בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · תוכנית חדשה

פתרון בגרות במתמטיקה 5 יחידות – שאלון 571 – קיץ 2021 מועד ב'

פתרון מלא ומפורט לכל 8 השאלות, שלב אחר שלב, בלי לדלג. ליד כל שלב מופיעה בצד הנוסחה שמשתמשים בה – כדי שתבינו למה עושים כל צעד, ולא רק מה.

בשאלון 8 שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון – "שאלות קצרות", סדרות והסתברות (שאלות 1–3); פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור (שאלות 4–5); פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6–8). משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. בשאלה 1 עונים על 3 מתוך 4 הסעיפים.

שימו לב – הנחיות מיוחדות (בחינת קיץ 2021, תקופת הקורונה): בשער השאלון נכתב שבבחינה זו יש הנחיות מיוחדות: עונים על 4 שאלות בלבד לבחירה מתוך 8, ולכל שאלה 25 נקודות (4 × 25 = 100). בעמוד השאלות עצמו מופיע הנוסח הרגיל (5 שאלות, 20 נקודות לכל שאלה) – הקובע הוא ההנחיה המיוחדת שבשער.

כאן פתורות כל 8 השאלות. קודם השאלון המלא, ואחריו כל שאלה בנוסח שלה ומתחתיו הפתרון.

📄 השאלון המלא – קיץ 2021 מועד ב'

שאלון 571 קיץ 2021 מועד ב' – עמוד 1
עמוד 1 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2021 מועד ב' – עמוד 2
עמוד 2 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2021 מועד ב' – עמוד 3
עמוד 3 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2021 מועד ב' – עמוד 4
עמוד 4 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2021 מועד ב' – עמוד 5
עמוד 5 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2021 מועד ב' – עמוד 6
עמוד 6 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2021 מועד ב' – עמוד 7
עמוד 7 מתוך 8
שאלון 571 קיץ 2021 מועד ב' – עמוד 8
עמוד 8 מתוך 8

⬅️ החליקו לעמוד הבא

⬇️ להורדת השאלון המלא

🧭 תוכן העניינים

שאלה 1 – שאלות קצרות: אינטגרל של פונקציה אי־זוגית, טבלת הסתברויות, אסימפטוטות וכוכב במעגל

📄 נוסח השאלה

ענו על שלושה מארבעת הסעיפים א–ד. בפתרון כאן פתרנו את כל ארבעת הסעיפים.

א. בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציה אי־זוגית f(x) המוגדרת בתחום −2 ≤ x ≤ 2. בציור מופיעים גם הישרים y = 1 ו־y = −1.

סרטוט סעיף א: גרף הפונקציה האי־זוגית f והישרים y = 1, y = −1

קבעו אם כל אחת מן הטענות שלפניכם נכונה או אינה נכונה. נמקו.

(1) ∫02 f(x) dx = 0.5 · ∫−22 f(x) dx

(2) ∫−20 f(x) dx > ∫02 (f(x))2 dx

ב. נתונה טבלה המתארת הסתברויות של המאורעות A ו־B ושל המאורעות המשלימים להם:

AĀסה"כ
B2a2 − 182a
B̄
סה"כa1

(1) האם המאורעות A ו־B תלויים? נמקו.

(2) נתון: P(A ∩ B) = 5P(Ā ∩ B̄). מצאו את a.

ג. נתונה הפונקציה f(x) = ax2 + 10x − 122x2 − 10x + 12, a הוא פרמטר, a > 0.

ציר ה־x והאסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים יוצרים מלבן ששטחו 2.

(1) מצאו את a.

(2) נתונה הפונקציה g(x) = f(x + 3). מהו השטח של המלבן שיוצרים ציר ה־x והאסימפטוטות של g(x) המאונכות לצירים? נמקו.

ד. הכוכב ABCDE חסום במעגל שמרכזו O (ראו ציור). הוכיחו כי ∢A + ∢B + ∢C + ∢D + ∢E.

סרטוט סעיף ד: הכוכב ABCDE החסום במעגל

= 180
✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – האם הטענה נכונה?

הפונקציה אי־זוגית, ולכן השטח שמעל ציר ה־x בקטע [−2 , 0] שווה לשטח שמתחת לציר בקטע [0 , 2]:📐 תכונה: פונקציה אי־זוגיתf(−x) = −f(x)הגרף סימטרי ביחס לראשית
∫−20 f(x) dx = −∫02 f(x) dx📐 נוסחה: אינטגרל של פונקציה אי־זוגית∫−a0 f(x) dx = −∫0a f(x) dx
∫−22 f(x) dx📐 נוסחה: פיצול תחום∫ac f dx = ∫ab f dx + ∫bc f dx
= ∫−20 f(x) dx + ∫02 f(x) dx
= 0
לכן אגף ימין של הטענה הוא 0.5 · 0 = 0.
בקטע 0 < x < 2 הגרף נמצא מתחת לציר ה־x:📐 כלל: סימן האינטגרלאם f(x) < 0 בקטע, אז ∫ f(x) dx < 0
∫02 f(x) dx < 0📐 כלל: סימן האינטגרלאם f(x) < 0 בקטע, אז ∫ f(x) dx < 0
אגף שמאל שלילי ואגף ימין שווה ל־0, ולכן השוויון אינו מתקיים.
✅ פתרון סופי: הטענה אינה נכונה

סעיף א (2) – האם הטענה נכונה?

לפי אי־זוגיות הפונקציה:📐 תכונה: פונקציה אי־זוגיתf(−x) = −f(x)הגרף סימטרי ביחס לראשית
∫−20 f(x) dx📐 נוסחה: אינטגרל של פונקציה אי־זוגית∫−a0 f(x) dx = −∫0a f(x) dx
= −∫02 f(x) dx = ∫02 (−f(x)) dx
בקטע 0 < x < 2 הגרף נמצא בין הישר y = −1 לציר ה־x (ולא נוגע בישר y = −1), כלומר:
0 < −f(x) < 1📐 כלל: מספר בין 0 ל־1אם 0 < t < 1 אז t2 < t
נציב t = −f(x) ונקבל:📐 כלל: מספר בין 0 ל־1אם 0 < t < 1 אז t2 < t
(f(x))2 = (−f(x))2 < −f(x)📐 נוסחה: ריבוע של מספר נגדי(−t)2 = t2
כאשר פונקציה אחת קטנה מאחרת בכל הקטע, גם האינטגרל שלה קטן יותר:📐 כלל: השוואת אינטגרליםאם g(x) < h(x) בקטע, אז ∫ g dx < ∫ h dx
∫02 (f(x))2 dx < ∫02 (−f(x)) dx📐 כלל: השוואת אינטגרליםאם g(x) < h(x) בקטע, אז ∫ g dx < ∫ h dx
= ∫−20 f(x) dx
✅ פתרון סופי: הטענה נכונה

סעיף ב (1) – האם המאורעות תלויים?

