בגרות במתמטיקה · 4 יחידות · שאלון 472 (35472) · שאלות לפי נושא

שאלות בגרות 472 לפי נושא – חקירת פונקציית e

כל השאלות בנושא חקירת פונקציית e מבחינות הבגרות בשאלון 472, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. חקירת פונקציות מעריכיות, גרף הנגזרת וסעיפי השטח. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.

⬅️ חזרה לקורס: חקירת פונקציית e – 472

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 472 לפי נושא

36 שאלות פתורות: 19 מבחינות 472 של 2022–2026 ו־17 מבגרויות ישנות (שאלון 482), מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.

ליד כל מועד כתוב מה יש בשאלה: פרמטר · שטח · הזזות · גרף נגזרת · משיק

🎛️ עם פרמטר (17)

בגרויות חדשות – שאלון 472

קיץ 2026 ב · פרמטר · הזזות קיץ 2026 א · פרמטר · שטח · משיק קיץ 2025 א · פרמטר · הזזות קיץ 2024 ב · פרמטר · הזזות קיץ 2023 מיוחד · פרמטר · הזזות חורף 2023 · שאלה 3 · פרמטר · הזזות קיץ 2022 א · שאלה 5 · פרמטר · שטח חורף 2022 · פרמטר · שטח · הזזות

בגרויות ישנות

קיץ 2021 ב · פרמטר · שטח · הזזות חורף 2021 · פרמטר · הזזות קיץ 2020 ב · פרמטר · הזזות קיץ 2020 א · פרמטר · גרף נגזרת · משיק חורף 2019 · פרמטר · הזזות קיץ 2018 ב · פרמטר קיץ 2018 א · פרמטר · שטח · משיק קיץ 2017 א · פרמטר חורף 2017 · פרמטר · שטח · גרף נגזרת

📈 ללא פרמטר (19)

בגרויות חדשות – שאלון 472

חורף 2026 · שטח · גרף נגזרת קיץ 2025 ב · שטח · גרף נגזרת חורף 2025 · שטח קיץ 2024 א · הזזות חורף 2024 · שטח · גרף נגזרת קיץ 2023 ב · שטח · גרף נגזרת קיץ 2023 א · שטח חורף 2023 · שאלה 5 · שטח · גרף נגזרת קיץ 2022 ב · שטח · הזזות קיץ 2022 א · שאלה 3 · הזזות חורף 2022 נבצרים · שאלה 5 · שטח · גרף נגזרת

בגרויות ישנות

חורף 2022 נבצרים · שאלה 4 · שטח · גרף נגזרת קיץ 2021 מיוחד חורף מאוחר 2021 · שטח · משיק חורף 2021 נבצרים · שטח קיץ 2019 ב · שטח קיץ 2019 א · הזזות חורף 2018 · הזזות קיץ 2016 ב · שטח

🎛️ עם פרמטר

📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 4 פרמטר · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (3x² − a) · e^x, המוגדרת לכל x. a הוא פרמטר. נתון כי לפונקצייה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה שבה x = 1.

א. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 9 בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ב–ה.

ב. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = |f(x)|, המוגדרת לכל x.

ה. (1) קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקצייה g(x). נמקו את קביעתכם. (2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה g(x), וקבעו את סוגן.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – מציאת הפרמטר a

הפונקצייה היא מכפלה של u = 3x² − a ושל v = e^x. גוזרים לפי נגזרת מכפלה:

f′(x) = (3x² − a)′ · e^x + (3x² − a) · (e^x)′📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′

(3x² − a)′ = 3 · 2x^{2 − 1} − 0 = 6x📐 נגזרת חזקה(xⁿ)′ = n · x^{n − 1}

(e^x)′ = e^x📐 נגזרת e בחזקת x(e^x)′ = e^x

f′(x) = 6x · e^x + (3x² − a) · e^x

מוציאים e^x גורם משותף:

f′(x) = e^x(3x² + 6x − a)

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת, ולכן f′(1) = 0:

e¹(3 · 1² + 6 · 1 − a) = 0 e(9 − a) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

e ≠ 0, ולכן הסוגריים שווים 0:

📐 e בחזקת x חיובי תמידe^x > 0

9 − a = 0

a = 9

(בסעיף ב נראה שהנגזרת אכן מחליפה סימן ב־x = 1, כלומר זו באמת נקודת קיצון.)

✅ פתרון סופי: a = 9

סעיף ב – נקודות הקיצון

מציבים a = 9:

f(x) = (3x² − 9) · e^x , f′(x) = e^x(3x² + 6x − 9)

e^x(3x² + 6x − 9) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

e^x > 0 תמיד, ולכן רק הסוגריים יכולים להתאפס:

📐 e בחזקת x חיובי תמידe^x > 0

3x² + 6x − 9 = 0

מחלקים את שני האגפים ב־3:

x² + 2x − 3 = 0

a = 1 , b = 2 , c = −3 (כאן a הוא המקדם במשוואה, לא הפרמטר)

📐 נוסחת השורשיםx_1,2 = −b ± √(b² − 4ac)2a

b² − 4ac = 2² − 4 · 1 · (−3) = 4 + 12 = 16 , √16 = 4

x_1,2 = −2 ± 42 · 1📐 נוסחת השורשיםx_1,2 = −b ± √(b² − 4ac)2a

x₁ = −2 + 42 = 22 = 1 , x₂ = −2 − 42 = −62 = −3

סימן הנגזרת נקבע רק לפי 3x² + 6x − 9 (כי e^x > 0). בודקים נקודה בכל תחום:

x = −4 : 3 · 16 − 24 − 9 = 15 > 0 ← עולה

x = 0 : 0 + 0 − 9 = −9 < 0 ← יורדת

x = 2 : 12 + 12 − 9 = 15 > 0 ← עולה

x	f′(x)	f(x)
x < −3	+	↗ עולה
−3	0	מקסימום
−3 < x < 1	−	↘ יורדת
1	0	מינימום
x > 1	+	↗ עולה

עולה ואז יורדת – מקסימום ב־x = −3. יורדת ואז עולה – מינימום ב־x = 1.

📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום

מחשבים את שיעורי ה־y (מציבים בפונקצייה המקורית):

f(−3) = (3 · (−3)² − 9) · e⁻³ = (27 − 9) · e⁻³ = 18e⁻³ = 18e³ ≈ 0.90📐 מעריך שליליa⁻ⁿ = 1aⁿ

f(1) = (3 · 1² − 9) · e¹ = (3 − 9) · e = −6e ≈ −16.31

✅ פתרון סופי: מקסימום (−3 , 18e³) ≈ (−3 , 0.90) , מינימום (1 , −6e) ≈ (1 , −16.31)

סעיף ג – נקודות החיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר y – מציבים x = 0:

f(0) = (3 · 0 − 9) · e⁰ = −9 · 1 = −9📐 חזקה עם מעריך 0a⁰ = 1

חיתוך עם ציר x – משווים f(x) = 0:

(3x² − 9) · e^x = 0

e^x > 0, ולכן:

📐 e בחזקת x חיובי תמידe^x > 0

3x² − 9 = 0

3x² = 9

x² = 93 = 3

x = ±√3 ≈ ±1.73

✅ פתרון סופי: (0 , −9) , (√3 , 0) , (−√3 , 0)

סעיף ד – סקיצה של הגרף

מרכזים את מה שמצאנו: מקסימום (−3 , 0.90), מינימום (1 , −16.31), חיתוך עם ציר y ב־(0 , −9), חיתוכים עם ציר x ב־(±1.73 , 0).

מה קורה בקצוות: כש־x שלילי וגדול, e^x קטן מאוד והגרף מתקרב לציר ה־x מלמעלה – למשל f(−10) = 291 · e⁻¹⁰ ≈ 0.013. כש־x גדל, שני הגורמים גדלים והגרף עולה מאוד – למשל f(3) = 18e³ ≈ 361.5.

הגרף משורטט לפי הפונקצייה עצמה:

הגרף של f(x) = (3x² − 9) · e^x – משורטט מהפונקצייה עצמה

✅ פתרון סופי: הסקיצה למטה

סעיף ה (1) – איזה גרף מתאר את g(x)?

g(x) = |f(x)|: איפה ש־f חיובית, g שווה ל־f; איפה ש־f שלילית (בין −√3 ל־√3), הגרף של f "מתהפך" למעלה.

📐 ערך מוחלט|k| = k , k ≥ 0|k| = −k , k < 0

לכן לגרף של g יש התכונות האלה:

• הוא אף פעם לא מתחת לציר ה־x, ונוגע בו ב־x = ±√3.

• המינימום (1 , −16.31) של f הופך לשיא גבוה (1 , 16.31) – מימין לציר ה־y. וגם g(0) = |−9| = 9.

• משמאל הוא מתקרב לציר ה־x (כמו f), ומימין הוא עולה מאוד.

בודקים את הגרפים: בגרף I הגרף מתקרב משמאל לקו גבוה ולא לציר ה־x; בגרף II השיא הגבוה משמאל לציר ה־y והגרף מתקרב לציר ה־x מימין; בגרף III הגרף מתקרב מימין לקו קבוע במקום לעלות. רק גרף IV מתאים לכל התכונות.

הגרף של g(x) = |f(x)| – משורטט מהפונקצייה עצמה

✅ פתרון סופי: גרף IV מתאר את g(x)

סעיף ה (2) – נקודות הקיצון של g(x)

משמאל ל־−√3, f > 0 ולכן g = f: המקסימום של f נשאר מקסימום של g.

g(−3) = |f(−3)| = 18e³ ≈ 0.90📐 ערך מוחלט|k| = k , k ≥ 0|k| = −k , k < 0

בין −√3 ל־√3, f < 0 ולכן g = −f: המינימום של f הופך למקסימום של g.

g(1) = |−6e| = 6e ≈ 16.31📐 ערך מוחלט|k| = k , k ≥ 0|k| = −k , k < 0

בנקודות x = ±√3 מתקיים g = 0, וזה הערך הכי קטן ש־g יכולה לקבל (ערך מוחלט אינו שלילי). הגרף יורד ל־0 ועולה שוב – אלה נקודות מינימום.

✅ פתרון סופי: מקסימום (−3 , 18e³) , מקסימום (1 , 6e) , מינימום (−√3 , 0) , מינימום (√3 , 0)

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	a = 9
סעיף ב	מקסימום (−3 , 18/e³) ≈ (−3 , 0.90) ; מינימום (1 , −6e) ≈ (1 , −16.31)
סעיף ג	(0 , −9) , (±√3 , 0)
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה (1)	גרף IV
סעיף ה (2)	מקסימום (−3 , 18/e³) , מקסימום (1 , 6e) ≈ (1 , 16.31) , מינימום (±√3 , 0)

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 14 – קיצון עם מציאת פרמטר

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 4 פרמטר · שטח · משיק

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (a − 4x) · e^{2x − 1}, המוגדרת לכל x. a הוא פרמטר.

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f(x) בנקודה שבה x = 0 הוא 16e.

א. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 10 בפונקצייה f(x), וענו על סעיפים ב–ו.

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים. (2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = 4 · e^{2x − 1}, המוגדרת לכל x.

ד. הסבירו מדוע הפונקצייה g(x) חיובית לכל x.

הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם גרף הפונקצייה g(x).

ה. מצאו את שיעורי הנקודה A.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה־x.

ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה g(x), על ידי האנך, על ידי ציר ה־x ועל ידי ציר ה־y.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – מציאת a

שיפוע המשיק = ערך הנגזרת בנקודה. הפונקצייה היא מכפלה של שתי פונקציות, ולכן נגזור לפי כלל המכפלה:

u = a − 4x ⟸ u′ = −4

v = e^{2x − 1} ⟸ v′ = 2 · e^{2x − 1}📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(e^g(x))′ = g′(x) · e^g(x)

f′(x) = −4 · e^{2x − 1} + (a − 4x) · 2e^{2x − 1}📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′

מוציאים e^{2x − 1} כגורם משותף ופותחים סוגריים:

f′(x) = e^{2x − 1} · (−4 + 2a − 8x)

מציבים x = 0:

f′(0) = e^{2 · 0 − 1} · (−4 + 2a − 0) = e⁻¹ · (2a − 4) = 2a − 4e📐 מעריך שליליa⁻¹ = 1a

השיפוע הנתון הוא 16e:

2a − 4e = 16e📐 שיפוע המשיקm = f′(x₀)

2a − 4 = 16

2a = 20

a = 10

✅ פתרון סופי: a = 10

סעיף ב (1) – נקודות החיתוך עם הצירים

מעכשיו f(x) = (10 − 4x) · e^{2x − 1}.

