסקנה: ב־x = 0 (קצה התחום) g מתחילה לרדת, לכן זו נקודת מקסימום קצה. ב־x = 1 מינימום (ירידה ואז עלייה). ב־x = 2.7 אין קיצון (g עולה משני הצדדים). ב־x = 4.5 מקסימום (עלייה ואז ירידה).

✅ פתרון סופי: מקסימום קצה ב־x = 0, מינימום ב־x = 1, מקסימום ב־x = 4.5

(2) השטח בתחום 0 ≤ x ≤ 4.5

נסמן ב־S₁ את השטח בתחום 0 ≤ x ≤ 1 (מתחת לציר) וב־S₃ את השטח בתחום 2.7 ≤ x ≤ 4.5 (מעל הציר).

כשהגרף מתחת לציר ה־x, האינטגרל שווה למינוס השטח. כשהגרף מעל הציר, האינטגרל שווה לשטח.📐 משפטאינטגרל ושטח

g(2.7) = ∫₀^2.7 f(t) dt = −S₁ + S

−S₁ + S = 0 ⇐ S₁ = S

g(4.5) = ∫₀^4.5 f(t) dt

= −S₁ + S + S₃

−S + S + S₃ = 3S ⇐ S₃ = 3S

השטח הכולל בתחום 0 ≤ x ≤ 4.5 הוא סכום כל השטחים (כולם חיוביים):

S₁ + S + S₃ = S + S + 3S = 5S

✅ פתרון סופי: 5S

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	הוכחה
סעיף ב (1)	∢EMD ≈ 50.77 מעלות
סעיף ב (2)	S = 40.5√6 ≈ 99.2
סעיף ג (1)	גרף I: f(x) כאשר n אי־זוגי גרף II: g(x) כאשר n אי־זוגי גרף III: g(x) כאשר n זוגי גרף IV: f(x) כאשר n זוגי
סעיף ג (2)	112
סעיף ד (1)	מקסימום קצה: x = 0 מינימום: x = 1 מקסימום: x = 4.5
סעיף ד (2)	5S

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 91 – חקירה עם n זוגי ואי־זוגי (שאלה קצרה, בגרות 2025 מועד ב)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד.

א. (1) הוכיחו באינדוקצייה מתמטית, או בכל דרך אחרת, כי לכל n טבעי מתקיים:

2² + 4² + 6² + … + (2n)²= 2n(n + 1)(2n + 1)3

(2) חשבו את הערך של הסכום: 4² + 6² + 8² + … + 100².

ב. בסרטוט שלפניכם טרפז ABCD (AB ∥ CD). הנקודה O היא מפגש אלכסוני הטרפז. נתון: ∢BAO = ∢CDO.

(1) הוכיחו כי הטרפז ABCD הוא שווה שוקיים.

הנקודה F נמצאת על הצלע BC כך שהקטע OF מקביל לבסיסי הטרפז. נתון כי אלכסוני הטרפז מאונכים זה לזה, BO = 3, DO = 4.

(2) מצאו את אורך הקטע OF.

ג. הפונקצייה f(x), פונקציית הנגזרת שלה f'(x) ופונקציית הנגזרת השנייה f"(x) מוגדרות לכל x. לפניכם שלושה גרפים I–III: אחד מתאר את f(x), אחד את f'(x) ואחד את f"(x). בכל גרף מופיעות כל נקודות הקיצון וכל נקודות החיתוך שלו עם ציר ה־x, ועל כל גרף כתובים שיעורי נקודת החיתוך עם ציר ה־y.

(1) התאימו לכל אחת מהפונקציות f(x) , f'(x) , f"(x) את הגרף המתאר אותה. נמקו.

(2) כמה נקודות פיתול יש לפונקצייה f(x)? נמקו.

שיעורי נקודת המקסימום של f(x) הם (a , 5).

(3) מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף f'(x), גרף f"(x), הישר x = a וציר ה־y.

ד. נתונה הפונקצייה f(x) = 2(x + 1)(x² + 2x)², המוגדרת בתחום x ≠ −2 , x ≠ 0.

(1) מצאו את תחומי החיוביות של f(x).

(2) קבעו איזה מן הגרפים I–IV מתאר את f(x). נמקו.

(3) חשבו את השטח הכלוא על ידי גרף f(x), ציר ה־x והישרים x = 1 ו־x = 4.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – הוכחה באינדוקצייה

שלב 1 – בדיקה בעבור n = 1:📐 אינדוקצייה מתמטית1. בדיקה בעבור n = 12. הנחה: נכון בעבור n = k3. הוכחה: נכון בעבור n = k + 1

2² = 4

2 · 1 · 2 · 33 = 123 = 4 ✓

שלב 2 – הנחה: נניח שהטענה נכונה בעבור n = k:

2² + 4² + … + (2k)²

= 2k(k + 1)(2k + 1)3

שלב 3 – נוכיח בעבור n = k + 1. צריך להראות:

2² + … + (2k + 2)²

= 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)3

נפריד את האיבר האחרון ונשתמש בהנחה:

2² + … + (2k)² + (2k + 2)²

= 2k(k + 1)(2k + 1)3 + 4(k

+ 1)²

נוציא גורם משותף 2(k + 1)3:

= 2(k + 1)3 · [k(2k + 1)

+ 6(k + 1)]

= 2(k + 1)3 · (2k² + 7k + 6)

נפרק לגורמים: 2k² + 7k + 6 = (k + 2)(2k + 3):

= 2(k + 1)(k + 2)(2k + 3)3 ✓

לפי עקרון האינדוקצייה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

סעיף א (2) – חישוב הסכום

האיבר האחרון 100² = (2 · 50)², ולכן זה הסכום בעבור n = 50 – בלי האיבר הראשון 2²:

2² + … + 100²📐 הנוסחה מסעיף א (1)2² + 4² + 6² + … + (2n)²= 2n(n + 1)(2n + 1)3

= 2 · 50 · 51 · 1013

= 5151003 = 171700

4² + … + 100²

= 171700 − 2²

= 171700 − 4 = 171696

✅ פתרון סופי: 171696

סעיף ב (1) – הטרפז שווה שוקיים

נתון AB ∥ CD, ולכן זוויות מתחלפות שוות:📐 זוויות מתחלפות בין ישרים מקביליםשוות זו לזו

∢BAO = ∢OCD

∢ABO = ∢ODC

נתון ∢BAO = ∢CDO. לכן ארבע הזוויות שוות:

∢OCD = ∢ODC

∢OAB = ∢OBA

במשולש OCD ובמשולש OAB:📐 במשולש מול זוויות שוותמונחות צלעות שוות

OC = OD

OA = OB

AC = AO + OC = BO + OD

= BD

נשווה את המשולשים ACD ו־BDC:📐 חפיפת משולשים (צ.ז.צ)שתי צלעות והזווית שביניהן

AC = BD , CD = DC

∢ACD = ∢BDC

△ACD ≅ △BDC

לכן AD = BC (צלעות מתאימות) – הטרפז שווה שוקיים.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

סעיף ב (2) – אורך OF

לפי סעיף ב (1): AO = BO = 3, CO = DO = 4.

האלכסונים מאונכים, ולכן המשולש DOC ישר־זווית:

DC² = 4² + 4² = 32📐 משפט פיתגורסc² = a² + b²

DC = √32 = 4√2

BD = BO + OD = 3 + 4 = 7

במשולש BDC: OF ∥ DC, ולכן △BOF ∼ △BDC:📐 משולשים דומיםOFDC = BOBD

OF4√2 = 37

OF = 12√27 ≈ 2.42

✅ פתרון סופי: OF = 12√27 ≈ 2.42

סעיף ג (1) – התאמת הגרפים

נשתמש בקשר: במקום שבו לפונקצייה יש קיצון – הנגזרת שלה מתאפסת (ומחליפה סימן).

• בגרף II יש מקסימום ב־x > 0, ונקודה עם משיק אופקי על ציר ה־x ב־x < 0.

• גרף III מתאפס בדיוק בשני המקומות האלה: נוגע בציר ב־x < 0 וחותך אותו (מחיובי לשלילי) ב־x > 0 – בדיוק במקום המקסימום של II. לכן III היא הנגזרת של II.

• גרף I מתאפס בשלושה מקומות – בדיוק במקומות נקודות הקיצון של III. לכן I היא הנגזרת של III.

✅ פתרון סופי: f(x) – II , f'(x) – III , f"(x) – I

סעיף ג (2) – מספר נקודות הפיתול

בנקודת פיתול f" מתאפסת ומחליפה סימן.📐 נקודת פיתולf"(x) = 0 + החלפת סימן

גרף I (f") חותך את ציר ה־x בשלוש נקודות, ובכל אחת מהן מחליף סימן.

(באותו אופן: לגרף III, f', יש שלוש נקודות קיצון.)

✅ פתרון סופי: 3 נקודות פיתול

סעיף ג (3) – השטח בין f′ ל־f″

בתחום 0 ≤ x ≤ a: גרף f' (III) מעל ציר ה־x – יורד מ־2 עד 0 ב־x = a. גרף f" (I) מתחת לציר ה־x בתחום הזה (הוא עובר דרך (0 , −2), והאפס הבא שלו נמצא מימין ל־a). לכן f' מעל f".

S = ∫a0(f'(x) − f"(x)) dx📐 שטח בין שני גרפיםהשטח = האינטגרל של (הגרף העליון פחות הגרף התחתון)

פונקציה קדומה של f' היא f, ושל f" היא f':📐 פונקציה קדומה∫f'(x) dx = f(x) + C

S = [f(x) − f'(x)]₀^a

= (f(a) − f'(a)) − (f(0)

− f'(0))

נציב: f(a) = 5 (המקסימום), f'(a) = 0 (בקיצון), f(0) = 4 (חיתוך II עם ציר ה־y), f'(0) = 2 (חיתוך III):

S = (5 − 0) − (4 − 2)

S = 5 − 2 = 3

✅ פתרון סופי: 3

סעיף ד (1) – תחומי חיוביות

המכנה (x² + 2x)² הוא ריבוע, ולכן חיובי בכל תחום ההגדרה. הסימן של f הוא הסימן של המונה:

2(x + 1) > 0

x > −1

בלי x = 0 (לא בתחום):

✅ פתרון סופי: −1 < x < 0 , x > 0

סעיף ד (2) – איזה גרף

• x < −1: f < 0 (מתחת לציר), ו־x > −1: f > 0. חיתוך עם ציר ה־x רק ב־x = −1.

• ליד x = −2: המונה שואף ל־−2 והמכנה ל־0⁺, ולכן f → −∞ משני הצדדים.

• ליד x = 0: המונה שואף ל־2, ולכן f → +∞ משני הצדדים.

• כאשר x → ±∞: החזקה במכנה גבוהה יותר, ולכן f → 0.

רק בגרף III: משמאל מתחת לציר, יורד ל־−∞ משני צדי הקו המקווקו, חותך את הציר ועולה ל־+∞ משני צדי ציר ה־y.

✅ פתרון סופי: גרף III

סעיף ד (3) – השטח

נשים לב שהמונה הוא הנגזרת של הביטוי שבתוך הריבוע:

(x² + 2x)' = 2x + 2

= 2(x + 1)

∫2(x + 1)(x² + 2x)² dx📐 אינטגרל עם נגזרת פנימית∫uⁿ · u' dx = uⁿ⁺¹n + 1 + C

= (x² + 2x)⁻¹−1

= −1x² + 2x + C

בתחום 1 ≤ x ≤ 4 הפונקצייה חיובית (סעיף ד (1)), ולכן:

S = [−1x² + 2x]₁⁴

S = −116 + 8 + 11 + 2

S = −124 + 824 = 724

≈ 0.292

✅ פתרון סופי: 724

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א (2)	171696
ב (2)	OF = 12√27
ג (1)	f – II, f′ – III, f″ – I
ג (2)	3 נקודות פיתול
ג (3)	3
ד (1)	−1 < x < 0, x > 0
ד (2)	גרף III
ד (3)	724

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 79 – קשר בין הפונקציות, שאלה קצרה 2025

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 37 – אינטגרל עם זיהוי נגזרת פנימית

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2025, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

בשאלה זו ענו על שניים מן הסעיפים א–ד (לכל סעיף 10 נקודות). בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. נתון השוויון:

8 + 24 + 48 + … + n(n + 2) = n(n + a)(n + 4)6

עבור n טבעי זוגי. a הוא פרמטר.

(1) מצאו את הערך של a.

(2) בעבור הערך של a שמצאתם, הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי השוויון הנתון מתקיים לכל n טבעי זוגי.

ב. כל המועמדים ללימודים באוניברסיטה נבחנים בשני מבחנים. נמצא כי מספר המועמדים שהצליחו רק במבחן הראשון קטן פי 4 ממספר המועמדים שהצליחו בשני המבחנים. 89 מן המועמדים שהצליחו במבחן השני, הצליחו גם במבחן הראשון. נסמן ב־p את ההסתברות לבחור באקראי מועמד שהצליח רק במבחן הראשון.

(1) הביעו באמצעות p את ההסתברות לבחור באקראי מועמד שהצליח לפחות במבחן אחד.

(2) ידוע שנבחר באקראי מועמד שהצליח לפחות במבחן אחד. מהי ההסתברות שהמועמד שנבחר הצליח בשני המבחנים?

ג. נתונות הפונקציות: f(x) = x√x² − 1 , g(x) = √xx² − 1 , h(x) = √xx² − 1.

(1) מצאו את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות f(x) , g(x) , h(x).

(2) לפניכם חמישה גרפים. שלושה מהם מתארים את הפונקציות. קבעו איזה גרף מתאר כל פונקציה. נמקו את קביעתכם.

ד. הפונקציה f(x) והפונקציה f′(x) מוגדרות לכל x. הפונקציה f(x) היא אי־זוגית, ויש לה נקודת מינימום אחת בלבד: (3 , −6). לגרף f(x) ולגרף f′(x) יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה y = 0. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x).

(1) סרטטו סקיצה אפשרית של גרף פונקציית הנגזרת f′(x).

נתונה הפונקציה g(x) = f²(x) · f′(x).

(2) מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x.

(3) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – אינדוקציה על המספרים הזוגיים

(1) הערך של a

השוויון מתקיים לכל n זוגי, ובפרט עבור n = 2. בצד שמאל יש אז רק האיבר הראשון, 2 · 4 = 8:

8 = 2(2 + a)(2 + 4)6

8 = 2(2 + a)

2 + a = 4 ⇐ a = 2

✅ פתרון סופי: a = 2

(2) ההוכחה

עם a = 2 השוויון הוא 8 + 24 + 48 + … + n(n + 2) =
= n(n + 2)(n + 4)6. כאן n רץ רק על המספרים הזוגיים, ולכן באינדוקציה עוברים מ־n = k ל־n = k + 2.

שלב 1 – בדיקה עבור n = 2:📐 שיטהשיטה: הוכחה באינדוקציה – בדיקה עבור הערך הראשון, הנחה עבור k, הוכחה עבור האיבר הבא (כאן k + 2)

אגף שמאל: 2 · 4 = 8

אגף ימין: 2 · 4 · 66 = 8

שלב 2 – הנחה: עבור k זוגי מסוים:

8 + 24 + … + k(k + 2)

= k(k + 2)(k + 4)6

שלב 3 – נוכיח עבור n = k + 2. האיבר הבא בסכום הוא (k + 2)(k + 4). צריך להוכיח:

8 + … + k(k + 2) + (k + 2)(k

+ 4) = (k + 2)(k + 4)(k + 6)6

נשתמש בהנחה:

אגף שמאל = k(k + 2)(k + 4)6 + (k

+ 2)(k + 4)

נוציא גורם משותף (k + 2)(k + 4):

= (k + 2)(k + 4) · (k6 + 1)

= (k + 2)(k + 4) · k + 66

= (k + 2)(k + 4)(k + 6)6 = אגף ימין

לפי עקרון האינדוקציה, השוויון נכון לכל n טבעי זוגי.

✅ פתרון סופי: השוויון הוכח לכל n טבעי זוגי.

סעיף ב – הסתברות

(1) לפחות מבחן אחד

נסמן: A – הצליח במבחן הראשון, B – הצליח במבחן השני.

P(A ∩ B′) = p

מספר המצליחים רק בראשון קטן פי 4 ממספר המצליחים בשניהם, ולכן:

P(A ∩ B) = 4p

P(A|B) = P(A ∩ B)P(B) = 89📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

4pP(B) = 89 ⇐ P(B) = 9 · 4p8 = 4.5p

P(A′ ∩ B) = P(B) − P(A ∩ B)

= 4.5p − 4p = 0.5p

	הצליח בשני	לא הצליח בשני
הצליח בראשון	4p	p
לא הצליח בראשון	0.5p

"לפחות במבחן אחד" = רק בראשון, או רק בשני, או בשניהם:

P(A ∪ B) = p + 0.5p + 4p = 5.5p

✅ פתרון סופי: 5.5p

(2) בשני המבחנים, בידיעה שהצליח לפחות באחד

P(A ∩ B | A ∪ B) = P(A ∩ B)P(A ∪ B)📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(A|B) = P(A ∩ B)P(B)

(המאורע "הצליח בשניהם" כלול במאורע "הצליח לפחות באחד", ולכן החיתוך שלהם הוא "בשניהם".)

= 4p5.5p = 811 ≈ 0.727

✅ פתרון סופי: 811

סעיף ג – תחומי הגדרה וזיהוי גרפים

(1) תחומי הגדרה

f(x): השורש במכנה – הביטוי בתוכו חייב להיות חיובי (גדול מ־0, כי במכנה אסור 0):

x² − 1 > 0 ⇐ x < −1 או x > 1

g(x): השורש במונה – x ≥ 0; המכנה – x² − 1 ≠ 0, כלומר x ≠ ±1:

x ≥ 0 , x ≠ 1

h(x): הביטוי בתוך השורש חייב להיות אי־שלילי, והמכנה שונה מ־0:

x(x − 1)(x + 1) ≥ 0

טבלת סימנים לפי הנקודות −1 , 0 , 1: בתחום x < −1 – שלילי; −1 < x < 0 – חיובי; 0 < x < 1 – שלילי; x > 1 – חיובי; ב־x = 0 הביטוי שווה ל־0.

