חקירת טריגו – שאלון 571 4 פרקים43 שיעורים10 שבועות
שיעור 35 – בגרות 571 קיץ 2026 מועד א׳ – שאלה 7
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 571 · קיץ 2026 מועד א׳ · שאלה 7
בגרות 571 קיץ 2026 מועד א׳ – שאלה 7
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה:
f(x) = (1 + cos x) · (−1 + b cos x)
המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π .
b הוא פרמטר.
נתון: 0 < b < 1 .
א. האם הפונקציה f(x) היא זוגית או אי־זוגית? נמקו את תשובתכם.
ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x .
נתון כי לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x = π3 .
ג. מצאו את הערך של b .
הציבו b = 12 בפונקציה f(x) , וענו על הסעיפים ד–ה.
ד. (1) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבעו את סוגן.
(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
נתונה הפונקציה h(x) = f(x) + |f(x)| , המוגדרת בתחום −π ≤ x ≤ π .
נקודה A היא נקודה כלשהי הנמצאת על גרף הפונקציה h(x) .
ה. האם שיעור ה־y של נקודה A הוא חיובי, שלילי, שווה אפס או שאי אפשר לקבוע? נמקו את תשובתכם.
✏️ פתרון
סעיף א – זוגית או אי־זוגית
התחום −π ≤ x ≤ π סימטרי סביב 0. נציב −x במקום x ונשווה ל־f(x) .
בודקים אם f(−x) = f(x) או f(−x) = −f(x)
📐 זוגית ואי־זוגיתf(−x) = f(x) – זוגיתf(−x) = −f(x) – אי־זוגיתf(x) = (1 + cos x) · (−1 + b cos x)
נציב −x במקום x :
f(−x) = (1 + cos(−x)) · (−1 + b cos(−x))
cos(−x) = cos x📐 זווית נגדיתcos(−x) = cos x
f(−x) = (1 + cos x) · (−1 + b cos x)
f(−x) = f(x)
✅ פתרון סופי: הפונקציה זוגית , כי f(−x) = f(x) לכל x בתחום
סעיף ב – חיתוך עם ציר ה־x
על ציר ה־x מתקיים f(x) = 0 :
(1 + cos x) · (−1 + b cos x) = 0
מכפלה שווה 0, ולכן אחד הגורמים שווה 0.
📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0גורם ראשון:
1 + cos x = 0
cos x = −1
cos x = cos π📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk
x = π + 2πk או x = −π + 2πk
בתחום −π ≤ x ≤ π מתקבלים שני פתרונות, עבור k = 0 :
x = π , x = −π
גורם שני:
−1 + b cos x = 0
b cos x = 1
cos x = 1b
נתון 0 < b < 1 , ולכן 1b > 1 . אבל קוסינוס תמיד בין −1 ל־1 , ולכן לגורם השני אין פתרון.
✅ פתרון סופי: (−π , 0) , (π , 0)
סעיף ג – הערך של b
גזירה. הפונקציה היא מכפלה. נסמן:
u = 1 + cos x , v = −1 + b cos x
u′ = −sin x📐 נגזרת של קוסינוס(cos x)′ = −sin x
v′ = b · (−sin x) = −b sin x
f′(x) = u′ · v + u · v′📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′
נחשב כל מכפלה בנפרד (פותחים סוגריים):
u′ · v = −sin x · (−1 + b cos x)
u′ · v = sin x · (1 − b cos x)
u · v′ = (1 + cos x) · (−b sin x)
u · v′ = −b sin x · (1 + cos x)
נציב את שתי המכפלות:
f′(x) = sin x(1 − b cos x) + (−b sin x(1 + cos x))
בשני האיברים יש sin x . נוציא אותו כגורם משותף:
f′(x) = sin x · [1 − b cos x − b(1 + cos x)]
נפתח את הסוגריים ונכנס איברים דומים:
f′(x) = sin x · [1 − b cos x − b − b cos x]
f′(x) = sin x · (1 − b − 2b cos x)
מציאת b. בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת:
f′(π3) = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
f′(x) = sin x · (1 − b − 2b cos x)
נציב x = π3 :
sin π3 · (1 − b − 2b cos π3) = 0
