חקירת טריגו – שאלון 571 4 פרקים43 שיעורים10 שבועות
שיעור 9 – נגזרת פנימית ונגזרת של tan x
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
נגזרת פנימית ונגזרת של tan x
📄 נוסח השאלה
בכל סעיף נתונה פונקציה. מצאו את מה שמבוקש.
א. f(x) = sin 2x . מצאו את f′(x) .
ב. f(x) = cos(3x − π4) . מצאו את f′(x) .
ג. f(x) = 4sin x2 . מצאו את f′(x) .
ד. f(x) = 2sin(2x + π3) . מצאו את f′(x) ואת f′(0) .
ה. f(x) = tan x . מצאו את f′(π4) .
ו. f(x) = tan 2x . מצאו את f′(x) ואת f′(π8) .
✏️ פתרון
הסבר – נגזרת פנימית
כשבתוך הסינוס או הקוסינוס יש ביטוי (ולא רק x), גוזרים כרגיל ואחר כך כופלים בנגזרת של הביטוי שבפנים. זו הנגזרת הפנימית.
[sin(ax + b)]′ = a · cos(ax + b)📐 נגזרת של סינוס (פונקציה מורכבת)[sin(ax + b)]′ = a · cos(ax + b)
[cos(ax + b)]′ = −a · sin(ax + b)📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)[cos(ax + b)]′ = −a · sin(ax + b)
הזווית שבפנים לא משתנה. רק מוסיפים לפני הפונקציה את המספר a , שהוא הנגזרת של ax + b .
הנגזרת של טנגנס:
(tan x)′ = 1cos2x📐 נגזרת של טנגנס(tan x)′ = 1cos2x
טנגנס מוגדר רק כאשר cos x ≠ 0 , כלומר כאשר x ≠ π2 + πk .
גם בטנגנס, אם בפנים יש ביטוי, כופלים בנגזרת הפנימית:
[f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x)📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x)
סעיף א – סינוס של 2x
בתוך הסינוס יש 2x , כלומר a = 2 . כופלים ב־2:
(sin 2x)′ = 2 · cos 2x📐 נגזרת של סינוס (פונקציה מורכבת)[sin(ax + b)]′ = a · cos(ax + b)
f′(x) = 2cos 2x
✅ פתרון סופי: f′(x) = 2cos 2x
סעיף ב – קוסינוס של ביטוי
בתוך הקוסינוס יש 3x − π4 . הנגזרת שלו היא 3, כלומר a = 3 :
[cos(3x − π4)]′ = −3 · sin(3x − π4)📐 נגזרת של קוסינוס (פונקציה מורכבת)[cos(ax + b)]′ = −a · sin(ax + b)
f′(x) = −3sin(3x − π4)
✅ פתרון סופי: f′(x) = −3sin(3x − π4)
סעיף ג – חצי זווית
נשים לב ש־x2 = 12 · x , ולכן a = 12 :
(sin x2)′ = 12 · cos x2📐 נגזרת של סינוס (פונקציה מורכבת)[sin(ax + b)]′ = a · cos(ax + b)
המספר 4 שלפני הסינוס נשאר:
f′(x) = 4 · 12 · cos x2
f′(x) = 2cos x2
✅ פתרון סופי: f′(x) = 2cos x2
סעיף ד – נגזרת וערך בנקודה
בפנים יש 2x + π3 , ולכן a = 2 :
[sin(2x + π3)]′ = 2cos(2x + π3)📐 נגזרת של סינוס (פונקציה מורכבת)[sin(ax + b)]′ = a · cos(ax + b)
f′(x) = 2 · 2cos(2x + π3)
f′(x) = 4cos(2x + π3)
נכתוב את הנגזרת ונסמן את x :
f′(x) = 4cos(2x + π3)
נציב x = 0 :
f′(0) = 4cos(2 · 0 + π3)
f′(0) = 4cos π3
f′(0) = 4 · 12 = 2📐 ערך מיוחדcos π3 = 12
✅ פתרון סופי: f′(x) = 4cos(2x + π3)
f′(0) = 2
f′(0) = 2
סעיף ה – נגזרת של טנגנס
גוזרים לפי הנוסחה:
f′(x) = 1cos2x📐 נגזרת של טנגנס(tan x)′ = 1cos2x
נכתוב את הנגזרת ונסמן את x :
f′(x) = 1cos2x
נציב x = π4 :
f′(π4) = 1cos2π4
cos2π4 = (√22)2 = 24 = 12📐 ערך מיוחדcos π4 = √22
f′(π4) = 112 = 2
✅ פתרון סופי: f′(π4) = 2
סעיף ו – טנגנס של 2x
בתוך הטנגנס יש 2x , והנגזרת הפנימית היא 2:
(tan 2x)′ = 1cos2(2x) · 2📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x)
f′(x) = 2cos2(2x)
נכתוב את הנגזרת ונסמן את x :
f′(x) = 2cos2(2x)
נציב x = π8 :
f′(π8) = 2cos2(2 · π8)
f′(π8) = 2cos2π4
cos2π4 = 12📐 ערך מיוחדcos π4 = √22
f′(π8) = 212 = 4
✅ פתרון סופי: f′(x) = 2cos2(2x)
f′(π8) = 4
f′(π8) = 4
📌 סיכום
| סעיף א | f′(x) = 2cos 2x |
|---|---|
| סעיף ב | f′(x) = −3sin(3x − π4) |
| סעיף ג | f′(x) = 2cos x2 |
| סעיף ד | f′(x) = 4cos(2x + π3) f′(0) = 2 |
| סעיף ה | f′(π4) = 2 |
| סעיף ו | f′(x) = 2cos2(2x) f′(π8) = 4 |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il