−1 < x ≤ 0 או x > 1

✅ פתרון סופי: f: x < −1 , x > 1
g: x ≥ 0 , x ≠ 1
h: −1 < x ≤ 0 , x > 1

(2) התאמת הגרפים

f(x) מוגדרת רק ב־x < −1 וב־x > 1, ואין לה ערכים בין −1 ל־1. סימן f כסימן x: משמאל שלילית ומימין חיובית. רק בגרף 3 יש שני ענפים מחוץ לקטע [−1 , 1], אחד מתחת לציר ואחד מעליו. לכן f – גרף 3.

g(x) מוגדרת רק ב־x ≥ 0, עוברת בראשית (g(0) = 0), שלילית בתחום 0 < x < 1 (המכנה שלילי) וחיובית ב־x > 1. רק גרף 1 מתחיל בראשית, יורד מתחת לציר עד האסימפטוטה ונמצא מעל הציר מימין לה. לכן g – גרף 1.

h(x) היא שורש, ולכן תמיד h ≥ 0; היא מוגדרת ב־−1 < x ≤ 0 (עוברת בראשית) וב־x > 1. רק בגרף 5 שני הענפים מעל הציר: אחד בין −1 לראשית ואחד מימין ל־1. לכן h – גרף 5.

✅ פתרון סופי: f(x) – גרף 3
g(x) – גרף 1
h(x) – גרף 5

סעיף ד – הנגזרת והפונקציה g

(1) סקיצה של f′

f אי־זוגית עם מינימום יחיד (3 , −6), ולכן יש לה גם מקסימום יחיד (−3 , 6) (סימטרייה ביחס לראשית).

מהגרף: f עולה ב־x < −3, יורדת ב־−3 < x < 3 ועולה ב־x > 3. לכן f′ > 0 ב־x < −3 וב־x > 3, f′ < 0 ב־−3 < x < 3, ו־f′(±3) = 0.

f אי־זוגית, ולכן f′ זוגית – הגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה־y.📐 משפטנגזרת של פונקציה אי־זוגית היא פונקציה זוגית

לגרף f′ אסימפטוטה y = 0: בקצוות הוא מתקרב לציר מלמעלה (כי שם f′ > 0).

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

(2) נקודות החיתוך של g עם ציר ה־x

g(x) = f²(x) · f′(x) = 0

מכפלה שווה ל־0 כשאחד הגורמים שווה ל־0:

f(x) = 0: מהגרף, f חותכת את ציר ה־x רק בראשית: x = 0.

f′(x) = 0: בנקודות הקיצון בלבד: x = 3 ו־x = −3.

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (3 , 0) , (−3 , 0)

(3) השטח

נבדוק את סימן g: f² ≥ 0 תמיד, ולכן סימן g כסימן f′. בתחום −3 < x < 3: f′ < 0, ולכן הגרף של g מתחת לציר. מחוץ לתחום הזה הגרף מעל הציר אבל לא סוגר שטח (הוא רק מתקרב לציר).

∫f²(x) · f′(x) dx = f³(x)3 + C📐 נוסחה: אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית∫[f(x)]ⁿ · f′(x) dx =
= [f(x)]ⁿ⁺¹n + 1 + C

השטח מתחת לציר שווה למינוס האינטגרל:

S = −∫₋₃³ g(x) dx = −[f³(x)3]₋₃³

נציב f(3) = −6 ו־f(−3) = 6:

S = −((−6)³3 − 6³3)

= −(−2163 − 2163)

= −(−72 − 72) = 144

✅ פתרון סופי: S = 144

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)	a = 2
סעיף א (2)	הוכחה
סעיף ב (1)	5.5p
סעיף ב (2)	811
סעיף ג (1)	f: x < −1 , x > 1 g: x ≥ 0 , x ≠ 1 h: −1 < x ≤ 0 , x > 1
סעיף ג (2)	גרף 3 – f(x) גרף 1 – g(x) גרף 5 – h(x)
סעיף ד (1)	סקיצה
סעיף ד (2)	(0 , 0) , (±3 , 0)
סעיף ד (3)	144

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

בשאלה זו ענו על שניים מן הסעיפים א–ד. בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. (1) הוכיחו באינדוקצייה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל n טבעי.

11 · 2 + 12 · 3 + … + 1n(n + 1) = nn + 1

(2) האם הביטוי 1 · 2 + 2 · 3 + … + n(n + 1) שווה ל־n + 1n בעבור כל n טבעי? נמקו את תשובתכם.

ב. המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O.

נסמן: ∢ACB = t , 0 < t < 90.

(1) הביעו באמצעות t את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את משולש ABC ובין רדיוס המעגל החוסם את משולש AOB.

נתון כי היחס שהבעתם בתת־סעיף (1) שווה ל־√2, וכי הצלע CB משיקה למעגל החוסם את משולש AOB.

(2) הוכיחו כי מרכז המעגל O נמצא על הצלע AC.

ג. נתון כי הפונקציה f(x) היא פונקציה אי־זוגית ורציפה המוגדרת לכל x.

לפונקציה f(x) יש נקודת מינימום אחת בלבד ובה x = −12.

אחת מנקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x היא בנקודה (1 , 0).

(1) סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x).

נתון כי הפונקציה g(x) היא פונקציה זוגית המוגדרת לכל x.

פונקציית הנגזרת g′(x) מקיימת g′(x) = −f(x).

נתון: g(1) = 2.

(2) מצאו את שיעורי נקודות המינימום של הפונקציה g(x).

(3) לפניכם שני היגדים I–II. קבעו בעבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם.

I. שיעור ה־y של נקודת המקסימום של הפונקציה g(x) הוא בין 0 ל־2.

II. הפונקציה g(x) חיובית לכל x.

ד. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x) המוגדרת לכל x.

אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקציה f(x).

(1) קבעו איזה מן הביטויים מייצג את הפונקציה f(x). נמקו את קביעתכם.

I. f(x) = x(x − 4)(x + 6)

II. f(x) = x(x − 1)(x + 3)(x + 6)

III. f(x) = (x − 4)(x − 1)(x + 3)(x + 6)

IV. f(x) = (x − 4)(x + 1)(x + 3)(x + 6)

נתונה הפונקציה g(x) = √f(x).

(2) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).

(3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

נתון: ∫74 g(x) dx = k.

(4) הביעו באמצעות k את הערך של ∫85 [2 · g(x − 1) + 1] dx.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – הוכחה באינדוקצייה

בדיקה עבור n = 1:

11 · 2 = 12📐 אינדוקצייה מתמטית1. בדיקה עבור n = 1
2. הנחה: נכון עבור n = k
3. הוכחה עבור n = k + 1

11 + 1 = 12 ✓

הנחה: נניח שהשוויון נכון עבור n = k:

11 · 2 + … + 1k(k + 1) = kk + 1

צריך להוכיח עבור n = k + 1:

11 · 2 + … + 1(k + 1)(k + 2)

= k + 1k + 2

נשתמש בהנחה ונוסיף את האיבר הבא:

kk + 1 + 1(k + 1)(k + 2)

= k(k + 2) + 1(k + 1)(k + 2) = k² + 2k + 1(k + 1)(k + 2)

= (k + 1)²(k + 1)(k + 2) = k + 1k + 2 ✓📐 נוסחת הכפל המקוצר(a + b)² = a² + 2ab + b²

לכן השוויון נכון לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף א (2) – האם הביטוי שווה ל־(n+1)/n?

נבדוק עבור n = 2:

1 · 2 + 2 · 3 = 2 + 6 = 8

2 + 12 = 1.5 ≠ 8

מספיק מקרה אחד שבו השוויון לא מתקיים. (ההופכי של סכום אינו סכום ההופכיים – אי אפשר "להפוך" את השוויון מ־(1).)

✅ פתרון סופי: לא

סעיף ב (1) – יחס הרדיוסים

נסמן ב־R את רדיוס המעגל החוסם את ABC. משפט הסינוסים במשולש ABC (AB מול C):

AB = 2R sin t📐 משפט הסינוסיםasin∢A = 2R

∢AOB זווית מרכזית הנשענת על אותה קשת כמו ∢ACB, ולכן ∢AOB = 2t.📐 זווית מרכזיתשווה לפעמיים זווית היקפית הנשענת על אותה קשת

משפט הסינוסים במשולש AOB (רדיוס חוסם R₁):

2R₁ = ABsin 2t = 2R sin t2 sin t cos t📐 סינוס של זווית כפולהsin 2t = 2 sin t cos t

R₁ = R2cos t

RR₁ = 2cos t

✅ פתרון סופי: RR₁ = 2cos t

סעיף ב (2) – O על AC

2cos t = √2

cos t = √22

t = 45

∢AOB = 2t = 90

במעגל החוסם את AOB: הזווית ההיקפית ∢AOB = 90, ולכן AB קוטר של המעגל הזה.📐 זווית היקפיתזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר

CB משיק למעגל הזה בנקודה B, ולכן הוא מאונך לקוטר AB בנקודת ההשקה: ∢ABC = 90.📐 משיק למעגלהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

במעגל המקורי, ∢ABC היא זווית היקפית של 90, ולכן AC קוטר – כלומר המרכז O על AC.📐 זווית היקפיתזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר

הסרטוט (בקנה מידה): המעגל החוסם את AOB בירוק מקווקו, CB בתכלת:

✅ פתרון סופי: הוכח: O על AC

סעיף ג (1) – סקיצה של f

פונקציה אי־זוגית סימטרית לראשית: f(−x) = −f(x). לכן:

• f(0) = 0, ו־f(1) = 0 נותן גם f(−1) = 0.📐 פונקציה אי־זוגיתf(−x) = −f(x)

• המינימום ב־x = −12 נותן מקסימום ב־x = 12 (אחד בלבד – אחרת היה עוד מינימום).

• לכן: יורדת עד x = −12, עולה עד x = 12, ושוב יורדת. חיובית ב־x < −1 וב־0 < x < 1, שלילית ב־−1 < x < 0 וב־x > 1.

✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ג (2) – נקודות המינימום של g

g′ = −f, ולכן g′ = 0 כאשר x = −1 , 0 , 1, והסימן של g′ הפוך לסימן של f:

x	x < −1	−1	−1 < x < 0	0	0 < x < 1	1	x > 1
g′	−	0	+	0	−	0	+
g	↘	מינ׳	↗	מקס׳	↘	מינ׳	↗

g(1) = 2, ו־g זוגית, ולכן גם g(−1) = 2.

✅ פתרון סופי: מינימום (1 , 2) , (−1 , 2)

סעיף ג (3) – ההיגדים

I. בתחום −1 < x < 0 g עולה, ולכן g(0) > g(−1) = 2. המקסימום גדול מ־2 – ההיגד לא נכון.

II. לפי הטבלה, הערך הקטן ביותר של g הוא בנקודות המינימום, 2 (משמאל ל־−1 g יורדת אל הנקודה, ומימין ל־1 עולה ממנה). לכן g(x) ≥ 2 > 0 – ההיגד נכון.

הסקיצה של g (אפשרית):

✅ פתרון סופי: I – לא נכון ; II – נכון

סעיף ד (1) – איזה ביטוי

מהגרף: ארבע נקודות חיתוך עם ציר ה־x – שתיים שליליות ושתיים חיוביות; הגרף לא עובר בראשית; החיתוך עם ציר ה־y חיובי; ובשני הקצוות הגרף עולה.

• I – פולינום ממעלה 3 עם 3 שורשים בלבד: נפסל.

• II – יש שורש x = 0, הגרף היה עובר בראשית: נפסל.

• IV – שורשים 4 , −1 , −3 , −6: שלושה שליליים: נפסל.

• III – שורשים 4 , 1 (חיוביים) ו־−3 , −6 (שליליים), ו־:

f(0) = (−4)(−1)(3)(6) = 72 > 0 ✓

✅ פתרון סופי: ביטוי III

סעיף ד (2) – תחום ההגדרה של g

f(x) ≥ 0📐 תנאי לשורש√A : A ≥ 0

לפי הגרף (וסימני הגורמים), f אי־שלילית מחוץ לשורשים הקיצוניים ובין שני השורשים האמצעיים:

✅ פתרון סופי: x ≤ −6 או −3 ≤ x ≤ 1 או x ≥ 4

סעיף ד (3) – סקיצה של g

g אי־שלילית, מתאפסת בשורשים −6 , −3 , 1 , 4, ועולה ומתרחקת בקצוות. בין −3 ל־1 יש "קשת" (שם f חיובית ומגיעה למקסימום). הגרף בקנה מידה:

✅ פתרון סופי: ראו סקיצה

סעיף ד (4) – האינטגרל

נפצל לשני אינטגרלים:

∫85 [2g(x − 1) + 1] dx

= 2∫85 g(x − 1) dx + ∫85 1 dx

הגרף של g(x − 1) הוא הגרף של g מוזז ימינה ב־1. לכן השטח בין 5 ל־8 שלו שווה לשטח של g בין 4 ל־7:

∫85 g(x − 1) dx = ∫74 g(x) dx = k📐 הזזה אופקיתg(x − c) – הזזה של הגרף ימינה ב־c

∫85 1 dx = 8 − 5 = 3

= 2k + 3

✅ פתרון סופי: 2k + 3

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)	הוכח
סעיף א (2)	לא
סעיף ב (1)	RR₁ = 2cos t
סעיף ב (2)	הוכח: O על AC
סעיף ג (1)	סקיצה
סעיף ג (2)	מינימום (1 , 2) , (−1 , 2)
סעיף ג (3)	I – לא נכון ; II – נכון
סעיף ד (1)	ביטוי III
סעיף ד (2)	x ≤ −6 או −3 ≤ x ≤ 1 או x ≥ 4
סעיף ד (3)	סקיצה
סעיף ד (4)	2k + 3

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 39 – הקשר בין הפונקציה לנגזרת

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

בשאלה זו ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד. בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל n טבעי:

4 + 13 + … + 5n² + 3n2 =
= n(n + 1)(5n + 7)6

ב. נתונות הפונקציות f(x) , f′(x) ו־f″(x), המוגדרות לכל x ≠ 0. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה f″(x). לגרף הפונקציה f″(x) יש שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה־x, ושיעוריהן הם (a , 0) , (b , 0) , (d , 0). הנקודה (c , e) היא נקודת הקיצון של הפונקציה f″(x).

(1) הביעו באמצעות a , b , c , d , e, אם יש צורך, את תחומי העלייה והירידה של פונקציית הנגזרת f′(x).

נתונה הפונקציה h(x), המקיימת: h′(x) = f″(x) − e. הפונקציה h(x) מוגדרת לכל x ≠ 0.

(2) מצאו כמה נקודות קיצון וכמה נקודות פיתול יש לפונקציה h(x) (אם יש כאלה). נמקו את תשובתכם.

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של הפונקציה f(x) (פרבולה). לגרף הפונקציה f(x) יש שתי נקודות חיתוך עם ציר ה־x: (−5 , 0) ו־(5 , 0). הנקודה (0 , −3) היא נקודת המינימום של הפונקציה.

נתונות הפונקציות h(x) = |f(x)| + m ו־g(x) = |f(x) + m|. m הוא פרמטר, 0 < m < 2. בתשובותיכם השתמשו ב־m, אם יש צורך.

(1) מצאו את שיעורי נקודת המקסימום של הפונקציה g(x).

(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה h(x), וקבעו את סוגן.

(3) קבעו אם הטענות I ו־II שלפניכם נכונות. נמקו את קביעותיכם.

I. בעבור כל ערך של m בתחום 0 < m < 2, שתי הפונקציות h(x) ו־g(x) חיוביות לכל x.

II. בעבור כל ערך של m בתחום 0 < m < 2, הישר y = m + 12 חותך את גרף הפונקציה h(x) ואת גרף הפונקציה g(x) בשלוש נקודות בדיוק.

ד. המרובע ABCD חסום במעגל. AD הוא קוטר במעגל. F היא נקודה על המשך הצלע CB, כך ש־FB ⊥ FA (ראו סרטוט).

(1) הוכיחו: △ACD ∼ △AFB.

נתון: ∢BDA = 24 מעלות. (2) מצאו את היחס בין שטח המשולש ACD ובין שטח המשולש AFB.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

האיבר הכללי: a_k = 5k² + 3k2. בדיקה: a₁ = 82 = 4, a₂ = 262 = 13.

שלב 1 – בדיקה עבור n = 1:📐 שיטהשיטה: הוכחה באינדוקציה – בדיקה עבור n = 1, הנחה עבור n = k, הוכחה עבור n = k + 1

אגף שמאל: 4

אגף ימין: 1 · 2 · 126 = 4

שלב 2 – הנחה עבור n = k:

4 + 13 + … + 5k² + 3k2

= k(k + 1)(5k + 7)6

שלב 3 – נוכיח עבור n = k + 1. האיבר הבא:

5(k + 1)² + 3(k + 1)2

= (k + 1)(5k + 5 + 3)2

= (k + 1)(5k + 8)2

צריך להוכיח שהסכום שווה ל־(k + 1)(k + 2)(5k + 12)6. לפי ההנחה:

אגף שמאל = k(k + 1)(5k + 7)6

+ (k + 1)(5k + 8)2

מכנה משותף 6 וגורם משותף (k + 1):

= (k + 1)[k(5k + 7) + 3(5k + 8)]6

= (k + 1)(5k² + 22k + 24)6

נפרק את הטרינום: 5k² + 22k + 24 = (k + 2)(5k + 12) (בדיקה: 5k² + 12k + 10k + 24).

