חקירת טריגו – שאלון 571 4 פרקים43 שיעורים10 שבועות
שיעור 14 – נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה – f(x) = x + 2cos x
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
נקודות קיצון ותחומי עלייה וירידה – f(x) = x + 2cos x
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = x + 2cos x בתחום 0 ≤ x ≤ 2π .
א. מצאו את f′(x) .
ב. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה בתחום הנתון, וקבעו את סוגן.
ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.
✏️ פתרון
סעיף א – הנגזרת
גוזרים כל איבר בנפרד. הנגזרת של x היא 1:
(2cos x)′ = 2 · (−sin x) = −2sin x📐 נגזרת של קוסינוס(cos x)′ = −sin x
f′(x) = 1 − 2sin x
✅ פתרון סופי: f′(x) = 1 − 2sin x
סעיף ב – נקודות קיצון
בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת, ולכן משווים את הנגזרת ל־0:
1 − 2sin x = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
−2sin x = −1
sin x = 12
הזווית שהסינוס שלה 12 היא π6 (כמו 30 מעלות). לפי הנוסחה יש שתי משפחות של פתרונות:
x = π6 + 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk
x = π − π6 + 2πk = 5π6 + 2πk
מחפשים פתרונות בתחום 0 ≤ x ≤ 2π . נציב k = 0 :
x = π6 , x = 5π6
עבור k = 1 מקבלים π6 + 2π – זה כבר גדול מ־2π , ולכן אין פתרונות נוספים בתחום.
קביעת סוג הנקודות – נסמן על ציר את הנקודות ואת קצות התחום, ונציב בנגזרת מספר מכל תחום:
f′(π12) = 1 − 2sin π12 ≈ 1 − 0.52 = 0.48 > 0
f′(π2) = 1 − 2sin π2 = 1 − 2 = −1 < 0
f′(π) = 1 − 2sin π = 1 − 0 = 1 > 0
שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = x + 2cos x
נציב x = π6 :
f(π6) = π6 + 2cos π6
cos π6 = √32📐 ערך מיוחדcos π6 = √32
f(π6) = π6 + 2 · √32 = π6 + √3 ≈ 2.26
נציב x = 5π6 :
f(5π6) = 5π6 + 2cos 5π6
cos 5π6 = −cos π6 = −√32📐 זוויות שסכומן πcos(π − x) = −cos x
f(5π6) = 5π6 − √3 ≈ 0.89
נציב את קצות התחום x = 0 ו־x = 2π :
f(0) = 0 + 2cos 0 = 0 + 2 · 1 = 2
f(2π) = 2π + 2cos 2π = 2π + 2 ≈ 8.28
✅ פתרון סופי: מקסימום (π6 , π6 + √3) , מינימום (5π6 , 5π6 − √3) , מינימום קצה (0 , 2) , מקסימום קצה (2π , 2π + 2)
סעיף ג – תחומי עלייה וירידה
קוראים מהציר: איפה ש־f′(x) > 0 הפונקציה עולה, ואיפה ש־f′(x) < 0 היא יורדת.
עולה: 0 < x < π6 או 5π6 < x < 2π
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘יורדת: π6 < x < 5π6
✅ פתרון סופי: עולה: 0 < x < π6 , 5π6 < x < 2π ; יורדת: π6 < x < 5π6
סעיף ד – סקיצה
מסמנים את ארבע הנקודות שמצאנו ומחברים לפי העלייה והירידה:
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
📌 סיכום
| סעיף א | f′(x) = 1 − 2sin x |
|---|---|
| סעיף ב | מקס. (π6 , π6 + √3) , מינ. (5π6 , 5π6 − √3) , קצוות (0 , 2) , (2π , 2π + 2) |
| סעיף ג | עולה 0 < x < π6 , 5π6 < x < 2π ; יורדת π6 < x < 5π6 |
| סעיף ד | סקיצה |
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il