חקירת פונקציות -פולינום ומנה ,פונקציה זוגית ,אי זוגית, קשר בין פונקציה לנגזרת-571. 13 פרקים96 שיעוריםללא הגבלת זמן
שיעור 90- חקירה עם n זוגי ואי זוגי
חקירת פונקציות · 5 יחידות · שאלון 571
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
✏️ תרגילים שנפתרים בסרטון
שאלה מבגרות 2023 חורף: חקירה של f(x) = xn(x + 1)² כש-n מספר טבעי – מפרידים בין n זוגי ל-n אי־זוגי. מציבים מקרה פרטי (n = 2 או n = 3) רק כדי להבין את הסימן.
נתונה הפונקציה f(x) = xn(x + 1)². נתון ש-n > 1 הוא מספר טבעי. הפונקציה מוגדרת לכל x.
🔵 סעיף א: נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים
מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.
ציר y: x = 0 ← f(0) = 0n(0 + 1)² = 0 ← (0 , 0)
ציר x: y = 0 ← xn(x + 1)² = 0
xn = 0 ← x = 0
(x + 1)² = 0 ← x = −1
תשובה: (0 , 0) , (−1 , 0)
🟣 סעיף ב: תחומי חיוביות ושליליות – n זוגי ו-n אי־זוגי
מצא את תחומי החיוביות ותחומי השליליות של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה). הפרד בין n זוגי לבין n אי־זוגי.
חיובית = מעל ציר x, שלילית = מתחת לציר x. נקודות החיתוך: x = −1 , x = 0.
(x + 1)² תמיד חיובי (חוץ מ-x = −1).
n זוגי (למשל n = 2): xn חיובי ← חיובי · חיובי ← הפונקציה תמיד חיובית, חוץ מ-x = 0 , x = −1.
n אי־זוגי (למשל x³(x + 1)²): הסימן של xn תלוי ב-x.
x > 0 (למשל 2: 2³ = 8) ← חיובי · חיובי ← חיובית.
x < 0 (למשל −2: (−2)³ = −8) ← שלילי · חיובי ← שלילית.
תשובה:
n זוגי: חיובית: x < −1 , −1 < x < 0 , x > 0; שלילית: אין
n אי־זוגי: חיובית: x > 0; שלילית: x < −1 , −1 < x < 0
n זוגי: חיובית: x < −1 , −1 < x < 0 , x > 0; שלילית: אין
n אי־זוגי: חיובית: x > 0; שלילית: x < −1 , −1 < x < 0
🟢 סעיף ג: שיעורי ה-x של נקודות הקיצון וסוגן – נגזרת של מכפלה
מצא את שיעורי ה-x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגן. הבע את תשובתך באמצעות n אם יש צורך. הפרד בין n זוגי לבין n אי־זוגי.
נגזרת מכפלה: (f·g)′ = f′·g + g′·f
f′(x) = n·xn−1(x+1)²
+ 2(x+1)·xn
f′(x) = 0 ← גורם משותף xn−1(x + 1):
xn−1(x+1)[n(x+1) + 2x] = 0
xn−1(x + 1)(nx + n + 2x) = 0
xn−1 = 0 ← x = 0
x + 1 = 0 ← x = −1
nx + 2x + n = 0 ← x(n + 2) = −n ← x = −nn + 2
הסדר: −1 < −nn + 2 < 0 (למשל n = 2: −24 = −12).
במקום להציב בנגזרת – משתמשים בסעיף ב: יודעים איפה הפונקציה חיובית ושלילית, ונקודות החיתוך הן גם נקודות קיצון חשודות.
n זוגי: הפונקציה תמיד חיובית ונוגעת בציר ב-−1 וב-0:
| x | −1 | −nn + 2 | 0 | ||||
| f′(x) | − | 0 | + | 0 | − | 0 | + |
| f(x) | ↘ | min | ↗ | max | ↘ | min | ↗ |
n אי־זוגי: שלילית משמאל ל-0 (נוגעת בציר ב-−1) וחיובית מימין ל-0:
| x | −1 | −nn + 2 | 0 | ||||
| f′(x) | + | 0 | − | 0 | + | 0 | + |
| f(x) | ↗ | max | ↘ | min | ↗ | ↗ |
ב-x = 0: הפונקציה עולה משני הצדדים (n − 1 זוגי, הנגזרת לא מחליפה סימן) ← לא נקודת קיצון.
תשובה:
n זוגי: min x = −1 , max x = −nn + 2 , min x = 0
n אי־זוגי: max x = −1 , min x = −nn + 2 ; ב-x = 0 אין קיצון
n זוגי: min x = −1 , max x = −nn + 2 , min x = 0
n אי־זוגי: max x = −1 , min x = −nn + 2 ; ב-x = 0 אין קיצון
💡 לזכור
xn עם n זוגי – תמיד חיובי (חוץ מ-0); עם n אי־זוגי – הסימן כמו של x. מקרה פרטי (n = 2 , n = 3) עוזר להבין, אבל התשובה נכתבת עם n.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il