אינטגרלים 5 יחידות-571-פונקציה קדומה, שטחים אינטגרל עם זיהוי הנגזרת הפנימית, אינטגרל צובר 8 פרקים44 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 39 – שאלת חשיבה אינטגרל עם פונקציה אי זוגית
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
שאלת חשיבה על פונקציה אי־זוגית: בלי לחשב אף אינטגרל, קובעים מהגרף אם כל טענה נכונה – לפי הסימן של האינטגרל, הסימטריה של הפונקציה, ומה קורה ל־f(x) כשמעלים אותה בריבוע.
🔵 טענה (1): האם ∫20f(x)dx = 0.5∫2−2f(x)dx ? – אינטגרל של פונקציה אי־זוגית
בשרטוט שלפניך: גרף של פונקציה אי־זוגית f(x) בתחום −2 ≤ x ≤ 2 והישרים y = −1 , y = 1 . קבע עבור כל אחת מן הטענות הבאות אם היא נכונה או לא. נמק.
טענה (1): ∫20f(x)dx = 0.5∫2−2f(x)dx
טענה (1): ∫20f(x)dx = 0.5∫2−2f(x)dx
צד שמאל: בין 0 ל־2 הגרף מתחת לציר x, ולכן האינטגרל שלילי:
∫20f(x)dx = −S1 < 0
צד ימין: הפונקציה אי־זוגית, אז השטח משמאל (S1) שווה לשטח מימין, אבל האינטגרל מימין הוא −S1 – והם מאפסים זה את זה:
∫2−2f(x)dx = S1 − S1 = 0
0.5 · 0 = 0
מספר שלילי לא שווה ל־0.
תשובה: הטענה לא נכונה
🟣 טענה (2): האם ∫0−2f(x)dx > ∫20(f(x))²dx ? – מה עושה הריבוע לגרף
טענה (2): ∫0−2f(x)dx > ∫20(f(x))²dx
צד שמאל: בין −2 ל־0 הגרף מעל ציר x, ולכן האינטגרל חיובי:
∫0−2f(x)dx = S1 > 0
צד ימין: (f(x))² – מעלים בריבוע את כל ערכי ה־y, את ה־x לא מזיזים. בריבוע כל הערכים נעשים חיוביים, אז האינטגרל חיובי.
כל ערכי f(x) נמצאים בין הישרים y = −1 ל־y = 1 , ומספר בין −1 ל־1 בריבוע יוצא קטן יותר בערכו המוחלט. לדוגמה:
(−12)² = 14
לכן הגרף של (f(x))² נמוך יותר מהשיקוף של f(x) מעל הציר, והשטח שמתחתיו קטן מ־S1:
∫20(f(x))²dx < S1
S1 > ∫20(f(x))²dx
תשובה: הטענה נכונה
💡 לזכור
אינטגרל מתחת לציר x יוצא שלילי. בפונקציה אי־זוגית האינטגרל בין −a ל־a שווה 0 . מספר בין −1 ל־1 בריבוע נעשה חיובי וקטן יותר.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il