חיתוך עם ציר ה־y (מציבים x = 0):

f(0) = (10 − 0) · e⁻¹ = 10e ≈ 3.68📐 מעריך שליליa⁻¹ = 1a

חיתוך עם ציר ה־x (משווים ל־0):

(10 − 4x) · e^{2x − 1} = 0

e^{2x − 1} > 0📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

מכפלה שווה 0 רק כשאחד הגורמים 0, ו־e^{2x − 1} אף פעם לא 0, ולכן:

10 − 4x = 0

10 = 4x

x = 104 = 2.5

✅ פתרון סופי: (0 , 10e) ≈ (0 , 3.68)
(2.5 , 0)

סעיף ב (2) – נקודת הקיצון

מציבים a = 10 בנגזרת שמצאנו בסעיף א:

f′(x) = e^{2x − 1} · (−4 + 2 · 10 − 8x)📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′

f′(x) = e^{2x − 1} · (16 − 8x)

משווים את הנגזרת ל־0:

e^{2x − 1} · (16 − 8x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

16 − 8x = 0📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

16 = 8x

x = 2

f(2) = (10 − 4 · 2) · e^{2 · 2 − 1} = 2 · e³ = 2e³ ≈ 40.17

קובעים את הסוג בעזרת סימן הנגזרת משני צדי x = 2 (הגורם e^{2x − 1} תמיד חיובי, אז הסימן נקבע לפי 16 − 8x):

f′(0) : 16 − 0 = 16 > 0 ← עולה

f′(3) : 16 − 24 = −8 < 0 ← יורדת

עולה ואחר כך יורדת – מקסימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום

✅ פתרון סופי: (2 , 2e³) ≈ (2 , 40.17) – נקודת מקסימום

סעיף ג – סקיצה

מה שמצאנו: חיתוך עם ציר ה־y ב־(0 , 3.68), חיתוך עם ציר ה־x ב־(2.5 , 0), מקסימום ב־(2 , 40.17). עולה עד x = 2 ויורדת אחריו.

לכל x < 2.5 הגורם 10 − 4x חיובי, ולכן הגרף מעל ציר ה־x; אחרי 2.5 הוא מתחת לציר.

כש־x קטן מאוד (שלילי), e^{2x − 1} מתקרב ל־0 מהר מאוד, והגרף מתקרב לציר ה־x מלמעלה (ציר ה־x אסימפטוטה משמאל).

הגרף שלמטה סורטט בקנה מידה מהפונקצייה עצמה:

✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט

סעיף ד – למה g(x) חיובית

g(x) = 4 · e^{2x − 1}

e^{2x − 1} > 0📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

e בכל חזקה הוא מספר חיובי, ו־4 חיובי. מכפלה של שני מספרים חיוביים היא חיובית.

✅ פתרון סופי: לכל x: g(x) = 4 · e^{2x − 1} > 0 כי 4 > 0 וגם e^{2x − 1} > 0

סעיף ה – הנקודה A

בנקודת חיתוך הפונקציות שוות:

f(x) = g(x)

(10 − 4x) · e^{2x − 1} = 4 · e^{2x − 1}

מחלקים את שני האגפים ב־e^{2x − 1} (מותר, הוא אף פעם לא 0):

10 − 4x = 4📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

−4x = 4 − 10

−4x = −6

x = −6−4 = 1.5

g(1.5) = 4 · e^{2 · 1.5 − 1} = 4 · e² = 4e² ≈ 29.56

✅ פתרון סופי: A(1.5 , 4e²) ≈ (1.5 , 29.56)

סעיף ו – השטח

השטח (בתכלת בסרטוט) נמצא מתחת לגרף של g(x) (שחיובית, סעיף ד), מעל ציר ה־x, בין ציר ה־y (x = 0) לבין האנך דרך A (x = 1.5):

S = ∫1.50 4 · e^{2x − 1} dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫ba g(x) dx

פונקציה קדומה של e^{2x − 1}:

∫ 4 · e^{2x − 1} dx = 4 · 12 e^{2x − 1} = 2e^{2x − 1}📐 אינטגרל של e∫ e^{ax + b} dx = 1a e^{ax + b} + c

S = [2e^{2x − 1}]₀^1.5📐 אינטגרל מסוים∫_a^b = F(b) − F(a)

S = 2e^{2 · 1.5 − 1} − 2e^{2 · 0 − 1}

S = 2e² − 2e⁻¹ = 2e² − 2e📐 מעריך שליליa⁻¹ = 1a

S ≈ 2 · 7.389 − 22.718

S ≈ 14.778 − 0.736 ≈ 14.04

✅ פתרון סופי: S = 2e² − 2e ≈ 14.04 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	a = 10
סעיף ב (1)	(0 , 10e) (2.5 , 0)
סעיף ב (2)	מקסימום (2 , 2e³)
סעיף ג	סקיצה
סעיף ד	4 > 0 וגם e^{2x − 1} > 0
סעיף ה	A(1.5 , 4e²)
סעיף ו	2e² − 2e ≈ 14.04

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 14 – קיצון עם מציאת פרמטר

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 4 פרמטר · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = e^2xx² − 4x + a, a הוא פרמטר. לפונקצייה f(x) יש אסימפטוטה אנכית שמשוואתה היא x = 2.

א. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 4 בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ב–ד.

ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (3) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה h(x) = −f(x) + e⁸ שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ד. כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקצייה h(x) עם ציר ה־x? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הערך של a

אסימפטוטה אנכית ב־x = 2: המכנה מתאפס ב־x = 2 (והמונה e⁴ ≠ 0).

📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0

2² − 4 · 2 + a = 0

4 − 8 + a = 0 −4 + a = 0 a = 4

בדיקה: עם a = 4 המכנה הוא x² − 4x + 4 = (x − 2)², הוא מתאפס רק ב־x = 2, והמונה שם e^{2 · 2} = e⁴ ≠ 0 ✓

📐 נוסחת הכפל המקוצר(x − b)² = x² − 2bx + b²

✅ פתרון סופי: a = 4

סעיף ב (1) – תחום ההגדרה

f(x) = e^2x(x − 2)²

e^2x מוגדרת לכל x. המכנה לא יכול להיות 0:

(x − 2)² ≠ 0 x ≠ 2📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ 2

סעיף ב (2) – נקודות החיתוך עם הצירים

ציר y (x = 0):

f(0) = e⁰(0 − 2)² = 14 = 0.25📐 חזקה עם מעריך 0a⁰ = 1

ציר x (f(x) = 0): שבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס, אבל e^2x > 0 לכל x:

e^2x = 0 ← אין פתרון📐 e בחזקת x חיובי תמידe^x > 0

✅ פתרון סופי: (0 , 0.25) בלבד; עם ציר x אין נקודות חיתוך

סעיף ב (3) – נקודת הקיצון

מנה: u = e^2x , v = (x − 2)².

