חקירת טריגו – שאלון 571 4 פרקים43 שיעורים10 שבועות
שיעור 42 – בגרות 571 חורף 2024 – שאלה 7
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 571 · חורף 2024 · שאלה 7
בגרות 571 חורף 2024 – שאלה 7
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה: f(x) = sin(x) − asin(x) + a . a הוא פרמטר חיובי.
הפונקציה f(x) מוגדרת לכל x המקיים sin(x) ≠ −a .
נתון כי הגרף של הפונקציה f(x) משיק לציר x בכל נקודות הקיצון שלה.
א. מצאו את הערך של a .
הציבו a = 1 , וענו על הסעיפים ב–ה עבור התחום −2π ≤ x ≤ 2π .
ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) .
(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.
(3) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
ד. כמה פתרונות יש למשוואה f(x) = −1 בתחום הנתון? נמקו את תשובתכם.
ידוע כי הפונקציה f(x) קעורה כלפי מטה בכל אחד מחלקי תחום הגדרתה.
ה. קבעו אם הטענה שלפניכם נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעתכם.
∫0π (f(x) + 1) dx > π2
✏️ פתרון
סעיף א – הערך של a
נגזור לפי כלל המנה, עם u = sin x − a ו־v = sin x + a :
u′ = cos x , v′ = cos x📐 נגזרת של סינוס(sin x)′ = cos x
f′(x) = u′ · v − u · v′v2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2
נחשב את המונה בנפרד:
u′ · v = cos x (sin x + a)
u · v′ = (sin x − a) cos x
נוציא cos x גורם משותף. בסוגריים נשאר:
(sin x + a) − (sin x − a) = 2a
u′ · v − u · v′ = 2a cos x
f′(x) = 2a cos x(sin x + a)2
בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת. המכנה לא מתאפס, ולכן המונה מתאפס:
2a cos x = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
a > 0 , ולכן:
cos x = 0
כאשר cos x = 0 :
sin2x = 1 − 0 = 1📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
sin x = 1 או sin x = −1
הגרף משיק לציר ה־x בנקודות הקיצון, ולכן שם f(x) = 0 . נכתוב את הפונקציה:
f(x) = sin x − asin x + a
נציב sin x = 1 :
1 − a1 + a = 0
1 − a = 0
a = 1
אם a ≠ 1 , אז בנקודות שבהן sin x = 1 יש קיצון (הסימן של cos x מתחלף שם) והערך 1 − a1 + a ≠ 0 – הגרף לא משיק לציר. לכן חייב להיות a = 1 .
בדיקה: עבור a = 1 , בנקודות שבהן sin x = −1 המכנה sin x + 1 = 0 – הן לא בתחום ההגדרה. לכן כל נקודות הקיצון הן אלה שבהן sin x = 1 , ושם f = 0 ✓
✅ פתרון סופי: a = 1
סעיף ב (1) – תחום ההגדרה
עבור a = 1 המכנה לא יכול להיות 0:
sin x + 1 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה שונה מ־0
sin x ≠ −1
x ≠ −π2 + 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = −1x = −π2 + 2πk
בתחום −2π ≤ x ≤ 2π : k = 0 נותן −π2 , ו־k = 1 נותן −π2 + 2π = 3π2 .
✅ פתרון סופי:
−2π ≤ x ≤ 2π
x ≠ −π2 , x ≠ 3π2
−2π ≤ x ≤ 2π
x ≠ −π2 , x ≠ 3π2
סעיף ב (2) – חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר ה־y (x = 0):
f(0) = sin 0 − 1sin 0 + 1
f(0) = 0 − 10 + 1 = −1
חיתוך עם ציר ה־x – השבר מתאפס כשהמונה מתאפס:
sin x − 1 = 0
sin x = 1
x = π2 + 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = 1x = π2 + 2πk
בתחום: k = 0 נותן π2 , ו־k = −1 נותן π2 − 2π = −3π2 .
✅ פתרון סופי: (0 , −1) , (π2 , 0) , (−3π2 , 0)
סעיף ב (3) – נקודות הקיצון
נציב a = 1 בנגזרת מסעיף א:
f′(x) = 2cos x(sin x + 1)2
המכנה הוא ריבוע – תמיד חיובי. לכן הסימן של f′ הוא הסימן של cos x .
בתחום, cos x = 0 כאשר x = ±π2 , ±3π2 .
הנקודות −π2 ו־3π2 לא בתחום ההגדרה. נשארות x = −3π2 ו־x = π2 , ועוד קצות התחום x = ±2π .
