חקירת פונקציות -פולינום ומנה ,פונקציה זוגית ,אי זוגית, קשר בין פונקציה לנגזרת-571. 13 פרקים96 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 84- חקרה עם פרמטר -בגרות 2026 571
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
שאלת בגרות 571 (2026): חקירת פונקציית מנה עם פרמטר a, הזזה למעלה ב-12 ומציאת הפרמטר, ותחומי חיוביות ושליליות של h(x) = g(x) · g′(x).
נתונה הפונקציה f(x) = ax(x − 3)², המוגדרת בתחום x ≠ 3. a הוא פרמטר חיובי.
🔵 סעיף א1: משוואות האסימפטוטות המקבילות לצירים
מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המקבילות לצירים.
תחום הגדרה x ≠ 3 ← אנכית x = 3.
במונה החזקה 1, במכנה (אחרי פתיחה) x² – החזקה במכנה גדולה ← y = 0.
תשובה: x = 3 , y = 0
🟣 סעיף א2: שיעורי נקודת הקיצון וסוגה – נגזרת מנה בלי לפתוח סוגריים
מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) וקבעו את סוגן.
נגזרת מורכבת: ((x − 3)²)′ = 2(x − 3) · 1
f′(x) = a(x − 3)²
− 2(x − 3) · ax(x − 3)⁴ = 0
− 2(x − 3) · ax(x − 3)⁴ = 0
a(x − 3)² − 2ax(x − 3) = 0 /:a
גורם משותף (x − 3): (x − 3)(x − 3 − 2x) = 0
(x − 3)(−x − 3) = 0
x = 3 – לא בתחום ההגדרה ; x = −3 – חשודה לקיצון.
f(−3) = a · (−3)(−3 − 3)² = −3a36 = −a12
המכנה (x − 3)⁴ חיובי; המונה (x − 3)(−x − 3) הוא פרבולה הפוכה שחותכת ב-−3 וב-3:
| x | x < −3 | −3 < x < 3 | x > 3 |
| f′(x) | − | + | − |
| f(x) | ↘ | ↗ | ↘ |
תשובה: (−3 , −a12) מינימום
🟢 סעיף ב: סקיצה של גרף הפונקציה f(x)
סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
אסימפטוטות x = 3, y = 0; מינימום (−3 , −a12); הגרף עובר ב-(0 , 0).
יורדת עד −3, עולה עד 3, ואחרי 3 יורדת ונצמדת ל-y = 0.
תשובה: ראו סקיצה
🔷 סעיף ג: מציאת a – הזזה למעלה ונקודה אחת בלבד משותפת עם ציר x
נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + 12, המוגדרת בתחום x ≠ 3. נתון כי לגרף הפונקציה g(x) יש בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר x. מצאו את הערך של a.
+ 12 ← כל הגרף עולה ב-12 (גם האסימפטוטה האופקית: y = 12).
נקודה אחת בלבד עם ציר x ← נקודת המינימום עולה בדיוק לציר x:
−a12 + 12 = 0 ← a12 = 12
כפל בהצלבה: 2a = 12
תשובה: a = 6
הגרף של g(x): המינימום (−3 , 0) על ציר x
🔵 סעיף ד1: תחומי החיוביות והשליליות של h(x) = g(x) · g′(x)
הציבו בפונקציה g(x) את הערך של a שמצאתם. נתונה הפונקציה h(x) = g(x) · g′(x), המוגדרת בתחום x ≠ 3. רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של h(x).
g(x) תמיד מעל ציר x (חיובית), חוץ מ-x = −3 שבה g = 0.
g′(x) לפי עלייה וירידה של g:
| x | x < −3 | −3 < x < 3 | x > 3 |
| g(x) | + | + | + |
| g′(x) | − | + | − |
| h(x) | − | + | − |
תשובה: חיובית: −3 < x < 3
שלילית: x < −3 , x > 3
💡 לזכור
"בדיוק נקודה אחת משותפת עם ציר x" אחרי הזזה ← נקודת הקיצון נוגעת בציר x. וסימן של מכפלה g · g′: סימן הפונקציה כפול סימן הנגזרת (עולה/יורדת).
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
