בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · שאלות לפי נושא

שאלות בגרות 572 לפי נושא – גאומטרייה אנליטית

כל השאלות בנושא גאומטרייה אנליטית מבחינות הבגרות בשאלון 572, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. מעגל, פרבולה, אליפסה, משיקים ומקום גאומטרי. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.

⬅️ חזרה לקורס: הנדסה אנליטית – 572⬅️ חזרה לקורס: מקומות גאומטריים – 582

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 572 לפי נושא

17 שאלות פתורות: 17 מבחינות 572 של 2022–2026, מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.

📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונים הישר y = x והפרבולה y2 = 2px, p > 0.

הנקודה A היא נקודת החיתוך של הישר והפרבולה ברביע הראשון.

א. מצאו את שיעורי הנקודה A. הביעו באמצעות p במידת הצורך.

הישר ℓ משיק לפרבולה בנקודה A. הנקודה F היא מוקד הפרבולה.

המעגל I, שמרכזו בנקודה F, משיק לישר ℓ בנקודה B.

ב. מצאו את משוואת המעגל I. הביעו באמצעות p במידת הצורך.

ג. הראו כי הנקודה B נמצאת על ציר ה־y.

נתון: AB = 4√5.

ד. מצאו את הערך של p.

ה. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של מרכזי כל המעגלים שרדיוסם 2√5 − 3 והמשיקים למעגל I מבפנים.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – שיעורי הנקודה A

הנקודה A נמצאת גם על הישר וגם על הפרבולה, ולכן נפתור את מערכת המשוואות. נציב y = x במשוואת הפרבולה:
x2 = 2px
x2 − 2px = 0
x(x − 2p) = 0
x = 0
או
x = 2p
x = 0 נותן את ראשית הצירים, שאינה ברביע הראשון. לכן x = 2p, ומכיוון ש־y = x:
y = 2p
✅ פתרון סופי: A(2p , 2p)

סעיף ב – משוואת המעגל I

משוואת המשיק ℓ. נציב את A(2p , 2p) בנוסחת המשיק לפרבולה:
y · 2p = p(x + 2p)📐 משיק לפרבולה בנקודה (x1 , y1)y2 = 2pxy · y1 = p(x + x1)
נחלק את שני האגפים ב־p (נתון p > 0):
2y = x + 2p
y = 12x + p
המוקד.
F(p2 , 0)📐 מוקד הפרבולהy2 = 2px ⟸ F(p2 , 0)
הרדיוס. המעגל משיק לישר ℓ, ולכן הרדיוס שווה למרחק של המרכז F מן הישר ℓ. נעביר את משוואת ℓ לצורה Ax + By + C = 0:
2y = x + 2p
x − 2y + 2p = 0
כלומר A = 1, B = −2, C = 2p, והנקודה היא F(p2 , 0):
R = |1 · p2 − 2 · 0 + 2p|√12 + (−2)2📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
R = 5p2√5
R = 5p2√5
R = 5p · √52 · 5
R = √5 p2
R2 = 5p24
משוואת המעגל – מרכז F(p2 , 0), רדיוס בריבוע R2 = 5p24:
(x − p2)2 + y2 = 5p24📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
הסרטוט נעשה בקנה מידה עבור הערך שנמצא בסעיף ד, p = 4:
4848-4xyA(8 , 8)FBℓy = xI
✅ פתרון סופי: (x − p2)2 + y2 = 5p24

סעיף ג – הנקודה B על ציר ה־y

B היא נקודת ההשקה, ולכן הרדיוס FB מאונך לישר ℓ.
הרדיוס מאונך למשיק:📐 משיק מאונך לרדיוסהרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
שיפוע ℓ הוא m = 12. נמצא את שיפוע הישר FB:
12 · mFB = −1📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
mFB = −2
משוואת הישר FB – עובר דרך F(p2 , 0) בשיפוע −2:
y − 0 = −2(x − p2)📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y1 = m(x − x1)
y = −2x + p
B היא נקודת החיתוך של FB עם ℓ. נשווה:
12x + p = −2x + p
12x + 2x = p − p
52x = 0
x = 0
נציב x = 0 ב־y = −2x + p:
y = −2 · 0 + p = p
B(0 , p)
שיעור ה־x של B הוא 0, ולכן B נמצאת על ציר ה־y.
✅ פתרון סופי: B(0 , p) – על ציר ה־y

סעיף ד – הערך של p

A(2p , 2p), B(0 , p). נחשב את AB:
AB📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
= √(2p − 0)2 + (2p − p)2
AB = √4p2 + p2
AB = √5p2
AB = √5 p
(כי p > 0). נתון AB = 4√5:
√5 p = 4√5
p = 4
בדיקה: A(8 , 8), B(0 , 4): AB = √(64 + 16) = √80 = 4√5 ✓
✅ פתרון סופי: p = 4

סעיף ה – המקום הגאומטרי

עבור p = 4: המרכז F(2 , 0), והרדיוס של מעגל I:
R = √5 · 42 = 2√5
מעגל שרדיוסו r = 2√5 − 3 משיק למעגל I מבפנים. אצל מעגלים המשיקים מבפנים, המרחק בין המרכזים שווה להפרש הרדיוסים:
d = 2√5 − (2√5 − 3)📐 מעגלים משיקים מבפניםd = R − r
d = 2√5 − 2√5 + 3
d = 3
כלומר כל מרכז כזה נמצא במרחק 3 מן הנקודה F(2 , 0). לכן המקום הגאומטרי הוא מעגל שמרכזו F(2 , 0) ורדיוסו 3:
(x − 2)2 + (y − 0)2 = 32📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
(x − 2)2 + y2 = 9
(הרדיוס 2√5 − 3 ≈ 1.47 חיובי וקטן מ־2√5 ≈ 4.47, ולכן מעגלים כאלה אכן קיימים.)
253-3xyFI(x − 2)² + y² = 9
✅ פתרון סופי: (x − 2)2 + y2 = 9

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אA(2p , 2p)
סעיף ב(x − p2)2 + y2 = 5p24
סעיף גB(0 , p) על ציר ה־y
סעיף דp = 4
סעיף ה(x − 2)2 + y2 = 9
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 64 – משיק לפרבולה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה פרבולה שמשוואתה y2 = 54x.

בנקודה A, שנמצאת על הפרבולה, מעבירים משיק לפרבולה ששיפועו 34.

א. מצאו את שיעורי הנקודה A.

הנקודה A נמצאת על מעגל שמרכזו בנקודה M. נתון כי המשיק לפרבולה הוא גם משיק למעגל בנקודה A, וכי ציר ה־y משיק למעגל כך ששיעור ה־x של הנקודה M קטן משיעור ה־x של הנקודה A.

ב. (1) מצאו את משוואת הישר AM.  (2) מצאו את משוואת המעגל.

נקודה B היא נקודה כלשהי על המעגל. דרך נקודה B מעבירים משיק למעגל. נקודה P נמצאת על המשיק כך ש־BP = 36.

ג. (1) מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות P המתקבלות באופן זה.  (2) האם על המקום הגאומטרי שמצאתם יש שתי נקודות שהמרחק ביניהן הוא 80? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – שיעורי הנקודה A

נשווה את משוואת הפרבולה לצורה y2 = 2px:
2p = 54
p = 542 = 27
נסמן A(x1 , y1). נכתוב את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה A:
y1 · y = 27(x + x1)📐 נוסחה: משיק לפרבולהy² = 2px :y1 · y = p(x + x1)
נבודד את y כדי לראות את השיפוע:
y = 27y1 x + 27x1y1
השיפוע של המשיק הוא 27y1, ונתון שהוא 34:
27y1 = 34
3y1 = 4 · 27
3y1 = 108
y1 = 1083 = 36
הנקודה A נמצאת על הפרבולה, ולכן נציב y = 36 במשוואת הפרבולה:
362 = 54x1
1296 = 54x1
x1 = 129654 = 24
✅ פתרון סופי: A(24 , 36)

סעיף ב (1) – משוואת הישר AM

AM הוא רדיוס, והמשיק למעגל בנקודה A מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. לכן AM מאונך למשיק ששיפועו 34.📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
mAM · 34 = −1📐 נוסחה: ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
mAM = −43
הישר עובר דרך A(24 , 36):
y − 36 = −43(x − 24)📐 נוסחה: משוואת ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
y − 36 = −43x + 32
y = −43x + 32 + 36
y = −43x + 68
xy24153648AMBPy² = 54x
הפרבולה (כחול), המשיק בנקודה A (תכלת), המעגל שמרכזו M (סגול), ובקו מקווקו המקום הגאומטרי של P מסעיף ג – הכול בקנה מידה
✅ פתרון סופי: y = −43x + 68

סעיף ב (2) – משוואת המעגל

המרכז M נמצא על הישר AM, ולכן נסמן M(t , −43t + 68).
המעגל משיק לציר ה־y, ולכן הרדיוס שווה למרחק של M מציר ה־y, כלומר לשיעור ה־x שלו:
R = t
גם MA הוא רדיוס. נחשב את MA בעזרת נוסחת המרחק:
MA2 = (24 − t)2 + (36 − (−43t + 68))2📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
MA2 = (24 − t)2 + (43t − 32)2
נוציא גורם משותף בסוגריים השניים: 43t − 32 = 43(t − 24)
MA2 = (24 − t)2 + 169(24 − t)2
MA2 = 259(24 − t)2
נתון ש־t < 24 (שיעור ה־x של M קטן משל A), ולכן 24 − t > 0:
MA = 53(24 − t)
שני הרדיוסים שווים, MA = R:
53(24 − t) = t
5(24 − t) = 3t
120 − 5t = 3t
120 = 8t
t = 1208 = 15
yM = −43 · 15 + 68 = −20 + 68 = 48
המרכז M(15 , 48) והרדיוס R = 15. בדיקה: MA = 53 · 9 = 15 ✓
(x − 15)2 + (y − 48)2 = 152📐 נוסחה: משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
(x − 15)2 + (y − 48)2 = 225
✅ פתרון סופי: (x − 15)2 + (y − 48)2 = 225

סעיף ג (1) – המקום הגאומטרי של הנקודות P

BP משיק למעגל בנקודה B, ולכן הוא מאונך לרדיוס MB. מכאן שהמשולש MBP ישר זווית, והזווית הישרה היא ∢MBP.📐 משפט: משיק ורדיוסהמשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
הניצבים: MB = R = 15, BP = 36. היתר: MP.
MP2 = MB2 + BP2📐 נוסחה: משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
MP2 = 152 + 362
MP2 = 225 + 1296
MP2 = 1521
MP = 39
כלומר כל נקודה P נמצאת במרחק קבוע 39 מהנקודה M(15 , 48). המקום הגאומטרי הוא מעגל שמרכזו M ורדיוסו 39:
(x − 15)2 + (y − 48)2 = 392📐 נוסחה: משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
(x − 15)2 + (y − 48)2 = 1521
✅ פתרון סופי: (x − 15)2 + (y − 48)2 = 1521

סעיף ג (2) – האם יש שתי נקודות במרחק 80

המקום הגאומטרי הוא מעגל שרדיוסו 39. המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות על מעגל הוא הקוטר:
2 · 39 = 78
78 < 80
אין על המעגל שתי נקודות שהמרחק ביניהן גדול מהקוטר, ולכן אין שתי נקודות שהמרחק ביניהן 80.
✅ פתרון סופי: לא – המרחק הגדול ביותר בין שתי נקודות על המעגל הוא הקוטר 78, שקטן מ־80

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אA(24 , 36)
סעיף ב (1)y = −43x + 68
סעיף ב (2)(x − 15)2 + (y − 48)2 = 225
סעיף ג (1)(x − 15)2 + (y − 48)2 = 1521
סעיף ג (2)לא (הקוטר 78 < 80)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 63 – פרבולה ומשיק למעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2026, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה אליפסה שמשוואתה קנונית. הנקודה A(1 , 3) נמצאת על האליפסה. שיעורי המוקד הימני של האליפסה הם (√6.4 , 0).