נבדוק אם מתקיים התנאי לאי־תלות:📐 הגדרה: מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
P(A) · P(B) = a · 2a = 2a2📐 הגדרה: מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
P(A ∩ B) = 2a2 − 18 ≠ 2a2📐 הגדרה: מאורעות בלתי תלוייםP(A ∩ B) = P(A) · P(B)
המכפלה אינה שווה להסתברות החיתוך (לכל a), ולכן המאורעות תלויים.
✅ פתרון סופי: כן – המאורעות תלויים

סעיף ב (2) – מציאת a

נחשב תחילה את ההסתברות של האיחוד:📐 נוסחה: הסתברות איחודP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = a + 2a − (2a2 − 18)📐 נוסחה: הסתברות איחודP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
P(A ∪ B) = 3a − 2a2 + 18📐 נוסחה: הסתברות איחודP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
ההסתברות שלא יקרה אף אחד מהמאורעות:📐 נוסחה: מאורע משליםP(Ā ∩ B̄) = 1 − P(A ∪ B)
P(Ā ∩ B̄) = 1 − 3a + 2a2 − 18📐 נוסחה: מאורע משליםP(Ā ∩ B̄) = 1 − P(A ∪ B)
P(Ā ∩ B̄) = 2a2 − 3a + 78📐 נוסחה: מאורע משליםP(Ā ∩ B̄) = 1 − P(A ∪ B)
נציב בנתון:📐 נתון: הנתוןP(A ∩ B) = 5P(Ā ∩ B̄)
2a2 − 18 = 5(2a2 − 3a + 78)📐 נתון: הנתוןP(A ∩ B) = 5P(Ā ∩ B̄)
2a2 − 18 = 10a2 − 15a + 358📐 נוסחה: פתיחת סוגרייםk(a + b) = ka + kb
8a2 − 15a + 368 = 0📐 נוסחה: העברת אגפיםמעבירים את כל האיברים לאגף אחד
16a2 − 30a + 9 = 0📐 נוסחה: כפל משוואהמכפילים את שני האגפים ב־2
a = 30 ± √(900 − 576)32 = 30 ± 1832📐 נוסחה: נוסחת השורשיםax2 + bx + c = 0x = (−b ± √(b2 − 4ac)) / 2a
a1 = 1.5📐 נוסחה: נוסחת השורשיםax2 + bx + c = 0x = (−b ± √(b2 − 4ac)) / 2a
a2 = 0.375
הסתברות אינה יכולה להיות גדולה מ־1, ולכן a = 1.5 נפסל (P(A) = a ≤ 1).📐 כלל: תחום ההסתברות0 ≤ P(A) ≤ 1
בדיקה עבור a = 0.375: P(B) = 0.75 ו־P(A ∩ B) = 0.15625, שתיהן בין 0 ל־1.
✅ פתרון סופי: a = 0.375

סעיף ג (1) – מציאת a

נמצא את האסימפטוטות האנכיות – נאפס את המכנה:📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה
2x2 − 10x + 12 = 0📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה
x2 − 5x + 6 = 0📐 נוסחה: חילוק משוואהמחלקים את שני האגפים ב־2
(x − 2)(x − 3) = 0📐 נוסחה: פירוק טרינוםx2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3)
⟹ x = 2
x = 3
נבדוק שהמונה אינו מתאפס בנקודות אלה (a > 0):📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה
x = 2 : 4a + 20 − 12📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה
= 4a + 8 ≠ 0
x = 3 : 9a + 30 − 12📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה
= 9a + 18 ≠ 0
לכן x = 2 ו־x = 3 הן אסימפטוטות אנכיות. מעלת המונה שווה למעלת המכנה:📐 כלל: אסימפטוטה אופקית (מעלות שוות)y = מקדם x2 במונה / מקדם x2 במכנה
y = a2📐 כלל: אסימפטוטה אופקית (מעלות שוות)y = מקדם x2 במונה / מקדם x2 במכנה
המלבן נוצר בין הישרים x = 2 , x = 3 ובין ציר ה־x לישר y = a/2:📐 נוסחה: שטח מלבןS = אורך · רוחב
S = (3 − 2) · a2 = a2📐 נוסחה: שטח מלבןS = אורך · רוחב
a2 = 2📐 נתון: הנתוןS = 2
⟹ a = 4
✅ פתרון סופי: a = 4

סעיף ג (2) – שטח המלבן של g

הגרף של g(x) = f(x + 3) הוא הגרף של f(x) מוזז 3 יחידות שמאלה:📐 כלל: הזזה אופקיתg(x) = f(x + k) : הגרף של f זז k יחידות שמאלה
x = 2 − 3 = −1📐 נוסחה: אסימפטוטה אנכית בהזזהx = c עוברת ל־x = c − k
x = 3 − 3 = 0
הזזה אופקית אינה משנה אסימפטוטה אופקית:📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקית בהזזהy = d נשארת y = d
y = 42 = 2📐 כלל: אסימפטוטה אופקית (מעלות שוות)y = מקדם x2 במונה / מקדם x2 במכנה
המלבן רק זז שמאלה, ולכן הצלעות שלו לא השתנו:📐 נוסחה: שטח מלבןS = אורך · רוחב
S = (0 − (−1)) · 2 = 2📐 נוסחה: שטח מלבןS = אורך · רוחב
✅ פתרון סופי: 2 יחידות שטח – אותו שטח, כי הזזה אופקית רק מזיזה את המלבן

סעיף ד – סכום זוויות הכוכב

נסמן ב־C͡D את גודל הקשת CD שאינה מכילה את הקודקוד A, וכך גם לשאר הקשתות.
כל זווית בקודקוד של הכוכב היא זווית היקפית (הקודקוד על המעגל והשוקיים מיתרים):📐 משפט: זווית היקפיתזווית היקפית = חצי הקשת שעליה היא נשענת
∢A = 12 · C͡D📐 משפט: זווית היקפיתזווית היקפית = חצי הקשת שעליה היא נשענת
∢B = 12 · D͡E📐 משפט: זווית היקפיתזווית היקפית = חצי הקשת שעליה היא נשענת
∢C = 12 · E͡A📐 משפט: זווית היקפיתזווית היקפית = חצי הקשת שעליה היא נשענת
∢D = 12 · A͡B📐 משפט: זווית היקפיתזווית היקפית = חצי הקשת שעליה היא נשענת
∢E = 12 · B͡C📐 משפט: זווית היקפיתזווית היקפית = חצי הקשת שעליה היא נשענת
חמש הקשתות CD, DE, EA, AB, BC אינן חופפות זו לזו, ויחד הן כל המעגל:📐 תכונה: קשת שלמהסכום הקשתות סביב המעגל = 360
C͡D + D͡E📐 תכונה: קשת שלמהסכום הקשתות סביב המעגל = 360
+ E͡A + A͡B
+ B͡C = 360
נחבר את חמשת השוויונים:
∢A + ∢B + ∢C + ∢D + ∢E📐 משפט: זווית היקפיתזווית היקפית = חצי הקשת שעליה היא נשענת
= 12 · 360 = 180
✅ פתרון סופי: הוכחה – ∢A + ∢B + ∢C + ∢D + ∢E = 180

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

א (1)הטענה אינה נכונה
א (2)הטענה נכונה
ב (1)המאורעות תלויים
ב (2)a = 0.375
ג (1)a = 4
ג (2)2 יחידות שטח
דהוכחה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 2 – סדרה הנדסית: סכומי איברים בקפיצות, סדרה עם סימנים מתחלפים

📄 נוסח השאלה

נתונה סדרה הנדסית אינסופית: a1 , a2 , a3 , …. מנת הסדרה היא q.

א. הביעו באמצעות a1 ו־q:

(1) את הסכום A = a2 + a4 + a6 + … + a40.

(2) את הסכום B = a4 + a8 + a12 + … + a40.

נתון כי הסדרה an עולה, וכי AB = 109.

ב. מצאו את q.

נתונה הסדרה ההנדסית האינסופית bn המקיימת bn = 3 · an + 1.

