חקירת טריגו – שאלון 571 4 פרקים43 שיעורים10 שבועות
שיעור 2 – הזהות היסודית ו־tan x
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
הזהות היסודית ו־tan x
📄 נוסח השאלה
א. נתון: sin x = 35 , והזווית x ברביע 2 (π2 < x < π) . מצאו את cos x ואת tan x .
ב. נתון: cos x = −13 , והזווית x ברביע 3 (π < x < 3π2) . מצאו את sin x ואת tan x .
ג. נתון: tan x = 2 , והזווית x ברביע 1 (0 < x < π2) . מצאו את cos x ואת sin x .
ד. (מתוך בגרות 482, קיץ 2019 מועד ב, שאלה 3) נתונה הפונקציה f(x) = 2 − cos2x בתחום −2π3 ≤ x ≤ 2π3 . (1) הראו כי f(x) = 1 + sin2x . (2) האם יש לגרף הפונקציה נקודות חיתוך עם ציר ה־x ? נמקו.
ה. (הפונקציה מתוך בגרות 482, קיץ 2024 מועד ב, שאלה 3) נתונה הפונקציה f(x) = cos2x − 2sin x − 2 בתחום 0 ≤ x ≤ 2π . (1) הראו כי f(x) = −(sin x + 1)2 . (2) הסבירו מדוע f(x) ≤ 0 לכל x , ומצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה־x .
✏️ פתרון
הסבר – sin²x + cos²x = 1 ו־tan x
נקודה על מעגל היחידה היא (cos x , sin x) . המרחק שלה מראשית הצירים הוא 1 (רדיוס המעגל). במשולש ישר הזווית שבציור הניצבים הם cos x ו־sin x , והיתר הוא 1:
לפי משפט פיתגורס מקבלים את הזהות היסודית:
sin2x + cos2x = 1📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
היא נכונה לכל זווית x . מכאן גם: sin2x = 1 − cos2x ו־cos2x = 1 − sin2x .
הטנגנס הוא מנת הסינוס בקוסינוס:
tan x = sin xcos x📐 טנגנסtan x = sin xcos x
אם מחלקים את הזהות היסודית ב־cos2x (כש־cos x ≠ 0) מקבלים זהות שמקשרת בין tan ל־cos :
sin2xcos2x + cos2xcos2x = 1cos2x📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
1 + tan2x = 1cos2x📐 זהות של טנגנס1 + tan2x = 1cos2x
שימו לב: כשמוציאים שורש יש שני סימנים (±). את הסימן הנכון קובעים לפי הרביע.
✅ פתרון סופי: sin2x + cos2x = 1
סעיף א – מסינוס לקוסינוס
מחפשים את cos x . כותבים את הזהות היסודית ומסמנים את sin x שנחליף:
(sin x)2 + cos2x = 1📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
נציב sin x = 35 :
(35)2 + cos2x = 1
925 + cos2x = 1
cos2x = 1 − 925 = 1625
cos x = ± 45
ברביע 2 הקוסינוס שלילי, ולכן:
cos x = −45
עכשיו הטנגנס. כותבים את הנוסחה ומסמנים את מה שנחליף:
tan x = sin xcos x📐 טנגנסtan x = sin xcos x
נציב sin x = 35 , cos x = −45 :
tan x = 35−45 = −34
✅ פתרון סופי: cos x = −45 וגם tan x = −34
סעיף ב – מקוסינוס לסינוס
מחפשים את sin x . כותבים את הזהות היסודית ומסמנים את cos x שנחליף:
sin2x + (cos x)2 = 1📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
נציב cos x = −13 :
sin2x + (−13)2 = 1
sin2x + 19 = 1
sin2x = 89
מוציאים שורש. √8 = √(4 · 2) = 2√2 :
sin x = ± 2√23
ברביע 3 הסינוס שלילי, ולכן:
sin x = −2√23
tan x = sin xcos x📐 טנגנסtan x = sin xcos x
נציב את שני הערכים:
tan x = −2√23−13 = 2√2
בדיקה: ברביע 3 הטנגנס חיובי ✓ (מינוס חלקי מינוס).