א. מצאו את משוואת האליפסה.

הנקודה B היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־x. דרך הנקודה A העבירו ישר העובר דרך ראשית הצירים, הנקודה O. הנקודה C היא נקודה כלשהי על הישר AO. הנקודה P היא אמצע הקטע BC.

ב. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות P.

ג. מצאו את משוואת המעגל המשיק למקום הגאומטרי שמצאתם, ומשיק לישר AO בנקודה O.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – משוואת האליפסה

המוקד הימני (√6.4 , 0), ולכן c2 = 6.4:📐 משוואת אליפסה קנוניתx2a2 + y2b2 = 1מוקדים (±c , 0), c2 = a2 − b2
a2 − b2 = 6.4
a2 = b2 + 6.4
הנקודה A(1 , 3) על האליפסה – נציב:
1a2 + 9b2 = 1
1b2 + 6.4 + 9b2 = 1
נכפול ב־b2(b2 + 6.4):
b2 + 9(b2 + 6.4)
= b2(b2 + 6.4)
b2 + 9b2 + 57.6
= b4 + 6.4b2
b4 − 3.6b2 − 57.6 = 0
b2 = 3.6 ± √12.96 + 230.42📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
b2 = 3.6 ± 15.62
b2 = 9.6  או  b2 = −6
b2 חיובי, ולכן b2 = 9.6:
a2 = 9.6 + 6.4 = 16
בדיקה: 116 + 99.6 = 0.0625 + 0.9375 = 1 ✓
✅ פתרון סופי: x216 + y29.6 = 1

סעיף ב – המקום הגאומטרי של P

נקודת החיתוך עם החלק החיובי של ציר ה־x: y = 0:
x216 = 1  ⇒  x = 4
B(4 , 0)
הישר AO עובר דרך O(0 , 0) ו־A(1 , 3):📐 שיפוע ישרm = y2 − y1x2 − x1
m = 3 − 01 − 0 = 3
AO:   y = 3x
נקודה כלשהי על הישר: C(t , 3t).
נסמן P(x , y) – אמצע BC:📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
x = 4 + t2 ,   y = 0 + 3t2
נבודד את t מהמשוואה הראשונה:
2x = 4 + t
t = 2x − 4
נציב במשוואה השנייה:
y = 3(2x − 4)2
y = 6x − 122
y = 3x − 6
כש־C עוברת על כל הישר, t מקבל כל ערך, ולכן P עוברת על כל הישר y = 3x − 6 (ישר מקביל ל־AO).
✅ פתרון סופי: y = 3x − 6

סעיף ג – המעגל המשיק

-4-224-22xyA(1 , 3)B(4 , 0)Oy = 3x − 6y = 3x
המעגל משיק ל־AO בנקודה O, ולכן הרדיוס למשיק בנקודת ההשקה מאונך לו – המרכז נמצא על הישר המאונך ל־AO בנקודה O.
שיפוע AO הוא 3, ולכן שיפוע המאונך הוא −13:📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y = −13x
נסמן את המרכז M(q , −q3).
הישרים y = 3x ו־y = 3x − 6 מקבילים, והמעגל משיק לשניהם – לכן הקוטר שווה למרחק ביניהם. המרחק הוא המרחק של O(0 , 0) מהישר 3x − y − 6 = 0:
d = |3 · 0 − 0 − 6|√32 + (−1)2 = 6√10📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
R = d2 = 3√10
R2 = 910 = 0.9
המרחק מהמרכז ל־O שווה ל־R:📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
q2 + q29 = 0.9
10q29 = 0.9
q2 = 0.81
q = 0.9  או  q = −0.9
המרכז צריך להיות בין שני הישרים (בצד של הישר y = 3x − 6). נבדוק את המרחק מהישר 3x − y − 6 = 0:
q = 0.9:   M(0.9 , −0.3)📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
d = |2.7 + 0.3 − 6|√10 = 3√10
= R ✓
q = −0.9:   M(−0.9 , 0.3)
d = |−2.7 − 0.3 − 6|√10
= 9√10 ≠ R
המרכז (0.9 , −0.3) והרדיוס בריבוע 0.9:📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
✅ פתרון סופי: (x − 0.9)2 + (y + 0.3)2 = 0.9

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אx216 + y29.6 = 1
סעיף בy = 3x − 6
סעיף ג(x − 0.9)2 + (y + 0.3)2
= 0.9
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 68 – מציאת משוואת אליפסה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה אליפסה שמשוואתה היא x225k2 + y216k2 = 1. k הוא פרמטר חיובי.

הנקודה F היא המוקד הימני של האליפסה.

נתון מעגל שמרכזו בנקודה F והוא עובר בנקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־x.

א. הביעו באמצעות k את משוואת המעגל.

הנקודה B היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־y.

הנקודה D היא נקודת החיתוך של הקטע BF עם המעגל.

ב. (1) מצאו את היחס בין הקטע BD ובין הקטע DF.

(2) הביעו באמצעות k את שיעורי הנקודה D.

ג. הביעו באמצעות k את משוואת המשיק למעגל בנקודה D.

בונים ריבוע שאורך הצלע שלו הוא 15. אחת מצלעות הריבוע נמצאת על המשיק שאת משוואתו מצאתם בסעיף ג. הנקודה B נמצאת בתוך הריבוע.

ד. הביעו באמצעות k את משוואת הישר שעליו נמצאת צלע הריבוע המקבילה למשיק.

נתון כי הנקודה B היא נקודת המפגש של אלכסוני הריבוע.

ה. מצאו את הערך של k.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – משוואת המעגל

נקרא מן המשוואה את a ו־b:
a2 = 25k2 ⟸ a = 5k📐 אליפסהx2a2 + y2b2 = 1c2 = a2 − b2 , F(c , 0)
b2 = 16k2 ⟸ b = 4k
c2 = 25k2 − 16k2 = 9k2
c = 3k ⟸ F(3k , 0)
החיתוך עם החלק החיובי של ציר ה־x הוא קצה הציר הגדול (5k , 0). הרדיוס הוא המרחק מ־F:
R = 5k − 3k = 2k
(x − 3k)2 + y2 = 4k2📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
✅ פתרון סופי: (x − 3k)2 + y2 = 4k2

סעיף ב (1) – היחס BD : DF

B הוא קצה הציר הקטן: B(0 , 4k).
BF = √(3k − 0)2 + (0 − 4k)2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
= √25k2 = 5k
D על המעגל, ולכן DF הוא רדיוס:
DF = 2k
BD = BF − DF = 5k − 2k = 3k
BDDF = 3k2k = 32
✅ פתרון סופי: BD : DF = 3 : 2

סעיף ב (2) – שיעורי D

D מחלקת את BF ביחס 3 : 2 (מ־B):
xD = 2 · 0 + 3 · 3k3 + 2 = 9k5📐 חלוקת קטע ביחסP מחלקת את AB ביחס m : n (מ־A):x = n · xA + m · xBm + n
yD = 2 · 4k + 3 · 03 + 2 = 8k5
✅ פתרון סופי: D(9k5 , 8k5)

סעיף ג – המשיק בנקודה D

המשיק מאונך לרדיוס FD. השיפוע של FD:
mFD = 8k5 − 09k5 − 3k = 8k5−6k5 = −43📐 שיפוע ישר דרך שתי נקודותm = y2 − y1x2 − x1
שיפוע המשיק (מכפלת השיפועים −1):
m = 34📐 משיק למעגלהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 8k5 = 34(x − 9k5)📐 משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y1 = m(x − x1)
y = 34x − 27k20 + 32k20
y = 34x + k4
✅ פתרון סופי: y = 34x + k4

סעיף ד – הצלע המקבילה למשיק

נכתוב את המשיק בצורה כללית (נכפול ב־4):
3x − 4y + k = 0
הצלע המקבילה נמצאת על ישר עם אותו שיפוע:
3x − 4y + C = 0📐 ישרים מקביליםm1 = m2
המרחק בין שתי הצלעות הוא צלע הריבוע, 15. ניקח נקודה על המשיק, למשל (0 , k4):
|3 · 0 − 4 · k4 + C|5 = 15📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
|C − k| = 75
C = k + 75
או
C = k − 75
איזו אפשרות? B(0 , 4k) נמצאת בתוך הריבוע, כלומר בין שני הישרים. נציב את B בביטוי 3x − 4y + k:
3 · 0 − 16k + k = −15k < 0
הנקודה B בצד שבו הביטוי שלילי, ולכן הישר השני צריך להיות "מעבר" ל־B: בצד הזה הערך של 3x − 4y + C ב־B חיובי:
−16k + C > 0 ⟸ C > 16k
עם C = k − 75: k − 75 > 16k – בלתי אפשרי (k > 0). לכן C = k + 75 (וזה מתאים כאשר k < 5, כלומר כשהמרחק 3k של B מן המשיק קטן מ־15):
3x − 4y + k + 75 = 0
y = 34x + k + 754
✅ פתרון סופי: y = 34x + k + 754

סעיף ה – הערך של k

נקודת המפגש של האלכסונים היא מרכז הריבוע, ולכן המרחק שלה מכל צלע הוא חצי צלע: 7.5. המרחק של B(0 , 4k) מן המשיק:
d = |3 · 0 − 4 · 4k + k|√32 + 42 = 15k5📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
= 3k
3k = 7.5
k = 2.5
בדיקה: המרחק של B מן הצלע המקבילה:
|−16 · 2.5 + 2.5 + 75|5
= 37.55 = 7.5 ✓
הסרטוט בקנה מידה עבור k = 2.5 (הריבוע בסגול, המשיק בכתום):
-10-5510-101020xyFBD
✅ פתרון סופי: k = 2.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א(x − 3k)2 + y2 = 4k2
סעיף ב (1)3 : 2
סעיף ב (2)D(9k5 , 8k5)
סעיף גy = 34x + k4
סעיף דy = 34x + k + 754
סעיף הk = 2.5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 66 – הגדרת האליפסה ותרגיל בסיסי
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתון מעגל I שמשוואתו היא x2 − 6x + y2 + t = 0. t הוא פרמטר קטן מ־9.

א. הביעו באמצעות t את רדיוס המעגל.

הישר y = x משיק למעגל.

ב. מצאו את הערך של t.

הזיזו את מעגל I שמאלה כך שהתקבל מעגל II שמרכזו בראשית הצירים O.

A היא נקודה כלשהי על מעגל II כך ש־−1.5 ≤ yA ≤ 1.5.

דרך נקודה A מעבירים מיתר AB המאונך לציר ה־y.

נקודה P נמצאת על המיתר AB כך שמתקיים AB = 2 · PO.

ג. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות P המתקבלות באופן זה נמצא על אליפסה, ומצאו את משוואתה.

הנקודה K היא המוקד הימני, והנקודה F היא המוקד השמאלי של האליפסה שמצאתם בסעיף ג.

C היא נקודה כלשהי על האליפסה כך שמתקבל משולש CKF.