ג. מצאו את מנת הסדרה bn.

בונים סדרה הנדסית אינסופית חדשה: −1b1 , 1b2 , −1b3 , 1b4 , …

ד. הביעו באמצעות a1 את סכום כל איברי הסדרה החדשה.

נתונה הסדרה: 1a1 , a1 , b1.

ה. (1) האם הסדרה יכולה להיות סדרה חשבונית? נמקו.

(2) האם הסדרה יכולה להיות סדרה הנדסית? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 2

סעיף א (1) – הסכום A

האיברים במקומות הזוגיים יוצרים סדרה הנדסית: האיבר הראשון a2 והמנה q2.📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a2 = a1q📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
qA = q2
מ־a2 עד a40 יש 20 איברים (המקומות 2, 4, …, 40):📐 חישוב: מספר איבריםn = 40 / 2 = 20
A = a1q((q2)20 − 1)q2 − 1📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
A = a1q(q40 − 1)q2 − 1📐 נוסחה: חזקה של חזקה(qm)n = qmn
✅ פתרון סופי: A = a1q(q40 − 1)q2 − 1

סעיף א (2) – הסכום B

האיברים a4 , a8 , … יוצרים סדרה הנדסית: האיבר הראשון a4 והמנה q4.📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
a4 = a1q3📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
qB = q4
מ־a4 עד a40 יש 10 איברים (המקומות 4, 8, …, 40):📐 חישוב: מספר איבריםn = 40 / 4 = 10
B = a1q3((q4)10 − 1)q4 − 1📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסיתSn = a1(qn − 1)q − 1
B = a1q3(q40 − 1)q4 − 1📐 נוסחה: חזקה של חזקה(qm)n = qmn
✅ פתרון סופי: B = a1q3(q40 − 1)q4 − 1

סעיף ב – מציאת q

נחלק את A ב־B (הגורם a1(q40 − 1) מצטמצם):📐 נוסחה: חילוק שבריםab : cd = ab · dc
AB = qq2 − 1 · q4 − 1q3📐 נוסחה: חילוק שבריםab : cd = ab · dc
AB = (q2 − 1)(q2 + 1)(q2 − 1) · q2 = q2 + 1q2📐 נוסחה: הפרש ריבועיםa2 − b2 = (a − b)(a + b)
q2 + 1q2 = 109📐 נתון: הנתוןAB = 109
9q2 + 9 = 10q2📐 נוסחה: כפל בהצלבהab = cd ⟹ ad = bc
q2 = 9📐 נוסחה: הוצאת שורשx2 = k ⟹ x = ±√k
⟹ q = 3
או
q = −3
בסדרה הנדסית עם מנה שלילית הסימנים מתחלפים, ולכן היא אינה עולה. הסדרה עולה, לכן:📐 תכונה: סדרה הנדסית עולהq > 1 ו־a1 > 0 (או 0 < q < 1 ו־a1 < 0)
q = 3📐 תכונה: סדרה הנדסית עולהq > 1 ו־a1 > 0
✅ פתרון סופי: q = 3

סעיף ג – מנת הסדרה bn

נחלק איבר באיבר שלפניו:📐 הגדרה: מנת סדרה הנדסיתq = bn + 1bn
bn + 1bn = 3an + 23an + 1 = an + 2an + 1📐 הגדרה: מנת סדרה הנדסיתq = bn + 1bn
an + 2an + 1 = q = 3📐 הגדרה: מנת סדרה הנדסיתq = bn + 1bn
✅ פתרון סופי: המנה היא 3

סעיף ד – סכום הסדרה החדשה

האיבר הראשון של הסדרה החדשה:📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
b1 = 3a2 = 3 · 3a1 = 9a1📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
−1b1 = −19a1📐 נוסחה: איבר כללי בסדרה הנדסיתan = a1 · qn − 1
המנה של הסדרה החדשה – נחלק איבר שני באיבר הראשון:📐 הגדרה: מנת סדרה הנדסיתq = bn + 1bn
1b2 : (−1b1) = −b1b2 = −13📐 הגדרה: מנת סדרה הנדסיתq = bn + 1bn
|−1/3| < 1, ולכן הסדרה מתכנסת:📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסתS = a11 − q , |q| < 1
S = −19a11 + 13📐 נוסחה: סכום סדרה הנדסית אינסופית מתכנסתS = a11 − q , |q| < 1
S = −19a1 · 34 = −112a1📐 נוסחה: חילוק שבריםab : cd = ab · dc
✅ פתרון סופי: S = −112a1

סעיף ה (1) – האם הסדרה חשבונית?

הסדרה היא 1/a1 , a1 , b1, ומסעיף ד b1 = 9a1. נבדוק את תנאי הסדרה החשבונית:📐 תכונה: סדרה חשבונית – שלושה איברים עוקבים2b = a + c
2a1 = 1a1 + 9a1📐 תכונה: סדרה חשבונית – שלושה איברים עוקבים2b = a + c
−7a1 = 1a1📐 נוסחה: העברת אגפיםמעבירים את 9a1 לאגף שמאל
a12 = −17📐 נוסחה: כפל משוואהמכפילים את שני האגפים ב־a1 וב־(−1/7)
ריבוע של מספר אינו יכול להיות שלילי, ולכן אין פתרון.📐 תכונה: ריבועx2 ≥ 0 לכל x
✅ פתרון סופי: לא

סעיף ה (2) – האם הסדרה הנדסית?

נבדוק את תנאי הסדרה ההנדסית:📐 תכונה: סדרה הנדסית – שלושה איברים עוקביםb2 = a · c
a12 = 1a1 · 9a1 = 9📐 תכונה: סדרה הנדסית – שלושה איברים עוקביםb2 = a · c
a1 = 3📐 נוסחה: הוצאת שורשx2 = k ⟹ x = ±√k
או
a1 = −3
הסדרה an עולה ו־q = 3, ולכן a1 > 0, כלומר a1 = 3.📐 תכונה: סדרה הנדסית עולהq > 1 ו־a1 > 0
13 , 3 , 27📐 חישוב: בדיקהמנה קבועה: 3 : (1/3) = 9 , 27 : 3 = 9
✅ פתרון סופי: כן – כאשר a1 = 3 (הסדרה 1/3 , 3 , 27 שמנתה 9)

📌 סיכום התשובות – שאלה 2

א (1)A = a1q(q40 − 1)q2 − 1
א (2)B = a1q3(q40 − 1)q4 − 1
בq = 3
ג3
ד−112a1
ה (1)לא
ה (2)כן (a1 = 3)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 3 – הסתברות: שלושה מכשולים, הסתברות מותנית וברנולי

📄 נוסח השאלה

בתחרות ספורט כל משתתף צריך לעבור שלושה מכשולים לפי הסדר. משתתף שלא עובר אחד המכשולים – נפסל ואינו ממשיך בתחרות.

ההסתברות לעבור מכשול שונה ממכשול למכשול, אך היא זהה לכל המשתתפים. משתתף שעובר את שלושת המכשולים עולה לשלב חצי הגמר.

ידוע כי 28% מן המשתתפים עוברים את שני המכשולים הראשונים.

ההסתברות שמשתתף שעבר את שני המכשולים הראשונים ייפסל, גדולה פי 3 מן ההסתברות שהוא יעלה לשלב חצי הגמר.

א. מהי ההסתברות שמשתתף יעלה לשלב חצי הגמר?

ההסתברות שמשתתף יעבור את המכשול הראשון ולא יעבור את המכשול השני היא 0.42.