המונה של f′(x): (e^2x)′ · (x − 2)² − e^2x · ((x − 2)²)′

📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v²

המכנה של f′(x): ((x − 2)²)² = (x − 2)⁴

(e^2x)′ = 2e^2x📐 נגזרת e בחזקת kx(e^kx)′ = k · e^kx

((x − 2)²)′ = 2(x − 2) · 1 = 2(x − 2)📐 נגזרת של פונקצייה מורכבת((g(x))ⁿ)′ = n · (g(x))^{n − 1} · g′(x)

f′(x) = 2e^2x(x − 2)² − e^2x · 2(x − 2)(x − 2)⁴

מוציאים גורם משותף 2e^2x(x − 2) מהמונה:

= 2e^2x(x − 2)[(x − 2) − 1](x − 2)⁴ = 2e^2x(x − 3)(x − 2)³

(צמצמנו (x − 2) אחד מהמונה עם המכנה – מותר כי x ≠ 2.)

2e^2x(x − 3) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

e^2x > 0, ולכן x − 3 = 0 x = 3

📐 e בחזקת x חיובי תמידe^x > 0

סימן הנגזרת לפי x − 3(x − 2)³:

x = 0 : −3(−2)³ = −3−8 > 0 ← עולה

x = 2.5 : −0.50.5³ = −4 < 0 ← יורדת

x = 4 : 12³ = 18 > 0 ← עולה

x	f′(x)	f(x)
x < 2	+	↗ עולה
2	לא מוגדרת	אסימפטוטה
2 < x < 3	−	↘ יורדת
3	0	מינימום
x > 3	+	↗ עולה

ב־x = 3 הפונקצייה יורדת ואז עולה – מינימום.

📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום

f(3) = e^{2 · 3}(3 − 2)² = e⁶1 = e⁶ ≈ 403.43

✅ פתרון סופי: מינימום (3 , e⁶) ≈ (3 , 403.43)

סעיף ג – סקיצה

משמאל לאסימפטוטה (x < 2): הפונקצייה עולה. כש־x שלילי וגדול, e^2x קטן מאוד והגרף מתקרב לציר ה־x מלמעלה (למשל f(−5) = e⁻¹⁰49 ≈ 0.000001). היא חותכת את ציר y ב־(0 , 0.25) ועולה לאינסוף ליד x = 2.

מימין לאסימפטוטה: יורדת מאינסוף עד המינימום (3 , 403.43), ואז עולה מאוד.

כל הגרף מעל ציר ה־x (המונה והמכנה חיוביים).

הגרף של f(x) – משורטט מהפונקצייה עצמה

✅ פתרון סופי: הסקיצה למטה

סעיף ד – כמה נקודות חיתוך יש ל־h(x) עם ציר ה־x?

h(x) = 0 −f(x) + e⁸ = 0 f(x) = e⁸

כלומר סופרים כמה פעמים הגרף של f פוגש את הישר y = e⁸ ≈ 2,981.

משמאל ל־x = 2: f עולה כל הזמן, מערכים קרובים ל־0 עד אינסוף – עוברת את e⁸ פעם אחת.

📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת

בין x = 2 ל־x = 3: f יורדת מאינסוף עד e⁶ ≈ 403. מכיוון ש־e⁶ < e⁸, היא עוברת את e⁸ פעם אחת.

מימין ל־x = 3: f עולה מ־e⁶ עד אינסוף – עוברת את e⁸ פעם אחת.

בסך הכול 3 נקודות.

הישר y = e⁸ חותך את הגרף של f שלוש פעמים

✅ פתרון סופי: 3 נקודות חיתוך

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	a = 4
סעיף ב (1)	x ≠ 2
סעיף ב (2)	(0 , 0.25); אין חיתוך עם ציר x
סעיף ב (3)	מינימום (3 , e⁶) ≈ (3 , 403.43)
סעיף ג	סקיצה
סעיף ד	3 נקודות

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – פתרון בגרות 2025 א

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 4 פרמטר · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = e^{ax − 1}x². a הוא פרמטר.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואת האסימפטוטה של הפונקצייה f(x) המאונכת לציר ה־x. (3) הסבירו מדוע הפונקצייה f(x) חיובית, בעבור כל x בתחום ההגדרה שלה.

נתון כי הנקודה (−1 , 1e³) נמצאת על גרף הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את הערך של a.

הציבו a = 2 בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ג–ד.

ג. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. (2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = f(x) + k. k הוא פרמטר. נתון כי לישר y = −2e ולגרף הפונקצייה g(x) יש בדיוק שתי נקודות משותפות.

ד. מצאו את הערך של k.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום, אסימפטוטה, וחיוביות

(1) המכנה x² לא יכול להיות 0:

x² ≠ 0 ⟹ x ≠ 0

(2) ב־x = 0 המכנה 0 והמונה e⁻¹ ≠ 0:

x = 0📐 אסימפטוטה אנכיתמכנה = 0 (והמונה ≠ 0)

(3) המונה e^ax−1 – חזקה של e – תמיד חיובי. המכנה x² חיובי לכל x ≠ 0. מנה של שני מספרים חיוביים היא חיובית, ולכן f(x) > 0 בכל התחום.