ד. חשבו את היקף המשולש CKF.

ה. האם קיימת נקודה C שבעבורה שטח המשולש CKF הוא 3? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – רדיוס המעגל

נשלים לריבוע את הביטוי עם x:
x2 − 6x + 9 − 9 + y2 + t = 0
(x − 3)2 + y2 = 9 − t📐 מעגל בצורה כללית(x − a)2 + (y − b)2 = R2
R = √9 − t
✅ פתרון סופי: R = √9 − t

סעיף ב – הערך של t

משיק למעגל: המרחק מן המרכז (3 , 0) אל הישר x − y = 0 שווה לרדיוס:
d = |3 − 0|√12 + (−1)2 = 3√2📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
3√2 = √9 − t
92 = 9 − t
t = 4.5
✅ פתרון סופי: t = 4.5

סעיף ג – המקום הגאומטרי

מעגל II: מרכז בראשית ואותו רדיוס, R2 = 4.5:
x2 + y2 = 4.5📐 מעגל בצורה כללית(x − a)2 + (y − b)2 = R2
נסמן A(xA , yA). המיתר מאונך לציר ה־y, כלומר אופקי, ולכן B היא הנקודה הסימטרית: B(−xA , yA).
AB = 2|xA|
נסמן P(x , y). P על המיתר, ולכן y = yA. לפי הנתון:
PO = AB2 = |xA|
x2 + y2 = xA2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
A על מעגל II, ולכן xA2 = 4.5 − yA2 = 4.5 − y2:
x2 + y2 = 4.5 − y2
x2 + 2y2 = 4.5
נחלק ב־4.5:
x24.5 + y22.25 = 1📐 אליפסהx2a2 + y2b2 = 1c2 = a2 − b2 , F(c , 0)
זו משוואת אליפסה. (התנאי −1.5 ≤ yA ≤ 1.5 מבטיח y2 ≤ 2.25, כלומר כל האליפסה מתקבלת.)
-2-112-1.51.5xyABPKF
✅ פתרון סופי: x24.5 + y22.25 = 1

סעיף ד – היקף המשולש CKF

a2 = 4.5 ⟸ a = 3√2 = 3√22
b2 = 2.25
c2 = 4.5 − 2.25 = 2.25 ⟸ c📐 אליפסהx2a2 + y2b2 = 1c2 = a2 − b2 , F(c , 0)
= 1.5
K(1.5 , 0) , F(−1.5 , 0)
⟸ KF = 3
לפי הגדרת האליפסה, סכום המרחקים של כל נקודה עליה מן המוקדים הוא 2a:
CK + CF = 2a = 3√2📐 הגדרת האליפסהסכום המרחקים מן המוקדים = 2a
PCKF = 3√2 + 3 ≈ 7.24
✅ פתרון סופי: 3√2 + 3 ≈ 7.24

סעיף ה – שטח 3?

הבסיס KF = 3 על ציר ה־x, והגובה הוא |yC|:
S = 3 · |yC|2📐 שטח משולשS = a · h2
על האליפסה |y| ≤ b = 1.5, ולכן:
S ≤ 3 · 1.52 = 2.25 < 3
✅ פתרון סופי: לא קיימת – השטח המקסימלי 2.25

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אR = √9 − t
סעיף בt = 4.5
סעיף גx24.5 + y22.25 = 1
סעיף ד3√2 + 3 ≈ 7.24
סעיף הלא
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 68 – מציאת משוואת אליפסה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2025, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונות הנקודות A(−9a , 0) ו־B(41a , 0). a הוא פרמטר חיובי.

הנקודה P מקיימת ∢APB = 90.

א. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות P המתקבלות באופן זה נמצא על מעגל, ומצאו את משוואתו. הביעו את תשובתכם באמצעות a.

נתון כי השטח הגדול ביותר של המשולש APB הוא 156.25.

ב. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 12 וענו על סעיפים ג–ד.

אמצע הקטע AB הוא מוקד של פרבולה שמשוואתה קנונית.

הפרבולה והמעגל שמצאתם נחתכים ברביע הראשון בנקודה C.

ג. מצאו את שיעורי הנקודה C.

הישר ℓ משיק לפרבולה בנקודה C.

מעבירים משיק למעגל שמצאתם. נתון כי משיק זה מקביל לישר ℓ.

ד. מצאו את המרחק בין הישר ℓ ובין המשיק למעגל (מצאו את שתי האפשרויות).

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המקום הגאומטרי

∢APB = 90, ולכן P נמצאת על מעגל שהקוטר שלו AB (חוץ מ־A ו־B עצמן).📐 זווית היקפיתזווית של 90 מעלות נשענת על קוטר
המרכז הוא אמצע AB, והרדיוס חצי מ־AB:
xM = −9a + 41a2 = 16a
⟸ M(16a , 0)
AB = 41a − (−9a) = 50a ⟸ R
= 25a
(x − 16a)2 + y2 = 625a2📐 מעגל בצורה כללית(x − a)2 + (y − b)2 = R2
✅ פתרון סופי: (x − 16a)2 + y2 = 625a2

סעיף ב – הערך של a

הבסיס AB = 50a קבוע. השטח הגדול ביותר כשהגובה מ־P הגדול ביותר – רדיוס, 25a:
S = 50a · 25a2 = 625a2📐 שטח משולשS = a · h2
625a2 = 156.25
a2 = 0.25
a = 0.5 (a > 0)
✅ פתרון סופי: a = 0.5

סעיף ג – הנקודה C

עם a = 0.5: המעגל (x − 8)2 + y2 = 156.25, ואמצע AB הוא (8 , 0).
p2 = 8 ⟸ p = 16📐 פרבולה קנוניתy2 = 2px , F(p2 , 0)
y2 = 32x
נציב את הפרבולה במשוואת המעגל:
(x − 8)2 + 32x = 156.25
x2 − 16x + 64 + 32x − 156.25
= 0
x2 + 16x − 92.25 = 0
x = −16 ± √256 + 3692📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √b2 − 4ac2a
= −16 ± 252
x = 4.5
או
x = −20.5
ברביע הראשון x > 0:
y2 = 32 · 4.5 = 144 ⟸ y = 12
✅ פתרון סופי: C(4.5 , 12)

סעיף ד – המרחק בין המשיקים

12y = 16(x + 4.5)📐 משיק לפרבולה בנקודה (x1 , y1)y · y1 = p(x + x1)
y = 43x + 6
ℓ: 4x − 3y + 18 = 0
משיק למעגל המקביל ל־ℓ: 4x − 3y + C = 0. המרחק שלו מן המרכז (8 , 0) שווה לרדיוס 12.5:
|32 + C|5 = 12.5📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
|32 + C| = 62.5
C = 30.5
או
C = −94.5
המרחק בין הישרים המקבילים:
d = |30.5 − 18|5 = 12.55 = 2.5📐 מרחק בין ישרים מקבילים|C1 − C2|√A2 + B2
d = |−94.5 − 18|5 = 112.55
= 22.5
בסרטוט (בקנה מידה): ℓ בכתום, שני המשיקים למעגל מקווקווים:
-551020-1010xyCAB
✅ פתרון סופי: 2.5 או 22.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א(x − 16a)2 + y2
= 625a2
סעיף בa = 0.5
סעיף גC(4.5 , 12)
סעיף ד2.5 או 22.5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 63 – פרבולה ומשיק למעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתון מעוין ABCD. אלכסוני המעוין מונחים על הצירים, כמתואר בסרטוט. נתון: אורך האלכסון AC הוא 10. המרחק של כל אחת מצלעות המעוין מראשית הצירים הוא √5.

סרטוט המעוין ABCD משאלה 1

א. מצאו את משוואת הצלע AB.

בתוך המעוין חסום מעגל.

ב. מצאו את משוואת המעגל.

הנקודה M היא נקודת ההשקה של המעגל והמעוין ברביע הראשון.

ג. מצאו את שיעורי הנקודה M.

מן הנקודה M מורידים אנך לציר ה־x, החותך אותו בנקודה K(a , 0). על הישר x = −a מסמנים נקודה E ומעבירים דרכה ישר המקביל לציר ה־x. הישר המקביל חותך את האנך האמצעי לקטע EK בנקודה G.

ד. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות G נמצא על פרבולה, ומצאו את משוואתה.

הנקודה N נמצאת ברביע הראשון על הפרבולה. שיעור ה־x של N הוא 5.

ה. מצאו את משוואות שני המעגלים שמרכזם בנקודה N והם משיקים למעגל החסום במעוין.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – משוואת הצלע AB

האלכסונים על הצירים ומתחלקים בראשית: AC = 10, ולכן A(5 , 0), C(−5 , 0). נסמן B(0 , b), b > 0.
המשולש AOB ישר־זווית בראשית, והמרחק מ־O לצלע AB הוא הגובה ליתר. נחשב את שטח המשולש בשתי דרכים:
OA · OB2 = AB · h2📐 שטח משולש ישר־זוויתS = a · b2 = c · h2
AB = √25 + b2📐 משפט פיתגורסc2 = a2 + b2
5b = √25 + b2 · √5
נעלה בריבוע:
25b2 = 5(25 + b2)
25b2 = 125 + 5b2
20b2 = 125
b2 = 6.25  ⇒  b = 2.5
B(0 , 2.5)
הישר AB עובר דרך A(5 , 0) ו־B(0 , 2.5):📐 שיפוע ישרm = y2 − y1x2 − x1
m = 2.5 − 00 − 5 = −0.5
y = −0.5x + 2.5
בדיקה: מרחק הראשית מהישר x + 2y − 5 = 0: |−5|√1 + 4 = √5 ✓
✅ פתרון סופי: y = −0.5x + 2.5

סעיף ב – משוואת המעגל החסום

במעוין, מפגש האלכסונים (הראשית) נמצא במרחק שווה מכל הצלעות – זה מרכז המעגל החסום. הרדיוס הוא המרחק לצלע, √5:
(x − 0)2 + (y − 0)2📐 משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
= (√5)2
✅ פתרון סופי: x2 + y2 = 5

סעיף ג – נקודת ההשקה M

הרדיוס לנקודת ההשקה מאונך לצלע. לכן M היא חיתוך הצלע AB עם הישר דרך הראשית המאונך לה.
שיפוע AB הוא −0.5, ולכן שיפוע המאונך הוא 2:📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y = 2x
נשווה:
2x = −0.5x + 2.5
2.5x = 2.5  ⇒  x = 1
y = 2 · 1 = 2
בדיקה: 12 + 22 = 5 ✓ (על המעגל)
-5-115-2.52.5xyABCDM(1 , 2)K
✅ פתרון סופי: M(1 , 2)

סעיף ד – המקום הגאומטרי של G

האנך מ־M(1 , 2) לציר ה־x פוגש אותו ב־K(1 , 0), ולכן a = 1. הישר x = −a הוא x = −1.
נסמן E(−1 , t). הישר דרך E המקביל לציר ה־x: y = t.
כל נקודה על האנך האמצעי לקטע EK נמצאת במרחק שווה מ־E ומ־K. לכן G(x , t) מקיימת GE = GK:
√(x + 1)2 + (t − t)2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
= √(x − 1)2 + t2
נעלה בריבוע:
(x + 1)2 = (x − 1)2 + t2
x2 + 2x + 1
= x2 − 2x + 1 + t2
4x = t2
שיעור ה־y של G הוא t, ולכן:
y2 = 4x
זו פרבולה (המוקד K(1 , 0) והמדריך x = −1).
✅ פתרון סופי: y2 = 4x

סעיף ה – שני המעגלים שמרכזם N

x = 5:   y2 = 20
ברביע הראשון y > 0:
y = 2√5
N(5 , 2√5)
ON = √25 + 20 = √45 = 3√5📐 מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
מעגל שמרכזו N משיק למעגל החסום (מרכז O, רדיוס √5) בשתי אפשרויות:📐 מעגלים משיקיםמבחוץ: d = R + rמבפנים: d = R − r
• משיקות מבחוץ:
R = 3√5 − √5 = 2√5
R2 = 20
• משיקות מבפנים (המעגל החסום בתוך המעגל החדש):
R = 3√5 + √5 = 4√5
R2 = 80
-11510-44812xyN(5 , 2√5)K(1 , 0)y² = 4xx = −1
✅ פתרון סופי: (x − 5)2 + (y − 2√5)2 = 20
(x − 5)2 + (y − 2√5)2 = 80

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אy = −0.5x + 2.5
סעיף בx2 + y2 = 5
סעיף גM(1 , 2)
סעיף דy2 = 4x
סעיף ה(x − 5)2 + (y − 2√5)2
= 20 או = 80
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 58 – הגדרת הפרבולה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתון מעגל I שמשוואתו (x − 3)2 + (y − 4)2 = 9, ומרכזו בנקודה K.