ב. מהי ההסתברות שמשתתף לא יעבור את המכשול הראשון?

ג. בחרו באקראי שלושה משתתפים: עומר, גל וליאור. ידוע כי שלושתם עברו את המכשול הראשון.

(1) מהי ההסתברות שבדיוק שניים מהם יעלו לשלב חצי הגמר?

(2) מהי ההסתברות שרק עומר וגל יעלו לשלב חצי הגמר?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – ההסתברות לעלות לחצי הגמר

נסמן: S – המשתתף עולה לשלב חצי הגמר; A1 – המשתתף עובר את המכשול הראשון.
נסמן ב־p את ההסתברות לעבור את המכשול השלישי, בהינתן שהמשתתף עבר את שני הראשונים. ההסתברות להיפסל במכשול השלישי היא 1 − p.📐 נוסחה: מאורע משליםP(Ā) = 1 − P(A)
1 − p = 3p📐 נתון: הנתוןP(נפסל) = 3 · P(עולה)
4p = 1📐 נוסחה: פתרון משוואהמחלקים את שני האגפים ב־4
⟹ p = 14 = 0.25
כדי לעלות לחצי הגמר צריך לעבור את שני הראשונים ואז את השלישי:📐 נוסחה: כלל הכפל (עץ)P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
P(S) = 0.28 · 0.25 = 0.07📐 נוסחה: כלל הכפל (עץ)P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A)
✅ פתרון סופי: 0.07

סעיף ב – לא לעבור את המכשול הראשון

מי שעבר את המכשול הראשון – או עבר גם את השני, או לא עבר את השני:📐 נוסחה: חיבור הסתברויותP(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄)
P(A1) = 0.28 + 0.42 = 0.7📐 נוסחה: חיבור הסתברויותP(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄)
P(Ā1) = 1 − 0.7 = 0.3📐 נוסחה: מאורע משליםP(Ā) = 1 − P(A)

0.70.3עבר 1נפסל0.40.6עבר 2נפסל0.250.75חצי גמרנפסל

✅ פתרון סופי: 0.3

סעיף ג (1) – בדיוק שניים בחצי הגמר

ידוע שהמשתתף עבר את המכשול הראשון, לכן נחשב הסתברות מותנית:📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(B | A) = P(A ∩ B)P(A)
P(S | A1) = 0.070.7 = 0.1📐 נוסחה: הסתברות מותניתP(B | A) = P(A ∩ B)P(A)
לכל אחד משלושת המשתתפים אותה הסתברות 0.1, והם בלתי תלויים – ניסויי ברנולי עם n = 3:📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(X = k) = C(n,k) · pk · (1 − p)n − k
P(X = 2) = C(3,2) · 0.12 · 0.91📐 נוסחה: נוסחת ברנוליP(X = k) = C(n,k) · pk · (1 − p)n − k
P(X = 2)📐 נוסחה: צירופיםC(3,2) = 3
= 3 · 0.01 · 0.9 = 0.027
✅ פתרון סופי: 0.027

סעיף ג (2) – רק עומר וגל

עומר עולה, גל עולה וליאור לא עולה – סדר אחד מסוים, ולכן בלי C(3,2):📐 נוסחה: כלל הכפל (מאורעות בלתי תלויים)P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B) · P(C)
P = 0.1 · 0.1 · 0.9 = 0.009📐 נוסחה: כלל הכפל (מאורעות בלתי תלויים)P(A ∩ B ∩ C) = P(A) · P(B) · P(C)
✅ פתרון סופי: 0.009

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

א0.07
ב0.3
ג (1)0.027
ג (2)0.009
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 21 – עץ, נעלמים והסתברות מותנית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הסתברות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 4 – גאומטרייה: מעגלים משיקים מבפנים, דלתון ודמיון משולשים

📄 נוסח השאלה

שני מעגלים משיקים מבפנים בנקודה P (ראו ציור). מרכזי המעגלים הם M ו־N, ורדיוסי המעגלים הם R1 ו־R2 בהתאמה (R2 < R1).

דרך הנקודה P העבירו משיק משותף לשני המעגלים. מהנקודה M העבירו שני ישרים המשיקים למעגל שמרכזו N בנקודות A ו־B. ישרים אלה חותכים את המשיק המשותף בנקודות C ו־D, כמתואר בציור.

סרטוט שאלה 4: שני מעגלים משיקים מבפנים והמשיקים מ־M

א. הוכיחו: AB ⊥ MN.

ב. הוכיחו: AB ∥ DC.

ג. הוכיחו: NB · MC = MN · DC2.

נתון: R1R2 = 73 , MN = 8.

ד. (1) מצאו את R1 ואת R2.

(2) מצאו את DC.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הוכחה ש־AB ⊥ MN

MA = MB📐 משפט: שני משיקים מנקודהקטעי המשיקים מנקודה שמחוץ למעגל שווים
NA = NB = R2📐 תכונה: רדיוסיםכל הרדיוסים במעגל שווים
במרובע MANB יש שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, ולכן הוא דלתון.📐 הגדרה: דלתוןמרובע עם שני זוגות של צלעות סמוכות שוות
MN הוא האלכסון הראשי (מחבר את קודקודי הראש), ו־AB הוא האלכסון המשני:📐 משפט: דלתוןהאלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו
AB ⊥ MN📐 משפט: דלתוןהאלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני ומאונך לו
✅ פתרון סופי: הוכחה – AB ⊥ MN

סעיף ב – הוכחה ש־AB ∥ DC

המעגלים משיקים ב־P, ולכן M, N ו־P על ישר אחד:📐 משפט: מעגלים משיקיםהמרכזים ונקודת ההשקה נמצאים על ישר אחד
DC משיק למעגל הגדול ב־P, ו־MP רדיוס:📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
DC ⊥ MP📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
⟹ DC ⊥ MN
AB ⊥ MN📐 הוכח: סעיף אAB ⊥ MN
שני ישרים המאונכים לאותו ישר מקבילים זה לזה:📐 משפט: ניצבים לאותו ישראם a ⊥ c ו־b ⊥ c אז a ∥ b
AB ∥ DC📐 משפט: ניצבים לאותו ישראם a ⊥ c ו־b ⊥ c אז a ∥ b
✅ פתרון סופי: הוכחה – AB ∥ DC

סעיף ג – הוכחה ש־NB · MC = MN · DC / 2

נתבונן במשולשים MBN ו־MPC:📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות ⟸ המשולשים דומים
∢MBN = 90📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢MPC = 90📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢NMB = ∢PMC📐 נימוק: זווית משותפתהזווית ב־M משותפת לשני המשולשים
△MBN ∼ △MPC📐 משפט: דמיון משולשים (ז.ז.)שתי זוויות שוות ⟸ המשולשים דומים
NBPC = MNMC📐 משפט: יחס דמיוןצלעות מתאימות במשולשים דומים פרופורציוניות
NB · MC = MN · PC📐 נוסחה: כפל בהצלבהab = cd ⟹ ad = bc
MP מאונך ל־DC, ו־MC = MD (כי במשולשים MPC ו־MPD: MP משותפת, ∢MPC = ∢MPD = 90 ו־∢PMC = ∢PMD, כי MN חוצה את הזווית AMB בדלתון). לכן P אמצע DC:📐 משפט: חפיפת משולשים (ז.צ.ז.)זווית, צלע וזווית שוות ⟸ המשולשים חופפים
PC = DC2📐 תכונה: אמצע קטעPC = PD = DC2
NB · MC = MN · DC2📐 חישוב: הצבהPC = DC2
✅ פתרון סופי: הוכחה