✅ פתרון סופי: (1) x ≠ 0
(2) x = 0
(3) מונה חיובי ומכנה חיובי ⟸ f(x) > 0

סעיף ב – מציאת a

f(−1) = e^{a·(−1) − 1}(−1)² = e^{−a − 1}

e^{−a − 1} = 1e³ = e⁻³📐 מעריך שלילי1aⁿ = a⁻ⁿ

−a − 1 = −3📐 השוואת בסיסיםe^m = eⁿ ⟹ m = n

−a = −2 a = 2

✅ פתרון סופי: a = 2

סעיף ג – נקודת קיצון וסקיצה

(1) f(x) = e^{2x − 1}x². גוזרים לפי נגזרת של מנה: u = e^2x−1 , v = x².

u′ = 2e^2x−1📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(e^g(x))′ = g′(x) · e^g(x)

v′ = 2x📐 נגזרת חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

f′(x) = 2e^2x−1 · x² − e^2x−1 · 2xx⁴📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

מוציאים גורם משותף 2x · e^2x−1 ומצמצמים x:

f′(x) = 2x · e^2x−1(x − 1)x⁴ = 2e^2x−1(x − 1)x³

f′(x) = 0 ⟹ x − 1 = 0 ⟹ x = 1

f(1) = e^{2 − 1}1² = e ≈ 2.72

טבלת סימנים (בתחום x ≠ 0; הסימן נקבע לפי (x − 1) ו־x³):

x	x − 1	x³	f′	f
x < 0	−	−	+	עולה
0 < x < 1	−	+	−	יורדת
x = 1	0	+	0	מינימום
x > 1	+	+	+	עולה

מ־− ל־+ ב־x = 1 ⟸ מינימום.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום

(2) לסקיצה: הפונקציה חיובית; כש־x → −∞ המונה → 0, ולכן הגרף מתקרב לציר ה־x משמאל (ועולה); ליד x = 0 משני הצדדים f → +∞; מינימום (1 , e); ומימין הגרף עולה.

הגרף של f לפי החישוב. הקו המקווקו הוא y = e – גובה המינימום.

✅ פתרון סופי: (1) מינימום (1 , e)
(2) סקיצה למעלה

סעיף ד – מציאת k

נקודה משותפת ל־g ולישר: f(x) + k = −2e, כלומר f(x) = −2e − k. נבדוק כמה פתרונות יש למשוואה f(x) = c לפי הגרף של f:

• בענף השמאלי (x < 0) f עולה מ־0 עד +∞ – מקבלת כל ערך חיובי פעם אחת.

• בענף הימני (x > 0) הערך הנמוך ביותר הוא e (המינימום): ערך גדול מ־e מתקבל פעמיים, הערך e פעם אחת, וערך קטן מ־e אף פעם.

לכן בדיוק שתי נקודות משותפות מתקבלות רק כאשר c = e (נקודה אחת בענף השמאלי ונקודת המינימום):

−2e − k = e ⟹ k = −2e − e = −3e

g(x) = f(x) − 3e ; המינימום של g: (1 , e − 3e) = (1 , −2e)📐 הזזה אנכיתg(x) = f(x) + k

כלומר הישר y = −2e משיק לגרף g בנקודת המינימום שלו, וחותך את הענף השמאלי פעם אחת ✓.

✅ פתרון סופי: k = −3e

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	x ≠ 0 x = 0 הסבר
סעיף ב	a = 2
סעיף ג	מינימום (1 , e)
סעיף ד	k = −3e

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 14 – קיצון עם מציאת פרמטר

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 4 פרמטר · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = e^{a + x}x − 2. a הוא פרמטר.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואת האסימפטוטה של הפונקצייה f(x) המאונכת לציר ה־x.

נתון כי הנקודה (4 , e⁵2) נמצאת על גרף הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את הפרמטר a.

הציבו בפונקצייה f(x) את הפרמטר a שמצאתם בסעיף ב, וענו על הסעיפים ג–ה.

ג. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. (2) מצאו את תחומי הירידה של הפונקצייה f(x). (3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = −f(x) + 13 המוגדרת באותו תחום שבו מוגדרת הפונקצייה f(x).

ה. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקצייה g(x). נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית

x − 2 ≠ 0 ⟹ x ≠ 2

ב־x = 2 המכנה 0 והמונה e^a+2 ≠ 0:

x = 2📐 אסימפטוטה אנכיתמכנה = 0 (והמונה ≠ 0)

✅ פתרון סופי: (1) x ≠ 2
(2) x = 2

סעיף ב – מציאת a

f(4) = e^{a + 4}4 − 2 = e^{a + 4}2

e^{a + 4}2 = e⁵2 e^{a + 4} = e⁵

a + 4 = 5 a = 1📐 השוואת בסיסיםe^m = eⁿ ⟹ m = n

✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ג – קיצון, ירידה, וחיתוך עם הצירים

(1) f(x) = e^{x + 1}x − 2. נגזרת של מנה: u = e^x+1 , v = x − 2.

u′ = e^x+1📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(e^g(x))′ = g′(x) · e^g(x)

v′ = 1📐 נגזרת חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

f′(x) = e^x+1(x − 2) − e^x+1 · 1(x − 2)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

f′(x) = e^x+1(x − 3)(x − 2)²

f′(x) = 0 ⟹ x = 3

f(3) = e⁴1 = e⁴ ≈ 54.6

טבלת סימנים: e^x+1 > 0 ו־(x − 2)² > 0, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של x − 3:

x	f′	f
x < 2	−	יורדת
2 < x < 3	−	יורדת
x = 3	0	מינימום
x > 3	+	עולה

מ־− ל־+ ב־x = 3 ⟸ מינימום.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום

(2) תחומי הירידה: x < 2 וגם 2 < x < 3 (שני תחומים נפרדים – בגלל האסימפטוטה).

(3) חיתוך עם ציר ה־y:

f(0) = e¹0 − 2 = −e2 ≈ −1.36

חיתוך עם ציר ה־x: המונה e^x+1 אף פעם לא 0 – אין נקודות חיתוך עם ציר ה־x.

✅ פתרון סופי: (1) מינימום (3 , e⁴)
(2) x < 2 , 2 < x < 3
(3) (0 , −e2) ; אין חיתוך עם ציר ה־x

סעיף ד – סקיצה

כש־x → −∞ המונה שואף ל־0 והמכנה ל־−∞, ולכן הגרף מתקרב לציר ה־x מלמטה. משמאל ל־x = 2 f → −∞, מימין f → +∞; מינימום (3 , e⁴) ואחריו עלייה.

הגרף של f לפי החישוב. הקו המקווקו הוא y = 13 (לסעיף ה).

✅ פתרון סופי: סקיצה למעלה

סעיף ה – חיוביות ושליליות של g

g(x) > 0 ⟺ −f(x) + 13 > 0 ⟺ f(x) < 13

• עבור x < 2: המונה חיובי והמכנה שלילי, ולכן f(x) < 0 < 13 ⟸ g(x) > 0.