קביעת סוג הנקודות – נבדוק את הסימן של cos x בכל קטע:
cos(−5π3) = 12 > 0
cos(−π) = −1 < 0
cos 0 = 1 > 0
cos π = −1 < 0
cos 5π3 = 12 > 0
ב־x = −π2 וב־x = 3π2 הפונקציה לא מוגדרת (אין שם נקודה).
שיעור ה־y – נכתוב את הפונקציה:
f(x) = sin x − 1sin x + 1
בנקודות x = −3π2 ו־x = π2 הסינוס שווה 1. נציב sin x = 1 :
f = 1 − 11 + 1 = 0
בקצוות x = ±2π הסינוס שווה 0. נציב sin x = 0 :
f(±2π) = 0 − 10 + 1 = −1
✅ פתרון סופי:
מקסימום (−3π2 , 0) , (π2 , 0)
מינימום קצה (−2π , −1)
מקסימום קצה (2π , −1)
מקסימום (−3π2 , 0) , (π2 , 0)
מינימום קצה (−2π , −1)
מקסימום קצה (2π , −1)
סעיף ג – סקיצה
מה אנחנו יודעים:
• המונה sin x − 1 ≤ 0 והמכנה sin x + 1 > 0 , ולכן f(x) ≤ 0 – הגרף לא עולה מעל ציר ה־x , ונוגע בו רק במקסימומים.
• ליד x = −π2 ו־x = 3π2 המונה קרוב ל־−2 והמכנה קרוב ל־0 (חיובי), ולכן f(x) → −∞ . אלה אסימפטוטות אנכיות.
• נקודות: (−2π , −1) , (−3π2 , 0) , (0 , −1) , (π2 , 0) , (2π , −1) .
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ד – מספר הפתרונות
נפתור את המשוואה:
sin x − 1sin x + 1 = −1
נכפול במכנה (הוא שונה מ־0 בתחום ההגדרה):
sin x − 1 = −(sin x + 1)
sin x − 1 = −sin x − 1
2sin x = 0
sin x = 0
x = πk📐 פתרון המשוואה sin x = 0x = πk
בתחום −2π ≤ x ≤ 2π :
x = −2π , −π , 0 , π , 2π
אף אחד מהם הוא לא −π2 או 3π2 , ולכן כולם בתחום ההגדרה. רואים זאת גם בסקיצה: הישר y = −1 חותך את הגרף בחמש נקודות.
✅ פתרון סופי: 5 פתרונות
סעיף ה – נכון או לא נכון
נסמן h(x) = f(x) + 1 . הזזה למעלה לא משנה את הקעירות, ולכן גם h קעורה כלפי מטה. בתחום 0 ≤ x ≤ π הפונקציה מוגדרת. נכתוב:
h(x) = sin x − 1sin x + 1 + 1
נציב x = 0 , כלומר sin x = 0 :
h(0) = 0 − 10 + 1 + 1 = 0
נציב x = π2 , כלומר sin x = 1 :
h(π2) = 1 − 11 + 1 + 1 = 1
נציב x = π , כלומר sin x = 0 :
h(π) = 0 − 10 + 1 + 1 = 0
גרף של פונקציה קעורה כלפי מטה נמצא מעל כל מיתר שלו. לכן הגרף של h נמצא מעל שני הקטעים שמחברים את (0 , 0) ל־(π2 , 1) ואת (π2 , 1) ל־(π , 0) (בסגול בסרטוט).📐 קעירות כלפי מטההגרף מעל כל מיתר שלו
שני הקטעים יוצרים משולש שבסיסו π וגובהו 1:
S = π · 12 = π2📐 שטח משולשS = בסיס · גובה2
הגרף של h מעל הצלעות של המשולש (ואינו קו ישר), ולכן השטח שמתחתיו גדול משטח המשולש:
∫0π (f(x) + 1) dx > π2
✅ פתרון סופי: הטענה נכונה
📌 סיכום
| סעיף א | a = 1 |
|---|---|
| סעיף ב (1) | −2π ≤ x ≤ 2π x ≠ −π2 , x ≠ 3π2 |
| סעיף ב (2) | (0 , −1) (π2 , 0) , (−3π2 , 0) |
| סעיף ב (3) | מקס. (−3π2 , 0) , (π2 , 0) מינ. קצה (−2π , −1) מקס. קצה (2π , −1) |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד | 5 פתרונות |
| סעיף ה | נכונה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il