סעיף ד (1) – הרדיוסים

M, N ו־P על ישר אחד, ו־N בין M ל־P:📐 משפט: מעגלים משיקיםהמרכזים ונקודת ההשקה נמצאים על ישר אחד
MN = MP − NP = R1 − R2📐 תכונה: מעגלים משיקים מבפניםהמרחק בין המרכזים = R1 − R2
R1 = 7k📐 נתון: יחסR1R2 = 73
R2 = 3k
7k − 3k = 8📐 נתון: הנתוןMN = 8
⟹ 4k = 8
⟹ k = 2
R1 = 14📐 חישוב: הצבהR1 = 7k , R2 = 3k
R2 = 6
✅ פתרון סופי: R1 = 14 , R2 = 6

סעיף ד (2) – אורך DC

במשולש MBN ישר הזווית (∢MBN = 90):📐 משפט: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
MB2 + 62 = 82📐 משפט: משפט פיתגורסa2 + b2 = c2
MB = √28 = 2√7📐 נוסחה: פישוט שורש√28 = √(4 · 7) = 2√7
מהדמיון בסעיף ג (MP = R1 = 14):📐 משפט: יחס דמיוןNBPC = MBMP
6PC = 2√714📐 משפט: יחס דמיוןNBPC = MBMP
PC = 6 · 142√7 = 42√7 = 6√7📐 נוסחה: ביטול שורש מהמכנה42√7 = 42√77 = 6√7
DC = 2 · PC = 12√7 ≈ 31.75📐 תכונה: אמצע קטעDC = 2 · PC

MNPABCD68

✅ פתרון סופי: DC = 12√7 ≈ 31.75

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

אהוכחה
בהוכחה
גהוכחה
ד (1)R1 = 14 , R2 = 6
ד (2)DC = 12√7 ≈ 31.75
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? 📝 לכל פתרונות הבגרות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 5 – טריגונומטריה: מעגל המשיק לצלעות מלבן, משפט הסינוסים וזווית בין משיק למיתר

📄 נוסח השאלה

במלבן ABCD הצלעות AB ו־AD משיקות למעגל שרדיוסו R בנקודות E ו־K בהתאמה. הקודקוד C נמצא על המעגל (ראו ציור).

סרטוט שאלה 5: המלבן ABCD והמעגל המשיק לצלעות AB ו־AD

א. הוכיחו: ∢KCE = 45.

נתון: ∢KCD = x , 0 < x < 45. (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן סימנו אותה ב־x.)

ב. (1) הביעו באמצעות x את הזוויות של המשולש KCE.

(2) הביעו באמצעות R ו־x את הצלעות של המשולש KCE.

ג. הביעו באמצעות x את היחס EBAE.

נתון: EBAE = √22.

ד. מצאו את x.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – הוכחה ש־∢KCE = 45

נסמן ב־O את מרכז המעגל. רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה:📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢OEA = 90📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
∢OKA = 90
∢KAE = 90📐 תכונה: מלבןכל זוויות המלבן ישרות
במרובע AEOK שלוש זוויות ישרות, ולכן גם הרביעית:📐 משפט: סכום זוויות במרובע∢1 + ∢2 + ∢3 + ∢4 = 360
∢KOE = 360 − 3 · 90 = 90📐 משפט: סכום זוויות במרובע∢1 + ∢2 + ∢3 + ∢4 = 360
∢KCE היא זווית היקפית הנשענת על אותה קשת KE שעליה נשענת הזווית המרכזית ∢KOE:📐 משפט: זווית היקפית וזווית מרכזיתזווית היקפית = חצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת
∢KCE = 12 · 90 = 45📐 משפט: זווית היקפית וזווית מרכזיתזווית היקפית = חצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

ABCDEKOxR

הסרטוט בקנה מידה עבור x = 15 (לדוגמה).
✅ פתרון סופי: הוכחה – ∢KCE = 45

סעיף ב (1) – זוויות המשולש KCE

∢KCE = 45📐 הוכח: סעיף א∢KCE = 45
במשולש KDC: ∢KDC = 90 (זווית המלבן) ו־∢KCD = x:📐 משפט: סכום זוויות במשולש∢1 + ∢2 + ∢3 = 180
∢DKC = 180 − 90 − x = 90 − x📐 משפט: סכום זוויות במשולש∢1 + ∢2 + ∢3 = 180
KD משיק למעגל ב־K, ו־KC מיתר. הזווית ביניהם שווה לזווית ההיקפית KEC:📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢KEC = ∢DKC = 90 − x📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
הזווית השלישית במשולש KCE:📐 משפט: סכום זוויות במשולש∢1 + ∢2 + ∢3 = 180
∢CKE = 180 − 45 − (90 − x)📐 משפט: סכום זוויות במשולש∢1 + ∢2 + ∢3 = 180
= 45 + x
✅ פתרון סופי: ∢KCE = 45 , ∢CEK = 90 − x , ∢CKE = 45 + x

סעיף ב (2) – צלעות המשולש KCE

המעגל שרדיוסו R חוסם את המשולש KCE (שלושת הקודקודים עליו). לפי משפט הסינוסים:📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
KEsin∢KCE = 2R📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
⟹ KE = 2R sin 45
KE = 2R · √22 = √2 R📐 נוסחה: ערך מיוחדsin 45 = √22
CKsin∢CEK = 2R📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
⟹ CK = 2R sin(90 − x)
CK = 2R cos x📐 נוסחה: זהותsin(90 − x) = cos x
CEsin∢CKE = 2R📐 משפט: משפט הסינוסיםasin A = bsin B = csin C = 2R
⟹ CE = 2R sin(45 + x)
✅ פתרון סופי: KE = √2 R , CK = 2R cos x , CE = 2R sin(45 + x)

סעיף ג – היחס EB / AE

AEOK הוא ריבוע (שלוש זוויות ישרות ו־OE = OK = R), ולכן:📐 תכונה: ריבועכל הצלעות שוות
AE = R📐 תכונה: ריבועAE = OE = R
EB משיק למעגל ב־E, ו־EC מיתר. הזווית ביניהם שווה לזווית ההיקפית EKC:📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
∢BEC = ∢EKC = 45 + x📐 משפט: זווית בין משיק למיתרשווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מהצד השני
במשולש EBC ישר הזווית (∢EBC = 90):📐 נוסחה: קוסינוס במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
EB = CE · cos(45 + x)📐 נוסחה: קוסינוס במשולש ישר זוויתcos = ניצב ליד הזוויתיתר
= 2R sin(45 + x) cos(45 + x)
EB = R sin(90 + 2x)📐 נוסחה: סינוס של זווית כפולה2 sin a cos a = sin 2a
EB = R cos 2x📐 נוסחה: זהותsin(90 + a) = cos a
EBAE = R cos 2xR = cos 2x📐 חישוב: צמצוםR מצטמצם
✅ פתרון סופי: EBAE = cos 2x

סעיף ד – מציאת x

cos 2x = √22📐 נתון: סעיף ג והנתוןEBAE = cos 2x = √22
0 < x < 45, ולכן 0 < 2x < 90:📐 נוסחה: ערך מיוחדcos 45 = √22
2x = 45📐 נוסחה: ערך מיוחדcos 45 = √22
⟹ x = 22.5

ABCDEKOxR

הסרטוט בקנה מידה עבור x = 22.5 – במקרה זה המלבן הוא ריבוע.
✅ פתרון סופי: x = 22.5 מעלות

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

אהוכחה
ב (1)45 , 90 − x , 45 + x
ב (2)√2 R , 2R cos x , 2R sin(45 + x)
גcos 2x
דx = 22.5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – משפט הסינוסים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס טריגונומטריה 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 6 – חקירת פונקציית שורש: x² / √(x² − a²), ריבוע הפונקציה והפונקציה ההופכית

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = x2√(x2 − a2), a הוא פרמטר, a > 0.

