חקירת טריגו – שאלון 571 4 פרקים43 שיעורים10 שבועות
שיעור 24 – בגרות 482 קיץ 2026 מועד ב׳ – שאלה 3
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 482 · קיץ 2026 מועד ב׳ · שאלה 3
בגרות 482 קיץ 2026 מועד ב׳ – שאלה 3
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ax + 5cos(2x) − 1 המוגדרת בתחום 0 ≤ x ≤ 2π3 . a הוא פרמטר.
שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה שבה x = π4 הוא −5 .
א. מצא את הערך של a .
הצב a = 5 , וענה על הסעיפים ב–ד.
ב. מצא את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) , וקבע את סוגן.
ג. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x) .
נתונה פונקציה g(x) המקיימת g′(x) = f(x) . הפונקציות g(x) ו־g′(x) מוגדרות בתחום 0 ≤ x ≤ 2π3 .
ד. לפניך שתי טענות. קבע עבור כל אחת מהן אם היא נכונה או לא נכונה. נמק את קביעותיך.
I. לפונקציה g(x) יש שתי נקודות קיצון פנימיות.
II. הפונקציה g(x) עולה בתחום 0 < x < 2π3 .
✏️ פתרון
סעיף א – הערך של a
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה, ולכן קודם גוזרים. הנגזרת של ax היא a , והנגזרת של קבוע היא 0:
[5cos(2x)]′ = −10sin(2x)📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)[cos(ax)]′ = −a · sin(ax)
f′(x) = a − 10sin(2x)
נתון ששיפוע המשיק ב־x = π4 הוא −5 , כלומר:
f′(π4) = −5📐 משוואת משיקy − y1 = m(x − x1)m = f′(x1)
נכתוב את הנגזרת:
f′(x) = a − 10sin(2 · x)
נציב x = π4 :
f′(π4) = a − 10sin(2 · π4)
f′(π4) = a − 10sin π2
sin π2 = 1📐 ערך מיוחדsin π2 = 1
f′(π4) = a − 10 · 1 = a − 10
משווים ל־−5 :
a − 10 = −5
a = 5
✅ פתרון סופי: a = 5
סעיף ב – נקודות קיצון
מציבים a = 5 . הפונקציה והנגזרת שלה:
f(x) = 5x + 5cos(2x) − 1
f′(x) = 5 − 10sin(2x)
בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת:
5 − 10sin(2x) = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
−10sin(2x) = −5
sin(2x) = 12
הזווית שהסינוס שלה 12 היא π6 . כאן הזווית היא 2x , ולכן:
2x = π6 + 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk
2x = π − π6 + 2πk
2x = 5π6 + 2πk
מחלקים כל משוואה ב־2:
x = π12 + πk
x = 5π12 + πk
מחפשים פתרונות בתחום 0 ≤ x ≤ 2π3 (שימו לב: 2π3 = 8π12). עבור k = 0 :
x = π12 , x = 5π12
עבור k = 1 מקבלים π12 + π = 13π12 – זה כבר גדול מ־8π12 , ולכן אין פתרונות נוספים בתחום.
קביעת סוג הנקודות – נסמן על ציר את שתי הנקודות ואת קצות התחום, ונציב בנגזרת מספר מכל תחום:
f′(π24) = 5 − 10sin π12 ≈ 2.41 > 0
f′(π4) = 5 − 10sin π2 = −5 < 0
f′(π2) = 5 − 10sin π = 5 > 0
נחשב גם את שיעורי ה־y של הנקודות – נצטרך אותם לסקיצה ולסעיף ד. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = 5 · x + 5cos(2 · x) − 1
נציב x = 0 :
f(0) = 5 · 0 + 5cos(2 · 0) − 1
f(0) = 0 + 5 · 1 − 1 = 4
נציב x = π12 :
f(π12) = 5 · π12 + 5cos(2 · π12) − 1
f(π12) = 5π12 + 5cos π6 − 1
cos π6 = √32📐 ערך מיוחדcos π6 = √32
f(π12) = 5π12 + 5√32 − 1 ≈ 4.64
נציב x = 5π12 :
f(5π12) = 5 · 5π12 + 5cos(2 · 5π12) − 1
f(5π12) = 25π12 + 5cos 5π6 − 1
cos 5π6 = −cos π6 = −√32📐 זוויות שסכומן πcos(π − x) = −cos x
f(5π12) = 25π12 − 5√32 − 1 ≈ 1.21
נציב x = 2π3 :
f(2π3) = 5 · 2π3 + 5cos(2 · 2π3) − 1
f(2π3) = 10π3 + 5cos 4π3 − 1
cos 4π3 = −cos π3 = −12📐 זוויות שההפרש ביניהן πcos(π + x) = −cos xcos π3 = 12
f(2π3) = 10π3 − 52 − 1
f(2π3) = 10π3 − 3.5 ≈ 6.97
✅ פתרון סופי:
מקסימום ב־x = π12
מינימום ב־x = 5π12
מינימום קצה ב־x = 0
מקסימום קצה ב־x = 2π3
מקסימום ב־x = π12
מינימום ב־x = 5π12
מינימום קצה ב־x = 0
מקסימום קצה ב־x = 2π3
סעיף ג – סקיצה
מסמנים את הנקודות שמצאנו:
(0 , 4) , (π12 , 4.64)
(5π12 , 1.21) , (2π3 , 6.97)
ומחברים לפי הציר: עולה, יורדת, ועולה שוב.
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ד – טענות על g(x)
הקשר בין g ל־f – נתון ש־g′(x) = f(x) . כלומר f היא הנגזרת של g , ולכן הסימן של f(x) קובע אם g(x) עולה או יורדת.
איפה ש־g′(x) > 0 הפונקציה g עולה.
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘מהסעיפים ב–ג: הערך הנמוך ביותר של f(x) בתחום הוא 1.21 (בנקודת המינימום), וגם בקצה השמאלי f(0) = 4 . כלומר הגרף של f כולו מעל ציר ה־x :
f(x) > 0 בכל התחום.
ולכן:
g′(x) = f(x) > 0
טענה I – בנקודת קיצון פנימית של g הנגזרת g′(x) צריכה להתאפס ולהחליף סימן. אבל g′(x) = f(x) חיובית תמיד ולא מתאפסת אף פעם, ולכן ל־g אין נקודות קיצון פנימיות. הטענה לא נכונה.
טענה II – g′(x) > 0 בכל התחום, ולכן g(x) עולה בתחום 0 < x < 2π3 . הטענה נכונה.
✅ פתרון סופי: טענה I לא נכונה , טענה II נכונה (כי g′(x) = f(x) > 0 בכל התחום)
📌 סיכום
| סעיף א | a = 5 |
|---|---|
| סעיף ב | מקס. x = π12 מינ. x = 5π12 מינ. קצה x = 0 מקס. קצה x = 2π3 |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד | I לא נכונה , II נכונה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il