• עבור x > 2: הערך הקטן ביותר של f הוא המינימום e⁴ ≈ 54.6 > 13, ולכן f(x) > 13 ⟸ g(x) < 0.

✅ פתרון סופי: חיובית: x < 2 ; שלילית: x > 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	x ≠ 2 x = 2
סעיף ב	a = 1
סעיף ג	מינימום (3 , e⁴) ירידה x < 2 , 2 < x < 3 (0 , −e2)
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה	חיובית x < 2 שלילית x > 2

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2023, שאלה 3 פרמטר · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = e^2xx² − 2.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקצייה f(x) המאונכות לציר ה־x.

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. לפניכם סקיצה חלקית של גרף הפונקצייה f(x). העתיקו את הסקיצה החלקית למחברתכם, והשלימו בה את החלקים החסרים של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = f(x) + c. c הוא פרמטר.

ה. מצאו את שני הערכים האפשריים של c שבעבורם יש לפונקצייה g(x) נקודת קיצון על הישר y = 3. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – תחום ההגדרה

המונה e^2x מוגדר לכל x. הבעיה היחידה – מכנה ששווה 0:

x² − 2 = 0 ⟸ x² = 2 ⟸ x = ±√2📐 תחום הגדרה של שברמכנה ≠ 0

✅ פתרון סופי: כל x חוץ מ־x ≠ ±√2

סעיף א (2) – אסימפטוטות אנכיות

ב־x = ±√2 המכנה מתאפס והמונה e^2x > 0 (לא מתאפס):

מכנה = 0 ומונה ≠ 0📐 אסימפטוטה אנכיתמכנה = 0 ומונה ≠ 0 ← אסימפטוטה אנכית

✅ פתרון סופי: x = √2 , x = −√2

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y (x = 0):

f(0) = e⁰0 − 2 = 1−2 = −12

ציר ה־x: שבר שווה 0 רק כשהמונה 0:

e^2x = 0📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

אין פתרון, כי e^2x > 0 תמיד – אין חיתוך עם ציר ה־x.

✅ פתרון סופי: (0 , −12); עם ציר ה־x – אין

סעיף ג – נקודות הקיצון

כלל המנה עם u = e^2x, v = x² − 2 ⟸ v′ = 2x:

u′ = 2 · e^2x📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(e^g(x))′ = g′(x) · e^g(x)

f′(x) = 2e^2x · (x² − 2) − e^2x · 2x(x² − 2)²📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v²

מוציאים 2e^2x כגורם משותף במונה:

f′(x) = 2e^2x · (x² − x − 2)(x² − 2)² = 2e^2x · (x − 2)(x + 1)(x² − 2)²

f′(x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

(x − 2)(x + 1) = 0📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

x = 2 או x = −1

f(2) = e⁴4 − 2 = e⁴2 ≈ 27.30

f(−1) = e⁻²1 − 2 = −e⁻² ≈ −0.14

סימן הנגזרת: 2e^2x > 0 והמכנה (ריבוע) חיובי, ולכן הסימן הוא הסימן של (x − 2)(x + 1). בודקים בכל תחום (כולל האסימפטוטות):

x = −2 : (−4)(−1) = 4 > 0 ← עולה

x = −1.2 : (−3.2)(−0.2) > 0 ← עולה

x = 0 : (−2)(1) = −2 < 0 ← יורדת

x = 1.8 : (−0.2)(2.8) < 0 ← יורדת

x = 3 : (1)(4) = 4 > 0 ← עולה

ב־x = −1: עולה ואז יורדת ← מקסימום. ב־x = 2: יורדת ואז עולה ← מינימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום

✅ פתרון סופי: מקסימום (−1 , −1e²) ≈ (−1 , −0.14)
מינימום (2 , e⁴2) ≈ (2 , 27.30)

סעיף ד – השלמת הסקיצה

משמאל ל־x = −√2: המכנה חיובי – הגרף מעל ציר ה־x. כש־x שואף למינוס אינסוף, e^2x שואף ל־0, ולכן הגרף מתקרב לציר ה־x מלמעלה; הפונקצייה עולה ושואפת לאינסוף ליד האסימפטוטה.

בין −√2 ל־√2: המכנה שלילי – הגרף מתחת לציר ה־x. מתחיל במינוס אינסוף, עולה למקסימום (−1 , −0.14), יורד דרך (0 , −0.5) ושואף למינוס אינסוף ליד x = √2.

מימין ל־x = √2: מעל ציר ה־x – יורד מאינסוף למינימום (2 , 27.30) ואז עולה לאינסוף.

הגרף המלא בקנה מידה (הקווים המקווקווים הירוקים – האסימפטוטות):

✅ פתרון סופי: הגרף המלא בסרטוט

סעיף ה – ערכי c

הוספת קבוע c מזיזה את הגרף למעלה או למטה בלבד. הנגזרת לא משתנה:

g′(x) = f′(x) + 0 = f′(x)📐 נגזרת של קבוע היא 0(f(x) + c)′ = f′(x)

לכן ל־g יש נקודות קיצון באותם ערכי x: x = −1 ו־x = 2, ושיעורי ה־y שלהן עולים ב־c:

(−1 , −1e² + c) , (2 , e⁴2 + c)

אפשרות 1 – המקסימום על הישר y = 3:

−1e² + c = 3 ⟸ c = 3 + 1e² ≈ 3.14

אפשרות 2 – המינימום על הישר y = 3:

e⁴2 + c = 3 ⟸ c = 3 − e⁴2 ≈ −24.30

✅ פתרון סופי: c = 3 + 1e² ≈ 3.14
או c = 3 − e⁴2 ≈ −24.30

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א (1)	x ≠ ±√2
סעיף א (2)	x = ±√2
סעיף ב	(0 , −12)
סעיף ג	מקסימום (−1 , −1e²) מינימום (2 , e⁴2)
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה	c = 3 + 1e² c = 3 − e⁴2

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 5 פרמטר · שטח

📄 נוסח השאלה

הפונקצייה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה, f′(x), מוגדרות לכל x. נתון: f′(x) = e^x − e^{2 − x}.

א. מצאו את שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

נתון כי הפונקצייה f(x) חיובית לכל x.

ב. סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקצייה f(x).