✅ פתרון סופי: sin x = −2√23 וגם tan x = 2√2
סעיף ג – מטנגנס לקוסינוס
ידוע הטנגנס ומחפשים את הקוסינוס – זו בדיוק הזהות שמקשרת ביניהם. מסמנים את tan x :
1 + (tan x)2 = 1cos2x📐 זהות של טנגנס1 + tan2x = 1cos2x
נציב tan x = 2 :
1 + 22 = 1cos2x
5 = 1cos2x
cos2x = 15
ברביע 1 הקוסינוס חיובי:
cos x = 1√5 = √55
את הסינוס מקבלים מ־tan x = sin xcos x – כופלים את שני האגפים ב־cos x :
sin x = tan x · cos x📐 טנגנסtan x = sin xcos x
נציב tan x = 2 , cos x = √55 :
sin x = 2 · √55 = 2√55
בדיקה: במחשבון: SHIFT tan 2 = ואחר כך cos Ans = נותן 0.447… , וגם √55 ≈ 0.447 ✓
✅ פתרון סופי: cos x = √55 וגם sin x = 2√55
סעיף ד – בגרות 482: פישוט ונקודות חיתוך
(1) רוצים להחליף את cos2x בביטוי עם סינוס. מהזהות היסודית:
cos2x = 1 − sin2x📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
כותבים את הפונקציה ומסמנים את מה שנחליף:
f(x) = 2 − cos2x
נציב cos2x = 1 − sin2x :
f(x) = 2 − (1 − sin2x)
f(x) = 2 − 1 + sin2x
f(x) = 1 + sin2x
(2) ריבוע של מספר אף פעם לא שלילי, ולכן sin2x ≥ 0 :
f(x) = 1 + sin2x ≥ 1
הפונקציה תמיד לפחות 1, כלומר אף פעם לא שווה 0. לכן אין לגרף נקודות חיתוך עם ציר ה־x .
✅ פתרון סופי: (1) f(x) = 1 + sin2x ; (2) אין נקודות חיתוך עם ציר ה־x , כי f(x) ≥ 1
סעיף ה – פונקציה עם סינוס בלבד
(1) בפונקציה יש גם cos2x וגם sin x . כדי לקבל ביטוי עם סינוס בלבד, מחליפים את cos2x :
cos2x = 1 − sin2x📐 זהות יסודיתsin2x + cos2x = 1
f(x) = cos2x − 2sin x − 2
נציב cos2x = 1 − sin2x :
f(x) = 1 − sin2x − 2sin x − 2
f(x) = −sin2x − 2sin x − 1
מוציאים מינוס כגורם משותף, ובסוגריים מקבלים ריבוע של סכום:
f(x) = −(sin2x + 2sin x + 1)📐 ריבוע של סכום(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
f(x) = −(sin x + 1)2
(2) ריבוע תמיד גדול או שווה ל־0, ועם המינוס לפניו התוצאה קטנה או שווה ל־0:
f(x) = −(sin x + 1)2 ≤ 0
הגרף נוגע בציר ה־x רק כאשר f(x) = 0 :
(sin x + 1)2 = 0
sin x = −1
x = 3π2📐 ערך מיוחדsin 3π2 = −1
בתחום 0 ≤ x ≤ 2π זה הפתרון היחיד.
✅ פתרון סופי: (1) f(x) = −(sin x + 1)2 ; (2) נקודת החיתוך (3π2 , 0)
📌 סיכום
| סעיף א | cos x = −45 ו־tan x = −34 |
|---|---|
| סעיף ב | sin x = −2√23 ו־tan x = 2√2 |
| סעיף ג | cos x = √55 ו־sin x = 2√55 |
| סעיף ד | אין נקודות חיתוך עם ציר ה־x |
| סעיף ה | נקודת חיתוך (3π2 , 0) |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il