נתון מעגל II שמשוואתו (x + 5)2 + (y − 2)2 = 1, ומרכזו בנקודה L.

הנקודה A נמצאת על מעגל I, והנקודה B נמצאת על מעגל II.

מעבירים משיק למעגל I דרך הנקודה A ומשיק למעגל II דרך הנקודה B. שני המשיקים נחתכים בנקודה M.

א. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות M המקיימות MA = MB הוא קו ישר, ומצאו את משוואתו.

ב. (1) הראו כי הישר שאת משוואתו מצאתם בסעיף א והישר KL מאונכים זה לזה.

(2) האם קיימת נקודה M שמתקיים בעבורה ML = MK ? נמקו את תשובתכם.

נתון כי בעבור אחת מן הנקודות M, הנמצאת מעל הישר KL, שטח המשולש KLM הוא 9.

ג. מצאו את שיעורי הנקודה M.

הנקודה M שמצאתם בסעיף ג נמצאת על הפרבולה y2 = 2px , p הוא פרמטר.

ד. מצאו את משוואת המשיק לפרבולה בנקודה M.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המקום הגאומטרי של M

נסמן ב־M(x , y) נקודה כלשהי במקום הגאומטרי. מתוך משוואות המעגלים נקרא את המרכזים והרדיוסים:
K(3 , 4) , R1 = 3📐 נוסחה: משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b), רדיוס R
L(−5 , 2) , R2 = 1
המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ולכן המשולש MAK ישר־זווית ב־A. לפי משפט פיתגורס:
MA2 = MK2 − 32 = MK2 − 9📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס + פיתגורסMA2 = MK2 − R2
באותו אופן במשולש MBL (ישר־זווית ב־B):
MB2 = ML2 − 12 = ML2 − 1📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס + פיתגורסMA2 = MK2 − R2
נכתוב את MK2 ואת ML2 לפי נוסחת המרחק:
MK2 = (x − 3)2 + (y − 4)2📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
ML2 = (x + 5)2 + (y − 2)2📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
התנאי MA = MB שקול ל־MA2 = MB2 (שני האורכים חיוביים):
(x − 3)2 + (y − 4)2 − 9 =
= (x + 5)2 + (y − 2)2 − 1
נפתח סוגריים:
אגף שמאל:
x2 − 6x + 9 + y2 − 8y + 16 − 9
אגף ימין:
x2 + 10x + 25 + y2 − 4y + 4 − 1
האיברים x2 ו־y2 מצטמצמים משני האגפים:
−6x − 8y + 16 = 10x − 4y + 28
−16x − 4y − 12 = 0
נחלק ב־−4:
4x + y + 3 = 0
y = −4x − 3
קיבלנו משוואה ממעלה ראשונה ב־x וב־y, ולכן המקום הגאומטרי הוא קו ישר.
xy−5324KLMABIII
━ המעגלים (כחול) ━ הישר y = −4x − 3 (ירוק) ━ הישר KL (תכלת) ━ המשיקים MA , MB (סגול)
✅ פתרון סופי: y = −4x − 3 – קו ישר

סעיף ב (1) – הישר מאונך לישר KL

שיפוע הישר שמצאנו בסעיף א:
m1 = −4
שיפוע הישר KL לפי K(3 , 4) ו־L(−5 , 2):
mKL = 4 − 23 − (−5)📐 נוסחה: שיפוע ישרm = y2 − y1x2 − x1
mKL = 28 = 14
נבדוק את מכפלת השיפועים:
m1 · mKL = −4 · 14 = −1📐 משפט: ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
מכפלת השיפועים היא −1, ולכן הישרים מאונכים זה לזה.
✅ פתרון סופי: מכפלת השיפועים −1 – הישרים מאונכים ✔

סעיף ב (2) – האם ייתכן ML = MK

הנקודה M מקיימת MA = MB, ולכן לפי סעיף א:
MK2 − 9 = ML2 − 1📐 משפט: משיק מאונך לרדיוס + פיתגורסMA2 = MK2 − R2
MK2 = ML2 + 8
לכן לכל נקודה כזאת MK2 גדול מ־ML2 ב־8, כלומר תמיד MK > ML.
אם היה מתקיים ML = MK היינו מקבלים ML2 = ML2 + 8, כלומר 0 = 8 – סתירה.
דרך נוספת לראות זאת: הנקודות שמקיימות ML = MK נמצאות על האנך האמצעי לקטע KL. האנך האמצעי מאונך ל־KL ועובר דרך האמצע (−1 , 3), ולכן הוא מקביל לישר y = −4x − 3. הנקודה (−1 , 3) לא נמצאת על הישר הזה (−4 · (−1) − 3 = 1 ≠ 3), ולכן שני הישרים מקבילים ולא נפגשים.
✅ פתרון סופי: לא – לכל נקודה M כזאת MK2 = ML2 + 8, ולכן MK ≠ ML

סעיף ג – שיעורי הנקודה M

נחשב את אורך הצלע KL:
KL2 = (3 + 5)2 + (4 − 2)2📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
KL2 = 64 + 4 = 68
KL = √68 = 2√17
לפי נוסחת השטח נמצא את הגובה מ־M לצלע KL (נסמן אותו h):
KL · h2 = 9📐 נוסחה: שטח משולשS = צלע · גובה2
2√17 · h2 = 9
√17 · h = 9
h = 9√17
נמצא את משוואת הישר KL (שיפוע 14, דרך K(3 , 4)):
y − 4 = 14(x − 3)📐 נוסחה: משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y1 = m(x − x1)
4y − 16 = x − 3
x − 4y + 13 = 0
הנקודה M נמצאת על הישר y = −4x − 3, ולכן נסמן M(t , −4t − 3). הגובה h הוא המרחק של M מהישר KL:
|t − 4(−4t − 3) + 13|√(12 + (−4)2) = 9√17📐 נוסחה: מרחק נקודה מישרd = |Ax1 + By1 + C|√(A2 + B2)
|t + 16t + 12 + 13|√17 = 9√17
|17t + 25| = 9
שתי אפשרויות:
17t + 25 = 9
17t = −16
t = −1617
17t + 25 = −9
17t = −34
t = −2
נמצא את שתי הנקודות ונבדוק איזו מהן נמצאת מעל הישר KL. על הישר KL: y = x + 134.
עבור t = −2:
y = −4 · (−2) − 3 = 5
M(−2 , 5)
גובה הישר KL ב־x = −2:
y = −2 + 134 = 2.75
5 > 2.75
הנקודה (−2 , 5) נמצאת מעל הישר KL ✔
עבור t = −1617:
y = −4 · (−1617) − 3 = 1317 ≈ 0.76
גובה הישר KL באותו x:
y = −1617 + 134 ≈ 3.01
0.76 < 3.01
הנקודה הזאת נמצאת מתחת לישר KL, ולכן נפסלת.
✅ פתרון סופי: M(−2 , 5)

סעיף ד – המשיק לפרבולה בנקודה M

נציב את M(−2 , 5) במשוואת הפרבולה y2 = 2px:
52 = 2p · (−2)
25 = −4p
p = −254 = −6.25
משוואת הפרבולה:
y2 = −12.5x
נציב בנוסחת המשיק לפרבולה בנקודה (x1 , y1) = (−2 , 5):
y · 5 = −254(x + (−2))📐 נוסחה: משיק לפרבולהy · y1 = p(x + x1)לפרבולה y2 = 2px בנקודה (x1 , y1)
5y = −254(x − 2)
נחלק ב־5:
y = −54(x − 2)
y = −54x + 52
בדיקה: −54 · (−2) + 52 = 2.5 + 2.5 = 5 ✔
xy−2252.5M(−2 , 5)
━ הפרבולה (כחול) · ━ המשיק (ירוק)
✅ פתרון סופי: y = −1.25x + 2.5 (כלומר y = −54x + 52)

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אy = −4x − 3
סעיף ב (1)הוכחה (−4 · ¼ = −1)
סעיף ב (2)לא
סעיף גM(−2 , 5)
סעיף דy = −1.25x + 2.5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 41 – משיק למעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2024, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

במשולש ישר זווית ABC (∢BAC = 90) הקודקוד A נמצא על ציר ה־x, ושיעוריו (a , 0), a ≠ 0.

שיעור ה־x של הקודקוד B הוא −a. הצלע BC מקבילה לציר ה־x. M היא אמצע הצלע BC.

א. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות M. הביעו את תשובתכם באמצעות a.

ב. סרטטו סקיצה של המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א. סרטטו את שתי האפשרויות במערכת צירים אחת.

נתון כי a > 0. מעבירים ישר ℓ המשיק למקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א בנקודה M הנמצאת ברביע הראשון.

ג. הוכיחו כי הישר ℓ מקביל לצלע AC.

נתון: AM = 10 (M ברביע הראשון), הקודקוד B נמצא על הישר x = −2.

ד. מצאו את שיעורי הקודקודים B ו־C.

ה. דרך הקודקוד A העבירו מעגל המשיק לישרים ℓ ו־AC. מצאו את שיעורי מרכז המעגל.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המקום הגאומטרי

נסמן את אמצע הצלע M(x , y). BC מקבילה לציר ה־x, ולכן ל־B, ל־C ול־M אותו שיעור y:
B(−a , y) , C(c , y) , y ≠ 0
(y ≠ 0, אחרת B ו־C על ציר ה־x ואין משולש.)
שיפועי הצלעות AB ו־AC:
mAB = y − 0−a − a = y−2a📐 שיפוע ישר דרך שתי נקודותm = y2 − y1x2 − x1
mAC = y − 0c − a = yc − a
∢BAC = 90, ולכן הצלעות מאונכות:
y−2a · yc − a = −1📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y22a(c − a) = 1
c − a = y22a
c = a + y22a
M אמצע BC:
x = −a + c2📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
x = −a + a + y22a2
x = y24a
y2 = 4ax
זו פרבולה שהקודקוד שלה בראשית. הנקודה (0 , 0) לא שייכת למקום הגאומטרי, כי y ≠ 0.
✅ פתרון סופי: y2 = 4ax, בלי הנקודה (0 , 0)

סעיף ב – סקיצה

y2 = 4ax היא פרבולה שהקודקוד שלה בראשית וציר הסימטרייה שלה ציר ה־x:
• כש־a > 0: הפרבולה פתוחה ימינה (כחול). בסרטוט לדוגמה a = 1.
• כש־a < 0: הפרבולה פתוחה שמאלה (סגול). בסרטוט לדוגמה a = −1.
בשתי האפשרויות הראשית (0 , 0) מסומנת בעיגול ריק – היא לא שייכת למקום הגאומטרי.
−4−224−4−224xya > 0a < 0
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה (שתי פרבולות, בלי הראשית)

סעיף ג – ℓ מקביל ל־AC

נסמן את הנקודה ברביע הראשון M(x1 , y1), y1 > 0. משוואת הפרבולה y2 = 4ax בצורה y2 = 2px:
2p = 4a ⟸ p = 2a
ℓ: y · y1 = 2a(x + x1)📐 משיק לפרבולה בנקודה (x1 , y1)y · y1 = p(x + x1)
y = 2ay1x + 2ax1y1
mℓ = 2ay1
מסעיף א, עבור הנקודה M: c − a = y122a. לכן שיפוע הצלע AC:
mAC = y1c − a📐 שיפוע ישר דרך שתי נקודותm = y2 − y1x2 − x1
mAC = y1y122a
mAC = 2ay1
השיפועים שווים: mℓ = mAC, ולכן הישר ℓ מקביל לצלע AC.📐 ישרים מקביליםm1 = m2
✅ פתרון סופי: הוכחה – mℓ = mAC = 2ay1

סעיף ד – הקודקודים B ו־C

B על הישר x = −2, ושיעור ה־x שלו הוא −a:
−a = −2 ⟸ a = 2
y2 = 8x
2p = 8 ⟸ p = 4
המוקד של הפרבולה הוא (p2 , 0) = (2 , 0) – זו בדיוק הנקודה A. והמדריך הוא x = −2.
לכן AM הוא המרחק של M מהמוקד, והוא שווה למרחק של M מהמדריך:
AM = xM + 2📐 פרבולה – הגדרהכל נקודה על הפרבולה נמצאת במרחק שווה מהמוקד ומהמדריך. בפרבולה y2 = 2px: מוקד (p2 , 0), מדריך x = −p2
xM + 2 = 10
xM = 8
yM2 = 8 · 8 = 64
M ברביע הראשון, ולכן:
yM = 8
M(8 , 8)
B ו־C באותו גובה כמו M:
B(−2 , 8)
8 = −2 + xC2📐 אמצע קטעxM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
16 = −2 + xC
xC = 18
C(18 , 8)
בדיקה – הזווית ב־A ישרה:
mAB = 8 − 0−2 − 2 = −2
mAC = 8 − 018 − 2 = 12
−2 · 12 = −1 ✓📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
✅ פתרון סופי: B(−2 , 8) , C(18 , 8)

סעיף ה – מרכז המעגל

משוואת ℓ (המשיק בנקודה M(8 , 8), p = 4):
8y = 4(x + 8)📐 משיק לפרבולה בנקודה (x1 , y1)y · y1 = p(x + x1)
y = 12x + 4
משוואת AC (דרך A(2 , 0), שיפוע 12):
y − 0 = 12(x − 2)📐 ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
y = 12x − 1
המעגל עובר דרך A ומשיק לישר AC, והנקודה A נמצאת על AC. לכן A היא נקודת ההשקה, והמרכז נמצא על האנך ל־AC בנקודה A – זה הישר AB:
האנך ל־AC בנקודה A הוא הישר AB, כי ∢BAC = 90.📐 רדיוס ומשיקהרדיוס לנקודת ההשקה מאונך למשיק
AB: y − 0 = −2(x − 2)📐 ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
y = −2x + 4
המעגל משיק לשני ישרים מקבילים (ℓ ו־AC), ולכן המרכז נמצא באמצע ביניהם – על הישר המקביל שהחותך שלו הוא ממוצע החותכים:
n = 4 + (−1)2 = 1.5
y = 12x + 1.5
נחתוך עם הישר AB:
−2x + 4 = 12x + 1.5
2.5 = 2.5x
x = 1
y = −2 · 1 + 4 = 2
נסמן את המרכז O(1 , 2). בדיקה – הרדיוס הוא חצי מהמרחק בין הישרים:
AC: x − 2y − 2 = 0
ℓ: x − 2y + 8 = 0
d = |8 − (−2)|√1 + 4 = 10√5 = 2√5📐 מרחק בין ישרים מקביליםd = |C1 − C2|√A2 + B2
R = √5
|OA| = √(2 − 1)2 + (0 − 2)2
= √5 ✓
הסרטוט בקנה מידה: הפרבולה (כחול), המשולש ABC (תכלת), המשיק ℓ (סגול) והמעגל (ירוק חזק):
51015510xyOABCMℓ
✅ פתרון סופי: (1 , 2)

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אy2 = 4ax
סעיף בסקיצה
סעיף גהוכחה
סעיף דB(−2 , 8)
C(18 , 8)
סעיף ה(1 , 2)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 64 – משיק לפרבולה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונים הישרים שמשוואותיהם: ℓ1 : 4y − 3x − 20 = 0 , ℓ2 : x = −4.

א. מצאו את המשוואות המתארות את המקום הגאומטרי של כל הנקודות הנמצאות במרחקים שווים מן הישרים ℓ1 ו־ℓ2.

מעגל שמרכזו M משיק לישרים ℓ1 ו־ℓ2. המעגל משיק לישר ℓ1 בנקודה A שבה x = 4. המרכז M נמצא ברביע הראשון (ראו סרטוט).

המעגל המשיק לשני הישרים – סרטוט מתוך השאלון

ב. מצאו את שיעורי הנקודה M.

הישר ℓ2 הוא מדריך של פרבולה קנונית.

ג. האם הישר ℓ1 משיק בנקודה A לפרבולה זו? נמקו את תשובתכם.

ד. מצאו את משוואת המעגל המשיק לפרבולה זו בשתי נקודות, שאחת מהן היא הנקודה A.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המקום הגאומטרי

נקודה כללית (x , y). המרחק מ־ℓ2 : x + 4 = 0 הוא |x + 4|.
|4y − 3x − 20|√(16 + 9) = |x + 4|📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√(A2 + B2)
|4y − 3x − 20| = 5|x + 4|
שתי אפשרויות:
4y − 3x − 20 = 5x + 20
4y = 8x + 40 , y = 2x + 10
4y − 3x − 20 = −5x − 20
4y = −2x , y = −x2
xyA(4 , 8)M(1 , 12)ℓ1ℓ2y = 2x + 10
✅ פתרון סופי: y = 2x + 10 , y = −x2

סעיף ב – שיעורי M

x = 4 : 4y = 12 + 20
y = 8 , A(4 , 8)
הרדיוס MA מאונך למשיק ℓ1. השיפוע של ℓ1 הוא 34, ולכן השיפוע של MA הוא −43.📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 8 = −43(x − 4)📐 משוואת ישר לפי שיפוע ונקודהy − y1 = m(x − x1)
M נמצאת במרחקים שווים מ־ℓ1 ו־ℓ2, כלומר על אחד הישרים מסעיף א. ברביע הראשון – על y = 2x + 10:
2x + 10 − 8 = −43x + 163
6x + 6 = −4x + 16
10x = 10 , x = 1
y = 2 · 1 + 10 = 12
עם הישר y = −x2 מתקבל (16 , −8) – ברביע הרביעי.
✅ פתרון סופי: M(1 , 12)

סעיף ג – האם ℓ1 משיק לפרבולה ב־A

x = −p2 = −4 , p = 8📐 פרבולה קנוניתy2 = 2px , מדריך x = −p2
y2 = 16x
A(4 , 8) : 82 = 64 = 16 · 4
A על הפרבולה. משוואת המשיק לפרבולה ב־A:
8y = 8(x + 4)📐 משיק לפרבולהy · y1 = p(x + x1)
y = x + 4
שיפוע המשיק הוא 1, ושיפוע ℓ1 הוא 34 – אלה ישרים שונים.
✅ פתרון סופי: לא. המשיק ב־A הוא y = x + 4

סעיף ד – המעגל המשיק לפרבולה בשתי נקודות

הפרבולה סימטרית ביחס לציר ה־x, ולכן נקודת ההשקה השנייה היא (4 , −8) ומרכז המעגל על ציר ה־x.
הרדיוס בנקודת ההשקה מאונך למשיק המשותף y = x + 4 (שיפוע 1), ולכן שיפוע הרדיוס −1:📐 ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 8 = −(x − 4) , y = −x + 12
y = 0 : x = 12
המרכז (12 , 0):
R2 = (12 − 4)2 + (0 − 8)2📐 מרחק בין שתי נקודותd = √((x2 − x1)2 + (y2 − y1)2)
= 64 + 64 = 128
xyA(4 , 8)(4 , −8)(12 , 0)ℓ1ℓ2
✅ פתרון סופי: (x − 12)2 + y2 = 128

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אy = 2x + 10 , y = −x2
סעיף בM(1 , 12)
סעיף גלא. המשיק ב־A הוא y = x + 4
סעיף ד(x − 12)2 + y2 = 128
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 64 – משיק לפרבולה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונות הנקודות A(0 , 24) ו־B(18 , 0). הנקודה C מקיימת: AC2 + BC2 = 1250.

א. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות C.

את המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א הזיזו 9 יחידות שמאלה ו־12 יחידות למטה.

המקום הגאומטרי שהתקבל אחרי ההזזה חותך את ציר ה־y בנקודות E ו־G (yE > yG).

אליפסה שמשוואתה קנונית עוברת דרך הנקודות E ו־G. מוקדי האליפסה הם F1 ו־F2 (xF1 > 0). נתון כי הישר EF1 מקביל לישר GF2, והמרחק בין שני הישרים הוא 24 (ראו סרטוט).

ב. (1) מצאו את שיעורי הנקודה F1.

(2) מצאו את משוואת האליפסה.

ג. מצאו את המשוואות של שני מעגלים שמשיקים לישר EF1, לציר ה־x ולציר ה־y, ונמצאים ברביעים שונים.

הסרטוט מתוך השאלון: האליפסה, הנקודות E ו־G והמוקדים

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המקום הגאומטרי

נסמן C(x , y):
AC2 = x2 + (y − 24)2📐 מרחק בין שתי נקודותd2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
BC2 = (x − 18)2 + y2
x2 + (y − 24)2 + (x − 18)2 + y2
= 1250
x2 + y2 − 48y + 576 + x2 − 36x
+ 324 + y2 = 1250
2x2 + 2y2 − 36x − 48y + 900
= 1250
x2 + y2 − 18x − 24y = 175
נשלים לריבוע:📐 השלמה לריבועx2 − 2bx = (x − b)2 − b2
(x − 9)2 − 81 + (y − 12)2 − 144
= 175
(x − 9)2 + (y − 12)2 = 400📐 מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
זה מעגל שמרכזו (9 , 12) והרדיוס שלו 20.
✅ פתרון סופי: (x − 9)2 + (y − 12)2 = 400

סעיף ב (1) – המוקד F1

אחרי ההזזה (9 שמאלה, 12 למטה) המרכז עובר ל־(0 , 0):
x2 + y2 = 400
חיתוך עם ציר ה־y (x = 0):
y2 = 400 ⟸ y = ±20
E(0 , 20) , G(0 , −20)
E ו־G הן קודקודי האליפסה על ציר ה־y, ולכן b = 20. המוקדים על ציר ה־x: ‏F1(c , 0) , F2(−c , 0).📐 אליפסה קנוניתx2a2 + y2b2 = 1
a2 = b2 + c2 , מוקדים (±c , 0)
משוואת EF1:
m = 0 − 20c − 0 = −20c📐 שיפוע ישר דרך שתי נקודותm = y2 − y1x2 − x1
y = −20cx + 20
20x + cy − 20c = 0
משוואת GF2:
m = 0 − (−20)−c − 0 = −20c
y = −20cx − 20
20x + cy + 20c = 0
(השיפועים שווים – הישרים מקבילים.) המרחק בין הישרים הוא 24:
|20c − (−20c)|√202 + c2 = 24📐 מרחק בין ישרים מקביליםd = |C1 − C2|√A2 + B2
40c√400 + c2 = 24
5c = 3√400 + c2
25c2 = 9(400 + c2)
16c2 = 3600
c2 = 225 ⟸ c = 15
✅ פתרון סופי: F1(15 , 0)

סעיף ב (2) – משוואת האליפסה

a2 = b2 + c2📐 אליפסה קנוניתx2a2 + y2b2 = 1
a2 = b2 + c2 , מוקדים (±c , 0)
a2 = 400 + 225 = 625
x2625 + y2400 = 1
בסרטוט (בקנה מידה): המעגל המוזז (תכלת), האליפסה (כחול), הישרים המקבילים EF1 ו־GF2 (סגול):
−20−101020−20−101020xyEGF₁F₂
✅ פתרון סופי: x2625 + y2400 = 1

סעיף ג – מעגלים המשיקים לישר ולצירים

EF1: 20x + 15y − 300 = 0
4x + 3y − 60 = 0
מעגל שמשיק לשני הצירים: המרכז במרחק R מכל ציר, כלומר המרכז הוא (±R , ±R). המרחק מהמרכז לישר EF1 שווה גם הוא ל־R:
נבדוק כל רביע:📐 מרחק נקודה מישרd = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
רביע ראשון – מרכז (R , R):
|4R + 3R − 60|5 = R
|7R − 60| = 5R
7R − 60 = 5R ⟸ R = 30
60 − 7R = 5R ⟸ R = 5
רביע שני – מרכז (−R , R):
|−4R + 3R − 60|5 = R
R + 60 = 5R ⟸ R = 15
רביע שלישי – מרכז (−R , −R):
|−7R − 60| = 5R ⟸ 7R + 60 = 5R
אין פתרון חיובי.
רביע רביעי – מרכז (R , −R):
|R − 60| = 5R ⟸ 60 − R
= 5R ⟸ R = 10
מעגלים מתאימים: ברביע הראשון (x − 5)2 + (y − 5)2 = 25 או (x − 30)2 + (y − 30)2 = 900; ברביע השני (x + 15)2 + (y − 15)2 = 225; ברביע הרביעי (x − 10)2 + (y + 10)2 = 100. כל שניים מהם ברביעים שונים הם תשובה נכונה, למשל:
(x − 5)2 + (y − 5)2 = 25
(x + 15)2 + (y − 15)2 = 225
בסרטוט: הישר EF1 (סגול) והמעגלים ברביע הראשון (ירוק חזק), בשני (כחול) וברביע הרביעי (תכלת):
−30−20−101020−20−10102030xyEF₁
✅ פתרון סופי: (x − 5)2 + (y − 5)2 = 25
(x + 15)2 + (y − 15)2 = 225

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א(x − 9)2 + (y − 12)2
= 400
סעיף ב (1)F1(15 , 0)
סעיף ב (2)x2625 + y2400 = 1
סעיף ג(x − 5)2 + (y − 5)2 = 25
(x + 15)2 + (y − 15)2 = 225
(גם R = 10 ברביע הרביעי או R = 30 ברביע הראשון)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 68 – מציאת משוואת אליפסה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה האליפסה x2144 + y2144 − 4k2 = 1 , k הוא פרמטר, 0 < k < 6.

א. מצאו את שיעורי המוקדים F1 ו־F2 של האליפסה (F1 נמצא בחלק החיובי של ציר ה־x). הביעו באמצעות k.

נתונה פרבולה קנונית שהמוקד שלה הוא F1. הנקודה A נמצאת על הפרבולה ברביע הראשון, ונתון AF1 = 10k.

ב. (1) מצאו את משוואת המדריך של הפרבולה. הביעו באמצעות k.

(2) מצאו את שיעורי הנקודה A. הביעו באמצעות k.

נתון: הישר 5x + 12y = 138 משיק למעגל שהקטע AF1 הוא קוטר שלו.

ג. מצאו את k.

הנקודה D נמצאת על האליפסה.

ד. קבעו אם היקף המשולש F1AF2 גדול מהיקף המשולש F1DF2, קטן ממנו או שווה לו. נמקו.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המוקדים

a2 = 144 , b2 = 144 − 4k2📐 נוסחה: אליפסהx2a2 + y2b2 = 1 , c2 = a2 − b2מוקדים (±c , 0)
c2 = a2 − b2
c2 = 144 − (144 − 4k2) = 4k2
c = 2k (k > 0)
F1(2k , 0) , F2(−2k , 0)
✅ פתרון סופי: F1(2k , 0) , F2(−2k , 0)

סעיף ב (1) – משוואת המדריך

לפרבולה קנונית y2 = 2px המוקד ב־(p2 , 0). המוקד הוא F1(2k , 0):
p2 = 2k📐 נוסחה: פרבולה קנוניתy2 = 2pxמוקד (p2 , 0) , מדריך x = −p2
p = 4k
משוואת הפרבולה והמדריך:
y2 = 8kx
x = −p2 = −2k
✅ פתרון סופי: x = −2k

סעיף ב (2) – הנקודה A

המרחק של A מהמוקד שווה למרחקו מהמדריך x = −2k:
AF1 = xA + 2k📐 משפט: הגדרת הפרבולהמרחק נקודה מהמוקד = מרחקה מהמדריך
xA + 2k = 10k
xA = 8k
נציב במשוואת הפרבולה:
y2 = 8k · 8k = 64k2
A ברביע הראשון, ולכן y > 0:
yA = 8k
✅ פתרון סופי: A(8k , 8k)

סעיף ג – הערך של k

מרכז המעגל הוא אמצע הקוטר AF1, והרדיוס הוא חצי מהקוטר:
M = (8k + 2k2 , 8k + 02)📐 נוסחה: אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
M = (5k , 4k)
R = AF12 = 10k2 = 5k
הישר 5x + 12y − 138 = 0 משיק למעגל, ולכן מרחקו מהמרכז שווה לרדיוס:
|5 · 5k + 12 · 4k − 138|√(52 + 122) = 5k📐 נוסחה: מרחק נקודה מישרd = |Ax1 + By1 + C|√(A2 + B2)
|73k − 138|13 = 5k📐 משפט: ישר משיק למעגלמרחק המרכז מהישר = הרדיוס
|73k − 138| = 65k
שתי אפשרויות:
73k − 138 = 65k
8k = 138
k = 17.25
נפסל, כי k < 6.
73k − 138 = −65k
138k = 138
k = 1
✅ פתרון סופי: k = 1

סעיף ד – השוואת ההיקפים

עם k = 1: a = 12 , F1(2 , 0) , F2(−2 , 0) , A(8 , 8) , והאליפסה x2144 + y2140 = 1.
היקף F1DF2: D על האליפסה:
DF1 + DF2 = 2a = 24📐 משפט: הגדרת האליפסהPF1 + PF2 = 2a
PF1DF2 = 24 + F1F2 = 24 + 4 = 28
היקף F1AF2:
AF1 = 10k = 10
AF2 = √((8 + 2)2 + 82)📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
AF2 = √164 ≈ 12.81
PF1AF2 = 10 + 12.81 + 4 ≈ 26.81
(אפשר גם בלי חישוב: 64144 + 64140 ≈ 0.90 < 1, כלומר A בתוך האליפסה, ולכן AF1 + AF2 < 2a.)
הצלע F1F2 משותפת, ולכן ההיקף של F1AF2 קטן יותר.📐 משפט: נקודה בתוך אליפסהx2a2 + y2b2 < 1 ⟺ PF1 + PF2 < 2a
xy128F₁(2 , 0)F₂A(8 , 8)D
━ האליפסה (כחול) ━ הפרבולה (ירוק) ━ המעגל (סגול) ━ המשיק (אפור)
הסרטוט בקנה מידה עם k = 1. D מסומנת כדוגמה לנקודה על האליפסה.
✅ פתרון סופי: היקף F1AF2 קטן מהיקף F1DF2 (26.81 < 28)

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אF1(2k , 0) , F2(−2k , 0)
סעיף ב (1)x = −2k
סעיף ב (2)A(8k , 8k)
סעיף גk = 1
סעיף דקטן
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 66 – הגדרת האליפסה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2023, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונה אליפסה שמשוואתה x29 + y2b2 = 1. b הוא פרמטר חיובי.

ידוע כי המוקדים של האליפסה נמצאים על ציר ה־x. נסמן את נקודות החיתוך של האליפסה עם ציר ה־y ב־D1 ו־D2, את המוקד השמאלי של האליפסה נסמן ב־F1, ואת המוקד הימני שלה ב־F2.

נתון כי המרובע F1D1F2D2 הוא ריבוע.

א. (1) מצאו את הערך של b. (2) חשבו את שטח הריבוע F1D1F2D2.

הציבו במשוואת האליפסה b2 = 4.5, וענו על הסעיפים ב–ד.

הנקודה E היא נקודה כלשהי על האליפסה. מחברים באמצעות קו ישר את המוקד השמאלי F1 עם הנקודה E, וממשיכים את הקו הישר עד לנקודה M (ראו סרטוט), כך שמתקיים EM = EF2.

האליפסה והנקודות E ו־M – סרטוט מתוך השאלון

ב. הוכיחו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות M הוא מעגל, ורשמו את משוואתו.

מזיזים את המעגל שמצאתם בסעיף ב ימינה ב־3√2 יחידות, ומתקבל מעגל אחר. מכפילים ב־23 את שיעור ה־y של כל אחת מן הנקודות שעל המעגל האחר, ומתקבל עקום חדש.

ג. זהו את צורת העקום החדש, ומצאו את משוואתו.

נתון משולש ששניים מקודקודיו הם נקודות החיתוך של העקום החדש עם ציר ה־x, והקודקוד הנוסף נמצא גם הוא על העקום החדש.

ד. מצאו את השטח הגדול ביותר האפשרי של המשולש. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א (1) – הערך של b

c2 = 9 − b2📐 אליפסה (מוקדים על ציר ה־x)x2a2 + y2b2 = 1 , c2 = a2 − b2
המוקדים F1(−c , 0) , F2(c , 0) והקודקודים D1(0 , b) , D2(0 , −b). בריבוע האלכסונים שווים:
F1F2 = D1D2
2c = 2b , c = b
9 − b2 = b2
b2 = 4.5
b = √4.5 = 3√2
✅ פתרון סופי: b = 3√2 = √4.5

סעיף א (2) – שטח הריבוע

S = d22 = (2b)22 = 2b2📐 שטח ריבוע לפי אלכסוןS = d22
S = 2 · 4.5 = 9
✅ פתרון סופי: S = 9

סעיף ב – המקום הגאומטרי של M

a = 3 , c = √(9 − 4.5) = √4.5
M על המשך F1E מעבר ל־E, ולכן:
F1M = F1E + EM = F1E + EF2
F1E + EF2 = 2a = 6📐 הגדרת האליפסהסכום המרחקים מהמוקדים = 2a
F1M = 6
כל הנקודות M נמצאות במרחק קבוע 6 מן הנקודה F1(−√4.5 , 0) – זה מעגל:
✅ פתרון סופי: (x + √4.5)2 + y2 = 36

סעיף ג – העקום החדש

הזזה ימינה ב־3√2 = √4.5 מעבירה את המרכז לראשית:
x2 + y2 = 36
נקודה (x , y) על המעגל עוברת לנקודה (X , Y) = (x , 23y), כלומר x = X ו־y = 32Y:
X2 + 94Y2 = 36
X236 + Y216 = 1
✅ פתרון סופי: אליפסה: x236 + y216 = 1

סעיף ד – השטח הגדול ביותר

y = 0 : x2 = 36 , x = ±6
הבסיס הוא הקטע בין (−6 , 0) ל־(6 , 0), אורכו 12. הגובה הוא המרחק של הקודקוד השלישי מציר ה־x, |y|, והוא הגדול ביותר בקודקודי הציר הקטן (0 , ±4):
S = 12 · 42 = 24📐 שטח משולשS = a · h2
xy(−6 , 0)(6 , 0)(0 , 4)
✅ פתרון סופי: Smax = 24

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א (1)b = 3√2 = √4.5
סעיף א (2)S = 9
סעיף ב(x + √4.5)2 + y2 = 36
סעיף גאליפסה: x236 + y216 = 1
סעיף דSmax = 24
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 76 – תרגיל אליפסה (חורף 2023)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונות הנקודות A(−5 , 3) ו־B(0 , −2).

א. מצאו את משוואת המקום הגאומטרי של מרכזי המעגלים שהקטע AB הוא מיתר שלהם.

מעגל M הוא אחד מן המעגלים שהקטע AB הוא מיתר שלהם. נקודות החיתוך של המעגל M עם ציר ה־x הן מוקדים של אליפסה שמשוואתה קנונית.

ב. מצאו את שיעורי מרכז המעגל M ואת הרדיוס שלו.

נתון כי אורך הציר הראשי של האליפסה שווה לאורך קוטר המעגל M.

ג. מהי משוואת האליפסה?

נסמן ב־F את המוקד הימני של האליפסה. ישר המאונך לציר ה־x עובר במוקד השמאלי של האליפסה. הישר חותך את האליפסה בנקודות Q ו־T, ואת המעגל M בנקודות K ו־L.

ד. מצאו את היחס בין שטח המשולש KLF לבין שטח המשולש TQF.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המקום הגאומטרי

המקום הגאומטרי הוא האנך האמצעי של AB.
N = (−5 + 02 , 3 − 22)📐 נוסחה: אמצע קטע ושיפועM = (x1 + x22 , y1 + y22)m = y2 − y1x2 − x1
N = (−2.5 , 0.5)
mAB = −2 − 30 + 5 = −1
m⊥ = 1📐 משפט: ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
y − 0.5 = 1 · (x + 2.5)📐 נוסחה: משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y1 = m(x − x1)
y = x + 3
✅ פתרון סופי: y = x + 3

סעיף ב – מרכז ורדיוס

נקודות החיתוך עם ציר ה־x הן מוקדי אליפסה קנונית – הן סימטריות לראשית, (±c , 0). לכן מרכז המעגל על ציר ה־y (x = 0), וגם על האנך האמצעי:
y = 0 + 3 = 3📐 משפט: אנך אמצעימרכז מעגל שהקטע AB מיתר בו נמצא על האנך האמצעי של AB
M(0 , 3)
R = MB = |3 − (−2)| = 5📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
✅ פתרון סופי: M(0 , 3) , R = 5

סעיף ג – משוואת האליפסה

המעגל: x2 + (y − 3)2 = 25. חיתוך עם ציר ה־x (y = 0):
x2 + 9 = 25
x = ±4 ⟹ c = 4📐 נוסחה: משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b), רדיוס R
הציר הראשי שווה לקוטר:
2a = 10 ⟹ a = 5
b2 = 25 − 16 = 9📐 נוסחה: אליפסה קנוניתx2a2 + y2b2 = 1 , b2 = a2 − c2מוקדים (±c , 0) , אורך הציר הראשי 2a
x225 + y29 = 1
✅ פתרון סופי: x225 + y29 = 1

סעיף ד – יחס השטחים

המוקד השמאלי (−4 , 0), הישר x = −4, ו־F(4 , 0).
עם המעגל:
16 + (y − 3)2 = 25
y − 3 = ±3 ⟹ y = 6 , y = 0
K(−4 , 6) , L(−4 , 0) ⟹ KL = 6
עם האליפסה:
1625 + y29 = 1
y2 = 8125 ⟹ y = ±1.8
TQ = 3.6
לשני המשולשים הבסיס על הישר x = −4, והגובה הוא המרחק של F מהישר: 4 − (−4) = 8.
SKLF = 6 · 82 = 24📐 נוסחה: שטח משולשS = צלע · גובה2
STQF = 3.6 · 82 = 14.4
SKLFSTQF = 2414.4 = 53
xy53KLTQFAB
━ המעגל M (סגול) ━ האליפסה (כחול) ━ KLF (כתום) ━ TQF (ירוק)
✅ פתרון סופי: 53

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אy = x + 3
סעיף בM(0 , 3) , R = 5
סעיף גx225 + y29 = 1
סעיף ד53
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 68 – מציאת משוואת אליפסה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

נתונים שני מעגלים המשיקים זה לזה מבחוץ.

מרכזו של המעגל האחד הוא בנקודה M ומשוואתו היא (x − a)2 + y2 = r2 , a הוא פרמטר חיובי.

מרכזו של המעגל האחר הוא בנקודה N ומשוואתו היא (x − 13)2 + y2 = R2 .

אורכו של הקטע המחבר את מרכזי המעגלים הוא 9, והיחס בין אורכי הרדיוסים של המעגלים הוא 1:2 , r < R .

א. מצאו את משוואת המעגל שמרכזו N ואת שתי האפשרויות למשוואת המעגל שמרכזו M.

נתון כי a < 13 .

ב. סרטטו במערכת צירים אחת סקיצה של שני המעגלים ושל כל המשיקים המשותפים לשני המעגלים.

ג. מצאו את משוואת המשיק העובר בנקודה המשותפת לשני המעגלים.

ד. הישר mx − y + n = 0 הוא משיק משותף לשני המעגלים. מצאו את m ואת n (שתי אפשרויות).

נתונים שני מעגלים אחרים המשיקים זה לזה מבחוץ.

משוואות המעגלים הן: (x − k)2 + y2 = R2 ; (x − t)2 + y2 = r2 , t ו־k הם פרמטרים.

ערכי הרדיוסים r ו־R זהים לאלה שמצאתם בסעיף א.

ה. האם ייתכן כי שני הישרים שאת משוואותיהם מצאתם בסעיף ד משיקים גם למעגלים האלה? אם כן – מצאו את t ואת k. אם לא – נמקו.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – משוואות המעגלים

המעגלים משיקים מבחוץ, לכן המרחק בין המרכזים שווה לסכום הרדיוסים:📐 משפט: מעגלים המשיקים מבחוץd = R + rd – המרחק בין המרכזים
r + R = 9
היחס בין הרדיוסים 1:2 , לכן:
R = 2r
r + 2r = 9
3r = 9
r = 3 , R = 6
מעגל N: מרכז (13 , 0) ורדיוס 6:📐 נוסחה: משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b), רדיוס R
(x − 13)2 + y2 = 36
מעגל M: מרכזו (a , 0) על ציר ה־x, במרחק 9 מ־N(13 , 0):
|a − 13| = 9
a − 13 = 9 או a − 13 = −9
a = 22 או a = 4
שני הערכים חיוביים, ולכן שתי האפשרויות מתאימות:📐 נוסחה: משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2מרכז (a , b), רדיוס R
(x − 22)2 + y2 = 9
או
(x − 4)2 + y2 = 9
✅ פתרון סופי: (x − 13)2 + y2 = 36 ; (x − 4)2 + y2 = 9 או (x − 22)2 + y2 = 9

סעיף ב – סקיצה

מעגל M: (x − 4)2 + y2 = 9 (כי a < 13), מעגל N: (x − 13)2 + y2 = 36.
לשני מעגלים המשיקים מבחוץ יש שלושה משיקים משותפים: משיק אחד בנקודת ההשקה, ושני משיקים "חיצוניים".
▬ מעגל M (כחול) · ▬ מעגל N (סגול) · ▬ המשיק בנקודת ההשקה (תכלת) · ▬ שני המשיקים האחרים (ירוק חזק)
xy−54713196−6MNTx = 7
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה – שני המעגלים ושלושה משיקים משותפים

סעיף ג – המשיק בנקודה המשותפת

נקודת ההשקה T נמצאת על הקטע MN, במרחק r = 3 מ־M:
M(4 , 0) , N(13 , 0)
xT = 4 + 3 = 7
T(7 , 0)
המשיק מאונך לרדיוס MT. הרדיוס מונח על ציר ה־x, לכן המשיק מאונך לציר ה־x:📐 משפט: משיק למעגל המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
x = 7
✅ פתרון סופי: x = 7

סעיף ד – המשיקים המשותפים האחרים

הישר: mx − y + n = 0 , כלומר A = m , B = −1 , C = n.
המרחק של המשיק ממרכז המעגל שווה לרדיוס. ממרכז M(4 , 0):📐 נוסחה: מרחק נקודה מישרd = |Ax1 + By1 + C|√A2 + B2הנקודה (x1 , y1), הישר Ax + By + C = 0
|4m + n|√m2 + 1 = 3
ממרכז N(13 , 0):📐 נוסחה: מרחק נקודה מישרd = |Ax1 + By1 + C|√A2 + B2הנקודה (x1 , y1), הישר Ax + By + C = 0
|13m + n|√m2 + 1 = 6
נחלק את המשוואה השנייה בראשונה:
|13m + n| = 2|4m + n|
אפשרות 1:
13m + n = 2(4m + n)
13m + n = 8m + 2n
n = 5m
אפשרות 2:
13m + n = −2(4m + n)
21m = −3n
n = −7m
נציב באפשרות 2 במשוואה הראשונה:
|4m − 7m| = 3√m2 + 1
9m2 = 9m2 + 9
0 = 9
אין פתרון (זה המשיק x = 7, שאי אפשר לכתוב בצורה y = mx + n). לכן n = 5m:
|4m + 5m| = 3√m2 + 1
|9m| = 3√m2 + 1
81m2 = 9(m2 + 1)
72m2 = 9
m2 = 18
m = ±√24 ≈ ±0.354
n = 5m = ±5√24 ≈ ±1.768
✅ פתרון סופי: m = √24 , n = 5√24 או m = −√24 , n = −5√24