ג. קבעו איזו מן האפשרויות (1)–(4) שלפניכם יכולה לתאר את הפונקצייה f(x). נמקו. (c הוא פרמטר.)
(1) f(x) = e^x − e^{2 − x} + c
(2) f(x) = e^x + 12e^{2 − x} + c
(3) f(x) = e^x − 12e^{2 − x} + c
(4) f(x) = e^x + e^{2 − x} + c

דרך נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x) העבירו אנך לציר ה־x. נתון: השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה f(x), על ידי האנך, ועל ידי הצירים הוא e² + e − 1.

ד. (1) מצאו את c. (2) מצאו את ערך ה־y של נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x).

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – נקודת הקיצון

e^x − e^{2 − x} = 0 e^x = e^{2 − x}

x = 2 − x x = 1📐 השוואת בסיסיםe^m = eⁿ ⟹ m = n

סימן הנגזרת: עבור x < 1 המעריך x קטן מ־2 − x, ולכן f′ < 0; עבור x > 1 f′ > 0.

בדיקה: f′(0) = 1 − e² < 0 f′(2) = e² − 1 > 0 ✓

מ־− ל־+ ב־x = 1 ⟸ מינימום.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום

✅ פתרון סופי: x = 1 – מינימום

סעיף ב – סקיצה אפשרית

הגרף כולו מעל ציר ה־x, יורד עד x = 1, מינימום שם, ואחר כך עולה. (בסקיצה – הפונקציה שמצא סעיף ד.)

f(x) = eˣ + e²⁻ˣ + e לפי החישוב (c = e מסעיף ד). השטח בין x = 0 ל־x = 1 בתכלת.

✅ פתרון סופי: סקיצה למעלה

סעיף ג – איזו אפשרות

גוזרים כל אפשרות ובודקים מי נותנת e^x − e^{2 − x}. הנגזרת של e^{2 − x} היא −e^{2 − x}:

(e^{2 − x})′ = −1 · e^{2 − x}📐 נגזרת של e בחזקת פונקציה(e^g(x))′ = g′(x) · e^g(x)

(1) e^x + e^{2 − x} ✗ (2) e^x − 12e^{2 − x} ✗

(3) e^x + 12e^{2 − x} ✗ (4) e^x − e^{2 − x} ✓

✅ פתרון סופי: אפשרות (4) : f(x) = e^x + e^{2 − x} + c

סעיף ד – הפרמטר c וערך הקיצון

(1) האנך הוא x = 1. הפונקציה חיובית, ולכן השטח הוא האינטגרל מ־0 עד 1:

∫₀¹(e^x + e^{2 − x} + c)dx = [e^x − e^{2 − x} + cx]₀¹📐 אינטגרל של נגזרת ∫_a^b f′(x)dx = f(b) − f(a)

= (e − e + c) − (1 − e² + 0) = c − 1 + e²

c − 1 + e² = e² + e − 1 c = e

(2)

f(1) = e¹ + e¹ + e = 3e ≈ 8.15

✅ פתרון סופי: (1) c = e
(2) y = 3e ≈ 8.15

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	x = 1 מינימום
סעיף ב	סקיצה
סעיף ג	אפשרות (4)
סעיף ד	c = e 3e

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 20 – אינטגרל שטחים e

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022, שאלה 4 פרמטר · שטח · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 8e^x + e^x2 + c , c הוא פרמטר.

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

נתון כי גרף הפונקציה f(x) עובר דרך ראשית הצירים.

ב. מצא את c.

הצב בפונקציה f(x) את הערך של c שמצאת בסעיף ב, וענה על הסעיפים ג–ו.

ג. מצא את שיעורי נקודת החיתוך הנוספת של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.

ד. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

נסמן ב־S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי ציר ה־x. נסמן ב־S₁ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה −f(x) ועל ידי ציר ה־x. נסמן ב־S₂ את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה 2 · f(x) ועל ידי ציר ה־x.

ו. בעבור כל אחד מן השטחים S₁ ו־S₂ קבע אם הוא גדול מ־S, קטן ממנו או שווה לו. נמק את קביעותיך.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום הגדרה

הביטוי היחיד שיכול להגביל הוא המכנה e^x בשבר 8e^x. המכנה אסור שיהיה 0.

e^x > 0 לכל x📐 נוסחה: תכונת הפונקציה המעריכיתe^x > 0 לכל x

המכנה אף פעם לא 0, ולכן הפונקציה מוגדרת לכל x.

✅ פתרון סופי: תחום ההגדרה: כל x

סעיף ב – מציאת c

הגרף עובר דרך ראשית הצירים, כלומר f(0) = 0:

f(0) = 8e⁰ + e⁰2 + c = 0

81 + 12 + c = 0📐 נוסחה: חזקה עם מעריך 0e⁰ = 1

8.5 + c = 0

c = −8.5

✅ פתרון סופי: c = −8.5

סעיף ג – נקודת החיתוך הנוספת עם ציר x

מעכשיו: f(x) = 8e^x + e^x2 − 8.5. נשווה ל־0:

8e^x + e^x2 − 8.5 = 0

נכפול את כל המשוואה ב־2e^x (מותר, כי e^x > 0):

16 + e^2x − 17e^x = 0📐 נוסחה: כפל חזקות עם אותו בסיסe^a · e^b = e^a+b

נציב t = e^x (ולכן t² = e^2x):

t² − 17t + 16 = 0

t_1,2 = 17 ± √(289 − 64)2 = 17 ± 152📐 נוסחה: נוסחת השורשיםt_1,2 = −b ± √(b² − 4ac)2a

t₁ = 16 , t₂ = 1

e^x = 1 ⟸ x = ln 1 = 0 e^x = 16 ⟸ x = ln 16 ≈ 2.77📐 נוסחה: מעבר מחזקה ל־lne^x = a ⟸ x = ln a

x = 0 היא ראשית הצירים (ידועה). נקודת החיתוך הנוספת: x = ln 16.

✅ פתרון סופי: (ln 16 , 0) ≈ (2.77 , 0)

סעיף ד – נקודת הקיצון

נכתוב את השבר כחזקה שלילית: 8e^x = 8e^−x, ולכן f(x) = 8e^−x + 12e^x − 8.5.

f′(x) = 8 · (−e^−x) + 12e^x − 0📐 נוסחה: נגזרת של e(e^x)′ = e^x(e^−x)′ = −e^−x

f′(x) = −8e^x + e^x2

נקודת קיצון: f′(x) = 0.