= (k + 1)(k + 2)(5k + 12)6

= אגף ימין

(אגף ימין עבור n = k + 1: 5(k + 1) + 7 = 5k + 12.) לפי עקרון האינדוקציה, השוויון נכון לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: השוויון הוכח לכל n טבעי.

סעיף ב – גרף הנגזרת השנייה

(1) עלייה וירידה של f′

f′ עולה כאשר f″ > 0, ויורדת כאשר f″ < 0.📐 משפטקשר בין פונקציה לנגזרת שלה – הנגזרת של f′ היא f″

מהגרף: f″ > 0 (הגרף מעל ציר ה־x) כאשר x < a וכאשר b < x < d. f″ < 0 כאשר a < x < 0, 0 < x < b וכאשר x > d.

✅ פתרון סופי: עלייה: x < a , b < x < d
ירידה: a < x < 0 , 0 < x < b , x > d

(2) קיצון ופיתול של h

נקודות קיצון של h: צריך ש־h′ = f″ − e יתאפס ויחליף סימן, כלומר נקודות שבהן גרף f″ חוצה את הישר y = e.

בענף הימני (x > 0) הערך הגדול ביותר של f″ הוא e (בנקודה x = c). שם f″ − e ≤ 0 משני הצדדים – הישר רק "נוגע", אין החלפת סימן, ולכן אין קיצון ב־x = c.

בענף השמאלי f″ יורדת מ־+∞ ל־−∞ (עוברת דרך (a , 0)), ולכן היא חוצה את הישר y = e בדיוק פעם אחת (ב־x < a, כי e > 0). שם h′ עובר מחיובי לשלילי – יש נקודת קיצון אחת.

נקודות פיתול של h: h″ = f‴ – כלומר צריך נקודה שבה f″ מחליפה כיוון (קיצון של f″). רק ב־x = c: שם f″ עוברת מעלייה לירידה, ולכן h″ מחליפה סימן – נקודת פיתול אחת. בענף השמאלי f″ יורדת כל הזמן – אין שם פיתול.

✅ פתרון סופי: נקודת קיצון אחת ונקודת פיתול אחת

סעיף ג – ערך מוחלט של פרבולה

(1) מקסימום של g

f(x) + m היא הפרבולה מוזזת m יחידות למעלה: המינימום שלה (0 , m − 3). כי m < 2, מתקיים m − 3 < 0 – המינימום מתחת לציר ה־x.

סקיצה 1 – קודם הגרף של f (כחול) ושל f(x) + m (תכלת, מקווקו), לדוגמה m = 1:

מהסקיצה: בין שתי נקודות החיתוך של f(x) + m עם ציר ה־x הגרף מתחת לציר.

הערך המוחלט "הופך" את החלק שמתחת לציר: המינימום (0 , m − 3) הופך למקסימום (0 , 3 − m).📐 משפטגרף של |f(x)| – החלקים שמתחת לציר ה־x משתקפים מעליו

✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 3 − m)

(2) קיצון של h

לגרף |f(x)|: החלק שבין −5 ל־5 (מתחת לציר) משתקף למעלה, ולכן יש לו מקסימום (0 , 3) ומינימומים (±5 , 0) (נקודות "חדות" על הציר).

h(x) = |f(x)| + m – הזזה של m יחידות למעלה:

מקסימום: (0 , 3 + m)

מינימום: (5 , m) , (−5 , m)

סקיצה 2 – אחרי הערך המוחלט: h (כחול) ו־g (סגול), לדוגמה m = 1. את נקודות הקיצון קוראים מהגרף:

✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 3 + m)
מינימום (±5 , m)

(3) הטענות

טענה I: h(x) ≥ 0 + m > 0 לכל x – נכון עבור h. אבל g(x) = |f(x) + m| מתאפסת כאשר f(x) = −m; כי −3 < −m < 0 יש לכך פתרונות (שני ערכי x). שם g = 0, לא חיובית. לכן טענה I לא נכונה.

טענה II: לגרף h מינימומים בגובה m ומקסימום בגובה 3 + m. הישר y = m + 0.5 נמצא ביניהם, ולכן הוא חותך את גרף h בארבע נקודות (שתיים ליד כל מינימום). לכן טענה II לא נכונה.

✅ פתרון סופי: I לא נכונה; II לא נכונה

סעיף ד – מרובע חסום במעגל

(1) דמיון

∢ACD = 90 מעלות📐 משפטזווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

∢AFB = 90 מעלות (נתון)

∢ABF = ∢ADC📐 משפטבמרובע חסום במעגל, זווית חיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה – ∢ABF חיצונית למרובע ליד ∢ABC, ו־∢ADC מול ∢ABC

△ACD ∼ △AFB, בהתאמה A ↔ A , C ↔ F , D ↔ B.📐 משפטמשפט דמיון ז.ז.

✅ פתרון סופי: הוכח

(2) יחס השטחים

יחס הדמיון הוא יחס היתרים ADAB.

∢ABD = 90 מעלות📐 משפטזווית היקפית הנשענת על קוטר – AD קוטר

sin∢BDA = ABAD ⇐ ADAB = 1sin24📐 נוסחה: sin במשולש ישר זוויתsin = ניצב מול הזוויתיתר

S_ACDS_AFB = (ADAB)²📐 נוסחה: יחס שטחים של משולשים דומיםיחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון

= 1sin²24 ≈ 10.1654 ≈ 6.045

✅ פתרון סופי: S_ACDS_AFB ≈ 6.045

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	הוכחה
סעיף ב (1)	עלייה: x < a , b < x < d ירידה: a < x < 0 , 0 < x < b , x > d
סעיף ב (2)	קיצון אחד, פיתול אחד
סעיף ג (1)	מקסימום (0 , 3 − m)
סעיף ג (2)	מקסימום (0 , 3 + m) מינימום (±5 , m)
סעיף ג (3)	I ו־II לא נכונות
סעיף ד (1)	הוכחה
סעיף ד (2)	≈ 6.045

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 75 – מציאת פיתול בהינתן גרף הנגזרת

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2024, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

בשאלה זו ענו על שניים מארבעת הסעיפים א–ד. בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. הוכיחו באינדוקצייה או בדרך אחרת שלכל n טבעי זוגי מתקיים:

48 + 144 + 288 + … + 6n(n + 2) = n(n + 2)(n + 4)

ב. המרובע BCED חסום במעגל.

המשך המיתר BD והמשך המיתר CE נפגשים בנקודה A (ראו סרטוט).

המרובע BCED חסום במעגל – סרטוט מתוך השאלון

נתון: AD = CE , AE = 2CE.

(1) הוכיחו: △AED ∼ △ABC.

(2) מצאו את היחס ABAC.

(3) נתון: ∢DEC = 150 מעלות. האם BE הוא קוטר במעגל הנתון? נמקו.

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x). לפונקציה f(x) יש שתי אסימפטוטות המאונכות לציר ה־x ושתי אסימפטוטות המאונכות לציר ה־y.

אחד מן הביטויים I–IV שלפניכם מייצג את הפונקציה f(x).

I. f(x) = x√(x² + 16) II. f(x) = x√(x² − 16)

III. f(x) = x²√(x² + 16) IV. f(x) = x²√(x² − 16)

(1) קבעו איזה מן הביטויים I–IV מייצג את הפונקציה f(x). נמקו את קביעתכם.

לפונקציה g(x) יש אותו תחום הגדרה כמו לפונקציה f(x), והיא מקיימת g′(x) = f(x) + 53.

(2) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה g(x).

ד. בסרטוטים I ו־II שלפניכם מתוארים גרף הפונקציה f(x) וגרף פונקציית הנגזרת f′(x). בסרטוטים מסומנות כל נקודות הקיצון של הפונקציות.

(1) קבעו באיזה סרטוט מתואר גרף הפונקציה f(x). נמקו את קביעתכם.

(2) קבעו כמה נקודות פיתול יש לפונקציה f(x). נמקו את קביעתכם.

הנקודות A(x_A , 6) , B(x_B , 2) , C(x_C , y_C) הן נקודות הקיצון של הפונקציה f(x).

נתון כי השטח המקווקו בסרטוט I שווה ל־7.

(3) מצאו את y_C.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הוכחה באינדוקצייה (n זוגי)

מוכיחים לכל n זוגי, ולכן בודקים עבור n = 2 ומתקדמים בצעדים של 2 (מ־k ל־k + 2).

n = 2📐 אינדוקצייה עבור n זוגי1. בדיקה עבור n = 2
2. הנחה: נכון עבור n = k
3. הוכחה עבור n = k + 2

בדיקה עבור n = 2: בצד שמאל יש איבר אחד, 6 · 2 · 4 = 48. בצד ימין:

2 · (2 + 2) · (2 + 4)

= 2 · 4 · 6 = 48 ✓

הנחה: נניח שהשוויון נכון עבור n = k (k זוגי):

48 + 144 + … + 6k(k + 2)

= k(k + 2)(k + 4)

צריך להוכיח עבור n = k + 2: האיבר הבא הוא 6(k + 2)(k + 4):

48 + … + 6k(k + 2) + 6(k

+ 2)(k + 4)

= (k + 2)(k + 4)(k + 6)

נציב את ההנחה בצד שמאל:

k(k + 2)(k + 4) + 6(k + 2)(k

+ 4)

נוציא גורם משותף (k + 2)(k + 4):

= (k + 2)(k + 4)(k + 6) ✓

קיבלנו את צד ימין, ולכן השוויון נכון לכל n טבעי זוגי.

✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב (1) – דמיון המשולשים

∢A משותפת לשני המשולשים.📐 זווית משותפתזווית ששייכת לשני המשולשים

המרובע BCED חסום במעגל, ולכן הזווית החיצונית ∢AED שווה לזווית הפנימית שמולה, ∢ABC:📐 מרובע חסום במעגלזווית חיצונית שווה לזווית הפנימית שמולה

∢AED = ∢ABC

שתי זוויות שוות, ולכן המשולשים דומים:📐 משולשים דומיםמשפט דמיון ז.ז.

△AED ∼ △ABC

✅ פתרון סופי: הוכח: △AED ∼ △ABC

סעיף ב (2) – היחס AB : AC

נסמן CE = x. לפי הנתון:

AD = x , AE = 2x

AC = AE + EC = 2x + x = 3x

מהדמיון (הצלעות המתאימות: AE מול AB, AD מול AC):

AEAB = ADAC📐 יחס צלעות במשולשים דומיםaa′ = bb′

2xAB = x3x

AB · x = 6x²

AB = 6x

ABAC = 6x3x = 2

✅ פתרון סופי: ABAC = 2

סעיף ב (3) – האם BE קוטר?

∢AED = 180 − ∢DEC = 180 − 150

= 30

במשולש ADE: הצלע AD = x מול ∢AED, והצלע AE = 2x מול ∢ADE:

ADsin∢AED = AEsin∢ADE📐 משפט הסינוסיםasin∢A = bsin∢B

xsin30 = 2xsin∢ADE

sin∢ADE = 2x · sin30x = 2 · 0.5

= 1

∢ADE = 90

הנקודות A, D, B על ישר אחד, ולכן:

∢BDE = 180 − 90 = 90

הזווית ההיקפית ∢BDE שווה ל־90 מעלות, ולכן היא נשענת על קוטר: BE קוטר.📐 זווית היקפיתזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר

✅ פתרון סופי: כן, BE קוטר

סעיף ג (1) – איזה ביטוי מתאר את f

בגרף יש שתי אסימפטוטות אנכיות, והגרף לא מוגדר בין הענפים.

• I ו־III: x² + 16 > 0 לכל x – מוגדרות לכל x, אין אסימפטוטה אנכית. נפסלות.

• IV: הפונקציה זוגית (הגרף סימטרי לציר ה־y), אבל בגרף הענף השמאלי שלילי והימני חיובי. נפסלת.📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)

• II: התחום x² − 16 > 0, כלומר x < −4 או x > 4 – אסימפטוטות x = ±4.

II אי־זוגית: f(−x) = −f(x). עבור x > 4 היא חיובית ועבור x < −4 שלילית, ו־f(x) → ±1 בקצוות – שתי אסימפטוטות אופקיות y = 1 , y = −1, כמו בגרף.

✅ פתרון סופי: ביטוי II : f(x) = x√(x² − 16)

סעיף ג (2) – תחומי העלייה והירידה של g

g′(x) = 0📐 תנאי לנקודת קיצוןf′(x) = 0

x√(x² − 16) + 53 = 0

x√(x² − 16) = −53

הצד הימני שלילי, ולכן הפתרון רק עבור x < −4. נעלה בריבוע:

x²x² − 16 = 259

9x² = 25x² − 400

16x² = 400

x² = 25

x = −5

(x = 5 נפסל: שם f חיובית.) נבדוק את הסימן של g′ בכל תחום:

• x < −5: למשל x → −∞, f → −1, ולכן g′ → −1 + 53 > 0.

• −5 < x < −4: למשל x = −4.5: f(−4.5) ≈ −2.18, ולכן g′ < 0.

• x > 4: f > 0, ולכן g′ > 0.

x	x < −5	−5	−5 < x < −4	x > 4
g′	+	0	−	+
g	↗	מקס׳	↘	↗

✅ פתרון סופי: עלייה: x < −5 , x > 4
ירידה: −5 < x < −4

סעיף ד (1) – איזה סרטוט הוא f

בנקודות הקיצון של f הנגזרת מתאפסת. הגרף בסרטוט I חותך את ציר ה־x בדיוק בשיעורי ה־x של נקודות הקיצון A, B, C של הגרף בסרטוט II.📐 קיצון ונגזרתבנקודת קיצון f′(x) = 0

גם הסימנים מתאימים: איפה שגרף I חיובי, גרף II עולה, ואיפה שגרף I שלילי, גרף II יורד.

לעומת זאת, לגרף I יש נקודות קיצון שבהן גרף II לא חותך את ציר ה־x – ולכן I אינו f.

✅ פתרון סופי: סרטוט II מתאר את f(x)

סעיף ד (2) – מספר נקודות הפיתול של f

נקודת פיתול של f היא נקודה שבה f′ עוברת מעלייה לירידה או להפך – כלומר נקודת קיצון של גרף הנגזרת.📐 נקודת פיתולנקודת קיצון של f′ היא נקודת פיתול של f

בגרף הנגזרת (סרטוט I) יש 3 נקודות קיצון: מינימום בין x_A ל־x_B, מקסימום בין x_B ל־x_C, ומינימום מימין ל־x_C.

✅ פתרון סופי: 3 נקודות פיתול

סעיף ד (3) – הערך של y_C

השטח המקווקו בסרטוט I מורכב משני חלקים: מ־x_A עד x_B (מתחת לציר) ומ־x_B עד x_C (מעל לציר).

∫x_Bx_A f′(x) dx = f(x_B) − f(x_A)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

= 2 − 6 = −4

האינטגרל שלילי (מתחת לציר), ולכן השטח הראשון הוא 4. השטח השני:

S₂ = 7 − 4 = 3

∫x_Cx_B f′(x) dx = y_C − 2 = 3📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

y_C = 5

✅ פתרון סופי: y_C = 5

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	הוכח
סעיף ב (1)	הוכח: △AED ∼ △ABC
סעיף ב (2)	ABAC = 2
סעיף ב (3)	כן, BE קוטר
סעיף ג (1)	ביטוי II : f(x) = x√(x² − 16)
סעיף ג (2)	עלייה: x < −5 , x > 4 ירידה: −5 < x < −4
סעיף ד (1)	סרטוט II מתאר את f(x)
סעיף ד (2)	3 נקודות פיתול
סעיף ד (3)	y_C = 5

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 75 – מציאת נקודות פיתול בהינתן גרף הנגזרת

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. בסרטוט שלפניכם ABCD מקבילית. הנקודות E ו־F נמצאות על המשכי הצלע AB, כמתואר בסרטוט.

הקטע EC חותך את הצלע AD בנקודה G. הקטע FD חותך את הצלע BC בנקודה H.

נתון: GE = 5 , HF = 4.

(1) מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החוסם את המשולש HBF ובין רדיוס המעגל החוסם את המשולש GEA. נמקו את תשובתכם.

נתון גם: המרובע ABHD הוא בר־חסימה, BH = FH.

(2) הוכיחו כי המשולש HBF הוא משולש שווה צלעות.

סרטוט סעיף א: המקבילית ABCD והנקודות E, F, G, H

ב. ב־20% מן המשפחות בעיר יש בדיוק 2 ילדים. בוחרים באקראי 4 משפחות מן העיר.

לפניכם שלוש הסתברויות:

I – ההסתברות שבין 4 המשפחות שנבחרו מספר המשפחות שיש בהן בדיוק 2 ילדים גדול ממספר המשפחות שאין בהן בדיוק 2 ילדים.

II – ההסתברות שבין 4 המשפחות שנבחרו מספר המשפחות שיש בהן בדיוק 2 ילדים קטן ממספר המשפחות שאין בהן בדיוק 2 ילדים.

III – ההסתברות שבין 4 המשפחות שנבחרו יש לפחות משפחה אחת שיש בה בדיוק 2 ילדים ויש לפחות משפחה אחת שאין בה בדיוק 2 ילדים.

לפניכם שני ביטויים:

ביטוי 1: 1 − 0.2⁴ − 0.8⁴

ביטוי 2: 4 · 0.2³ · 0.8 + 0.2⁴

בעבור כל אחד מן הביטויים, קבעו איזו מן ההסתברויות I–III הוא מבטא. נמקו את קביעתכם.

ג. f(x) היא פונקציה. בסרטוט שלפניכם מוצגים שני גרפים: גרף I וגרף II. אחד הגרפים הוא של פונקציית הנגזרת f′(x), והגרף האחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת השנייה f′′(x).

(1) איזה גרף הוא של f′(x), ואיזה גרף הוא של f′′(x)? נמקו.

(2) הוכיחו שהשטח המוגבל על ידי גרף II ועל ידי ציר ה־x ברביע הרביעי (השטח המקווקו בסרטוט) שווה לשטח המוגבל על ידי גרף II, על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y ברביע הראשון (השטח המנוקד בסרטוט).

סרטוט סעיף ג: גרף I וגרף II

ד. במעגל שמרכזו O בונים סדרה אין־סופית של משולשים שווי שוקיים. זוויות הראש של המשולשים הן זוויות מרכזיות במעגל, ושוקי המשולשים הם רדיוסים במעגל.

זווית הראש של המשולש הראשון (AOB) היא x. זווית הראש של המשולש השני (BOC) היא x2, כמתואר בסרטוט. ממשיכים לבנות משולשים שווי שוקיים כך שזווית הראש של כל משולש נוסף בסדרה קטנה פי 2 מזווית הראש של המשולש שלפניו.

נתון: סכום כל זוויות הראש של כל המשולשים בסדרה הוא 240.

(1) מצאו את x.

(2) האם שטחי כל המשולשים האלה הם סדרה הנדסית? נמקו את תשובתכם.

(בשאלון זווית הראש של המשולש הראשון מסומנת באות יוונית; כאן סימנו אותה באות x.)

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – יחס הרדיוסים

נבטא את רדיוס כל מעגל חוסם לפי משפט הסינוסים.

במשולש HBF: הצלע HF נמצאת מול הזווית HBF:

HFsin∢HBF = 2R₁📐 משפט הסינוסיםasin A = 2R

R₁ = 42sin∢HBF

במשולש GEA: הצלע GE נמצאת מול הזווית GAE:

GEsin∢GAE = 2R₂📐 משפט הסינוסיםasin A = 2R

R₂ = 52sin∢GAE

נקשר בין הזוויות. AD ∥ BC (צלעות נגדיות במקבילית):

הזווית HBF שווה לזווית DAB (זוויות מתאימות).📐 ישרים מקביליםזוויות מתאימות שוות, זוויות מתחלפות שוות

הזווית GAE היא זווית צמודה לזווית DAB:

∢GAE = 180 − ∢DAB📐 זוויות צמודותסכומן 180

sin∢GAE = sin(180 − ∢DAB)📐 זוויות משלימותsin(180 − x) = sin x

= sin∢DAB

sin∢HBF = sin∢GAE

לכן:

R₁R₂ = 42sin∢HBF52sin∢GAE

= 45

✅ פתרון סופי: R_HBFR_GEA = 45

סעיף א (2) – המשולש HBF שווה צלעות

נסמן ∢DAB = x.

∢HBF = ∢DAB = x (זוויות מתאימות, AD ∥ BC).📐 ישרים מקביליםזוויות מתאימות שוות, זוויות מתחלפות שוות

ABHD מרובע חסום. הזווית HBF היא זווית חיצונית שלו בקודקוד B, והזווית הפנימית הנגדית לה היא ADH:📐 מרובע חסום במעגלזווית חיצונית שווה לזווית הפנימית הנגדית

∢ADH = ∢HBF = x

BH = FH, ולכן המשולש HBF שווה שוקיים:📐 משולש שווה שוקייםמול צלעות שוות – זוויות שוות

∢HFB = ∢HBF = x

נסתכל על המשולש AFD. הנקודה H על הקטע FD, ו־B על הקטע AF:

∢FAD = x , ∢AFD = x , ∢ADF = x

3x = 180 ⟸ x = 60📐 סכום זוויות במשולש180

במשולש HBF שתי זוויות שוות ל־60:

∢HBF = ∢HFB = 60

∢BHF = 180 − 60 − 60 = 60

שלוש הזוויות שוות, ולכן המשולש שווה צלעות.

✅ פתרון סופי: הוכחה – כל הזוויות של HBF שוות ל־60

סעיף ב – הביטויים וההסתברויות

נסמן: p = 0.2 – הסתברות שבמשפחה יש בדיוק 2 ילדים, 1 − p = 0.8 – שאין בה בדיוק 2 ילדים.

ביטוי 1:

0.2⁴

ההסתברות שבכל 4 המשפחות יש בדיוק 2 ילדים.

0.8⁴

ההסתברות שבאף אחת מ־4 המשפחות אין בדיוק 2 ילדים.

1 − 0.2⁴ − 0.8⁴ – כל המקרים חוץ משני המקרים האלה: יש לפחות משפחה אחת מכל סוג. זו ההסתברות III.📐 מאורע משליםP(A) = 1 − P(Ā)

ביטוי 2:

4 · 0.2³ · 0.8📐 נוסחת ברנוליP = C(n , k) · p^k · (1 − p)^{n − k}

ההסתברות שבדיוק 3 משפחות מ־4 הן עם בדיוק 2 ילדים.

0.2⁴

ההסתברות שכל 4 המשפחות הן כאלה.

הסכום: 3 או 4 משפחות עם בדיוק 2 ילדים, כלומר יותר משפחות כאלה מאשר משפחות שאינן כאלה. זו ההסתברות I.

✅ פתרון סופי: ביטוי 1 – III , ביטוי 2 – I

סעיף ג (1) – איזה גרף הוא הנגזרת

בכל נקודה שבה לגרף I יש נקודת קיצון, גרף II חותך את ציר ה־x: בערך ב־x = −0.6, ב־x = 0.4 וב־x = 1.

בנקודת קיצון של פונקציה הנגזרת שלה מתאפסת. לכן גרף II הוא הנגזרת של גרף I.📐 נגזרת בקיצוןבנקודת קיצון (פנימית) הנגזרת מתאפסת

גם הסימן מתאים: בקטע −0.6 < x < 0.4 גרף I עולה וגרף II חיובי; בקטע 0.4 < x < 1 גרף I יורד וגרף II שלילי.

לכן גרף I הוא f′(x), וגרף II (הנגזרת שלו) הוא f′′(x).

בסרטוט (סקיצה שמתאימה לנתונים): גרף I בתכלת, גרף II בכחול, השטח המנוקד בצהוב והשטח המקווקו בתכלת חלש:

✅ פתרון סופי: גרף I – f′(x) , גרף II – f′′(x)

סעיף ג (2) – השוואת השטחים

נסמן ב־k את נקודת החיתוך של גרף II עם ציר ה־x שבין 0 ל־1, בערך 0.4.

גרף I עובר בראשית, ולכן:

f′(0) = 0

גרף I משיק לציר ה־x בנקודה שבה x = 1, ולכן:

f′(1) = 0

השטח המנוקד (גרף II מעל ציר ה־x):

S₁ = ∫₀^k f′′(x) dx📐 אינטגרל של הנגזרת∫_a^b f′′(x) dx = f′(b) − f′(a)

= f′(k) − f′(0)

S₁ = f′(k) − 0 = f′(k)

השטח המקווקו (גרף II מתחת לציר ה־x, ולכן מוסיפים מינוס):

S₂ = −∫_k¹ f′′(x) dx📐 אינטגרל של הנגזרת∫_a^b f′′(x) dx = f′(b) − f′(a)

= −(f′(1) − f′(k))

S₂ = −(0 − f′(k)) = f′(k)

S₁ = S₂

✅ פתרון סופי: הוכחה – שני השטחים שווים ל־f′(k)

סעיף ד (1) – זווית הראש

זוויות הראש: x , x2 , x4 , … – סדרה הנדסית אין־סופית עם a₁ = x ו־q = 12:

x1 − 12 = 240📐 סכום סדרה הנדסית אין־סופית יורדתS = a₁1 − q

2x = 240

x = 120

✅ פתרון סופי: x = 120

סעיף ד (2) – האם השטחים סדרה הנדסית

השוקיים של כל המשולשים הם רדיוסים, באורך r:

S₁ = 12r² sin120 = 12r² · √32📐 שטח משולשS = 12 · a · b · sin C

S₂ = 12r² sin60 = 12r² · √32

S₃ = 12r² sin30 = 12r² · 12

נבדוק את המנות בין איברים סמוכים:

S₂S₁ = 1

S₃S₂ = 12√32 = 1√3

המנות לא שוות, ולכן השטחים אינם סדרה הנדסית.📐 סדרה הנדסיתa_{n + 1}a_n = q קבוע

בסרטוט: המשולשים הראשונים במעגל, עם זוויות הראש 120, 60, 30, 15:

✅ פתרון סופי: לא – המנות 1 ו־1√3 שונות

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)	45 (או 0.8)
סעיף א (2)	הוכחה
סעיף ב	ביטוי 1 – III ביטוי 2 – I
סעיף ג (1)	גרף I – f′(x) , גרף II – f′′(x)
סעיף ג (2)	הוכחה
סעיף ד (1)	x = 120
סעיף ד (2)	לא

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 40 – חישוב אינטגרלים עם הנגזרת השנייה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. כאן פתורים כל ארבעת הסעיפים.

א. בעבור כל n טבעי הוכיחו באינדוקצייה או בדרך אחרת כי מתקיים: A2 + A2² + … + A2ⁿ = A(1 − 12ⁿ) . A הוא פרמטר.

ב. הנקודה B היא אמצע הקטע AC. AB הוא קוטר במעגל שמרכזו O ורדיוסו R.

מן הנקודה C מעבירים ישר המשיק למעגל בנקודה D. בנקודה A מעבירים משיק נוסף למעגל. שני המשיקים נחתכים בנקודה E (ראו סרטוט).

(1) הוכיחו כי המרובע AODE הוא בר חסימה במעגל.

(2) הביעו באמצעות R את רדיוס המעגל החוסם את המרובע AODE.

ג. לפניכם שלוש פונקציות והגרפים א–ד. כל אחת מן הפונקציות מתוארת על ידי אחד מן הגרפים.

f(x) = √(x²(x + 2)) , h(x) = √(x(x + 2)) , k(x) = x√(x + 2)

(1) בעבור כל אחת מן הפונקציות, קבעו איזה מן הגרפים מתאר אותה. נמקו את קביעותיכם.

נתונה הפונקציה g(x) = xⁿ√(x + 2) , n הוא פרמטר טבעי גדול מ־1.

(2) מצאו עבור אילו ערכים של n הגרף הנותר מתאר את הפונקציה g(x).

ד. לפניכם גרף של הפונקציה f(x), המוגדרת לכל x ≠ 0.

הישרים y = 2 ו־x = 0 הם אסימפטוטות של הפונקציה f(x). הפונקציה f(x) קעורה כלפי מעלה בכל תחום הגדרתה.

(1) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x).

(2) רשמו את תחומי העלייה והירידה של פונקציית הנגזרת f′(x) (אם יש כאלה).

נתון: a > 0 הוא פרמטר.

(3) סדרו את הביטויים (1)–(4) שלפניכם מן הקטן ביותר אל הגדול ביותר (כתבו בצד שמאל את מספרו של הביטוי הקטן ביותר וכן הלאה).

(1) ∫_a^a+1 f(x)dx , (2) ∫_a+1^a+2 f(x)dx , (3) ∫_a^a+1 f′(x)dx , (4) המספר 2.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

נוכיח באינדוקציה.

שלב 1 – בדיקה עבור n = 1:📐 שיטה: אינדוקציה1. בדיקה עבור n = 12. הנחה עבור n = k3. הוכחה עבור n = k + 1

אגף שמאל:

אגף ימין:

A(1 − 12) = A2

שני האגפים שווים ✔

שלב 2 – הנחה: נניח שהטענה נכונה עבור n = k:

A2 + … + A2^k = A(1 − 12^k)

שלב 3 – נוכיח עבור n = k + 1: צריך להראות ש־

A2 + … + A2^k + A2^k+1 = A(1 − 12^k+1)

לפי ההנחה, סכום k המחוברים הראשונים הוא A(1 − 12^k). לכן אגף שמאל:

A(1 − 12^k) + A2^k+1

= A − A2^k + A2^k+1

נרחיב את A2^k ל־2A2^k+1:

= A − 2A2^k+1 + A2^k+1

= A − A2^k+1

= A(1 − 12^k+1)

קיבלנו את אגף ימין, ולכן לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הטענה הוכחה לכל n טבעי

סעיף ב (1) – המרובע AODE בר חסימה

הרדיוס OA מאונך למשיק AE, והרדיוס OD מאונך למשיק CE:

∢OAE = 90📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

∢ODE = 90📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

אלה זוויות נגדיות במרובע AODE:

∢OAE + ∢ODE = 90 + 90 = 180📐 משפט: מרובע בר חסימהסכום זוגות זוויות נגדיות 180 מעלות

סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180 מעלות, ולכן המרובע בר חסימה במעגל.

✅ פתרון סופי: המרובע AODE בר חסימה (זוויות נגדיות 90 + 90)

סעיף ב (2) – רדיוס המעגל החוסם את AODE

הזווית ∢OAE = 90 היא זווית היקפית במעגל החוסם, ולכן OE הוא קוטר של המעגל החוסם:

r = OE2📐 משפט: זווית היקפית ישרהזווית היקפית של 90 מעלות נשענת על קוטר

נחשב אורכים. AB = 2R ו־B אמצע AC:

BC = AB = 2R

OC = OB + BC = R + 2R = 3R

AC = 4R

במשולש ODC (ישר־זווית ב־D):

CD² = OC² − OD²📐 משפט: משפט פיתגורסa² + b² = c²

CD² = 9R² − R² = 8R²

CD = √8R = 2√2R

המשולשים CDO ו־CAE דומים: ∢CDO = ∢CAE = 90 וזווית C משותפת. לכן:

AEDO = CACD📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות ⟸ המשולשים דומים, והצלעות המתאימות פרופורציונליות

AER = 4R2√2R

AE = 4R2√2 = √2R

במשולש OAE (ישר־זווית ב־A):

OE² = OA² + AE²📐 משפט: משפט פיתגורסa² + b² = c²

OE² = R² + 2R² = 3R²

OE = √3R

רדיוס המעגל החוסם:

r = √3R2

━ המעגל הנתון (כחול) ━ המשיקים (ירוק) ━ המעגל החוסם את AODE (סגול)

הסרטוט בקנה מידה עם R = 1.

✅ פתרון סופי: r = √32R

סעיף ג (1) – התאמת גרפים

f(x): x² ≥ 0, ולכן התנאי הוא x + 2 ≥ 0:

x ≥ −2📐 נוסחה: תחום הגדרה של שורשהביטוי שבתוך השורש ≥ 0

הפונקציה היא שורש, ולכן f(x) ≥ 0 לכל x. היא מתאפסת ב־x = −2 וב־x = 0 וחיובית ביניהן.

תחום אחד שמתחיל ב־−2, גרף שלא יורד מתחת לציר – גרף ד.📐 משפט: ערך שורששורש ריבועי אינו שלילי

h(x): צריך x(x + 2) ≥ 0:

x ≤ −2 או x ≥ 0📐 נוסחה: תחום הגדרה של שורשהביטוי שבתוך השורש ≥ 0

תחום ההגדרה בנוי משני חלקים נפרדים – זה גרף ג.

k(x): תחום x ≥ −2. בתחום −2 < x < 0 השורש חיובי ו־x שלילי, ולכן k(x) < 0. נבדוק את השיפוע בראשית:

k′(x) = √(x + 2) + x2√(x + 2)

k′(0) = √2 ≠ 0

הגרף חוצה את הראשית בשיפוע (לא משיק אופקי) – זה גרף א. (בגרף ב המשיק בראשית אופקי.)

✅ פתרון סופי: f – גרף ד , h – גרף ג , k – גרף א

סעיף ג (2) – הערכים של n

הגרף שנותר הוא גרף ב: בתחום −2 < x < 0 הוא מתחת לציר ה־x, ובתחום x > 0 מעליו.

בתחום −2 < x < 0 מתקיים √(x + 2) > 0, ולכן הסימן של g(x) הוא הסימן של xⁿ.

כדי ש־xⁿ יהיה שלילי עבור x שלילי, החזקה n צריכה להיות אי־זוגית. עבור x > 0 אז g(x) > 0 ✔

בנוסף n > 1, ולכן g′(0) = 0 – משיק אופקי בראשית, כמו בגרף ב.

n = 3 , 5 , 7 , …

✅ פתרון סופי: n אי־זוגי, n ≥ 3

סעיף ד (1) – סקיצה של f′(x)

משמאל ל־0 (x < 0): f עולה, ולכן f′(x) > 0. הפונקציה קעורה כלפי מעלה, ולכן f′ עולה.

כאשר x → −∞ הגרף של f מתיישר לאסימפטוטה האופקית, ולכן f′(x) → 0. ליד x = 0 הגרף של f עולה בתלילות, ולכן f′(x) → ∞.

מימין ל־0 (x > 0): f יורדת, ולכן f′(x) < 0, ושוב f′ עולה: מ־−∞ ליד x = 0 אל 0 כאשר x → ∞.

━ f′(x) (ירוק)

סעיף ד (2) – תחומי עלייה וירידה של f′

הפונקציה f קעורה כלפי מעלה בכל תחום הגדרתה, ולכן f″(x) > 0 – כלומר f′ עולה בכל תחום הגדרתה.

אין תחום שבו f′ יורדת.📐 משפט: קעירותקעורה כלפי מעלה ⟸ f″ > 0 ⟸ f′ עולה

✅ פתרון סופי: עולה: x < 0 , x > 0 ; יורדת: אין

סעיף ד (3) – סידור הביטויים

בתחום x > 0 הפונקציה יורדת אל האסימפטוטה y = 2, ולכן f(x) > 2 לכל x > 0.