ענו על הסעיפים א–ג באמצעות a, אם יש צורך.

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. הוכיחו כי f(x) היא פונקציה זוגית.

ג. (1) מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

(2) מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים (אם יש כאלה).

(3) מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונה הפונקציה (f(x))2, שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של f(x).

ד. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה (f(x))2, וקבעו את סוגן.

נתונה הפונקציה g(x) = 1(f(x))2, שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של f(x).

ה. היעזרו בסעיפים הקודמים, וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

נתון: a = 2.

ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 3 ו־x = 4.

✏️ פתרון שאלה 6

סעיף א – תחום ההגדרה

x2 − a2 > 0📐 כלל: תחום הגדרה של שורש במכנההביטוי שבתוך השורש חייב להיות חיובי (> 0)
x2 > a2📐 נוסחה: העברת אגפיםx2 − a2 > 0 ⟺ x2 > a2
x < −a📐 כלל: אי־שוויון ריבועיx2 > a2 (a > 0) ⟺ x < −a או x > a
או
x > a
✅ פתרון סופי: x < −a או x > a

סעיף ב – f זוגית

התחום סימטרי ביחס ל־0. נציב −x:📐 הגדרה: פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)
f(−x) = (−x)2√((−x)2 − a2)📐 הגדרה: פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)
f(−x) = x2√(x2 − a2) = f(x)📐 נוסחה: ריבוע של מספר נגדי(−x)2 = x2
✅ פתרון סופי: הוכחה – f(−x) = f(x)

סעיף ג (1) – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y: x = 0 אינו בתחום ההגדרה (0 אינו מקיים x < −a או x > a), ולכן אין חיתוך עם ציר ה־y.📐 כלל: חיתוך עם ציר yמציבים x = 0
ציר ה־x: נשווה את המונה ל־0:📐 כלל: חיתוך עם ציר xf(x) = 0 ⟺ המונה = 0 (והמכנה מוגדר ושונה מ־0)
x2 = 0📐 כלל: חיתוך עם ציר xf(x) = 0 ⟺ המונה = 0
⟹ x = 0
גם x = 0 אינו בתחום, ולכן אין חיתוך עם ציר ה־x.
✅ פתרון סופי: אין נקודות חיתוך עם הצירים

סעיף ג (2) – אסימפטוטות

אנכיות: המכנה מתאפס ב־x = ±a, והמונה שם שווה ל־a2 ≠ 0:📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה
x = a📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה
x = −a
אופקיות: כאשר x → ∞ או x → −∞, המכנה מתנהג כמו |x| והמונה כמו x2, כלומר f(x) מתנהגת כמו |x| ושואפת ל־∞:📐 כלל: אסימפטוטה אופקיתקיימת רק אם f(x) שואפת למספר סופי כש־x → ±∞
f(x) = x2|x| · √(1 − a2/x2) → ∞📐 נוסחה: הוצאת גורם מהשורש√(x2 − a2) = |x| · √(1 − a2/x2)
לכן אין אסימפטוטה אופקית.
✅ פתרון סופי: x = a , x = −a (אין אסימפטוטה אופקית)

סעיף ג (3) – נקודות קיצון

(√(x2 − a2))′ = 2x2√(x2 − a2)📐 נוסחה: נגזרת של שורש(√u)′ = u′2√u
= x√(x2 − a2)
f′(x)📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 2x · √(x2 − a2) − x2 · x√(x2 − a2)x2 − a2
נכפול את המונה והמכנה ב־√(x2 − a2):📐 נוסחה: הרחבת שברuv = u · kv · k
f′(x) = 2x(x2 − a2) − x3(x2 − a2)√(x2 − a2)📐 נוסחה: הרחבת שברuv = u · kv · k
f′(x)📐 נוסחה: הוצאת גורם משותףx3 − 2a2x = x(x2 − 2a2)
= x3 − 2a2x(x2 − a2)√(x2 − a2)
= x(x2 − 2a2)(x2 − a2)√(x2 − a2)
נשווה את הנגזרת ל־0 (x = 0 אינו בתחום):📐 כלל: נקודת קיצון חשודהf′(x) = 0
x2 − 2a2 = 0📐 נוסחה: הוצאת שורשx2 = k ⟹ x = ±√k
⟹ x = √2a
או
x = −√2a
המכנה חיובי בכל התחום. סימן הנגזרת (נבדוק נקודות): עבור a < x < √2a – x > 0 ו־x2 − 2a2 < 0, ולכן f′ < 0 (יורדת); עבור x > √2a – f′ > 0 (עולה).📐 כלל: סוג הקיצוןf′ משנה סימן מ־ − ל־ + ⟸ מינימום
f(√2a) = 2a2√(2a2 − a2) = 2a2a = 2a📐 נוסחה: הצבה√(a2) = a (כי a > 0)
f זוגית, ולכן גם בנקודה הסימטרית x = −√2a יש מינימום עם אותו ערך:📐 הגדרה: פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)
✅ פתרון סופי: מינימום (√2a , 2a) , מינימום (−√2a , 2a)

סעיף ג (4) – סקיצה

הגרף מעל ציר ה־x (f > 0), שואף ל־∞ ליד x = ±a וכש־x → ±∞, ויש לו שתי נקודות מינימום:📐 תזכורת: שלבי חקירהתחום, זוגיות, חיתוך, אסימפטוטות, קיצון

xy−aa2a(√2a , 2a)(−√2a , 2a)x = ax = −a

✅ פתרון סופי: הסקיצה שבסרטוט

סעיף ד – קיצון של (f(x))2

קוראים מהסקיצה של f (סעיף ג (4)): f(x) > 0 בכל התחום, ויש לה מינימום ב־x = ±√2a בגובה 2a.
כשמעלים בריבוע מספרים חיוביים, הסדר נשמר: גדול נשאר גדול וקטן נשאר קטן.📐 הפונקציה (f(x))2כש־f > 0: f2 עולה ויורדת באותם תחומים כמו f, והקיצון באותו x ומאותו סוג
לכן ל־(f(x))2 יש מינימום באותם ערכי x, והערך הוא ריבוע הערך של f:
(f(√2a))2 = (2a)2 = 4a2📐 ריבוע מכפלה(2a)2 = 4a2
f זוגית, ולכן גם ב־x = −√2a אותו ערך.
✅ פתרון סופי: מינימום (√2a , 4a2) , מינימום (−√2a , 4a2)

