בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 571 (35571) · שאלות לפי נושא
שאלות בגרות 571 לפי נושא – חקירת פונקציות – פולינום, מנה ושורש
כל השאלות בנושא חקירת פונקציות – פולינום, מנה ושורש מבחינות הבגרות בשאלון 571, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. חקירת פונקציה רציונלית, פולינום ופונקציית שורש, עם פרמטרים, גרף הנגזרת וסעיפי השטח והאינטגרל. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.
נתונה הפונקציה f(x) = 6(x − 1)2x2 + a. a הוא פרמטר חיובי.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
ב. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן. הביעו את תשובותיכם באמצעות a אם יש צורך.
נתון כי שיעור ה־y של נקודת המקסימום של הפונקציה f(x) הוא 7.5.
ג. מצאו את הערך של a.
בעבור הערך של a שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ה.
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
f'(x) היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה f(x). g(x) היא פונקציה המקיימת g(x) = −f'(x)(f(x))2.
ה. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x). (2) מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה g(x). (3) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) ועל ידי ציר ה־x בתחום −a ≤ x ≤ 0.
✏️ פתרון שאלה 6
סעיף א (1) – תחום הגדרה
פונקציה רציונלית מוגדרת כאשר המכנה שונה מ־0:📐 תחום הגדרה של מנההמכנה ≠ 0
x2 + a = 0
x2 = −a
a > 0, ולכן −a < 0. ריבוע לא יכול להיות שלילי – למשוואה אין פתרון, והמכנה אף פעם לא מתאפס.
✅ פתרון סופי:כלx
סעיף א (2) – אסימפטוטות
אסימפטוטה אנכית: אין – המכנה אף פעם לא מתאפס (סעיף א(1)).
נתונה הפונקציה f(x) = 2ax(x2 − 9)2. a הוא פרמטר חיובי.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים. (3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה). (4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x), ונתון כי g′(x) = f(x) + 1. תחום ההגדרה של g(x) ושל g′(x) זהה לתחום ההגדרה של f(x). לפונקציה g(x) יש נקודת קיצון שבה x = −1.
ב. מצאו את a.
נתון כי גרף הפונקציה g(x) עובר דרך הנקודה (1 , 7).
ג. כתבו ביטוי אלגברי אפשרי לפונקציה g(x).
ד. איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם יכול לתאר את גרף הפונקציה g(x)? נמקו.
✏️ פתרון שאלה 6
סעיף א – חקירת f
(1) תחום הגדרה
המכנה לא יכול להיות 0:
(x2 − 9)2 ≠ 0 ⇐ x2 ≠ 9 ⇐ x ≠ ±3
✅ פתרון סופי:x ≠ ±3
(2) אסימפטוטות
אסימפטוטות אנכיות: x = 3 ו־x = −3 – שם המכנה מתאפס והמונה לא (2a · 3 ≠ 0).📐 משפטאסימפטוטה אנכית – המכנה מתאפס והמונה שונה מ־0
אסימפטוטה אופקית: במונה מעלה 1 ובמכנה מעלה 4, ולכן y = 0.📐 משפטאסימפטוטה אופקית של פונקציית מנה – מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה ⇐ y = 0
✅ פתרון סופי:x = 3 , x = −3 , y = 0
(3) עלייה וירידה
נסמן u = 2ax ו־v = (x2 − 9)2. אז u′ = 2a, ולפי כלל השרשרת v′ = 2(x2 − 9) · 2x = 4x(x2 − 9).
f′(x)📐 נוסחה: נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 2a(x2 − 9)2 − 2ax · 4x(x2 − 9)(x2 − 9)4
נוציא גורם משותף 2a(x2 − 9) במונה ונצמצם:
f′(x) = 2a[(x2 − 9) − 4x2](x2 − 9)3
= 2a(−3x2 − 9)(x2 − 9)3
= −6a(x2 + 3)(x2 − 9)3
המונה −6a(x2 + 3) תמיד שלילי, כי a > 0 וגם x2 + 3 > 0.
לכן f′ אף פעם לא מתאפסת.
אין נקודות קיצון; הסימן של f′ נקבע רק לפי המכנה (x2 − 9)3:
ב־−3 < x < 3 המכנה שלילי, ולכן הנגזרת תמיד חיובית – f עולה.
ב־x < −3 וב־x > 3 המכנה חיובי, ולכן הנגזרת תמיד שלילית – f יורדת.
✅ פתרון סופי: עלייה: −3 < x < 3; ירידה: x < −3 , x > 3
(4) סקיצה
f(−x) = −f(x) – הפונקציה אי־זוגית, הגרף סימטרי ביחס לראשית ועובר בנקודה (0 , 0). משמאל ל־x = −3 הגרף מתחת לציר ויורד ל־−∞; בין −3 ל־3 הוא עולה מ־−∞ ל־+∞; מימין ל־x = 3 הוא מעל הציר ויורד מ־+∞ אל 0.
