חקירת טריגו – שאלון 571 4 פרקים43 שיעורים10 שבועות
שיעור 18 – נקודות קיצון מבגרות 482 – f(x) = 2 − cos²x
📽️ מצגת
כל שורה של הפתרון מופיעה בלחיצה. בטלפון: מסובבים את המסך לרוחב.
📅 בגרות 482 · קיץ 2019 מועד ב׳ · שאלה 3 · סעיף א
נקודות קיצון מבגרות 482 – f(x) = 2 − cos2x
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 2 − cos2x , בתחום −2π3 ≤ x ≤ 2π3 .
א. מצא את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x) בתחום הנתון, וקבע את סוגן.
✏️ פתרון
סעיף א – שלב 1: הנגזרת
המספר 2 נגזר ל־0. את cos2x כותבים כחזקה (cos x)2 וגוזרים לפי נגזרת של חזקה של פונקציה – u = cos x :
[(cos x)2]′ = 2cos x · (cos x)′📐 נגזרת של חזקה (פונקציה מורכבת)[un]′ = n · un−1 · u′
[(cos x)2]′ = 2cos x · (−sin x)📐 נגזרת של קוסינוס(cos x)′ = −sin x
[(cos x)2]′ = −2sin x · cos x
לפני cos2x יש מינוס, ולכן הסימן מתהפך:
f′(x) = 0 − (−2sin x · cos x)
f′(x) = 2sin x · cos x
✅ פתרון סופי: f′(x) = 2sin x · cos x
סעיף א – שלב 2: משווים את הנגזרת ל־0
בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת:
2sin x · cos x = 0📐 נקודת קיצוןבנקודת קיצון פנימית f′(x) = 0
מכפלה – לכן sin x = 0 או cos x = 0
📐 מכפלה שווה 0מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0אפשרות 1: sin x = 0 . הזווית שהסינוס שלה 0 היא 0:
x = 0 + 2πk = 2πk📐 פתרון המשוואה sin x = sin ax = a + 2πkx = π − a + 2πk
x = π − 0 + 2πk = π + 2πk
בתחום הנתון מתקבל רק x = 0 . הפתרון π גדול מ־2π3 , והפתרון −π (עבור k = −1 ) קטן מ־−2π3 .
אפשרות 2: cos x = 0 . הזווית שהקוסינוס שלה 0 היא π2 :
x = π2 + 2πk📐 פתרון המשוואה cos x = cos ax = a + 2πkx = −a + 2πk
x = −π2 + 2πk
נציב k = 0 – שני הפתרונות בתחום. ערכי k אחרים יוצאים מהתחום.
x = −π2 , x = π2
יש שלוש נקודות חשודות בתוך התחום:
x = −π2 , x = 0 , x = π2
✅ פתרון סופי: x = −π2 , x = 0 , x = π2
סעיף א – שלב 3: סוג הנקודות ושיעורי y
קביעת סוג הנקודות – נסמן על ציר את שלוש הנקודות ואת קצות התחום, ונציב בנגזרת מספר מכל תחום:
בין −2π3 ל־−π2 ניקח x = −7π12 . זו זווית ברביע השלישי, ושם גם sin x וגם cos x שליליים:
f′(−7π12) = 2 · (−) · (−) > 0
f′(−π4) = 2 · (−√22) · √22 = −1 < 0
f′(π4) = 2 · √22 · √22 = 1 > 0
בין π2 ל־2π3 ניקח x = 7π12 . זו זווית ברביע השני: sin x חיובי ו־cos x שלילי:
f′(7π12) = 2 · (+) · (−) < 0
עלייה ואחריה ירידה – מקסימום; ירידה ואחריה עלייה – מינימום.
📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 – הפונקציה עולה ↗f′(x) < 0 – הפונקציה יורדת ↘שיעור ה־y של כל נקודה – מציבים בפונקציה עצמה. נכתוב את הפונקציה:
f(x) = 2 − cos2x
נציב x = π2 :
f(π2) = 2 − cos2π2 = 2 − 02 = 2
נציב x = −π2 :
cos(−π2) = cos π2 = 0📐 זווית נגדיתcos(−x) = cos x
f(−π2) = 2 − cos2(−π2) = 2 − 0 = 2
נציב x = 0 :
f(0) = 2 − cos20 = 2 − 12 = 1
נציב את קצה התחום x = 2π3 :
cos 2π3 = −12📐 ערך מיוחדcos 2π3 = −12
f(2π3) = 2 − cos22π3
f(2π3) = 2 − (−12)2 = 2 − 14 = 74
ובקצה השני x = −2π3 – לפי הזהות של זווית נגדית cos(−2π3) = cos 2π3 , ולכן מקבלים אותו ערך:
f(−2π3) = 74 = 1.75
✅ פתרון סופי: מקסימום (−π2 , 2) , (π2 , 2) ; מינימום (0 , 1) ; מינימום קצה (−2π3 , 74) , (2π3 , 74)
לבדיקה – הגרף
כך נראה הגרף בתחום:
✅ פתרון סופי: הנקודות על הגרף מתאימות לתשובה
📌 סיכום
| סעיף א | מקס. (±π2 , 2) , מינ. (0 , 1) , מינ. קצה (±2π3 , 74) |
|---|
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il