סעיף ה – סקיצה של g(x)

g(x) = 1/(f(x))2 > 0, ולכן הגרף מעל ציר ה־x.📐 תכונה: פונקציה הופכיתסימן 1/h שווה לסימן h
g(x) = x2 − a2x4📐 נוסחה: חזקה של שבר1(f(x))2 = x2 − a2x4
ליד x = ±a, (f(x))2 → ∞, ולכן g(x) → 0 (הנקודות (±a , 0) אינן בתחום). גם כש־x → ±∞, g(x) → 0, ולכן y = 0 אסימפטוטה אופקית.📐 כלל: גבול של הופכיאם h → ∞ אז 1/h → 0
כאשר (f(x))2 מינימלית, g(x) מקסימלית:📐 כלל: קיצון של הופכימינימום של h > 0 ⟸ מקסימום של 1/h
g(±√2a) = 14a2📐 כלל: קיצון של הופכימינימום של h > 0 ⟸ מקסימום של 1/h
⟹ מקסימום (±√2a , 14a2)

xy−aa(√2a , 1/(4a²))(−√2a , 1/(4a²))

✅ פתרון סופי: הסקיצה שבסרטוט

סעיף ו – השטח

עבור a = 2, בקטע 3 ≤ x ≤ 4 הפונקציה חיובית (מעל ציר ה־x):📐 נוסחה: שטח מתחת לגרףS = ∫ab g(x) dx (כאשר g ≥ 0)
g(x) = x2 − 4x4📐 נוסחה: פירוק שברa − bc = ac − bc
= 1x2 − 4x4 = x−2 − 4x−4
∫ (x−2 − 4x−4) dx = −1x + 43x3 + C📐 נוסחה: אינטגרל של חזקה∫ xn dx = xn + 1n + 1 + C
S = [−1x + 43x3]34📐 נוסחה: ניוטון־לייבניץ∫ab g(x) dx = G(b) − G(a)
S = (−14 + 4192) − (−13 + 481)📐 נוסחה: ניוטון־לייבניץ∫ab g(x) dx = G(b) − G(a)
S = −1148 + 2381📐 נוסחה: חיבור שברים−14 + 148 = −1148 , −13 + 481 = −2381
S = −297 + 3681296 = 711296 ≈ 0.055📐 חישוב: מכנה משותף1296 = 48 · 27 = 81 · 16

xy2341/16S

✅ פתרון סופי: S = 711296 ≈ 0.055

📌 סיכום התשובות – שאלה 6

אx < −a או x > a
בהוכחה
ג (1)אין
ג (2)x = ±a
ג (3)מינימום (±√2a , 2a)
ג (4)סקיצה
דמינימום (±√2a , 4a2)
הסקיצה, מקסימום (±√2a , 1/(4a2))
ו711296 ≈ 0.055
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 36 – חקירת שורש של פונקציית מנה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת שורש 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 7 – פונקציה טריגונומטרית: cos²x / sin x + 3, הזזה ושורש

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = cos2xsin x + 3 בתחום 0 ≤ x ≤ 2π.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) בתחום הנתון.

(2) מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לציר ה־x.

(3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).

(4) מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.

ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נתונות הפונקציות g(x) = √(f(x) − 3) ו־k(x) = f(x) − 3 בתחום הנתון.

ג. אחד מן הגרפים א–ד שלפניכם מתאר את הפונקציה k(x), ואחד מתאר את הפונקציה g(x). קבעו איזה גרף מתאר כל פונקציה. נמקו.

סרטוט סעיף ג: ארבעת הגרפים א–ד

✏️ פתרון שאלה 7

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

sin x ≠ 0📐 כלל: תחום הגדרה של מנההמכנה שונה מ־0
sin x = 0 ⟺ x = 0 , π , 2π📐 נוסחה: אפסי הסינוסsin x = 0 ⟺ x = πk (בתחום: 0 , π , 2π)
0 < x < π📐 כלל: תחום הגדרה של מנההמכנה שונה מ־0
π < x < 2π
✅ פתרון סופי: 0 < x < 2π , x ≠ π

סעיף א (2) – אסימפטוטות אנכיות

בנקודות שבהן המכנה מתאפס, המונה cos2x = 1 ≠ 0:📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה
x = 0📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה
x = π
x = 2π
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = π , x = 2π

סעיף א (3) – עלייה וירידה

(cos2x)′ = 2cos x · (−sin x)📐 נוסחה: נגזרת של פונקציה מורכבת((g(x))2)′ = 2g(x) · g′(x) , (cos x)′ = −sin x
= −2sin x cos x
f′(x)📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2 , (sin x)′ = cos x
= −2sin x cos x·sin x − cos2x·cos xsin2x
f′(x) = −cos x(2sin2x + cos2x)sin2x📐 נוסחה: הוצאת גורם משותף−2sin2x cos x − cos3x = −cos x(2sin2x + cos2x)
f′(x) = −cos x(1 + sin2x)sin2x📐 נוסחה: זהות פיתגוריתsin2x + cos2x = 1
1 + sin2x > 0 ו־sin2x > 0, ולכן הסימן של f′(x) הפוך לסימן של cos x:📐 כלל: סימן הנגזרתf′ > 0 עולה , f′ < 0 יורדת
f′(x) = 0 ⟺ cos x = 0 📐 נוסחה: אפסי הקוסינוסcos x = 0 ⟺ x = π/2 + πk
⟺ x = π/2 , 3π/2
cos x > 0 עבור 0 < x < π/2 ו־3π/2 < x < 2π (שם f יורדת), ו־cos x < 0 עבור π/2 < x < 3π/2 (שם f עולה, פרט ל־x = π שאינו בתחום).📐 כלל: סימן הנגזרתf′ > 0 עולה , f′ < 0 יורדת
✅ פתרון סופי: עלייה: π/2 < x < π , π < x < 3π/2 ; ירידה: 0 < x < π/2 , 3π/2 < x < 2π

סעיף א (4) – נקודות קיצון

ב־x = π/2 הנגזרת משנה סימן מ־ − ל־ +, וב־x = 3π/2 מ־ + ל־ −:📐 כלל: סוג הקיצון− ל־ + ⟸ מינימום ; + ל־ − ⟸ מקסימום
f(π2) = 01 + 3 = 3📐 נוסחה: ערכים מיוחדיםcos(π/2) = 0 , sin(π/2) = 1
f(3π2) = 0−1 + 3 = 3📐 נוסחה: ערכים מיוחדיםcos(3π/2) = 0 , sin(3π/2) = −1
✅ פתרון סופי: מינימום (π/2 , 3) , מקסימום (3π/2 , 3)

סעיף ב – סקיצה

בתחום 0 < x < π: sin x > 0, ולכן f(x) ≥ 3 והגרף שואף ל־∞ ליד x = 0 ו־x = π. בתחום π < x < 2π: sin x < 0, ולכן f(x) ≤ 3 והגרף שואף ל־ −∞ ליד x = π ו־x = 2π.📐 תזכורת: שלבי חקירהתחום, אסימפטוטות, עלייה וירידה, קיצון

xyπ/2π3π/22π3מינימום (π/2 , 3)מקסימום (3π/2 , 3)