sin π3 = √32📐 ערכים מיוחדיםsin π3 = √32cos π3 = 12
הגורם sin π3 = √32 אינו 0, ולכן הסוגריים שווים 0. נציב cos π3 = 12 :
1 − b − 2b · 12 = 0
1 − b − b = 0
1 − 2b = 0
b = 12
הערך מתאים לנתון 0 < b < 1 . בסעיף ד נראה שהנגזרת באמת מחליפה סימן ב־x = π3 , כלומר זו נקודת קיצון ✓
✅ פתרון סופי: b = 12
סעיף ד (1) – נקודות קיצון
נציב b = 12 בנגזרת מסעיף ג:
f′(x) = sin x · (1 − b − 2b cos x)
f′(x) = sin x · (1 − 12 − 2 · 12 cos x)
f′(x) = sin x · (12 − cos x)
נשווה ל־0. מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים שווה 0:
sin x · (12 − cos x) = 0📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
אפשרות 1:
sin x = 0
x = 0 + 2πk או x = π + 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk
בתחום −π ≤ x ≤ π :
x = −π , x = 0 , x = π
אפשרות 2:
12 − cos x = 0
cos x = 12
cos x = cos π3📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk
x = π3 + 2πk או x = −π3 + 2πk
בתחום מתקבלים שני פתרונות, עבור k = 0 :
x = π3 , x = −π3
קביעת סוג הנקודות. נסמן את הנקודות על ציר, וגם את קצות התחום ±π . נציב בנגזרת מספר מכל תחום:
f′(−π2) = sin(−π2) · (12 − cos(−π2))
f′(−π2) = (−1) · (12 − 0) = −12 < 0
f′(−π6) = sin(−π6) · (12 − cos(−π6))
f′(−π6) = (−12) · (12 − √32) ≈ 0.18 > 0
f′(π6) = 12 · (12 − √32) ≈ −0.18 < 0
f′(π2) = 1 · (12 − 0) = 12 > 0
שיעורי ה־y. מציבים בפונקציה עם b = 12 :
f(x) = (1 + cos x) · (−1 + 12 cos x)
נציב x = 0 :
f(0) = (1 + cos 0) · (−1 + 12 cos 0)
f(0) = 2 · (−12) = −1
נציב x = π3 :
f(π3) = (1 + cos π3) · (−1 + 12 cos π3)
f(π3) = (1 + 12) · (−1 + 14)
f(π3) = 32 · (−34) = −98
נציב x = π :
f(π) = (1 + cos π) · (−1 + 12 cos π)
f(π) = (1 − 1) · (−1 − 12) = 0
הפונקציה זוגית (סעיף א), ולכן בצד השלילי הערכים זהים:
f(−π3) = −98 , f(−π) = 0
✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , −1) ; מינימום (−π3 , −98) , (π3 , −98) ; מקסימום קצה (−π , 0) , (π , 0)
סעיף ד (2) – סקיצה
מסמנים את הנקודות מסעיף ד (1) ואת נקודות החיתוך (±π , 0) , ומחברים לפי החצים בציר. הגרף סימטרי סביב ציר ה־y (זוגית):
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ה – שיעור ה־y של A
הסימן של f(x) . הגרף מסעיף ד נמצא כולו מתחת לציר ה־x , ונוגע בו רק ב־x = ±π . אפשר לראות את זה גם בלי הגרף:
הגורם 1 + cos x אף פעם לא שלילי, כי cos x ≥ −1 .
הגורם −1 + 12 cos x תמיד שלילי, כי cos x ≤ 1 , ולכן הוא לכל היותר −1 + 12 = −12 .
מכפלה של מספר לא שלילי במספר שלילי היא 0 או שלילית, ולכן f(x) ≤ 0 בכל התחום.
ערך מוחלט של מספר שלילי (או 0) הוא המספר הנגדי:
📐 ערך מוחלט|t| = −t כאשר t ≤ 0|f(x)| = −f(x)
h(x) = f(x) + |f(x)|
נציב |f(x)| = −f(x) :
h(x) = f(x) + (−f(x)) = 0
כלומר h(x) = 0 לכל x בתחום: הגרף של h הוא קטע על ציר ה־x , מ־−π עד π .
✅ פתרון סופי: שיעור ה־y של A שווה אפס , כי h(x) = 0 בכל התחום
📌 סיכום
| סעיף א | זוגית |
|---|---|
| סעיף ב | (−π , 0) , (π , 0) |
| סעיף ג | b = 12 |
| סעיף ד (1) | מקס. (0 , −1) ; מינ. (±π3 , −98) ; מקס. קצה (±π , 0) |
| סעיף ד (2) | סקיצה |
| סעיף ה | שווה אפס |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il