✅ פתרון סופי:הסקיצה למעלה
סעיף ב – מציאת a
ב־x = −1 יש קיצון ל־g, ולכן g′(−1) = 0:
f(−1) + 1 = 0 ⇐ f(−1) = −1
2a · (−1)((−1)2 − 9)2 = −1
−2a64 = −1 ⇐ a = 32
בדיקה: f עולה בתחום −3 < x < 3, ולכן f + 1 עובר מסימן שלילי לחיובי ב־x = −1 – יש שם באמת קיצון (מינימום).
✅ פתרון סופי:a = 32
סעיף ג – ביטוי ל־g
g′(x) = 64x(x2 − 9)2 + 1
∫64x(x2 − 9)2 dx📐 נוסחה: אינטגרל של פונקציה מורכבת (שרשרת הפוכה)∫f′(x) · [f(x)]n dx = = [f(x)]n+1n + 1 + C
= 32 · ∫2x(x2 − 9)−2 dx
= −32(x2 − 9)
g(x) = −32(x2 − 9) + x + C
נציב את הנקודה (1 , 7):
7 = −321 − 9 + 1 + C
7 = 4 + 1 + C ⇐ C = 2
g(x) = −32(x2 − 9) + x + 2
הערה: תחום ההגדרה בנוי משלושה קטעים נפרדים, ובכל קטע הקבוע יכול להיות שונה. לכן השאלה מבקשת ביטוי אפשרי; זה שמצאנו מתאים.
✅ פתרון סופי:g(x) = −32(x2 − 9) + x + 2
סעיף ד – זיהוי הגרף
−32(x2 − 9) שואף ל־0 כש־x → ±∞, ולכן לגרף של g יש אסימפטוטה משופעת y = x + 2 – הגרף עולה ל־+∞ מימין ויורד ל־−∞ משמאל. בגרפים III ו־IV יש אסימפטוטות אופקיות, ולכן הם נפסלים.
ליד האסימפטוטות האנכיות: כש־x → 3+ ו־x → −3− המכנה x2 − 9 שואף ל־0 מהצד החיובי, ולכן g → −∞. כש־x שואף ל־±3 מתוך הקטע −3 < x < 3, g → +∞.
לכן בקטע האמצעי צורת "קערה" עם מינימום ב־x = −1 (g(−1) = 5), ומשמאל ל־x = −3 הגרף יורד ל־−∞ כשמתקרבים לאסימפטוטה. גרף I עולה ל־+∞ משמאל ל־x = −3 – לא מתאים. גרף II מתאים לכל התכונות.
נתון כי f′(x) = −4x(x2 − a2)3 היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה f(x). a הוא פרמטר חיובי. הפונקציות f(x) ו־f′(x) מוגדרות באותו התחום. בסעיפים א–ג הביעו את תשובותיכם באמצעות a, אם יש צורך.
א. מצאו את תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת f′(x).
ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).
נתון כי לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה y = 0. ג. מצאו פונקציה f(x) המקיימת תנאים אלה.
ד. התאימו לכל אחת מן הפונקציות f(x) , g(x) , h(x) גרף אפשרי המייצג אותה מבין הגרפים I–IV. נמקו את תשובותיכם.
נתון כי לפונקציה h(x − 9) יש אסימפטוטה שמשוואתה x = 0.8a. ה. מצאו את הערך של a.
✏️ פתרון שאלה 6
סעיף א – תחום הגדרה
המכנה לא יכול להיות 0:
(x2 − a2)3 ≠ 0 ⇐ x2 ≠ a2 ⇐ x ≠ ±a
✅ פתרון סופי:x ≠ ±a
סעיף ב – עלייה וירידה
המונה −4x: חיובי כש־x < 0, שלילי כש־x > 0. המכנה (x2 − a2)3 – אותו סימן כמו x2 − a2: חיובי כש־|x| > a, שלילי כש־−a < x < a.
x < −a: מונה חיובי, מכנה חיובי ⇐ f′ > 0 – עולה.
−a < x < 0: מונה חיובי, מכנה שלילי ⇐ f′ < 0 – יורדת.
0 < x < a: מונה שלילי, מכנה שלילי ⇐ f′ > 0 – עולה.
x > a: מונה שלילי, מכנה חיובי ⇐ f′ < 0 – יורדת.
✅ פתרון סופי: עלייה: x < −a , 0 < x < a ירידה: −a < x < 0 , x > a
סעיף ג – מציאת f
נמצא פונקציה קדומה. הנגזרת של x2 − a2 היא 2x, ולכן נכתוב −4x = −2 · 2x:
f(x) = ∫−2 · 2x(x2 − a2)−3 dx📐 נוסחה: אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית∫f′(x)[f(x)]n dx = [f(x)]n+1n + 1 + C
= −2 · (x2 − a2)−2−2 + C
f(x) = 1(x2 − a2)2 + C
כש־x → ∞ השבר שואף ל־0, ולכן האסימפטוטה האופקית היא y = C. נתון y = 0, ולכן C = 0:
f(x) = 1(x2 − a2)2
✅ פתרון סופי:f(x) = 1(x2 − a2)2
סעיף ד – התאמת גרפים
f(x) = 1(x2 − a2)2: תמיד חיובית, זוגית, עם אסימפטוטות אנכיות x = ±a. זה גרף II.
g(x): נצמצם ב־x − a (בתחום x ≠ a):
g(x) = x − a(x − a)2(x + a)2
= 1(x − a)(x + a)2
ליד x = −a הגורם (x + a)2 חיובי ו־x − a < 0, ולכן g → −∞ משני צדי האסימפטוטה; ליד x = a הסימן מתחלף (+∞ מימין, −∞ משמאל). זה גרף I.
h(x): נצמצם ב־(x − a)2:
h(x) = 1(x + a)2 , x ≠ ±a
חיובית, אסימפטוטה אנכית רק ב־x = −a (משמאל לציר ה־y), וב־x = a (מימין לציר) יש "חור" – הנקודה (a , 14a2) חסרה. זה גרף III. (בגרף IV האסימפטוטה מימין והחור משמאל – לא מתאים.)
✅ פתרון סופי:f(x) – גרף II g(x) – גרף I h(x) – גרף III
סעיף ה – מציאת a
h(x − 9) = 1(x − 9 + a)2
האסימפטוטה האנכית היא כשהמכנה מתאפס (ב־x − 9 = a יש רק חור):
x − 9 + a = 0 ⇐ x = 9 − a
9 − a = 0.8a
9 = 1.8a ⇐ a = 5
✅ פתרון סופי:a = 5
📌 סיכום התשובות – שאלה 6
סעיף א
x ≠ ±a
סעיף ב
עלייה: x < −a , 0 < x < a ירידה: −a < x < 0 , x > a
נתונה הפונקציה: f(x) = 4x(x2 − a)2, a הוא פרמטר חיובי. ענו על סעיפים א–ה. הביעו את תשובותיכם באמצעות a אם יש צורך.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x). (3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).
ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
g(x) היא פונקציה המקיימת g′(x) = f(x). גרף הפונקציה g(x) עובר בנקודה (0 , 0). הפונקציות f(x) ו־g(x) מוגדרות באותו התחום.
ג. מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של הפונקציה g(x).
ד. (1) מצאו פונקציה g(x) המקיימת תנאים אלו. (2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x) שמצאתם בתת־סעיף ד(1).
h(x) היא פונקציה המוגדרת כך: h(x) = f(x) · g(x). הפונקציות f(x) ו־h(x) מוגדרות באותו התחום.
ה. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המקבילות לצירים של הפונקציה h(x). (2) מצאו את תחומי החיוביות של הפונקציה h(x).
✏️ פתרון שאלה 6
סעיף א – חקירת f
(1) המכנה לא יכול להיות 0:
x2 − a ≠ 0 ⇐ x ≠ ±√a
(2) אסימפטוטות:
x = √a ו־x = −√a – המכנה מתאפס והמונה לא.📐 משפטאסימפטוטה אנכית – המכנה מתאפס והמונה שונה מ־0
y = 0 – מעלת המונה (1) קטנה ממעלת המכנה (4).📐 משפטאסימפטוטה אופקית – מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה ⇐ y = 0
המכנה (x2 − a)3 שלילי כאשר −√a < x < √a, וחיובי כאשר x < −√a או x > √a.
לכן אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד חיובית ב־−√a < x < √a (עלייה), ותמיד שלילית ב־x < −√a וב־x > √a (ירידה).
✅ פתרון סופי: תחום: x ≠ ±√a אסימפטוטות: x = ±√a , y = 0 עלייה: −√a < x < √a; ירידה: x < −√a , x > √a
סעיף ב – סקיצה של f
f(−x) = −f(x) – הפונקציה אי־זוגית, הגרף עובר בראשית. משמאל ל־x = −√a: מתחת לציר ויורדת ל־−∞. בין האסימפטוטות: עולה מ־−∞ ל־+∞. מימין ל־x = √a: מעל הציר ויורדת אל 0.
✅ פתרון סופי:הסקיצה למעלה
סעיף ג – קעירות של g
g″(x) = f′(x): g קעורה כלפי מעלה כאשר f′ > 0, וכלפי מטה כאשר f′ < 0.📐 משפטקעירות וסימן הנגזרת השנייה – g″ > 0 ⇐ קעורה כלפי מעלה
מסעיף א(3): כלפי מעלה – −√a < x < √a; כלפי מטה – x < −√a , x > √a.
✅ פתרון סופי: כלפי מעלה: −√a < x < √a כלפי מטה: x < −√a , x > √a
סעיף ד – הפונקציה g
(1) מציאת g
g(x) = ∫4x(x2 − a)−2 dx📐 נוסחה: אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית∫f′(x)[f(x)]n dx = [f(x)]n+1n + 1 + C
= 2 · (x2 − a)−1−1 + C
= −2(x2 − a) + C
(הנגזרת של x2 − a היא 2x, ולכן 4x = 2 · 2x.) הגרף עובר ב־(0 , 0):
0 = −2−a + C ⇐ C = −2a
g(x) = −2(x2 − a) − 2a
✅ פתרון סופי:g(x) = −2(x2 − a) − 2a
(2) סקיצה
g זוגית, g(0) = 0. אסימפטוטות: x = ±√a ו־y = −2a. בקטע האמצעי g יורדת ואז עולה (כי g′ = f שלילית ואז חיובית) – מינימום (0 , 0), ושואפת ל־+∞ ליד האסימפטוטות. בענפים החיצוניים g שואפת ל־−∞ ליד האסימפטוטות, ומתקרבת ל־y = −2a מלמטה.
✅ פתרון סופי:הסקיצה למעלה
סעיף ה – הפונקציה h
(1) אסימפטוטות
אסימפטוטות אנכיות: x = ±√a (שם f ו־g שואפות לאינסוף). כש־x → ±∞: f → 0 ו־g → −2a, ולכן h = f · g → 0:
x = ±√a , y = 0
✅ פתרון סופי:x = ±√a , y = 0
(2) תחומי חיוביות
סימן f כסימן x (המכנה תמיד חיובי). סימן g: בקטע האמצעי g ≥ 0 (מינימום 0 ב־x = 0); בענפים החיצוניים g < −2a < 0.
h > 0 כאשר ל־f ול־g אותו סימן: בקטע האמצעי – 0 < x < √a (שם f > 0 , g > 0); בענפים החיצוניים – x < −√a (שם f < 0 , g < 0).
✅ פתרון סופי:x < −√a , 0 < x < √a
📌 סיכום התשובות – שאלה 6
סעיף א (1)
x ≠ ±√a
סעיף א (2)
x = ±√a , y = 0
סעיף א (3)
עלייה: −√a < x < √a ירידה: x < −√a , x > √a
סעיף ב
סקיצה
סעיף ג
כלפי מעלה: −√a < x < √a כלפי מטה: x < −√a , x > √a
a2 − 4x = 0📐 משפט: נקודת קיצוןf′(x) = 0ובדיקת סימן הנגזרת משני הצדדים
x = a24
מכיוון ש־a < 4, מתקיים a24 < 4. טבלת סימנים:
x
x < a24
a24
a24 < x < 4
מונה
+
0
−
מכנה
−
−
−
f′
−
0
+
f
↘
מינ׳
↗
הנגזרת עוברת משלילית לחיובית – נקודת מינימום.
✅ פתרון סופי:x = a24 – מינימום
סעיף א (5) – סקיצה
נאסוף: משמאל הגרף מתקרב ל־y = 1 מלמטה, יורד, חותך את ציר ה־x ב־−a, את ציר ה־y ב־(0 , −a216), מגיע למינימום ב־x = a24 ועולה – חותך ב־a ושואף ל־∞ ליד x = 4.
מימין ל־x = 4: המונה של f′ שלילי והמכנה חיובי – הפונקציה יורדת מ־∞ אל האסימפטוטה y = 1.
━f(x) (כחול)
הסרטוט בקנה מידה לדוגמה עם a = 2. המינימום: (1 , −13)
סעיף ב (1) – g(x) > f(x)
g(x) − f(x) = x2 − (x2 − a2)(x − 4)2
g(x) − f(x) = a2(x − 4)2
המונה a2 > 0 והמכנה ריבוע חיובי (כי x ≠ 4), ולכן g(x) − f(x) > 0.
✅ פתרון סופי:g(x) − f(x) = a2(x − 4)2 > 0
סעיף ב (2) – השטח
לפי ב (1) הגרף של g מעל הגרף של f, ולכן:
S = ∫01 (g(x) − f(x))dx📐 נוסחה: שטח בין שני גרפיםS = ∫ab (g(x) − f(x))dx(g מעל f)
S = ∫01a2(x − 4)2dx
S = a2 [−1x − 4]01📐 נוסחה: אינטגרל∫ 1(x − b)2dx = −1x − b + c
אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד שלילית ב־x < 0 וב־x > 0, ולכן f יורדת בכל אחד מהענפים.
✅ פתרון סופי:ירידה: x < 0 , x > 0 ; עלייה: אין
סעיף א (5) – קעירות
f″(x) = 4ax3📐 נגזרת של חזקה(xn)′ = nxn−1
הסימן של f″ כסימן של x3:
x > 0 : f″(x) > 0
x < 0 : f″(x) < 0
✅ פתרון סופי:קעורה כלפי מעלה: x > 0 ; קעורה כלפי מטה: x < 0
סעיף ב – סקיצה של f
לפי סעיף א: אסימפטוטה x = 0, יורדת בכל ענף, חותכת את ציר ה־x ב־±√(2a), קעורה כלפי מעלה מימין ל־0 וכלפי מטה משמאל. הגרף סימטרי ביחס לראשית (פונקציה אי־זוגית).
✅ פתרון סופי:ראו סקיצה
סעיף ג – סקיצה של g
את |f(x)| מקבלים משיקוף החלקים של f שמתחת לציר ה־x אל מעליו. אחר כך מורידים את כל הגרף ב־b יחידות.
בנקודות x = ±√(2a) נוצרות נקודות מינימום (חודים), ושם g = −b.
✅ פתרון סופי:ראו סקיצה
סעיף ד – הערכים של a ו־b
הנקודות היחידות שבהן ל־g יש קיצון הן נקודות המינימום (±√(2a) , −b). לכן:
√(2a) = 2
2a = 4 , a = 2
−b = −3 , b = 3
✅ פתרון סופי:a = 2 , b = 3
סעיף ה – סוג נקודת הקיצון של s
s′(x) = g(x)📐 נגזרת של פונקציה צוברת(∫xa g(t) dt)′ = g(x)
f(x) = 4 − x2x , g(x) = |f(x)| − 3
בתחום x > 1 הפונקציה f יורדת מ־f(1) = 3, ולכן f(x) < 3. נמצא מתי g(x) = 0, כלומר f(x) = −3:
נתונה פונקציה f(x) המוגדרת בתחום x < b , b < x < c , c < x וגזירה בכל תחום הגדרתה. בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרתf′(x).
לפונקציית הנגזרת f′(x) יש נקודת קיצון אחת בלבד ושלוש אסימפטוטות המאונכות לצירים: x = c , x = b , y = 0. שיעור ה־x של נקודת הקיצון של f′(x) הוא a. a, b ו־c הם פרמטרים.
א. הביעו את תשובותיכם באמצעות a, b ו־c, אם יש צורך.
(1) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה (∪) ואת תחומי הקעירות כלפי מטה (∩) של הפונקציה f(x).
נתון כי גרף הפונקציה f(x) עובר בנקודה (a , 0).
ב. סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x).
נתון גם כי f(x) = 18 − 36x(x2 − x − 6)2.
ג. מצאו את a, b ו־c.
ד. (1) הראו כי בתחום b < x < c מתקיים: f′(x) · [f(x)]2 ≤ 0.
(2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f′(x) · [f(x)]2, על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 0 ו־x = 2a.
✏️ פתרון שאלה 6
סעיף א (1) – עלייה וירידה
קוראים מהגרף את הסימן של f′:📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – f עולה ; f′ < 0 – f יורדת
• x < b: הגרף של f′ מעל ציר ה־x – f′ > 0.
• b < x < c: הגרף מתחת לציר – f′ < 0.
• x > c: הגרף מעל הציר – f′ > 0.
✅ פתרון סופי: עולה: x < b , x > c ; יורדת: b < x < c
סעיף א (2) – קעירות
קוראים מהגרף מתי f′ עולה ומתי היא יורדת:📐 משפט: קעירותf′ עולה – f קעורה כלפי מעלה ; f′ יורדת – f קעורה כלפי מטה
• x < b: f′ עולה (שואפת ל־∞ ליד b).
• b < x < a: f′ עולה מ־−∞ עד נקודת הקיצון שלה.
• a < x < c: f′ יורדת מנקודת הקיצון ל־−∞.
• x > c: f′ יורדת מ־∞ לעבר 0.
✅ פתרון סופי:∪: x < b , b < x < a ; ∩: a < x < c , x > c
סעיף ב – סקיצה
מה שאנחנו יודעים על f:
• x = b ו־x = c מחוץ לתחום – הגרף מתקרב אליהם (בגרף שלמטה, מסעיף ג, אלה אסימפטוטות אנכיות).
• עולה וקעורה כלפי מעלה משמאל ל־b.
• יורדת בין b ל־c, ועוברת ב־(a , 0) – שם הקעירות מתחלפת, כלומר (a , 0) נקודת פיתול.
• עולה וקעורה כלפי מטה מימין ל־c.
סקיצה אפשרית (זה בדיוק הגרף של הפונקציה מסעיף ג, בקנה מידה, בכחול; b = −2, a = 0.5, c = 3):
✅ פתרון סופי: הסקיצה שבסרטוט
סעיף ג – מציאת a, b, c
b ו־c הם הנקודות שבהן המכנה מתאפס:
x2 − x − 6 = 0
(x − 3)(x + 2) = 0
x = −2 , x = 3
מהסרטוט b < c, ולכן:
b = −2 , c = 3
f(a) = 0 (הגרף עובר ב־(a , 0)):
18 − 36a = 0
a = 0.5
✅ פתרון סופי:a = 0.5 , b = −2 , c = 3
סעיף ד (1) – הסימן של f′(x)·f²(x)
בתחום b < x < c הנגזרת שלילית (סעיף א):
f′(x) < 0
ריבוע של מספר אינו שלילי:
[f(x)]2 ≥ 0
מכפלה של מספר שלילי במספר לא שלילי:
f′(x) · [f(x)]2 ≤ 0
✅ פתרון סופי: הוכחה
סעיף ד (2) – השטח
הקטע 0 ≤ x ≤ 2a = 1 נמצא בתוך −2 < x < 3, ולכן שם הפונקציה אינה חיובית והשטח הוא מינוס האינטגרל:
S = −∫01 f′(x) · [f(x)]2 dx📐 נוסחה: שטח מתחת לצירS = −∫ab g(x) dx
∫ f′(x) · [f(x)]2 dx = [f(x)]33 + C📐 נוסחה: אינטגרל של פונקציה מורכבת∫ f′(x) · [f(x)]n dx = [f(x)]n + 1n + 1 + C
ב־x = −1: עלייה ואחריה ירידה – מקסימום. ב־x = 0: ירידה ואחריה עלייה – מינימום.
f(−1) = 1(−1 − 2)2 = 19
f(0) = 0
✅ פתרון סופי: מקסימום (−1 , 19) , מינימום (0 , 0)
סעיף ד – סקיצה של f
גרף f(x) (כחול), האסימפטוטה x = ∛2 ≈ 1.26 (ירוק חזק, מקווקו), האסימפטוטה y = 0 – ציר ה־x.
עולה ב־x < −1 וב־0 < x < ∛2; יורדת ב־−1 < x < 0 וב־x > ∛2. הפונקציה אי־שלילית (ריבוע חלקי ריבוע).
✅ פתרון סופי:ראו סקיצה
סעיף ה (1) – סקיצה אפשרית של g
k < 0: הגרף של g(x) = k · f(x) הוא הגרף של f(x) "הפוך" (שיקוף בציר ה־x ומתיחה). המקסימום של f הופך למינימום של g ב־x = −1, המינימום ב־(0 , 0) הופך למקסימום, האסימפטוטות לא משתנות.
סקיצה של g(x) (כחול) – מצויר עבור k = −18 (סעיף ה(2)). האנך x = −1 (סגול), השטח (תכלת).
✅ פתרון סופי:ראו סקיצה
סעיף ה (2) – הערך של k
נקודת הקיצון השמאלית של g היא ב־x = −1, והאנך הוא x = −1. מימין לאנך הגרף עולה עד (0 , 0) – שם הוא נוגע בציר ה־x. השטח בתחום −1 ≤ x ≤ 0 נמצא מתחת לציר (g ≤ 0):
S = −∫−10 k · x2(x3 − 2)2 dx📐 נוסחה: שטח מתחת לציר xS = −∫ab g(x)dx
פונקציה קדומה: נבדוק בגזירה (פונקציה מורכבת):
(−13(x3 − 2))′📐 נוסחה: נגזרת של פונקציה מורכבת((g(x))n)′ = n(g(x))n−1 · g′(x)
לכן אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד שלילית ב־x < −a וב־x > a.
✅ פתרון סופי: יורדת ב־x < −a וב־x > a; אין עלייה
סעיף ד – סקיצה
• ב־x > a: יורדת מ־+∞ (ליד x = a) ומתקרבת ל־y = 1 מלמעלה.
• ב־x < −a: יורדת מ־y = −1 (משמאל) אל −∞ ליד x = −a. (סימטריה סביב הראשית.)
✅ פתרון סופי: סקיצה – שני ענפים יורדים, סימטריים סביב הראשית
סעיף ה (1) – עלייה וירידה של g
g(x) = 1(f(x))2 = x2 − a2x2
= 1 − a2x2
לא גוזרים את g. קודם הגרף של f2 (סקיצה 1), ואחר כך g = 1f2 (סקיצה 2, בסעיף ה(2)).
סקיצה 1 – הגרף של f2: מהסקיצה של f (סעיף ד):
• ב־x > a: f חיובית ויורדת מ־+∞ אל 1, ולכן f2 יורדת מ־+∞ אל 1.
• ב־x < −a: f שלילית ויורדת מ־−1 אל −∞ – המרחק שלה מ־0 גדל, ולכן f2 עולה מ־1 אל +∞.
f2 חיובית בכל התחום, ולכן g עולה איפה ש־f2 יורדת, ויורדת איפה ש־f2 עולה.📐 הפונקציה 1 חלקי fבקטע שבו f לא מחליפה סימן: f עולה ⇐ 1f יורדת; f יורדת ⇐ 1f עולה
• ב־x > a: g עולה (מ־0 אל 1).
• ב־x < −a: g יורדת (מ־1 אל 0).
✅ פתרון סופי: עולה ב־x > a , יורדת ב־x < −a
סעיף ה (2) – איזה גרף מתאר את g
• g = 1 − a2x2 לא שואפת לאין־סוף בשום מקום – אין לה אסימפטוטות אנכיות. כאשר x → ±a, g → 0 (הנקודות (±a , 0) לא בתחום – עיגולים ריקים).
• כאשר x → ±∞, g → 1 – אסימפטוטה y = 1 משני הצדדים.
• g זוגית (g(−x) = g(x)): יורדת משמאל ועולה מימין.
גרף I הוא היחיד שבו שני הענפים יוצאים מעיגולים ריקים על ציר ה־x ומתקרבים לקו אופקי – משמאל יורד ומימין עולה.
סקיצה 2 – הגרף של g:
✅ פתרון סופי: גרף I
סעיף ו – הערך של a
בתחום 2a ≤ x ≤ 3a מתקיים g > 0, ולכן השטח הוא האינטגרל:
S = ∫3a2a(1 − a2x−2) dx📐 אינטגרל של חזקה∫xn dx = xn+1n + 1 + C
לפי סעיף א: מתחילה בנקודה (0 , −1) ויורדת אל −∞ ליד האסימפטוטה x = 4 [תכלת, מקווקו]. מימין לאסימפטוטה עולה מ־−∞, חותכת את ציר ה־x ב־(16 , 0), מגיעה למקסימום (36 , 18) ויורדת אל האסימפטוטה y = 0. הגרף [כחול] בקנה מידה:
I. שיפוע המשיק לגרף g הוא g′(x) = f(x). לפי סעיפים א–ב, בתחום 0 ≤ x < 4 הפונקציה f יורדת מ־−1, ובתחום x > 4 הערך הגדול ביותר שלה הוא 18. לכן תמיד f(x) ≤ 18 < 2, ואין משיק ששיפועו 2 – הטענה לא נכונה.📐 שיפוע משיקm = g′(x0)
II.g″(x) = f′(x). לפי הטבלה בסעיף א (4), f′ מחליפה סימן (בתחום ההגדרה) רק ב־x = 36 (ב־x = 4 הפונקציה g לא מוגדרת). לכן ל־g נקודת פיתול אחת בלבד – הטענה נכונה.📐 נקודת פיתולg″ מחליפה סימן
✅ פתרון סופי: I – לא נכונה ; II – נכונה
סעיף ה – האינטגרל
לפי סעיף ג f(x) = g′(x), ולכן g(x) · f(x) = g(x) · g′(x):
∫ g(x) · g′(x) dx = g2(x)2 + C📐 אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית∫ gn(x) · g′(x) dx = gn+1(x)n + 1 + C
הגרף מתחיל בעיגול ריק בנקודה (−3 , 0), יורד עד המינימום (−1 , −4√2), ואחר כך עולה דרך (0 , −3√3) ו־(3 , 0) לאינסוף.
✅ פתרון סופי: הסקיצה שלמעלה
סעיף ג (1) – תחומי הגדרה
g(x) = −f(x + 2): צריך ש־x + 2 יהיה בתחום של f:
x + 2 > −3 ⟸ x > −5
h(x) = |f(x)| מוגדרת בדיוק איפה ש־f מוגדרת:
x > −3
✅ פתרון סופי:g: x > −5 , h: x > −3
סעיף ג (2) – השוואת המקסימומים
g: הזזה של f שתי יחידות שמאלה ושיקוף סביב ציר ה־x. המינימום של f הופך למקסימום:📐 הזזה ושיקוףf(x + 2) – הזזה שמאלה, −f – שיקוף סביב ציר ה־x
(−1 − 2 , 4√2) = (−3 , 4√2)
h = |f|: החלק השלילי של f (בין −3 ל־3) משתקף כלפי מעלה. המינימום (−1 , −4√2) הופך למקסימום:
(−1 , 4√2)
בשתי הפונקציות שיעור ה־y של המקסימום הוא 4√2.
בסרטוט: g בסגול, h בירוק, והקו המקווקו בגובה 4√2:
✅ פתרון סופי:שווה – בשתיהן y = 4√2
סעיף ד – מציאת k
בקטע −1 ≤ x ≤ 3 הפונקציה f אינה חיובית, ולכן h(x) = −f(x):
∫−13 h(x) dx = ∫−13 −f(x) dx
באגף ימין: הגרף של g(x) = −f(x + 2) הוא הגרף של −f מוזז 2 יחידות שמאלה. לכן אם מזיזים גם את גבולות האינטגרל ב־2 ימינה, השטח נשאר אותו שטח (−3 עובר ל־−1, ו־k עובר ל־k + 2):
∫−3k g(x) dx = ∫−3k −f(x + 2) dx📐 הזזה באינטגרלהשטח לא משתנה בהזזה אופקית
= ∫−1k + 2 −f(x) dx
∫−13 −f(x) dx = ∫−1k + 2 −f(x) dx
k + 2 = 3 ⟸ k = 1
הפתרון יחיד: −f חיובית בין −1 ל־3 ושלילית אחרי 3, ולכן כל גבול עליון אחר נותן אינטגרל קטן יותר.
נתונה הפונקציה f(x) = x2√(x2 − a2), a הוא פרמטר, a > 0.
ענו על הסעיפים א–ג באמצעות a, אם יש צורך.
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
ב. הוכיחו כי f(x) היא פונקציה זוגית.
ג. (1) מצאו את נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).
(2) מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים (אם יש כאלה).
(3) מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה (f(x))2, שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של f(x).
ד. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה (f(x))2, וקבעו את סוגן.
נתונה הפונקציה g(x) = 1(f(x))2, שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של f(x).
ה. היעזרו בסעיפים הקודמים, וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
נתון: a = 2.
ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 3 ו־x = 4.
✏️ פתרון שאלה 6
סעיף א – תחום ההגדרה
x2 − a2 > 0📐 כלל: תחום הגדרה של שורש במכנההביטוי שבתוך השורש חייב להיות חיובי (> 0)
x2 > a2📐 נוסחה: העברת אגפיםx2 − a2 > 0 ⟺ x2 > a2
x < −a📐 כלל: אי־שוויון ריבועיx2 > a2 (a > 0) ⟺ x < −a או x > a
או
x > a
✅ פתרון סופי:x < −a או x > a
סעיף ב – f זוגית
התחום סימטרי ביחס ל־0. נציב −x:📐 הגדרה: פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)
f(−x) = (−x)2√((−x)2 − a2)📐 הגדרה: פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)
f(−x) = x2√(x2 − a2) = f(x)📐 נוסחה: ריבוע של מספר נגדי(−x)2 = x2
✅ פתרון סופי:הוכחה – f(−x) = f(x)
סעיף ג (1) – חיתוך עם הצירים
ציר ה־y: x = 0 אינו בתחום ההגדרה (0 אינו מקיים x < −a או x > a), ולכן אין חיתוך עם ציר ה־y.📐 כלל: חיתוך עם ציר yמציבים x = 0
ציר ה־x: נשווה את המונה ל־0:📐 כלל: חיתוך עם ציר xf(x) = 0 ⟺ המונה = 0 (והמכנה מוגדר ושונה מ־0)
x2 = 0📐 כלל: חיתוך עם ציר xf(x) = 0 ⟺ המונה = 0
⟹ x = 0
גם x = 0 אינו בתחום, ולכן אין חיתוך עם ציר ה־x.