✅ פתרון סופי: הסקיצה שבסרטוט

סעיף ג – זיהוי הגרפים

k(x) = f(x) − 3 היא הזזה של הגרף של f שלוש יחידות למטה:📐 כלל: הזזה אנכיתf(x) − c : הגרף זז c יחידות למטה
מינימום (π/2 , 0)📐 כלל: הזזה אנכיתנקודה (x , y) עוברת ל־(x , y − 3)
מקסימום (3π/2 , 0)
כלומר k(x) ≥ 0 בתחום 0 < x < π, ו־k(x) ≤ 0 בתחום π < x < 2π, עם אותן אסימפטוטות – זה גרף ג.
g(x) = √k(x) מוגדרת רק כאשר k(x) ≥ 0:📐 כלל: תחום הגדרה של שורשהביטוי שבתוך השורש ≥ 0
k(x) = cos2xsin x ≥ 0 ⟺ sin x > 0📐 כלל: סימן מנהcos2x ≥ 0, ולכן הסימן נקבע לפי sin x
או
cos x = 0
לכן g מוגדרת בתחום 0 < x < π (ובנוסף רק בנקודה הבודדת x = 3π/2, שבה g = 0). ב־x = π/2 מתקיים g = 0, וליד x = 0 ו־x = π הפונקציה שואפת ל־∞ – זה גרף א.
גרף ב פסול כי יש לו חלק חיובי בתחום π < x < 2π, שבו k(x) < 0. גרף ד פסול כי ערך המינימום שלו חיובי, ואילו k(π/2) = 0.
✅ פתרון סופי: גרף ג' מתאר את k(x) , גרף א' מתאר את g(x)

📌 סיכום התשובות – שאלה 7

א (1)0 < x < 2π , x ≠ π
א (2)x = 0 , π , 2π
א (3)עלייה: π/2 < x < π , π < x < 3π/2 ; ירידה: 0 < x < π/2 , 3π/2 < x < 2π
א (4)מינימום (π/2 , 3) , מקסימום (3π/2 , 3)
בסקיצה
גk – גרף ג' , g – גרף א'
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 33 – הזזה לפונקציית שורש
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציות 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

שאלה 8 – בעיית קיצון: משולש מתחת לגרף של (f(x))²

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניכם מתואר הגרף של הפונקציה f(x) = √(ax4 + bx3) בתחום ההגדרה שלה, 0 ≤ x ≤ 4.

סרטוט שאלה 8: גרף הפונקציה f בתחום 0 עד 4

א. (1) הוכיחו כי b = −4a.

(2) לפניכם שתי טענות I ו־II. רק אחת מהן נכונה. קבעו איזו מהן נכונה. נמקו.

I. a > 0 , b < 0    II. a < 0 , b > 0

הנקודה P נמצאת על גרף הפונקציה (f(x))2, שתחום ההגדרה שלה הוא 0 ≤ x ≤ 4. מהנקודה P הורידו אנך לציר ה־x. נסמן את נקודת החיתוך של האנך עם ציר ה־x ב־M, ואת ראשית הצירים ב־O.

ב. מהו שיעור ה־x של הנקודה P, שעבורו שטח המשולש PMO יהיה מקסימלי? נמקו.

ג. הביעו באמצעות a את השטח המקסימלי של המשולש PMO.

ד. אם שיעור ה־x של הנקודה P נמצא בתחום שבו הפונקציה (f(x))2 אינה יורדת, מהו שיעור ה־x של הנקודה P שעבורו שטח המשולש PMO יהיה מקסימלי? נמקו.

✏️ פתרון שאלה 8

סעיף א (1) – הוכחה ש־b = −4a

מהגרף: הנקודה (4 , 0) נמצאת על הגרף, כלומר f(4) = 0:📐 כלל: נקודה על גרףמציבים את שיעוריה בפונקציה
√(a · 44 + b · 43) = 0📐 כלל: נקודה על גרףf(4) = 0
256a + 64b = 0📐 כלל: שורש שווה 0√u = 0 ⟺ u = 0
64b = −256a📐 נוסחה: חילוק משוואהמחלקים את שני האגפים ב־64
⟹ b = −4a
✅ פתרון סופי: הוכחה – b = −4a

סעיף א (2) – איזו טענה נכונה?

ax4 + bx3 = ax4 − 4ax3📐 נוסחה: הוצאת גורם משותףax4 − 4ax3 = ax3(x − 4)
= ax3(x − 4)
הפונקציה מוגדרת בכל התחום, ולכן הביטוי שבתוך השורש אינו שלילי. עבור 0 < x < 4:📐 כלל: תחום הגדרה של שורשהביטוי שבתוך השורש ≥ 0
x3 > 0📐 כלל: סימן מכפלהחיובי · שלילי = שלילי
x − 4 < 0
⟹ x3(x − 4) < 0
a · x3(x − 4) ≥ 0📐 כלל: סימן מכפלהשלילי · שלילי = חיובי
⟹ a < 0
b = −4a > 0📐 הוכח: סעיף א (1)b = −4a
✅ פתרון סופי: טענה II נכונה (a < 0 , b > 0)

סעיף ב – x שעבורו השטח מקסימלי

לנקודה P שיעורים (x , ax4 − 4ax3), ולכן OM = x ו־PM = ax4 − 4ax3:📐 נוסחה: שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
S(x) = x(ax4 − 4ax3)2 = ax5 − 4ax42📐 נוסחה: שטח משולש ישר זוויתS = ניצב · ניצב2
S′(x) = 5ax4 − 16ax32 = ax3(5x − 16)2📐 נוסחה: נגזרת של חזקה(xn)′ = n · xn − 1
S′(x) = 0📐 כלל: נקודה חשודה לקיצוןS′(x) = 0
⟹ x = 0
או
x = 3.2
x = 0 נותן משולש מנוון (שטח 0). נבדוק את הסימן של S′ (a < 0): עבור 0 < x < 3.2 – ax3 < 0 ו־5x − 16 < 0, ולכן S′ > 0; עבור 3.2 < x < 4 – S′ < 0.📐 כלל: סוג הקיצוןS′ משנה סימן מ־ + ל־ − ⟸ מקסימום

xy3.24OMPy = (f(x))²

✅ פתרון סופי: x = 3.2

סעיף ג – השטח המקסימלי

S(3.2) = a · 3.24 · (3.2 − 4)2📐 חישוב: הצבהS(x) = ax4(x − 4)2
S(3.2) = a · 104.8576 · (−0.8)2📐 חישוב: חישוב3.24 = 104.8576
≈ −41.94a
a < 0, ולכן −41.94a הוא מספר חיובי, כמו שטח צריך להיות.
✅ פתרון סופי: Sמקס ≈ −41.94a

סעיף ד – כאשר (f(x))2 אינה יורדת

((f(x))2)′ = (ax4 − 4ax3)′📐 נוסחה: נגזרת של חזקה(xn)′ = n · xn − 1
= 4ax3 − 12ax2
= 4ax2(x − 3)
a < 0: עבור 0 < x < 3 – x − 3 < 0, ולכן הנגזרת חיובית (עולה); עבור 3 < x < 4 – הנגזרת שלילית (יורדת).📐 כלל: סימן הנגזרתf′ > 0 עולה , f′ < 0 יורדת
0 ≤ x ≤ 3📐 מסקנה: תחום שבו הפונקציה אינה יורדתעד נקודת המקסימום x = 3
מסעיף ב, S(x) עולה בכל התחום 0 < x < 3.2, ובפרט בכל הקטע 0 ≤ x ≤ 3. לכן השטח מקסימלי בקצה הקטע:📐 כלל: קיצון בקטעפונקציה עולה בקטע מקבלת מקסימום בקצה הימני
x = 3📐 כלל: קיצון בקטעפונקציה עולה בקטע מקבלת מקסימום בקצה הימני
✅ פתרון סופי: x = 3

📌 סיכום התשובות – שאלה 8

א (1)הוכחה
א (2)טענה II
בx = 3.2
ג≈ −41.94a
דx = 3
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 7 – בעיית קיצון עם גרפים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס בעיות קיצון 5 יחידות
⬆️ חזרה לתוכן העניינים

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק ל־5 יחידות כל נושא מהבחינה מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרון הזה.

השאלון באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות