שיעור 77- קשר פונקציות-שאלה קצרה 2023

✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון

שאלה קצרה מבגרות 571, קיץ 2023: שלושה גרפים – מתאימים לכל גרף אם הוא f, f′ או f″, ואז משוואת משיק בנקודת הפיתול.

לפניכם שלושה גרפים I, II, III של הפונקציות f(x), f′(x), f″(x) המוגדרות בתחום 0 ≤ x ≤ 3.

גרף I

גרף II

גרף III

התאימו כל אחד מן הגרפים I–III לכל אחת מן הפונקציות f(x), f′(x) ו-f″(x). נמקו.

נניח ש-I הוא f: גרף I תמיד עולה ← הנגזרת שלו צריכה להיות תמיד חיובית (מעל ציר x).

גם II וגם III לא תמיד מעל ציר x ← I לא יכול להיות f.

נניח ש-II הוא f: יש לו שתי נקודות קיצון – מקסימום (קצה) ב-x = 0 ומינימום ב-x = 2.

בנקודות קיצון הנגזרת חותכת את ציר x: לגרף III יש חיתוכים ב-0 וב-2 (לגרף I רק אחד, ב-0.8).

בדיקה: f יורדת בין 0 ל-2 ← III שלילי שם; f עולה מ-2 ← III חיובי. מסתדר.

בדיקה ש-I הוא f″: f′ (III) יורדת בין 0 ל-0.8 ← I שלילי; עולה מ-0.8 ← I חיובי.

הקשר בין f′ ל-f″ כמו בין f ל-f′: הקיצון של III ב-0.8 ← חיתוך של I עם ציר x ב-0.8.

תשובה: גרף II הוא f(x)

גרף III הוא f′(x)

גרף I הוא f″(x)

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודת הפיתול שלה.

קיצון בנגזרת = פיתול ב-f: לגרף III (f′) יש מינימום ב-x = 0.8.

נקודת הפיתול בגרף II: (0.8 , −2)

השיפוע = הנגזרת בנקודה: בגרף III, f′(0.8) = −6 ← m = −6

y − y₁ = m(x − x₁)

y + 2 = −6(x − 0.8)

y + 2 = −6x + 4.8

y = −6x + 4.8 − 2

תשובה: y = −6x + 2.8

קיצון של פונקציה ← חיתוך של הנגזרת שלה עם ציר x; וקיצון של f′ ← פיתול של f. השיפוע של המשיק נקרא מציר y של גרף f′.