ביטוי (3):

∫_a^a+1 f′(x)dx = f(a + 1) − f(a)📐 נוסחה: ניוטון–לייבניץ∫_a^b f′(x)dx = f(b) − f(a)

הפונקציה יורדת ב־x > 0, ולכן f(a + 1) < f(a):

(3) < 0

ביטוי (2): אורך הקטע 1 ו־f(x) > 2 בו:

∫_a+1^a+2 f(x)dx > ∫_a+1^a+2 2dx = 2📐 משפט: השוואת אינטגרליםאם g(x) > h(x) בקטע אז האינטגרל של g גדול יותר

(2) > 2 = (4)

ביטוי (1) לעומת (2): f יורדת, ולכן כל ערך שלה בקטע [a , a + 1] גדול מכל ערך בקטע [a + 1 , a + 2] (שניהם באורך 1):

(1) > (2)📐 משפט: השוואת אינטגרליםאם g(x) > h(x) בקטע אז האינטגרל של g גדול יותר

הסדר מהקטן לגדול:

(3) < (4) < (2) < (1)

✅ פתרון סופי: 3 , 4 , 2 , 1 (מהקטן לגדול)

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	הוכחה
סעיף ב (1)	הוכחה
סעיף ב (2)	√32R
סעיף ג (1)	f – ד , h – ג , k – א
סעיף ג (2)	n אי־זוגי (n ≥ 3)
סעיף ד (1)	סקיצה
סעיף ד (2)	עולה x ≠ 0 , אין ירידה
סעיף ד (3)	3 , 4 , 2 , 1

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 77 – קשר בין f, f′, f″ (שאלה קצרה 2023)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

בשאלה זו ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. נתונות שתי סדרות המוגדרות לכל n טבעי: a_n = 2n − 1 , b_n = 2ⁿ.

נסמן: T_n = a₁b₁ + a₂b₂ + … + a_nb_n.

(1) הוכיחו כי: אם בעבור k טבעי כלשהו מתקיים T_k = (2k − 3) · 2^k+1, אז מתקיים T_k+1 = (2k − 1) · 2^k+2.

לפניכם טענה: לכל n טבעי מתקיים T_n = (2n − 3) · 2ⁿ⁺¹.

(2) הסבירו מדוע טענה זו אינה נכונה.

ב. בטרפז ABCD (AB ∥ CD) הקטע EF הוא קטע אמצעים.

הקטע EF חותך את האלכסונים AC ו־BD של הטרפז בנקודות H ו־G בהתאמה.

נתון כי המרובע ABHG הוא מקבילית.

(1) הוכיחו: GH = 2EG.

המשך הישר AG חותך את הקטע DH בנקודה M.

(2) הוכיחו: הקטע AM חוצה את הקטע DH.

ג. לפניכם הגרפים I–III, המייצגים את הפונקציה f(x), את פונקציית הנגזרת הראשונה f′(x) ואת פונקציית הנגזרת השנייה f″(x). הפונקציות מוגדרות עבור 0 ≤ x ≤ 3.

(1) התאימו כל אחד מן הגרפים I–III לכל אחת מן הפונקציות f(x) , f′(x) ו־f″(x). נמקו.

ענו על התת־סעיפים (2)–(3) על פי הנתונים המופיעים בגרפים I–III.

(2) מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודת הפיתול שלה.

(3) מצאו את הערך של האינטגרל: ∫0.80 f″(x) dx.

ד. לפניכם הגרף של הפונקציה f(x). הפונקציה f(x) מוגדרת עבור x ≠ −1 , x ≠ 1.

משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) הן: x = 1 , x = −1 , y = k , k > 1.

שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y הם (0 , −a), a הוא מספר חיובי.

(1) מצאו עבור אילו ערכים של a יש לגרפים של הפונקציות f(x) ו־1f(x) שתי נקודות חיתוך. נמקו.

(2) נתון כי המרחק בין האסימפטוטות האופקיות של הפונקציות f(x) ו־1f(x) הוא 1.5. מהו הערך של k? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – אם … אז …

נניח ש־T_k = (2k − 3) · 2^k+1. הסכום T_k+1 הוא T_k ועוד האיבר הבא:

T_k+1 = T_k + a_k+1 · b_k+1

a_k+1 = 2(k + 1) − 1 = 2k + 1

b_k+1 = 2^k+1

T_k+1 =

(2k − 3) · 2^k+1 + (2k + 1) · 2^k+1

נוציא גורם משותף 2^k+1:

T_k+1 = 2^k+1(2k − 3 + 2k + 1)

T_k+1 = 2^k+1(4k − 2)

T_k+1 = 2^k+1 · 2(2k − 1)

T_k+1 = (2k − 1) · 2^k+2📐 חוקי חזקותa^m · aⁿ = a^m+n

✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף א (2) – למה הטענה לא נכונה

בדיקה עבור n = 1:

T₁ = a₁ · b₁ = 1 · 2 = 2

(2 · 1 − 3) · 2¹⁺¹ = (−1) · 4 = −4

2 ≠ −4

הטענה לא מתקיימת עבור n = 1. בסעיף (1) הוכחנו רק את שלב המעבר (מ־k ל־k + 1), אבל בלי שלב הבסיס האינדוקצייה לא מוכיחה דבר.📐 אינדוקצייה מתמטיתדרושים גם בדיקה עבור n = 1 וגם מעבר מ־k ל־k + 1

✅ פתרון סופי: הטענה אינה נכונה כבר עבור n = 1 (2 ≠ −4)

סעיף ב (1) – GH = 2EG

EF קטע אמצעים בטרפז, ולכן EF ∥ AB. במשולש ABD: E אמצע AD ו־EG ∥ AB, ולכן EG קטע אמצעים במשולש:📐 קטע אמצעים במשולשמקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה

EG = AB2

ABHG מקבילית, ולכן:📐 מקביליתצלעות נגדיות שוות

GH = AB

GH = AB = 2 · AB2 = 2EG

✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב (2) – AM חוצה את DH

לפי סעיף (1), EG קטע אמצעים במשולש ABD, ולכן G היא אמצע BD.

במקבילית ABHG: AG ∥ BH. לכן במשולש DBH הישר GM עובר דרך אמצע הצלע DB ומקביל לצלע BH:📐 משפט קטע אמצעים (הפוך)ישר שעובר דרך אמצע צלע אחת ומקביל לצלע שנייה – חוצה את הצלע השלישית

DM = MH

✅ פתרון סופי: הוכח: M אמצע DH

סעיף ג (1) – התאמת הגרפים

לגרף II יש מינימום ב־(2 , −4.5), ולגרף III יש נקודות חיתוך עם ציר ה־x ב־x = 0 וב־x = 2. בתחום 0 < x < 2 גרף II יורד וגרף III שלילי, ומימין ל־2 גרף II עולה וגרף III חיובי – לכן III היא הנגזרת של II.📐 קשר פונקציה–נגזרתf′ > 0 – f עולה
f′ < 0 – f יורדת

לגרף III יש מינימום ב־x = 0.8, ושם גרף I חותך את ציר ה־x; משמאל ל־0.8 גרף III יורד וגרף I שלילי, ומימין עולה וגרף I חיובי – לכן I היא הנגזרת של III.

✅ פתרון סופי: גרף I – f″(x) ; גרף II – f(x) ; גרף III – f′(x)

סעיף ג (2) – המשיק בנקודת הפיתול

בנקודת הפיתול f″ = 0 ומחליפה סימן: לפי גרף I זה קורה ב־x = 0.8.📐 נקודת פיתולf″ = 0 ומחליפה סימן

מגרף II: f(0.8) = −2. מגרף III: שיפוע המשיק f′(0.8) = −6.

y − (−2) = −6(x − 0.8)📐 משוואת ישר לפי שיפוע ונקודהy − y₁ = m(x − x₁)

y + 2 = −6x + 4.8

y = −6x + 2.8

✅ פתרון סופי: y = −6x + 2.8

סעיף ג (3) – האינטגרל של f″

∫0.80 f″(x) dx = f′(0.8) − f′(0)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba g′(x) dx = g(b) − g(a)

מגרף III: f′(0.8) = −6 , f′(0) = 0:

= −6 − 0 = −6

✅ פתרון סופי: −6

סעיף ד (1) – מתי יש שתי נקודות חיתוך

f(x) = 1f(x)

f²(x) = 1

f(x) = 1 או f(x) = −1

לפי הגרף, בענפים החיצוניים הגרף מעל האסימפטוטה y = k (k > 1), ולכן שם f(x) > 1 – אין פתרון ל־f(x) = 1.

בענף האמצעי הערך הגדול ביותר הוא −a (בנקודה (0 , −a)), והגרף יורד משני הצדדים אל −∞. הישר y = −1 חותך אותו בשתי נקודות רק אם הוא מתחת לנקודה הזאת:

−1 < −a

a < 1

אם a = 1 יש נקודה אחת, ואם a > 1 אין נקודות.

✅ פתרון סופי: 0 < a < 1

סעיף ד (2) – הערך של k

כאשר x → ±∞, f(x) → k, ולכן 1f(x) → 1k. האסימפטוטה האופקית של 1f היא y = 1k.📐 אסימפטוטה אופקיתהערך שהפונקציה שואפת אליו כאשר x → ±∞

כי k > 1, מתקיים k > 1k:

k − 1k = 1.5

k² − 1.5k − 1 = 0

k = 1.5 ± √(2.25 + 4)2 = 1.5 ± 2.52📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b² − 4ac)2a

k = 2

k = −0.5 נפסל, כי k > 1.

✅ פתרון סופי: k = 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)	הוכח
סעיף א (2)	הטענה אינה נכונה כבר עבור n = 1 (2 ≠ −4)
סעיף ב (1)	הוכח
סעיף ב (2)	הוכח: M אמצע DH
סעיף ג (1)	גרף I – f″(x) ; גרף II – f(x) ; גרף III – f′(x)
סעיף ג (2)	y = −6x + 2.8
סעיף ג (3)	−6
סעיף ד (1)	0 < a < 1
סעיף ד (2)	k = 2

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 75 – מציאת נקודות פיתול בהינתן גרף הנגזרת

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2023, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. כאן פתורים כל ארבעת הסעיפים.

א. בעבור כל n טבעי מתקיים:
1 · 2 + 4 · 7 + …
+ (3n − 2)(5n − 3)
= n(5n² − 2n − 1)

(1) חשבו את הסכום: 7 · 12 + 10 · 17 + … + 58 · 97.

(2) נתון:
1 · 2 + 4 · 7 + …
+ (3n − 2)(5n − 3)
+ (3n + 1)(5n + 2)
= (n + 1)(5n² + 8n + C)
מצאו את C. נמקו.

ב. נתון מעגל שמרכזו O. AB הוא מיתר במעגל. AE משיק למעגל בנקודה A. נתון: ∢EAB = x (ראו סרטוט).

(1) הביעו באמצעות x את ∢AOB.

(2) הביעו באמצעות x את היחס בין אורך הקשת הקטנה AB ובין היקף המעגל.

ג. נתונה הפונקציה f(x) = √(4x² + 1)x.

(1) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים.

נתונה הפונקציה g(x) = k · f(x + 3) , k > 0 פרמטר. המרחק בין האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה g(x) הוא 10.

(2) מצאו את k.

ד. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה f(x) המוגדרת לכל x. הפונקציה f(x) היא אי־זוגית.

נתונה הפונקציה g(t) = ∫₋₂^t f(x)dx בתחום −2 ≤ t ≤ 2.

(1) מצאו את תחום הירידה של הפונקציה g(t).

(2) האם יש ערכים של t שבעבורם g(t) > 0? נמקו.

(3) האם לגרף הפונקציה g(t) יש נקודות פיתול? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – חישוב הסכום

נסמן S_n = n(5n² − 2n − 1). האיבר הכללי a_k = (3k − 2)(5k − 3).

האיבר 7 · 12: 3k − 2 = 7 ⟸ k = 3. האיבר 58 · 97: 3k − 2 = 58 ⟸ k = 20 (ובדיקה: 5 · 20 − 3 = 97).

7 · 12 + … + 58 · 97 = S₂₀ − S₂📐 נוסחה: סכום של קטע מהסדרהa_k+1 + … + a_n = S_n − S_k

S₂₀ = 20(5 · 400 − 40 − 1)

S₂₀ = 20 · 1959 = 39180

S₂ = 2(20 − 4 − 1) = 30

39180 − 30 = 39150

✅ פתרון סופי: 39150

סעיף א (2) – הערך של C

אגף שמאל הוא סכום n + 1 האיברים הראשונים, ולכן הוא S_n+1:

S_n+1 = (n + 1) ·📐 נוסחה: סכום עד n + 1S_n+1 = S_n + a_n+1

· (5(n + 1)² − 2(n + 1) − 1)

5(n + 1)² − 2(n + 1) − 1 =

= 5n² + 10n + 5 − 2n − 2 − 1

= 5n² + 8n + 2

נשווה ל־(n + 1)(5n² + 8n + C) לכל n:

C = 2

✅ פתרון סופי: C = 2

סעיף ב (1) – הזווית AOB

הזווית ∢EAB היא זווית בין משיק למיתר, והיא שווה לזווית היקפית הנשענת על הקשת AB. הזווית המרכזית ∢AOB נשענת על אותה קשת:

∢AOB = 2 · ∢EAB📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני

∢AOB = 2x📐 משפט: זווית מרכזיתזווית מרכזית = פי 2 מזווית היקפית הנשענת על אותה קשת

✅ פתרון סופי: ∢AOB = 2x

סעיף ב (2) – יחס הקשת להיקף

L_AB2πR = 2x360📐 נוסחה: אורך קשתL = 2πR · זווית מרכזית360

L_AB2πR = x180

✅ פתרון סופי: x180

סעיף ג (1) – אסימפטוטות

אנכית: המכנה מתאפס ב־x = 0, והמונה שם √1 = 1 ≠ 0:

x = 0📐 נוסחה: אסימפטוטה אנכיתהמכנה מתאפס והמונה לא מתאפס

אופקיות: נוציא x² מהשורש:

x > 0 : f(x) = x√(4 + 1/x²)x📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקית√(4x² + 1) = |x|√(4 + 1x²)|x| = x כש־x > 0 , |x| = −x כש־x < 0

f(x) → √4 = 2

x < 0 : f(x) = −x√(4 + 1/x²)x

f(x) → −2

✅ פתרון סופי: x = 0 , y = 2 (כאשר x → ∞) , y = −2 (כאשר x → −∞)

סעיף ג (2) – הערך של k

ההזזה f(x + 3) לא משנה את האסימפטוטות האופקיות, והכפל ב־k > 0 מכפיל אותן:

y = 2k , y = −2k📐 נוסחה: הזזה ומתיחהf(x + 3) – הזזה שמאלה ב־3 (לא משנה אסימפטוטות אופקיות)k · f – מכפיל את ערכי y פי k

המרחק ביניהן:

2k − (−2k) = 4k = 10

k = 2.5

✅ פתרון סופי: k = 2.5

סעיף ד (1) – תחום הירידה של g

g′(t) = f(t)📐 נוסחה: אינטגרל מצטברg(t) = ∫_a^t f(x)dx⟹ g′(t) = f(t)

לפי הגרף: בתחום −2 < t < 0 מתקיים f(t) < 0, ובתחום 0 < t < 2 מתקיים f(t) > 0.

לכן g יורדת ב־−2 ≤ t ≤ 0 ועולה ב־0 ≤ t ≤ 2.📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולה , f′ < 0 – יורדת

✅ פתרון סופי: −2 ≤ t ≤ 0

סעיף ד (2) – האם יש t עם g(t) > 0

g(−2) = ∫₋₂⁻² f(x)dx = 0

מ־t = −2 עד t = 0 הפונקציה g יורדת, ולכן g(t) < 0 שם.

g(2) = ∫₋₂² f(x)dx = 0📐 משפט: פונקציה אי־זוגית∫_−a^a f(x)dx = 0(השטחים משני צדי הראשית שווים ובסימנים הפוכים)

מ־t = 0 עד t = 2 הפונקציה g עולה מ־g(0) < 0 עד g(2) = 0, ולכן g(t) ≤ 0.

בכל התחום g(t) ≤ 0.

✅ פתרון סופי: לא – g(t) ≤ 0 בכל התחום

סעיף ד (3) – נקודות פיתול של g

g″(t) = f′(t)

נקודת פיתול של g היא נקודה שבה f′ מחליפה סימן, כלומר נקודת קיצון של f.

לפי הגרף, ל־f יש מינימום בתחום −2 < x < 0 ומקסימום בתחום 0 < x < 2 – בכל אחת מהן f′ מחליפה סימן.📐 משפט: נקודת פיתולg″ מחליפה סימן ⟺ g′ עוברת מעלייה לירידה (או להפך)

ב־x = 0 יש ל־f משיק אופקי, אבל f עולה משני הצדדים (f′ ≥ 0), ולכן זו לא נקודת פיתול של g.

✅ פתרון סופי: כן – שתי נקודות פיתול, בשיעורי ה־x של נקודות הקיצון של f

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)	39150
סעיף א (2)	C = 2
סעיף ב (1)	2x
סעיף ב (2)	x180
סעיף ג (1)	x = 0 , y = 2 , y = −2
סעיף ג (2)	k = 2.5
סעיף ד (1)	−2 ≤ t ≤ 0
סעיף ד (2)	לא
סעיף ד (3)	כן

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 43 – אינטגרל מצטבר מבגרות 2023

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי בעבור כל n טבעי מתקיים:

1² + 2² + 3² + … + n² = n · (n + 1) · (2n + 1)6

ב. במשולש חד־זווית ABC הגבהים AD, ‏BE ו־CF נפגשים בנקודה O (ראו סרטוט).

(1) הוכיחו כי כל אחד מן המרובעים AFOE, ‏BDOF ו־CEOD הוא מרובע בר־חסימה.

נתון כי סכום המרחקים של הנקודה O מקודקודי המשולש הוא 20.

(2) חשבו את סכום ההיקפים של שלושת המעגלים החוסמים את שלושת המרובעים שבסעיף ב(1).

סרטוט סעיף ב: המשולש ABC והגבהים שנפגשים ב־O

ג. נתונה הפונקציה f(x) = 3 + x√x² − 25.

(1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

(2) האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים יוצרות מלבן. חשבו את שטח המלבן.

ד. נתונה הפונקציה f(x) = axx² − 4 , a ≠ 0 הוא פרמטר.

לפניכם חמישה גרפים: א, ב, ג, ד, ה.

(1) איזה מן הגרפים יכול לתאר את הפונקציה f(x) בעבור a > 0? נמקו.

(2) איזה מן הגרפים יכול לתאר את הפונקציה f(x) בעבור a < 0? נמקו.

סרטוט סעיף ד: חמשת הגרפים א–ה

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

שלב 1 – בדיקה ל־n = 1:

אגף שמאל:

1² = 1

אגף ימין:

1 · 2 · 36 = 1

שני האגפים שווים.

שלב 2 – הנחה: נניח שהטענה נכונה ל־n = k:

1² + 2² + … + k² = k(k + 1)(2k + 1)6📐 אינדוקציהבודקים ל־n = 1, מניחים נכונות ל־n = k ומוכיחים ל־n = k + 1

שלב 3 – מוכיחים ל־n = k + 1: צריך להראות ש:

1² + … + k² + (k + 1)²

= (k + 1)(k + 2)(2k + 3)6

נשתמש בהנחה:

1² + … + k² + (k + 1)²

= k(k + 1)(2k + 1)6 + (k + 1)²

= (k + 1)[k(2k + 1) + 6(k + 1)]6

= (k + 1)(2k² + 7k + 6)6

2k² + 7k + 6 = (k + 2)(2k + 3)

= (k + 1)(k + 2)(2k + 3)6

קיבלנו את הנוסחה ל־n = k + 1, ולכן הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ב (1) – מרובעים בני־חסימה

המרובע AFOE: ‏CF ו־BE גבהים:

∢AFO = 90 , ∢AEO = 90

∢AFO + ∢AEO = 180📐 מרובע בר־חסימהסכום זוויות נגדיות 180

שתי זוויות נגדיות שסכומן 180, ולכן המרובע AFOE בר־חסימה.

המרובע BDOF:

∢BDO + ∢BFO = 90 + 90 = 180

המרובע CEOD:

∢CEO + ∢CDO = 90 + 90 = 180

גם הם בני־חסימה, מאותה סיבה.

בסרטוט (בקנה מידה): המרובע AFOE (תכלת) עם שתי הזוויות הישרות ב־E וב־F, והמעגל החוסם אותו (ירוק, מקווקו) שקוטרו AO:

✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ב (2) – סכום ההיקפים

במרובע AFOE הזווית AFO היא 90 ונשענת על AO, ולכן AO הוא קוטר המעגל החוסם.📐 זווית היקפית בת 90נשענת על קוטר

באותו אופן: BO קוטר המעגל החוסם את BDOF, ו־CO קוטר המעגל החוסם את CEOD.

P = π · AO + π · BO + π · CO📐 היקף מעגלP = 2πr = πd

= π(AO + BO + CO)

= 20π ≈ 62.83

✅ פתרון סופי: 20π

סעיף ג (1) – תחום ההגדרה

הביטוי שבתוך השורש חיובי (שורש במכנה):📐 שורש במכנה1√u מוגדר כש־u > 0

x² − 25 > 0

x < −5

או

x > 5

✅ פתרון סופי: x < −5 או x > 5

סעיף ג (2) – שטח המלבן

אסימפטוטות אנכיות: בקצוות התחום המכנה מתאפס והמונה לא:

x = −5 , x = 5

אופקיות: נוציא |x| מהשורש:

√x² − 25 = |x| · √1 − 25x²

כש־x → ∞ (|x| = x):

x√x² − 25 → 1 ⟸ f(x) → 3 + 1 = 4

y = 4

כש־x → −∞ (|x| = −x):

x√x² − 25 → −1 ⟸ f(x) → 3 − 1 = 2

y = 2

ארבעת הישרים יוצרים מלבן:

5 − (−5) = 10 , 4 − 2 = 2

S = 10 · 2 = 20📐 שטח מלבןS = a · b

✅ פתרון סופי: S = 20

סעיף ד – זיהוי הגרפים

נמצא תכונות של f שעוזרות לזהות:

f(0) = 0

הגרף עובר בראשית.

x = ±2

אלה אסימפטוטות אנכיות, כי המכנה מתאפס והמונה לא.

כש־x → ±∞ המכנה גדל מהר יותר מהמונה, ולכן הישר y = 0 הוא אסימפטוטה אופקית.

f′(x) = a(x² − 4) − ax · 2x(x² − 4)²📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= −a(x² + 4)(x² − 4)²

x² + 4 > 0 תמיד, ולכן הסימן של f′ הפוך לסימן של a:

(1) a > 0: ‏f′ < 0 בכל התחום – הפונקציה יורדת בכל קטע, עוברת בראשית ויש לה אסימפטוטות x = ±2 ו־y = 0. זה גרף ב.

(2) a < 0: ‏f′ > 0 בכל התחום – הפונקציה עולה בכל קטע. זה גרף ה.

✅ פתרון סופי: a > 0 – גרף ב , a < 0 – גרף ה

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	הוכחה
סעיף ב (1)	הוכחה
סעיף ב (2)	20π
סעיף ג (1)	x < −5 או x > 5
סעיף ג (2)	S = 20
סעיף ד (1)	גרף ב
סעיף ד (2)	גרף ה

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 35 – מציאת אסימפטוטה אופקית

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת שורש 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. כאן פתורים כל ארבעת הסעיפים.

א. (1) בעבור כל n טבעי, הוכיחו באינדוקצייה או בדרך אחרת כי הביטוי 4ⁿ − 1 מתחלק ב־3 ללא שארית.

(2) נתון: p הוא מספר שלם. כתבו דוגמה לערך של p שבעבורו הביטוי 4ⁿ⁺¹ + p מתחלק ב־12 ללא שארית, לכל n טבעי.

ב. נתונה הפונקציה: f(x) = (2 − 1x)³.

(1) אחד מן הגרפים א–ג מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם ונמקו בקצרה.

(2) קבעו כמה נקודות פיתול יש לפונקצייה f(x). נמקו את התשובה.

ג. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקצייה f(x) המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 7.

ונתונה הפונקצייה h(t) = ∫₀^t f(x)dx בתחום זה.

(1) חשבו את הערכים של h(0) , h(3) , h(5).

(2) קבעו באיזה תחום h(t) יורדת. נמקו את התשובה.

ד. משולש ABC שווה שוקיים (AB = AC) חסום במעגל (ראו סרטוט). נסמן את זווית הראש של המשולש ב־2x. (בשאלון מסומן באות יוונית; כאן x.)

דרך כל אחד מקודקודי המשולש מעבירים משיק למעגל. המשיקים נפגשים בנקודות D , E ו־F, כמתואר בסרטוט.

הביעו באמצעות x את זוויות המשולש DEF.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – הוכחה באינדוקציה

בדיקה עבור n = 1: 4 − 1 = 3 – מתחלק ב־3.

הנחה: 4^k − 1 = 3m (m שלם).

הוכחה עבור n = k + 1:

4^k+1 − 1 = 4 · 4^k − 1📐 משפט: אינדוקציה1. בדיקה עבור n = 12. הנחה עבור n = k , הוכחה עבור n = k + 1

= 4(4^k − 1) + 4 − 1

= 4 · 3m + 3 = 3(4m + 1)

מתחלק ב־3, ולכן הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף א (2) – דוגמה ל־p

4ⁿ⁺¹ + p = 4 · 4ⁿ + p

= 4(4ⁿ − 1) + 4 + p

לפי (1) 4ⁿ − 1 = 3m, ולכן 4(4ⁿ − 1) = 12m מתחלק ב־12. מספיק ש־4 + p יתחלק ב־12:

4 + p = 12 ⟹ p = 8

(גם כל p = 8 + 12m מתאים, למשל p = −4.)

✅ פתרון סופי: p = 8

סעיף ב (1) – גרף הנגזרת

f′(x) = 3(2 − 1x)² · 1x²📐 נוסחה: נגזרת של חזקה (שרשרת)((g(x))³)′ = 3(g(x))² · g′(x)(−1x)′ = 1x²

f′(x) = 3(2x − 1)²x⁴

תכונות: f′(x) ≥ 0 לכל x ≠ 0; f′(12) = 0; כאשר x → 0 f′ → ∞; כאשר x → ±∞ f′ → 0.

בגרף א הגרף מימין לא מתקרב ל־0, ובגרף ב יש ערכים שליליים. רק גרף ג לא שלילי, נוגע בציר ה־x בנקודה חיובית ומתקרב ל־0 באין־סוף.

✅ פתרון סופי: גרף ג

סעיף ב (2) – נקודות פיתול

נקודות הפיתול של f הן נקודות שבהן f″ מחליפה סימן, כלומר נקודות קיצון של f′. נגזור את f′:

f″(x) = u′v − uv′v²📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

עם u = 3(2x − 1)² , v = x⁴:

u′v − uv′ = 12(2x − 1)x⁴ −

− 3(2x − 1)² · 4x³

= 12(2x − 1)x³(x − (2x − 1))

= 12(2x − 1)x³(1 − x)

f″(x) = 12(2x − 1)(1 − x)x⁵

f″ = 0 ⟹ x = 12 , x = 1

בשתי הנקודות f″ מחליפה סימן (גורמים בחזקה ראשונה). בגרף ג רואים זאת: מינימום של f′ ב־12 ומקסימום אחריו.

לכן ל־f שתי נקודות פיתול.📐 משפט: נקודת פיתולf″(x) = 0ו־f″ מחליפה סימן

✅ פתרון סופי: 2 נקודות פיתול

סעיף ג (1) – h(0), h(3), h(5)

h(0) = ∫₀⁰ f(x)dx = 0

h(3) – השטח מתחת לגרף מ־0 עד 3 (הגרף מעל הציר):

0 ≤ x ≤ 1 : 1 · 2 = 2

1 ≤ x ≤ 2 : (2 + 4) · 12 = 3📐 נוסחה: שטח טרפזS = (a + b) · h2

2 ≤ x ≤ 3 : 1 · 42 = 2📐 נוסחה: שטח משולשS = צלע · גובה2

h(3) = 2 + 3 + 2 = 7

מ־3 עד 5 הגרף מתחת לציר (משולש עם בסיס 2 וגובה 2), ולכן מחסירים:

h(5) = 7 − 2 · 22 = 5

✅ פתרון סופי: h(0) = 0 , h(3) = 7 , h(5) = 5

סעיף ג (2) – תחום הירידה של h

h′(t) = f(t)📐 נוסחה: אינטגרל מצטברg(t) = ∫_a^t f(x)dx⟹ g′(t) = f(t)

f(t) < 0 בתחום 3 < t < 7, ולכן שם h יורדת.📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולה , f′ < 0 – יורדת

✅ פתרון סופי: 3 < t < 7

סעיף ד – זוויות המשולש DEF

במשולש שווה השוקיים זוויות הבסיס שוות:

∢ABC = ∢ACB = 180 − 2x2 = 90 − x📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות

הזווית D: DA ו־DC משיקים, ולכן DA = DC. הזווית בין המשיק DA למיתר AC שווה לזווית ההיקפית ∢ABC:

∢DAC = ∢ABC = 90 − x📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני

∢DCA = ∢DAC = 90 − x📐 משפט: משיקים ממקום אחדשני משיקים למעגל מנקודה אחת שווים זה לזה

∢D = 180 − 2(90 − x) = 2x

הזווית E: באותו אופן (EA = EB , ∢EAB = ∢ACB = 90 − x):

∢E = 2x

הזווית F:

∢F = 180 − 2x − 2x = 180 − 4x📐 משפט: סכום זוויות במשולשסכום הזוויות במשולש 180 מעלות

✅ פתרון סופי: ∢D = ∢E = 2x , ∢F = 180 − 4x

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)	הוכחה
סעיף א (2)	p = 8
סעיף ב (1)	גרף ג
סעיף ב (2)	2
סעיף ג (1)	0 , 7 , 5
סעיף ג (2)	3 < t < 7
סעיף ד	2x , 2x , 180 − 4x

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 39 – קשר בין הפונקציה לנגזרת

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. נתון מרובע ABCD שבו גודלי הזוויות מהווים סדרה חשבונית עולה. איברי הסדרה הם a₁ , a₂ , a₃ , a₄.

הוכיחו כי אם מתקיים ∢A = a₁ , ∢B = a₂ , ∢C = a₄ , ∢D = a₃, אז אפשר לחסום את המרובע ABCD במעגל.

ב. נתון מגדל קוביות ובו 5 קומות (ראו ציור). הקומה התחתונה בנויה מ־25 קוביות המסודרות בצורת ריבוע. הקומה שמעליה בנויה מ־16 קוביות המסודרות בצורת ריבוע, וכך הלאה עד לקומה העליונה שבה יש קובייה אחת.

מגדל קוביות בן 5 קומות

(1) כמה קוביות סך הכול דרושות כדי לבנות באותו אופן מגדל שבו 7 קומות?

(2) נתון מגדל ובו 10 קומות הבנוי באותו אופן. כמה קוביות צריך להוסיף למגדל זה, כדי שיהיו בו 100 קומות הבנויות באותו אופן?

אפשר להיעזר בנוסחה (לכל n טבעי):
1² + 2² + 3² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)6

ג. נתונה הפונקציה f(x) = [cos(x − π) + cos(π − x)]² + 4[sin(−x)]² − 5, המוגדרת לכל x. האם לפונקציה יש נקודות חיתוך עם ציר ה־x? נמקו.

ד. הגרף שלפניכם מתאר את הפונקציה g(x) שתחום ההגדרה שלה הוא x ≠ −1 , x ≠ 1. הישרים y = 0 , x = 1 , x = −1 הם אסימפטוטות של הפונקציה. הנקודה A(0.3 , 1) היא נקודת המינימום היחידה של g(x), הנקודה B(3 , 1) היא נקודת המקסימום היחידה, והנקודה C(2 , 0) היא נקודת החיתוך היחידה של הגרף עם ציר ה־x.

גרף הפונקציה g עם הנקודות A, B, C

(1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה 1g(x).

(2) בכמה נקודות נפגשים הגרף של g(x) והגרף של 1g(x)? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – מרובע בר־חסימה

איברי סדרה חשבונית עם הפרש d:

a₂ = a₁ + d📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה חשבוניתa_n = a₁ + (n − 1)d

a₃ = a₁ + 2d

a₄ = a₁ + 3d

סכום הזוויות במרובע הוא 360:📐 משפט: סכום זוויות במרובע360 מעלות

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 360

a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d)

+ (a₁ + 3d) = 360

4a₁ + 6d = 360

2a₁ + 3d = 180

נבדוק את סכום הזוויות הנגדיות A ו־C:

∢A + ∢C = a₁ + a₄

= a₁ + a₁ + 3d = 2a₁ + 3d

= 180

סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180, ולכן אפשר לחסום את המרובע במעגל.📐 משפט: מרובע בר־חסימהאם סכום זוג זוויות נגדיות הוא 180 מעלות – המרובע בר־חסימה

✅ פתרון סופי: הוכחה – ∢A + ∢C = 180

סעיף ב (1) – מגדל בן 7 קומות

בקומות יש (מלמעלה למטה) 1, 4, 9, 16, … קוביות – ריבועים של מספרים טבעיים. במגדל בן 7 קומות:

1² + 2² + … + 7² = 7 · 8 · 156📐 נוסחה: סכום ריבועים1² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)6

= 8406 = 140

✅ פתרון סופי: 140 קוביות

סעיף ב (2) – מ־10 קומות ל־100 קומות

במגדל בן 10 קומות יש:

1² + … + 10² = 10 · 11 · 216 = 385📐 נוסחה: סכום ריבועים1² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)6

במגדל בן 100 קומות יש:

1² + … + 100² = 100 · 101 · 2016📐 נוסחה: סכום ריבועים1² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)6

= 338350

צריך להוסיף את ההפרש (הקומות החדשות נבנות מתחת לקיימות):

338350 − 385 = 337965

✅ פתרון סופי: 337965 קוביות

סעיף ג – חיתוך עם ציר ה־x

cos(x − π) = −cos x📐 נוסחה: זהותcos(x − π) = −cos x

cos(π − x) = −cos x📐 נוסחה: זהותcos(π − x) = −cos x

sin(−x) = −sin x📐 נוסחה: זהותsin(−x) = −sin x

f(x) = [−cos x − cos x]²

+ 4(−sin x)² − 5

f(x) = (−2cos x)² + 4sin²x − 5

f(x) = 4cos²x + 4sin²x − 5

f(x) = 4(sin²x + cos²x) − 5📐 נוסחה: זהותsin²x + cos²x = 1

f(x) = 4 · 1 − 5 = −1

הפונקציה קבועה ושווה ל־−1 לכל x, כלומר אף פעם אינה שווה ל־0.

✅ פתרון סופי: אין נקודות חיתוך עם ציר ה־x, כי f(x) = −1 לכל x

סעיף ד (1) – תחום ההגדרה של 1/g(x)

צריך ש־g(x) תהיה מוגדרת, וגם שהמכנה לא יתאפס:📐 נוסחה: שבר מוגדרהמכנה שונה מ־0

x ≠ −1 , x ≠ 1

g(x) = 0 רק בנקודה C(2 , 0), ולכן:

x ≠ 2

✅ פתרון סופי: x ≠ −1 , x ≠ 1 , x ≠ 2

סעיף ד (2) – נקודות המפגש

g(x) = 1g(x)

g²(x) = 1

g(x) = 1 או g(x) = −1

מקרה 1: g(x) = 1.

בענף האמצעי (−1 < x < 1) המינימום היחיד הוא A(0.3 , 1), ושם הגרף נוגע בגובה 1 פעם אחת בלבד – בנקודה A.

בענף הימני (x > 1) הגרף עולה מ־−∞ עד המקסימום B(3 , 1) ואז יורד לעבר y = 0, ולכן הוא מגיע לגובה 1 רק בנקודה B.

בענף השמאלי (x < −1) הגרף כולו מתחת לציר ה־x. סך הכול 2 נקודות.

מקרה 2: g(x) = −1.

בענף השמאלי הגרף יורד מ־0 (אסימפטוטה y = 0) עד −∞ (ליד x = −1), ולכן עובר בגובה −1 פעם אחת.

בענף הימני, בין x = 1 ל־x = 2, הגרף עולה מ־−∞ עד 0, ולכן עובר בגובה −1 פעם אחת. אחרי C הגרף חיובי.

בענף האמצעי g(x) ≥ 1. סך הכול 2 נקודות.

2 + 2 = 4

✅ פתרון סופי: הגרפים נפגשים ב־4 נקודות

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	הוכחה
סעיף ב (1)	140
סעיף ב (2)	337965
סעיף ג	אין נקודות חיתוך (f(x) = −1)
סעיף ד (1)	x ≠ −1 , x ≠ 1 , x ≠ 2
סעיף ד (2)	4 נקודות

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. כאן פתורים כל ארבעת הסעיפים.

א. לפניכם טרפז ABCD (AB ∥ CD).

נתון: שטח המשולש ADC הוא 24, ושטח המשולש ADB הוא 12.

(1) מצאו את היחס בין הבסיס הגדול לבסיס הקטן של הטרפז.

(2) חשבו את שטח הטרפז ABCD.

ב. (1) הוכיחו באינדוקציה או בדרך אחרת כי לכל n טבעי מתקיים:

(1 + 11) · (1 + 12) · …
· (1 + 1n) = n + 1

(2) חשבו את המכפלה:

(1 + 12) · (1 + 13) · …
· (1 + 199)

ג. בעבור כל אחת מן הטענות (1)–(2) שלפניכם, קבעו אם היא נכונה לכל x. נמקו.

(1) sin(π2 − x) = sin(π2 + x)

(2) sin(π2 − x) = sin(x − π2)

ד. לפניכם הגרף של פונקציה f(x), המוגדרת לכל x.

לפונקציה f(x) אסימפטוטה אופקית שמשוואתה y = 1 (ראו סרטוט), ויש לה 2 נקודות קיצון בדיוק: נקודת מקסימום (0 , 3) ונקודת מינימום (−2 , −1).

נגדיר את הפונקציה g(x) = f(−x) + 1. גם הפונקציה g(x) מוגדרת לכל x.

(1) מצאו את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה g(x). נמקו.

(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגן.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – היחס בין הבסיסים

במשולש ADC ניקח את DC כבסיס, ובמשולש ADB את AB כבסיס. הגובה לשני הבסיסים הוא גובה הטרפז h (הבסיסים מקבילים).

S_ADC = DC · h2 = 24📐 נוסחה: שטח משולשS = a · h_a2

S_ADB = AB · h2 = 12📐 נוסחה: שטח משולשS = a · h_a2

נחלק את השוויונות זה בזה:

DCAB = 2412 = 2

✅ פתרון סופי: היחס בין הבסיס הגדול לקטן: 2

סעיף א (2) – שטח הטרפז

AB · h2 = 12

DC · h2 = 24

S = (AB + DC) · h2 = AB · h2 + DC · h2📐 נוסחה: שטח טרפזS = (a + b) · h2

S = 12 + 24 = 36

✅ פתרון סופי: S = 36

סעיף ב (1) – הוכחה באינדוקציה

בדיקה עבור n = 1:📐 משפט: אינדוקציה1. בדיקה עבור n = 12. הנחה עבור n = k , הוכחה עבור n = k + 1

אגף שמאל: 1 + 11 = 2

אגף ימין: 1 + 1 = 2

השוויון נכון.

הנחה: עבור n = k:

(1 + 11) · … · (1 + 1k) = k + 1

הוכחה עבור n = k + 1: נכפול את שני האגפים של ההנחה בגורם הבא (1 + 1k + 1). אגף שמאל הופך למכפלה עד n = k + 1:

לפי ההנחה, המכפלה עד k שווה k + 1:

= (k + 1) · (1 + 1k + 1)

= (k + 1) · k + 2k + 1

= k + 2

זה בדיוק אגף ימין עבור n = k + 1, ולכן הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב (2) – חישוב המכפלה

לפי סעיף ב(1) עבור n = 99:

(1 + 11) · … · (1 + 199)

= 99 + 1 = 100

המכפלה המבוקשת היא אותה מכפלה בלי הגורם הראשון (1 + 11) = 2:

(1 + 12) · … · (1 + 199) = 1002

= 50

✅ פתרון סופי: 50

סעיף ג (1)

sin(π2 − x) = cos x📐 נוסחה: זוויות משלימות ל־90sin(π2 − x) = cos x

sin(π2 + x) =📐 נוסחה: סינוס של סכום זוויותsin(a + b) =sin a cos b + cos a sin b

= sin π2 cos x + cos π2 sin x

= 1 · cos x + 0 · sin x = cos x

שני האגפים שווים cos x לכל x.

✅ פתרון סופי: נכונה לכל x

סעיף ג (2)

sin(π2 − x) = cos x📐 נוסחה: זוויות משלימות ל־90sin(π2 − x) = cos x

sin(x − π2) =📐 נוסחה: סינוס של הפרש זוויותsin(a − b) =sin a cos b − cos a sin b

= sin x cos π2 − cos x sin π2

= sin x · 0 − cos x · 1 = −cos x

השוויון cos x = −cos x מתקיים רק כאשר cos x = 0. למשל עבור x = 0:

sin π2 = 1 , sin(−π2) = −1

1 ≠ −1, ולכן הטענה לא נכונה לכל x.

✅ פתרון סופי: לא נכונה לכל x

סעיף ד (1) – האסימפטוטה האופקית של g

סקיצה 1 – הגרף של f (כחול), כמו בסרטוט הנתון:

סקיצה 2 – הגרף של g(x) = f(−x) + 1 (סגול): משקפים את סקיצה 1 בציר ה־y ומזיזים יחידה אחת למעלה. את האסימפטוטה ואת נקודות הקיצון קוראים מהגרף:

כאשר x שואף ל־∞ או ל־−∞, גם −x שואף ל־−∞ או ל־∞, ולכן f(−x) שואפת ל־1 (האסימפטוטה של f).

g(x) = f(−x) + 1 → 1 + 1 = 2

(הגרף של f(−x) הוא שיקוף של f(x) בציר ה־y, והוספת 1 מזיזה אותו יחידה אחת למעלה.)📐 כלל: הזזה ושיקוףf(−x) – שיקוף בציר yf(x) + 1 – הזזה למעלה ב־1

✅ פתרון סופי: y = 2

סעיף ד (2) – נקודות הקיצון של g

(ראו סקיצה 2 בסעיף ד(1).) בשיקוף בציר ה־y שיעור ה־x מחליף סימן, ובהזזה למעלה שיעור ה־y גדל ב־1. סוג הקיצון לא משתנה.

מקסימום של f: (0 , 3)

x = −0 = 0

g(0) = f(0) + 1 = 3 + 1 = 4

מינימום של f: (−2 , −1)

x = 2

g(2) = f(−2) + 1 = −1 + 1 = 0

✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 4) , מינימום (2 , 0)

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)	2
סעיף א (2)	36
סעיף ב (1)	הוכחה
סעיף ב (2)	50
סעיף ג (1)	נכונה
סעיף ג (2)	לא נכונה
סעיף ד (1)	y = 2
סעיף ד (2)	מקס (0 , 4) , מינ (2 , 0)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מן הסעיפים א–ד.

א. נתון משולש ABC. AD הוא חוצה הזווית A.

הקטעים DE ו־DF מאונכים לצלעות AC ו־AB בהתאמה.

בעבור מעגל שמרכזו בנקודה D ועובר בנקודה E:

(1) האם המעגל עובר בנקודה F? נמקו את תשובתכם.

(2) האם ייתכן שהמעגל עובר גם בקודקוד המשולש C? נמקו את תשובתכם.

ב. בחוברת לימוד ישנה ומוכתמת נמצא התרגיל הבא:

הוכיחו כי לכל n טבעי מתקיים השוויון הבא:

1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 9 + …
+ n · 3ⁿ⁻¹
= (2n − 1)3ⁿ + ▒4

אחד המספרים באגף ימין של התרגיל נמחק (סומן כאן ▒).

(1) מצאו את המספר שנמחק.

(2) הציבו את המספר שמצאתם והוכיחו באינדוקציה, או בדרך אחרת, כי השוויון מתקיים לכל n טבעי.

ג. לפניכם סרטוט של גרף פונקציה אי־זוגית f(x).

(1) קבעו אם הטענה הבאה נכונה. נמקו.

∫₋₂² f(x)dx > ∫₋₂¹ f(x)dx

(2) מצאו a שעבורו מתקיים השוויון הבא. נמקו.

∫₀⁴ f(x + a)dx = 0

ד. בקופסת ממתקים יש 5 חטיפי שוקולד חלב ו־7 חטיפי שוקולד מריר. אמיר מוציא באקראי חטיף מהקופסה ונותן אותו לחבריו. אמיר חוזר על הפעולה עד שהוא מוציא חטיף שוקולד חלב.

מהי ההסתברות שאמיר הוציא 5 חטיפים?

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – האם המעגל עובר ב־F

המרחק של נקודה מישר הוא אורך האנך ממנה לישר. DE הוא המרחק של D מ־AC, ו־DF הוא המרחק של D מ־AB.

הנקודה D נמצאת על חוצה הזווית A, ולכן היא במרחק שווה משתי השוקיים AB ו־AC:📐 משפט: חוצה זוויתכל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משוקי הזווית

DF = DE

רדיוס המעגל הוא DE, ו־F במרחק DE מהמרכז D – ולכן F על המעגל.

✅ פתרון סופי: כן, המעגל עובר ב־F

סעיף א (2) – האם המעגל יכול לעבור ב־C

במשולש DEC: ∢DEC = 90 (נתון DE ⊥ AC). DC הוא היתר.📐 משפט: יתר במשולש ישר זוויתהיתר הוא הצלע הארוכה ביותר במשולש ישר זווית

DC > DE

לכן המרחק של C מהמרכז D גדול מהרדיוס DE, ו־C נמצאת מחוץ למעגל.

✅ פתרון סופי: לא ייתכן

סעיף ב (1) – המספר שנמחק

נסמן את המספר שנמחק ב־c ונציב n = 1. באגף שמאל יש איבר אחד:

1 · 3⁰ = 1

1 = (2 · 1 − 1) · 3¹ + c4

4 = 3 + c

c = 1

✅ פתרון סופי: 1

סעיף ב (2) – הוכחה באינדוקציה

1 · 1 + 2 · 3 + … + n · 3ⁿ⁻¹📐 שיטה: אינדוקציה מתמטית(1) בדיקה ל־n = 1 ; (2) הנחה ל־n = k ; (3) הוכחה ל־n = k + 1

= (2n − 1)3ⁿ + 14

שלב 1 – בדיקה עבור n = 1: בסעיף ב(1): אגף שמאל 1, אגף ימין 3 + 14 = 1. מתקיים.

שלב 2 – הנחה: השוויון נכון עבור n = k:

1 · 1 + 2 · 3 + … + k · 3^k−1

= (2k − 1)3^k + 14

שלב 3 – הוכחה עבור n = k + 1: צריך להראות:

1 · 1 + … + (k + 1) · 3^k

= (2k + 1)3^k+1 + 14

אגף שמאל הוא הסכום עד k ועוד האיבר הבא (k + 1) · 3^k. לפי ההנחה:

= (2k − 1)3^k + 14 + (k + 1) · 3^k

= (2k − 1)3^k + 4(k + 1)3^k + 14

= 3^k(2k − 1 + 4k + 4) + 14

= 3^k(6k + 3) + 14

= 3^k · 3(2k + 1) + 14

= (2k + 1)3^k+1 + 14

קיבלנו את אגף ימין עבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה השוויון נכון לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג (1) – האם הטענה נכונה

הפונקציה אי־זוגית, ולכן האינטגרל שלה על תחום סימטרי סביב 0 הוא 0:📐 משפט: אינטגרל של פונקציה אי־זוגית∫_−a^a f(x)dx = 0

∫₋₂² f(x)dx = 0

נפרק את האינטגרל השני:

∫₋₂¹ f(x)dx =

∫₋₂⁻¹ f(x)dx + ∫₋₁¹ f(x)dx

∫₋₁¹ f(x)dx = 0📐 משפט: אינטגרל של פונקציה אי־זוגית∫_−a^a f(x)dx = 0

∫₋₂¹ f(x)dx = ∫₋₂⁻¹ f(x)dx

לפי הגרף, בתחום −2 < x < −1 הגרף מעל ציר ה־x (f(x) > 0), ולכן האינטגרל חיובי:

∫₋₂¹ f(x)dx > 0 = ∫₋₂² f(x)dx

האינטגרל מ־−2 עד 1 גדול מהאינטגרל מ־−2 עד 2, הפוך מהטענה.

✅ פתרון סופי: הטענה לא נכונה

סעיף ג (2) – מציאת a

הגרף של f(x + a) הוא הגרף של f מוזז אופקית. לכן השטח שלו בין x = 0 ל־x = 4 שווה לשטח של f בין x = a ל־x = a + 4. בעזרת פונקציה קדומה F של f:📐 נוסחה: אינטגרל של פונקציה עם x + a∫ f(x + a)dx = F(x + a) + C

∫₀⁴ f(x + a)dx = F(4 + a) − F(a)

= ∫_a^a+4 f(x)dx

האינטגרל של פונקציה אי־זוגית מתאפס על תחום סימטרי סביב 0. התחום [a , a + 4] סימטרי סביב 0 כאשר:📐 משפט: אינטגרל של פונקציה אי־זוגית∫_−a^a f(x)dx = 0

a = −(a + 4)

2a = −4

a = −2

∫₀⁴ f(x − 2)dx = ∫₋₂² f(x)dx = 0

✅ פתרון סופי: a = −2

סעיף ד – הסתברות להוציא 5 חטיפים

אמיר מוציא 5 חטיפים בדיוק כאשר 4 החטיפים הראשונים מרירים והחמישי חלב. החטיפים לא מוחזרים, ולכן בכל הוצאה יש חטיף אחד פחות בקופסה:

P = 712 · 611 · 510 · 49 · 58📐 נוסחה: כלל הכפל במכפלת הסתברויותP(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)

P = 7 · 6 · 5 · 4 · 512 · 11 · 10 · 9 · 8 = 420095040

P = 35792 ≈ 0.0442

✅ פתרון סופי: 35792 ≈ 0.0442

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)	כן
סעיף א (2)	לא
סעיף ב (1)	1
סעיף ב (2)	הוכח
סעיף ג (1)	לא נכונה
סעיף ג (2)	a = −2
סעיף ד	35792 ≈ 0.0442

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 14 – פתרון בגרות 2021 מועד מיוחד (אינטגרלים)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד מיוחד ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2021 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציה אי־זוגית f(x) המוגדרת בתחום −2 ≤ x ≤ 2. בציור מופיעים גם הישרים y = 1 ו־y = −1.

סרטוט סעיף א: גרף הפונקציה האי־זוגית f והישרים y = 1, y = −1

קבעו אם כל אחת מן הטענות שלפניכם נכונה או אינה נכונה. נמקו.

(1) ∫₀² f(x) dx = 0.5 · ∫₋₂² f(x) dx

(2) ∫₋₂⁰ f(x) dx > ∫₀² (f(x))² dx

ב. נתונה טבלה המתארת הסתברויות של המאורעות A ו־B ושל המאורעות המשלימים להם:

	A	סה"כ
B	2a² − 18	2a
B̄
סה"כ	a	1

(1) האם המאורעות A ו־B תלויים? נמקו.

(2) נתון: P(A ∩ B) = 5P(Ā ∩ B̄). מצאו את a.

ג. נתונה הפונקציה f(x) = ax² + 10x − 122x² − 10x + 12, a הוא פרמטר, a > 0.

ציר ה־x והאסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים יוצרים מלבן ששטחו 2.

(1) מצאו את a.

(2) נתונה הפונקציה g(x) = f(x + 3). מהו השטח של המלבן שיוצרים ציר ה־x והאסימפטוטות של g(x) המאונכות לצירים? נמקו.

ד. הכוכב ABCDE חסום במעגל שמרכזו O (ראו ציור). הוכיחו כי ∢A + ∢B + ∢C + ∢D + ∢E.

סרטוט סעיף ד: הכוכב ABCDE החסום במעגל

= 180

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – האם הטענה נכונה?

הפונקציה אי־זוגית, ולכן השטח שמעל ציר ה־x בקטע [−2 , 0] שווה לשטח שמתחת לציר בקטע [0 , 2]:📐 תכונה: פונקציה אי־זוגיתf(−x) = −f(x)הגרף סימטרי ביחס לראשית

∫₋₂⁰ f(x) dx = −∫₀² f(x) dx📐 נוסחה: אינטגרל של פונקציה אי־זוגית∫_−a⁰ f(x) dx = −∫₀^a f(x) dx

∫₋₂² f(x) dx📐 נוסחה: פיצול תחום∫_a^c f dx = ∫_a^b f dx + ∫_b^c f dx

= ∫₋₂⁰ f(x) dx + ∫₀² f(x) dx

= 0

לכן אגף ימין של הטענה הוא 0.5 · 0 = 0.

בקטע 0 < x < 2 הגרף נמצא מתחת לציר ה־x:📐 כלל: סימן האינטגרלאם f(x) < 0 בקטע, אז ∫ f(x) dx < 0

∫₀² f(x) dx < 0📐 כלל: סימן האינטגרלאם f(x) < 0 בקטע, אז ∫ f(x) dx < 0

אגף שמאל שלילי ואגף ימין שווה ל־0, ולכן השוויון אינו מתקיים.

