שיעור 28 – בגרות 482 קיץ 2025 מועד א׳ – שאלה 3

📽️ מצגת

כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.

📅 בגרות 482 · קיץ 2025 מועד א׳ · שאלה 3
בגרות 482 קיץ 2025 מועד א׳ – שאלה 3

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = ax + cos(2x) המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ π . a הוא פרמטר.

שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה שבה x = π4 הוא −1 .

א. מצא את הערך של a .

הצב a = 1 , וענה על הסעיפים ב–ד.

ב. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.

ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .

דרך נקודת המינימום הפנימית של הפונקציה f(x) העבירו אנך לציר ה־x .

ד. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) , על ידי האנך, על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y .

✏️ פתרון

סעיף א – הערך של a

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה, ולכן קודם גוזרים. הנגזרת של ax היא a :

[cos(2x)]′ = −2sin(2x)📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)[cos(ax)]′ = −a · sin(ax)

f′(x) = a − 2sin(2x)

נתון ששיפוע המשיק ב־x = π4 הוא −1 :

f′(π4) = −1📐 משוואת משיקy − y₁ = m(x − x₁)m = f′(x₁)

נכתוב את הנגזרת:

f′(x) = a − 2sin(2 · x)

נציב x = π4 :

f′(π4) = a − 2sin(2 · π4)

f′(π4) = a − 2sin π2

sin π2 = 1📐 ערך מיוחדsin π2 = 1

f′(π4) = a − 2 · 1 = a − 2

משווים ל־−1 :

a − 2 = −1

a = 1

✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ב – נקודות קיצון

מציבים a = 1 . הפונקציה והנגזרת שלה:

f(x) = x + cos(2x)

f′(x) = 1 − 2sin(2x)

בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת:

1 − 2sin(2x) = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0

−2sin(2x) = −1

sin(2x) = 12

הזווית שהסינוס שלה 12 היא π6 . כאן הזווית היא 2x :

2x = π6 + 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk

2x = π − π6 + 2πk

2x = 5π6 + 2πk

מחלקים כל משוואה ב־2:

x = π12 + πk

x = 5π12 + πk

מחפשים פתרונות בתחום 0 ≤ x ≤ π . עבור k = 0 :

x = π12 , x = 5π12

עבור k = 1 מקבלים π12 + π = 13π12 – גדול מ־π , ולכן אין פתרונות נוספים בתחום.

קביעת סוג הנקודות – נסמן על ציר את שתי הנקודות ואת קצות התחום, ונציב בנגזרת מספר מכל תחום:

f′(π24) = 1 − 2sin π12 ≈ 0.48 > 0

f′(π4) = 1 − 2sin π2 = −1 < 0

f′(π2) = 1 − 2sin π = 1 > 0

שיעורי ה־y – נכתוב את הפונקציה:

f(x) = x + cos(2 · x)

נציב x = 0 :

f(0) = 0 + cos(2 · 0) = 1

נציב x = π12 :

f(π12) = π12 + cos(2 · π12)

cos π6 = √32📐 ערך מיוחדcos π6 = √32

f(π12) = π12 + √32 ≈ 1.13

נציב x = 5π12 :

f(5π12) = 5π12 + cos(2 · 5π12)

cos 5π6 = −cos π6 = −√32📐 זוויות שסכומן πcos(π − x) = −cos x

f(5π12) = 5π12 − √32 ≈ 0.44

נציב x = π :

f(π) = π + cos(2π)

f(π) = π + 1 ≈ 4.14

✅ פתרון סופי:
מינימום קצה (0 , 1)
מקסימום (π12 , 1.13)
מינימום (5π12 , 0.44)
מקסימום קצה (π , 4.14)

סעיף ג – סקיצה

מסמנים את ארבע הנקודות ומחברים לפי הציר: עולה, יורדת ועולה שוב.

✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה

סעיף ד – שטח

האנך עובר דרך נקודת המינימום (5π12 , 0.44) , ולכן משוואתו x = 5π12 . השטח נמצא בין ציר ה־y (x = 0) לבין האנך.

בתחום 0 ≤ x ≤ 5π12 הגרף מעל ציר ה־x (הערך הנמוך ביותר שלו שם הוא 0.44), ולכן:

S = ∫₀^5π12 (x + cos(2x)) dx📐 שטח בין גרף לציר xמעל הציר: S = ∫_a^b f(x) dx

G(x) = x²2 + 12sin(2x)📐 פונקציה קדומה∫x dx = x²2 + C∫cos(ax) dx = 1asin(ax) + C

S = G(5π12) − G(0)

נציב את הגבול העליון x = 5π12 :

G(5π12) = (5π12)²2 + 12sin(2 · 5π12)

G(5π12) = 25π²288 + 12sin 5π6

sin 5π6 = sin π6 = 12📐 זוויות שסכומן πsin(π − x) = sin x

G(5π12) = 25π²288 + 14

נציב את הגבול התחתון x = 0 :

G(0) = 0²2 + 12sin(2 · 0) = 0

S = 25π²288 + 14 − 0

S = 25π²288 + 14 ≈ 1.11

✅ פתרון סופי: S = 25π²288 + 14 ≈ 1.11

📌 סיכום

סעיף א	a = 1
סעיף ב	מינ. קצה (0 , 1) מקס. (π12 , 1.13) מינ. (5π12 , 0.44) מקס. קצה (π , 4.14)
סעיף ג	סקיצה
סעיף ד	S ≈ 1.11

חקירת טריגו – שאלון 571 4 פרקים43 שיעורים10 שבועות

כניסה לשיעורים