שיעור 43 – אינטגרל מצטבר לקוח מבגרות 2023

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

בסרטון פתרנו שאלה מבגרות 2023 על אינטגרל צובר: מתי g(t) יורדת, האם היא חיובית, ונקודות הפיתול שלה – הכול מתוך הגרף של f(x).

נתון: f(x) היא פונקציה אי־זוגית המוגדרת לכל x. הגרף מתאר את הפונקציה f(x).
הפונקציה g(t) מוגדרת בתחום −2 ≤ t ≤ 2 ומקיימת:
g(t) = ∫t−2f(x)dx

(1) קבעו באיזה תחום הפונקציה g(t) יורדת.

אינטגרל צובר: g(t) צוברת את השטח מתחת לגרף של f(x), החל מ־x = −2.

בין −2 ל־0 הגרף מתחת לציר x – צוברים שטח שלילי, ולכן g(t) יורדת.

דרך נוספת: g'(t) = f(t) – הגרף של f הוא גרף הנגזרת של g.

בין −2 ל־0 הנגזרת שלילית (f < 0) – הפונקציה g יורדת.

תשובה: −2 < t < 0

(2) האם קיימים ערכים של t בתחום −2 ≤ t ≤ 2 שעבורם הפונקציה g(t) חיובית? נמקו.

הפונקציה אי־זוגית – הצד הימני הוא "היפוך" של הצד השמאלי, ולכן שני השטחים שווים: S₁.

בין −2 ל־0 השטח מתחת לציר x: האינטגרל שווה −S₁.

בין 0 ל־2 השטח מעל ציר x: האינטגרל שווה S₁.

g(2) = −S₁ + S₁ = 0

מ־−2 עד 0 g יורדת ונהיית שלילית, ומ־0 עד 2 היא עולה בחזרה רק עד 0:

הגרף של g(t) אף פעם לא מעל ציר t.

תשובה: לא – g(t) ≤ 0 בכל התחום (סכום השטחים 0)

(3) האם לפונקציה g(t) יש נקודות פיתול? נמקו.

g'(t) = f(t), ולכן g"(t) = f'(t).

נקודת פיתול של g – היכן ש־g" מחליפה סימן, כלומר היכן ש־f עוברת מעלייה לירידה או להפך: נקודות הקיצון של f(x).

בגרף של f(x) בתחום יש שתי נקודות קיצון (מינימום משמאל ל־0 ומקסימום מימין ל־0, הנקודות המסומנות בציור של סעיף 1).

תשובה: כן – נקודות הקיצון של f(x) הן נקודות הפיתול של g(t)

באינטגרל צובר g'(t) = f(t): שטח מתחת לציר – g יורדת, שטח מעל הציר – עולה; נקודות הקיצון של f הן נקודות הפיתול של g.