✅ פתרון סופי: הטענה אינה נכונה

סעיף א (2) – האם הטענה נכונה?

לפי אי־זוגיות הפונקציה:📐 תכונה: פונקציה אי־זוגיתf(−x) = −f(x)הגרף סימטרי ביחס לראשית

∫₋₂⁰ f(x) dx📐 נוסחה: אינטגרל של פונקציה אי־זוגית∫_−a⁰ f(x) dx = −∫₀^a f(x) dx

= −∫₀² f(x) dx = ∫₀² (−f(x)) dx

בקטע 0 < x < 2 הגרף נמצא בין הישר y = −1 לציר ה־x (ולא נוגע בישר y = −1), כלומר:

0 < −f(x) < 1📐 כלל: מספר בין 0 ל־1אם 0 < t < 1 אז t² < t

נציב t = −f(x) ונקבל:📐 כלל: מספר בין 0 ל־1אם 0 < t < 1 אז t² < t

(f(x))² = (−f(x))² < −f(x)📐 נוסחה: ריבוע של מספר נגדי(−t)² = t²

כאשר פונקציה אחת קטנה מאחרת בכל הקטע, גם האינטגרל שלה קטן יותר:📐 כלל: השוואת אינטגרליםאם g(x) < h(x) בקטע, אז ∫ g dx < ∫ h dx

∫₀² (f(x))² dx < ∫₀² (−f(x)) dx📐 כלל: השוואת אינטגרליםאם g(x) < h(x) בקטע, אז ∫ g dx < ∫ h dx

= ∫₋₂⁰ f(x) dx

✅ פתרון סופי: הטענה נכונה

סעיף ב (1) – האם המאורעות תלויים?

נבדוק אם מתקיים התנאי לאי־תלות:📐 הגדרה: מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)

P(A) · P(B) = a · 2a = 2a²📐 הגדרה: מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)

P(A ∩ B) = 2a² − 18 ≠ 2a²📐 הגדרה: מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)

המכפלה אינה שווה להסתברות החיתוך (לכל a), ולכן המאורעות תלויים.

✅ פתרון סופי: כן – המאורעות תלויים

סעיף ב (2) – מציאת a

נחשב תחילה את ההסתברות של האיחוד:📐 נוסחה: הסתברות איחודP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = a + 2a − (2a² − 18)📐 נוסחה: הסתברות איחודP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 3a − 2a² + 18📐 נוסחה: הסתברות איחודP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

ההסתברות שלא יקרה אף אחד מהמאורעות:📐 נוסחה: מאורע משליםP(Ā ∩ B̄) = 1 − P(A ∪ B)

P(Ā ∩ B̄) = 1 − 3a + 2a² − 18📐 נוסחה: מאורע משליםP(Ā ∩ B̄) = 1 − P(A ∪ B)

P(Ā ∩ B̄) = 2a² − 3a + 78📐 נוסחה: מאורע משליםP(Ā ∩ B̄) = 1 − P(A ∪ B)

נציב בנתון:📐 נתון: הנתוןP(A ∩ B) = 5P(Ā ∩ B̄)

2a² − 18 = 5(2a² − 3a + 78)📐 נתון: הנתוןP(A ∩ B) = 5P(Ā ∩ B̄)

2a² − 18 = 10a² − 15a + 358📐 נוסחה: פתיחת סוגרייםk(a + b) = ka + kb

8a² − 15a + 368 = 0📐 נוסחה: העברת אגפיםמעבירים את כל האיברים לאגף אחד

16a² − 30a + 9 = 0📐 נוסחה: כפל משוואהמכפילים את שני האגפים ב־2

a = 30 ± √(900 − 576)32 = 30 ± 1832📐 נוסחה: נוסחת השורשיםax² + bx + c = 0x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

a₁ = 1.5📐 נוסחה: נוסחת השורשיםax² + bx + c = 0x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

a₂ = 0.375

הסתברות אינה יכולה להיות גדולה מ־1, ולכן a = 1.5 נפסל (P(A) = a ≤ 1).📐 כלל: תחום ההסתברות0 ≤ P(A) ≤ 1

בדיקה עבור a = 0.375: P(B) = 0.75 ו־P(A ∩ B) = 0.15625, שתיהן בין 0 ל־1.

✅ פתרון סופי: a = 0.375

סעיף ג (1) – מציאת a

נמצא את האסימפטוטות האנכיות – נאפס את המכנה:📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה

2x² − 10x + 12 = 0📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה

x² − 5x + 6 = 0📐 נוסחה: חילוק משוואהמחלקים את שני האגפים ב־2

(x − 2)(x − 3) = 0📐 נוסחה: פירוק טרינוםx² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)

⟹ x = 2

x = 3

נבדוק שהמונה אינו מתאפס בנקודות אלה (a > 0):📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה

x = 2 : 4a + 20 − 12📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה

= 4a + 8 ≠ 0

x = 3 : 9a + 30 − 12📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה

= 9a + 18 ≠ 0

לכן x = 2 ו־x = 3 הן אסימפטוטות אנכיות. מעלת המונה שווה למעלת המכנה:📐 כלל: אסימפטוטה אופקית (מעלות שוות)y = מקדם x² במונה / מקדם x² במכנה

y = a2📐 כלל: אסימפטוטה אופקית (מעלות שוות)y = מקדם x² במונה / מקדם x² במכנה

המלבן נוצר בין הישרים x = 2 , x = 3 ובין ציר ה־x לישר y = a/2:📐 נוסחה: שטח מלבןS = אורך · רוחב

S = (3 − 2) · a2 = a2📐 נוסחה: שטח מלבןS = אורך · רוחב

a2 = 2📐 נתון: הנתוןS = 2

⟹ a = 4

✅ פתרון סופי: a = 4

סעיף ג (2) – שטח המלבן של g

הגרף של g(x) = f(x + 3) הוא הגרף של f(x) מוזז 3 יחידות שמאלה:📐 כלל: הזזה אופקיתg(x) = f(x + k) : הגרף של f זז k יחידות שמאלה

x = 2 − 3 = −1📐 נוסחה: אסימפטוטה אנכית בהזזהx = c עוברת ל־x = c − k

x = 3 − 3 = 0

הזזה אופקית אינה משנה אסימפטוטה אופקית:📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקית בהזזהy = d נשארת y = d

y = 42 = 2📐 כלל: אסימפטוטה אופקית (מעלות שוות)y = מקדם x² במונה / מקדם x² במכנה

המלבן רק זז שמאלה, ולכן הצלעות שלו לא השתנו:📐 נוסחה: שטח מלבןS = אורך · רוחב

S = (0 − (−1)) · 2 = 2📐 נוסחה: שטח מלבןS = אורך · רוחב

✅ פתרון סופי: 2 יחידות שטח – אותו שטח, כי הזזה אופקית רק מזיזה את המלבן

סעיף ד – סכום זוויות הכוכב

נסמן ב־C͡D את גודל הקשת CD שאינה מכילה את הקודקוד A, וכך גם לשאר הקשתות.

כל זווית בקודקוד של הכוכב היא זווית היקפית (הקודקוד על המעגל והשוקיים מיתרים):📐 משפט: זווית היקפיתזווית היקפית = חצי הקשת שעליה היא נשענת

∢A = 12 · C͡D📐 משפט: זווית היקפיתזווית היקפית = חצי הקשת שעליה היא נשענת

∢B = 12 · D͡E📐 משפט: זווית היקפיתזווית היקפית = חצי הקשת שעליה היא נשענת

∢C = 12 · E͡A📐 משפט: זווית היקפיתזווית היקפית = חצי הקשת שעליה היא נשענת

∢D = 12 · A͡B📐 משפט: זווית היקפיתזווית היקפית = חצי הקשת שעליה היא נשענת

∢E = 12 · B͡C📐 משפט: זווית היקפיתזווית היקפית = חצי הקשת שעליה היא נשענת

חמש הקשתות CD, DE, EA, AB, BC אינן חופפות זו לזו, ויחד הן כל המעגל:📐 תכונה: קשת שלמהסכום הקשתות סביב המעגל = 360

C͡D + D͡E📐 תכונה: קשת שלמהסכום הקשתות סביב המעגל = 360

+ E͡A + A͡B

+ B͡C = 360

נחבר את חמשת השוויונים:

∢A + ∢B + ∢C + ∢D + ∢E📐 משפט: זווית היקפיתזווית היקפית = חצי הקשת שעליה היא נשענת

= 12 · 360 = 180

✅ פתרון סופי: הוכחה – ∢A + ∢B + ∢C + ∢D + ∢E = 180

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א (1)	הטענה אינה נכונה
א (2)	הטענה נכונה
ב (1)	המאורעות תלויים
ב (2)	a = 0.375
ג (1)	a = 4
ג (2)	2 יחידות שטח
ד	הוכחה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2021 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

ענה על שלושה מן הסעיפים א–ד.

א. במעגל שבציור המיתרים AB ו־CD נחתכים בנקודה P. הוכח: ∢BPD = ∪BD + ∪AC2 .

ב. לפניך שתי טענות. קבע איזו מהן נכונה לכל n טבעי, והוכח אותה באינדוקציה.

I. 12 · 3 + 13 · 4 + … + 1(n + 1)(n + 2) = n2n + 4

II. 12 · 3 + 13 · 4 + … + 1(n + 1)(n + 2) = n3(n + 1)

ג. קבע אם הטענות הבאות נכונות. נמק.

I. הפונקציה f(x) = √x + 1 · √x − 3 זהה לפונקציה h(x) = √(x + 1)(x − 3) .

II. הפונקציה f(x) = x√x + 1 זהה לפונקציה h(x) = √x²(x + 1) .

ד. נתון גרף הפונקציה f(x) בתחום −5 ≤ x ≤ 5, ונתונה הפונקציה h(a) = ∫₋₄^a f(x) dx עבור a > −4:

(1) קבע באיזה תחום הפונקציה h(a) עולה. נמק.

(2) מצא את תחומי הקעירות כלפי מעלה והקעירות כלפי מטה של הפונקציה h(a). נמק.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – הוכחה

נעביר את הקטע AD. במשולש APD הזווית BPD היא זווית חיצונית:📐 משפט: זווית חיצונית למשולששווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שלא צמודות לה

∢BPD = ∢PAD + ∢PDA

∢PAD = ∢BAD – זווית היקפית שנשענת על הקשת BD:📐 משפט: זווית היקפית∢ = הקשת שעליה היא נשענת2

∢BAD = ∪BD2

∢PDA = ∢CDA – זווית היקפית שנשענת על הקשת AC:

∢CDA = ∪AC2

∢BPD = ∪BD2 + ∪AC2

∢BPD = ∪BD + ∪AC2

✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ב – אינדוקציה

נבדוק n = 2: אגף שמאל 16 + 112 = 14.

I : 22 · 2 + 4 = 28 = 14 ✓

II : 23 · 3 = 29 ✗

לכן טענה II לא נכונה. נוכיח את טענה I באינדוקציה:📐 נוסחה: אינדוקציה מתמטית(1) בדיקה ל־n = 1 ; (2) הנחה ל־n = k ; (3) הוכחה ל־n = k + 1

(1) n = 1:

12 · 3 = 16

12 · 1 + 4 = 16 ✓

(2) נניח שהטענה נכונה ל־n = k:

12 · 3 + 13 · 4 + …

+ 1(k + 1)(k + 2)

= k2k + 4

(3) נוכיח ל־n = k + 1, כלומר שהסכום שווה ל־k + 12k + 6:

אגף שמאל = k2k + 4 + 1(k + 2)(k + 3)

= k2(k + 2) + 1(k + 2)(k + 3)

= k(k + 3) + 22(k + 2)(k + 3)

= k² + 3k + 22(k + 2)(k + 3)

= (k + 1)(k + 2)2(k + 2)(k + 3)

= k + 12(k + 3) = k + 12k + 6 ✓

✅ פתרון סופי: טענה I נכונה (הוכחה באינדוקציה); טענה II לא נכונה

סעיף ג – זהות פונקציות

שתי פונקציות זהות אם יש להן אותו תחום הגדרה ואותם ערכים בכל התחום.

I. תחום של f:📐 נוסחה: תחום הגדרה של שורש√u מוגדר כאשר u ≥ 0

x + 1 ≥ 0

x − 3 ≥ 0

⟹ x ≥ 3

תחום של h:

(x + 1)(x − 3) ≥ 0

x ≤ −1 או x ≥ 3

למשל x = −2: h(−2) = √5 מוגדרת, ו־f(−2) לא מוגדרת – התחומים שונים. הטענה לא נכונה.

II. לשתי הפונקציות התחום x ≥ −1. אבל:📐 נוסחה: שורש של ריבוע√x² = |x|

h(x) = √x² · √x + 1 = |x|√x + 1

למשל x = −0.5: f(−0.5) = −0.5 · √0.5 < 0 ו־h(−0.5) = 0.5 · √0.5 > 0. הטענה לא נכונה.

✅ פתרון סופי: I לא נכונה ; II לא נכונה

סעיף ד – h(a)

📐 משפט: פונקציה צוברת שטחh(a) = ∫_c^a f(x) dx⟹ h′(a) = f(a)h″(a) = f′(a)

h′(a) = f(a)

(1) h עולה כאשר h′ = f > 0. לפי הגרף f > 0 כאשר −5 < x < 0, ובתחום של h (a > −4):

−4 < a < 0

(2) h″(a) = f′(a). לפי הגרף f עולה כאשר −5 < x < −3 ו־3 < x < 5, ויורדת כאשר −3 < x < 3:📐 נוסחה: קעירותh″ > 0 – קעורה כלפי מעלה ; h″ < 0 – קעורה כלפי מטה

קעורה כלפי מעלה: −4 < a < −3 , 3 < a < 5

קעורה כלפי מטה: −3 < a < 3

✅ פתרון סופי: (1) −4 < a < 0 ; (2) ∪ : −4 < a < −3 , 3 < a < 5 ; ∩ : −3 < a < 3

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א	הוכח
סעיף ב	טענה I נכונה
סעיף ג	שתיהן לא נכונות
סעיף ד	עולה: −4 < a < 0

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 42 – אינטגרל מצטבר לקוח מבגרות 2021

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס אינטגרלים 5 יחידות

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2021 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 571 לפי נושא

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

שאלות בגרות 571 לפי נושא – שאלות קצרות

📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 1

סעיף א (1) – מציאת b

סעיף א (2) – הוכחה באינדוקציה

סעיף ב (1) – איזה ביטוי מייצג את f(x)

סעיף ב (2) – השטח בין g(x) לציר ה־x

סעיף ג (1) – כמה אסימפטוטות אנכיות יש ל־g(x)

סעיף ג (2) – האסימפטוטה האופקית של g(x)

סעיף ג (3) – סקיצה של g(x)

סעיף ד (1) – האם האיבר השני יכול להיות BC

סעיף ד (2) – אורך הצלע BC

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 1

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

סעיף ב – שתי טענות על ספרי הספרייה

סעיף ג – הפונקציה g(x) = 1f2(x)

סעיף ד – הפונקציה הקדומה g

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

📅 חורף 2026, שאלה 1

סעיף א (1) – יחס השטחים

סעיף א (2) – הגובה לצלע AK

סעיף ב (1) – שני ניצחונות לאחד השחקנים

סעיף ב (2) – איזה ערך מתאים ל־p

סעיף ג (1) – תחום ההגדרה

סעיף ג (2) – איזה גרף

סעיף ד (1) – שלושת האיברים הראשונים

סעיף ד (2) – הסדרה הנדסית

סעיף ד (3) – סכום הסדרה

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 1

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

סעיף ב – שני טרפזים

סעיף ג – זיהוי גרפים ושטח

סעיף ד – פונקציה צוברת שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 1

סעיף א (1) – הוכחה באינדוקצייה

סעיף א (2) – חישוב הסכום

סעיף ב (1) – הטרפז שווה שוקיים

סעיף ב (2) – אורך OF

סעיף ג (1) – התאמת הגרפים

סעיף ג (2) – מספר נקודות הפיתול

סעיף ג (3) – השטח בין f′ ל־f″

סעיף ד (1) – תחומי חיוביות

סעיף ד (2) – איזה גרף

סעיף ד (3) – השטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

📅 חורף 2025, שאלה 1

סעיף א – אינדוקציה על המספרים הזוגיים

סעיף ב – הסתברות

סעיף ג – תחומי הגדרה וזיהוי גרפים

סעיף ד – הנגזרת והפונקציה g

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 1

סעיף א (1) – הוכחה באינדוקצייה

סעיף א (2) – האם הביטוי שווה ל־(n+1)/n?

סעיף ב (1) – יחס הרדיוסים

סעיף ב (2) – O על AC

סעיף ג (1) – סקיצה של f

סעיף ג (2) – נקודות המינימום של g

סעיף ג (3) – ההיגדים

סעיף ד (1) – איזה ביטוי

סעיף ד (2) – תחום ההגדרה של g

סעיף ד (3) – סקיצה של g

סעיף ד (4) – האינטגרל

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 1

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

סעיף ב – גרף הנגזרת השנייה

סעיף ג – ערך מוחלט של פרבולה

סעיף ד – מרובע חסום במעגל

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

📅 חורף 2024, שאלה 1

סעיף א – הוכחה באינדוקצייה (n זוגי)

סעיף ב (1) – דמיון המשולשים

סעיף ב (2) – היחס AB : AC

סעיף ב (3) – האם BE קוטר?

סעיף ג (1) – איזה ביטוי מתאר את f

סעיף ג (2) – תחומי העלייה והירידה של g

סעיף ד (1) – איזה סרטוט הוא f

סעיף ג – הפונקציה g(x) = 1f²(x)

סעיף ד (3) – הערך של y_C