✅ פתרון סופי:אין נקודות חיתוך עם הצירים
סעיף ג (2) – אסימפטוטות
אנכיות: המכנה מתאפס ב־x = ±a, והמונה שם שווה ל־a2 ≠ 0:📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה
x = a📐 כלל: אסימפטוטה אנכיתx = c שמאפס את המכנה ולא מאפס את המונה
x = −a
אופקיות: כאשר x → ∞ או x → −∞, המכנה מתנהג כמו |x| והמונה כמו x2, כלומר f(x) מתנהגת כמו |x| ושואפת ל־∞:📐 כלל: אסימפטוטה אופקיתקיימת רק אם f(x) שואפת למספר סופי כש־x → ±∞
נכפול את המונה והמכנה ב־√(x2 − a2):📐 נוסחה: הרחבת שברuv = u · kv · k
f′(x) = 2x(x2 − a2) − x3(x2 − a2)√(x2 − a2)📐 נוסחה: הרחבת שברuv = u · kv · k
f′(x)📐 נוסחה: הוצאת גורם משותףx3 − 2a2x = x(x2 − 2a2)
= x3 − 2a2x(x2 − a2)√(x2 − a2)
= x(x2 − 2a2)(x2 − a2)√(x2 − a2)
נשווה את הנגזרת ל־0 (x = 0 אינו בתחום):📐 כלל: נקודת קיצון חשודהf′(x) = 0
x2 − 2a2 = 0📐 נוסחה: הוצאת שורשx2 = k ⟹ x = ±√k
⟹ x = √2a
או
x = −√2a
המכנה חיובי בכל התחום. סימן הנגזרת (נבדוק נקודות): עבור a < x < √2a – x > 0 ו־x2 − 2a2 < 0, ולכן f′ < 0 (יורדת); עבור x > √2a – f′ > 0 (עולה).📐 כלל: סוג הקיצוןf′ משנה סימן מ־ − ל־ + ⟸ מינימום
f(√2a) = 2a2√(2a2 − a2) = 2a2a = 2a📐 נוסחה: הצבה√(a2) = a (כי a > 0)
f זוגית, ולכן גם בנקודה הסימטרית x = −√2a יש מינימום עם אותו ערך:📐 הגדרה: פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)
הגרף מעל ציר ה־x (f > 0), שואף ל־∞ ליד x = ±a וכש־x → ±∞, ויש לו שתי נקודות מינימום:📐 תזכורת: שלבי חקירהתחום, זוגיות, חיתוך, אסימפטוטות, קיצון
✅ פתרון סופי: הסקיצה שבסרטוט
סעיף ד – קיצון של (f(x))2
קוראים מהסקיצה של f (סעיף ג (4)): f(x) > 0 בכל התחום, ויש לה מינימום ב־x = ±√2a בגובה 2a.
כשמעלים בריבוע מספרים חיוביים, הסדר נשמר: גדול נשאר גדול וקטן נשאר קטן.📐 הפונקציה (f(x))2כש־f > 0: f2 עולה ויורדת באותם תחומים כמו f, והקיצון באותו x ומאותו סוג
לכן ל־(f(x))2 יש מינימום באותם ערכי x, והערך הוא ריבוע הערך של f:
g(x) = 1/(f(x))2 > 0, ולכן הגרף מעל ציר ה־x.📐 תכונה: פונקציה הופכיתסימן 1/h שווה לסימן h
g(x) = x2 − a2x4📐 נוסחה: חזקה של שבר1(f(x))2 = x2 − a2x4
ליד x = ±a, (f(x))2 → ∞, ולכן g(x) → 0 (הנקודות (±a , 0) אינן בתחום). גם כש־x → ±∞, g(x) → 0, ולכן y = 0 אסימפטוטה אופקית.📐 כלל: גבול של הופכיאם h → ∞ אז 1/h → 0
כאשר (f(x))2 מינימלית, g(x) מקסימלית:📐 כלל: קיצון של הופכימינימום של h > 0 ⟸ מקסימום של 1/h
g(±√2a) = 14a2📐 כלל: קיצון של הופכימינימום של h > 0 ⟸ מקסימום של 1/h
⟹ מקסימום (±√2a , 14a2)
✅ פתרון סופי: הסקיצה שבסרטוט
סעיף ו – השטח
עבור a = 2, בקטע 3 ≤ x ≤ 4 הפונקציה חיובית (מעל ציר ה־x):📐 נוסחה: שטח מתחת לגרףS = ∫ab g(x) dx (כאשר g ≥ 0)
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il