סעיף ה – מעגלים אחרים

משוואות המשיקים מסעיף ד (נכפיל ב־4):
√2x − 4y + 5√2 = 0
√2x + 4y + 5√2 = 0
מעגל שמרכזו (k , 0) ורדיוסו R = 6 משיק לישר הראשון אם המרחק מהמרכז לישר שווה ל־6:📐 נוסחה: מרחק נקודה מישרd = |Ax1 + By1 + C|√A2 + B2הנקודה (x1 , y1), הישר Ax + By + C = 0
|√2k + 5√2|√2 + 16 = 6
√2|k + 5|3√2 = 6
|k + 5| = 18
k = 13 או k = −23
עבור הישר השני מתקבלת אותה משוואה בדיוק (רק הסימן שבתוך הערך המוחלט משתנה), ולכן אותם ערכים.
באותו אופן, מעגל שמרכזו (t , 0) ורדיוסו r = 3:📐 נוסחה: מרחק נקודה מישרd = |Ax1 + By1 + C|√A2 + B2הנקודה (x1 , y1), הישר Ax + By + C = 0
√2|t + 5|3√2 = 3
|t + 5| = 9
t = 4 או t = −14
המעגלים משיקים זה לזה מבחוץ, לכן המרחק בין המרכזים שווה ל־R + r = 9:📐 משפט: מעגלים המשיקים מבחוץd = R + rd – המרחק בין המרכזים
|k − t| = 9
נבדוק את הזוגות:
k = 13 , t = 4 :
|13 − 4| = 9
זה הזוג המקורי מסעיף א – אבל המעגלים צריכים להיות אחרים.
k = 13 , t = −14 :
|13 + 14| = 27 ≠ 9
k = −23 , t = 4 :
|−23 − 4| = 27 ≠ 9
k = −23 , t = −14 :
|−23 + 14| = 9
הזוג האחרון מתאים. כן, ייתכן.
▬ מעגלים ברדיוס 3 (כחול) · ▬ מעגלים ברדיוס 6 (סגול) · ▬ שני המשיקים מסעיף ד (ירוק חזק)
המעגלים המקוריים בקו מקווקו, המעגלים החדשים בקו מלא:
xy−23−14−5413
✅ פתרון סופי: כן , k = −23 , t = −14

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א(x − 13)2 + y2 = 36 ; (x − 4)2 + y2 = 9 או (x − 22)2 + y2 = 9
סעיף בסקיצה – שלושה משיקים משותפים
סעיף גx = 7
סעיף דm = ±√24 , n = ±5√24 (אותו סימן)
סעיף הכן , k = −23 , t = −14
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 46.1 – קטע מרכזים
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

מעגל שמרכזו בנקודה M חסום במשולש ABC.

הצלע AB נמצאת על הישר 2x + y − 13 = 0 , והצלע AC נמצאת על הישר −x + 2y + 4 = 0 .

מרכז המעגל M נמצא על הישר y = x − 1 . ראשית הצירים נמצאת בתוך המשולש ABC.

א. מצא את משוואת המעגל החסום במשולש ABC.

נתון כי הישר BM מאונך לציר ה־x.

ב. מצא את משוואת הצלע BC.

ג. מצא את המרחק בין מרכז המעגל החסום במשולש ABC ובין מרכז המעגל החוסם את המשולש הזה.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – המעגל החסום

נסמן M(m , m − 1) (על הישר y = x − 1). המרחקים של M משתי הצלעות שווים:📐 משפט: מרכז המעגל החסוםמרכז המעגל החסום במשולש נמצא במרחקים שווים מכל צלעות המשולש, והמרחק הוא הרדיוס
dAB = |2m + (m − 1) − 13|√5📐 נוסחה: מרחק נקודה מישרd = |Ax1 + By1 + C|√A2 + B2
dAC = |−m + 2(m − 1) + 4|√5
dAB = dAC
|3m − 14| = |m + 2|
3m − 14 = m + 2
⟹ m = 8
3m − 14 = −(m + 2)
⟹ 4m = 12
⟹ m = 3
המרכז בתוך המשולש, באותו צד של כל צלע כמו הראשית. נציב את הראשית ואת המועמדים באגף שמאל של משוואת AB:
הראשית (0 , 0):
2 · 0 + 0 − 13 = −13 < 0
(3 , 2):
6 + 2 − 13 = −5 < 0 ✓
(8 , 7):
16 + 7 − 13 = 10 > 0 ✗
הנקודה (8 , 7) בצד השני של AB – מחוץ למשולש. לכן M(3 , 2).
r = |−3 + 4 + 4|√5 = 5√5 = √5📐 נוסחה: מרחק נקודה מישרd = |Ax1 + By1 + C|√A2 + B2
(x − 3)2 + (y − 2)2 = 5📐 נוסחה: משוואת מעגל(x − a)2 + (y − b)2 = R2
✅ פתרון סופי: (x − 3)2 + (y − 2)2 = 5

סעיף ב – הצלע BC

BM מאונך לציר ה־x, לכן xB = xM = 3. B על AB:
2 · 3 + y − 13 = 0
⟹ y = 7
B(3 , 7)
BC עובר ב־B ומשיק למעגל. נסמן את שיפועו k:📐 נוסחה: משוואת ישר לפי נקודה ושיפועy − y1 = m(x − x1)
y − 7 = k(x − 3)
⟹ kx − y + 7 − 3k = 0
המרחק מ־M(3 , 2) לישר שווה לרדיוס:📐 משפט: משיק למעגלישר משיק למעגל ⟺ המרחק מהמרכז לישר שווה לרדיוס
|3k − 2 + 7 − 3k|√k2 + 1 = √5
5√k2 + 1 = √5
k2 + 1 = 5
⟹ k = ±2
k = −2 הוא השיפוע של AB עצמו. לכן k = 2:
y − 7 = 2(x − 3)
y = 2x + 1
✅ פתרון סופי: y = 2x + 1

סעיף ג – המרחק בין המרכזים

נמצא את C – חיתוך BC עם AC:
−x + 2(2x + 1) + 4 = 0
3x + 6 = 0
⟹ x = −2 , y = −3
C(−2 , −3)
נבדוק את הזווית A:📐 משפט: ישרים מאונכיםm1 · m2 = −1
mAB = −2 , mAC = 12
(−2) · 12 = −1
⟹ AB ⊥ AC
המשולש ישר זווית ב־A, לכן מרכז המעגל החוסם O הוא אמצע היתר BC:📐 משפט: מעגל חוסם משולש ישר זוויתמרכז המעגל החוסם הוא אמצע היתר
xO = 3 + (−2)2 = 0.5📐 נוסחה: אמצע קטע(x1 + x22 , y1 + y22)
yO = 7 + (−3)2 = 2
O(0.5 , 2)
MO = √(3 − 0.5)2 + (2 − 2)2📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
MO = 2.5
▬ המשולש ABC (כחול) · ▬ המעגל החסום (סגול) · ▬ המעגל החוסם (ירוק חלש) · ▬ הקטע MO (ירוק חזק)
xy−23672−3ABCMO
✅ פתרון סופי: 2.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף א(x − 3)2 + (y − 2)2 = 5
סעיף בy = 2x + 1
סעיף ג2.5
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 41 – משיק למעגל
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022, שאלה 1

📄 נוסח השאלה

הנקודה (t , 0) היא מוקד של פרבולה קנונית ומוקד של אליפסה קנונית. t הוא פרמטר חיובי.

אורך הציר הראשי של האליפסה הוא 4t.

בסעיפים שלפניך הבע את תשובותיך באמצעות t, אם יש צורך.

א. מצא את משוואת הפרבולה ואת משוואת האליפסה.

המדריך של הפרבולה חותך את האליפסה בשתי נקודות, A ו־B. הנקודה A נמצאת מעל לנקודה B.

ב. מצא את שיעורי הנקודות A ו־B.

ישר המאונך לציר ה־x, עובר במוקד הפרבולה וחותך את הפרבולה בשתי נקודות, C ו־D. הנקודה C נמצאת מעל לנקודה D.

ג. מצא את שיעורי הנקודות C ו־D.

ד. (1) הסבר מדוע ארבע הנקודות A , B , C ו־D נמצאות על מעגל אחד.

(2) מצא את שיעורי מרכז המעגל הזה.

✏️ פתרון שאלה 1

סעיף א – משוואות הפרבולה והאליפסה

פרבולה:📐 נוסחה: פרבולה קנוניתy2 = 2pxמוקד (p2 , 0) , מדריך x = −p2
p2 = t
⟹ p = 2t
y2 = 4tx
אליפסה:📐 נוסחה: אליפסה קנוניתx2a2 + y2b2 = 1a2 = b2 + c2 , מוקדים (±c , 0)אורך הציר הראשי 2a
2a = 4t
⟹ a = 2t
c = t
b2 = a2 − c2 = 4t2 − t2 = 3t2
x24t2 + y23t2 = 1
✅ פתרון סופי: y2 = 4tx , x24t2 + y23t2 = 1

סעיף ב – הנקודות A ו־B

מדריך הפרבולה:📐 נוסחה: פרבולה קנוניתy2 = 2pxמוקד (p2 , 0) , מדריך x = −p2
x = −p2 = −t
נציב באליפסה:
t24t2 + y23t2 = 1
y23t2 = 34
y2 = 94t2
⟹ y = ±1.5t
✅ פתרון סופי: A(−t , 1.5t) , B(−t , −1.5t)

סעיף ג – הנקודות C ו־D

הישר עובר במוקד (t , 0) ומאונך לציר ה־x:
x = t
y2 = 4t · t = 4t2
⟹ y = ±2t
✅ פתרון סופי: C(t , 2t) , D(t , −2t)

סעיף ד – המעגל דרך ארבע הנקודות

(1) AB ו־CD מאונכים לציר ה־x, לכן AB ∥ CD, והמרובע ABDC הוא טרפז.
הנקודות A , B סימטריות ביחס לציר ה־x, וגם C , D. לכן AC = BD – טרפז שווה שוקיים:📐 נוסחה: מרחק בין שתי נקודותd = √(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
AC = √(2t)2 + (0.5t)2 = BD
טרפז שווה שוקיים הוא בר חסימה, ולכן ארבע הנקודות על מעגל אחד.📐 משפט: טרפז שווה שוקייםטרפז שווה שוקיים הוא בר חסימה במעגל
(2) ציר ה־x הוא האנך האמצעי של AB ושל CD, לכן המרכז M(k , 0). MA = MC:📐 משפט: מרכז מעגל חוסםמרכז המעגל נמצא על האנך האמצעי של כל מיתר, ובמרחקים שווים מכל הנקודות שעל המעגל
(k + t)2 + (1.5t)2
= (k − t)2 + (2t)2
k2 + 2kt + t2 + 2.25t2
= k2 − 2kt + t2 + 4t2
4kt = 1.75t2
k = 7t16
▬ הפרבולה (כחול) · ▬ האליפסה (סגול) · ▬ המדריך x = −t והישר x = t (תכלת) · ▬ הטרפז ABDC (ירוק חזק) · ▬ המעגל (ירוק חלש)
xy−tt2t1.5tABCDMF
✅ פתרון סופי: טרפז שווה שוקיים – בר חסימה ; M(7t16 , 0)

📌 סיכום התשובות – שאלה 1

סעיף אy2 = 4tx , x24t2 + y23t2 = 1
סעיף בA(−t , 1.5t) , B(−t , −1.5t)
סעיף גC(t , 2t) , D(t , −2t)
סעיף דM(7t16 , 0)
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 68 -מציאת משוואת אליפסה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס הנדסה אנליטית 572
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022⬆️ חזרה לכפתורים

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 572 לפי נושא

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

מתמטריק © כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
האתר שומר שבת ואינו פעיל בשבת ובחגים
מתמטריק-בגרות במתמטיקה אנו משתמשים בעוגיות כדי להבטיח את תפקוד האתר ולשפר את חוויית המשתמש. אפשר לבחור אילו סוגי עוגיות להפעיל.
בחירת עוגיות


מדיניות הפרטיות