−8e^x + e^x2 = 0

e^x2 = 8e^x

e^2x = 16📐 נוסחה: כפל חזקות עם אותו בסיסe^a · e^b = e^a+b

e^x = 4

(מ־e^2x = 16 יוצא e^x = 4 או e^x = −4, אבל e^x > 0, לכן הפתרון השלילי נפסל.)

x = ln 4 ≈ 1.39📐 נוסחה: מעבר מחזקה ל־lne^x = a ⟸ x = ln a

f(ln 4) = 8e^{ln 4} + e^{ln 4}2 − 8.5 = 84 + 42 − 8.5📐 נוסחה: חזקה ו־ln מבטלים זה את זהe^{ln a} = a

= 2 + 2 − 8.5 = −4.5

סוג הנקודה – טבלת סימן של הנגזרת (מציבים נקודה מכל צד):

f′(0) = −81 + 12 = −7.5 < 0

f′(2) = −8e² + e²2 ≈ −1.08 + 3.69 = 2.61 > 0

x	x < ln 4	x = ln 4	x > ln 4
f′(x)	−	0	+
f(x)	יורדת ↘	מינימום	עולה ↗

✅ פתרון סופי: נקודת מינימום (ln 4 , −4.5) ≈ (1.39 , −4.5)

סעיף ה – סקיצה

מה שמצאנו: הפונקציה מוגדרת לכל x, עוברת ב־(0 , 0) וב־(ln 16 , 0), יורדת עד המינימום (ln 4 , −4.5) ואחריו עולה.

הגרף של f(x) משורטט לפי הפונקציה עצמה (קנה מידה אמיתי).

✅ פתרון סופי: הסקיצה בציור שלמעלה.

סעיף ו – השוואת השטחים

S (תכלת) בין f לציר x. בסגול מקווקו: −f(x), בירוק: 2f(x).

השטח S נמצא בין נקודות החיתוך x = 0 ו־x = ln 16, ושם הגרף של f מתחת לציר ה־x.

S₁: הגרף של −f(x) הוא שיקוף של הגרף של f(x) בציר ה־x. השיקוף לא משנה מרחקים, אז אותן נקודות חיתוך ואותו "גובה" בכל נקודה – והשטח זהה.

S₁ = S📐 נוסחה: שיקוף בציר xהגרף של y = −f(x) הוא שיקוף של הגרף של y = f(x) בציר x

S₂: הגרף של 2 · f(x) חותך את ציר ה־x באותן נקודות (2f(x) = 0 ⟺ f(x) = 0), אבל כל ערך של הפונקציה מוכפל ב־2, כלומר המרחק מציר ה־x גדל פי 2 בכל נקודה.

S₂ = 2S > S📐 נוסחה: הוצאת קבוע מאינטגרל∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx

(לבדיקה במספרים: S ≈ 8.57 , S₂ ≈ 17.13.)

✅ פתרון סופי: S₁ = S , S₂ > S (פי 2)

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	כל x
סעיף ב	c = −8.5
סעיף ג	(ln 16 , 0) ≈ (2.77 , 0)
סעיף ד	מינימום (ln 4 , −4.5)
סעיף ה	סקיצה
סעיף ו	S₁ = S , S₂ > S

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – מציאת נקודות קיצון

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2021 מועד ב׳, שאלה 4 פרמטר · שטח · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = −e^2x + 4e^x − 3, המוגדרת לכל x.

א. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ב. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.

ג. אחד מן הגרפים I–IV שלפניך מתאר את גרף הפונקציה f(x). קבע איזה מהם, ונמק את קביעתך.

נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + b. b הוא פרמטר. העבירו משיק לגרף הפונקציה g(x) בנקודת הקיצון שלה.

ד. מצא את משוואת המשיק (הבע באמצעות b).

ה. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי המשיק שמצאת בסעיף ד ועל ידי ציר ה־y.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – נקודות החיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר ה־y: מציבים x = 0:

f(0) = −e⁰ + 4e⁰ − 3 = −1 + 4 − 3 = 0📐 חזקת אפסe⁰ = 1

חיתוך עם ציר ה־x: פותרים f(x) = 0. שמים לב ש־e^2x = (e^x)², ולכן מציבים t = e^x:

−e^2x + 4e^x − 3 = 0 ⟸ −t² + 4t − 3 = 0📐 חזקה של חזקהe^2x = (e^x)²

כופלים ב־(−1):

t² − 4t + 3 = 0

t_1,2 = 4 ± √(16 − 12)2 = 4 ± 22📐 נוסחת השורשיםt = −b ± √(b² − 4ac)2a

t₁ = 3 t₂ = 1

חוזרים ל־x:

e^x = 1 ⟸ x = 0📐 משוואה מעריכיתe^x = k ⟺ x = ln k

e^x = 3 ⟸ x = ln 3 ≈ 1.10📐 משוואה מעריכיתe^x = k ⟺ x = ln k

✅ פתרון סופי: (0 , 0) , (ln 3 , 0)

סעיף ב – נקודת הקיצון

גוזרים כל איבר בנפרד:

f′(x) = −2e^2x + 4e^x📐 נגזרת של e בחזקת ax(e^ax)′ = a · e^ax

מוציאים גורם משותף 2e^x:

f′(x) = 2e^x · (2 − e^x)

משווים לאפס. 2e^x > 0 תמיד, ולכן:

2 − e^x = 0 ⟸ e^x = 2 ⟸ x = ln 2 ≈ 0.69📐 משוואה מעריכיתe^x = k ⟺ x = ln k

בודקים את סימן הנגזרת משני הצדדים:

x = 0 : f′(0) = 2 · 1 · (2 − 1) = 2 > 0 ← עולה

x = 1 : f′(1) = 2e · (2 − e) ≈ 5.44 · (−0.72) < 0 ← יורדת

x	f′(x)	f(x)
x < ln 2	+	↗ עולה
ln 2	0	מקסימום
x > ln 2	−	↘ יורדת

עולה ואז יורדת – מקסימום ב־x = ln 2.

📐 סוג הקיצוןf′: פלוס ← מינוס = מקסימום

מחשבים את שיעור ה־y. לפי חוק הלוגריתם e^{ln 2} = 2:

f(ln 2) = −e^{2ln 2} + 4e^{ln 2} − 3 = −2² + 4 · 2 − 3 = −4 + 8 − 3 = 1📐 e בחזקת lne^{ln k} = ke^{2ln k} = k²

✅ פתרון סופי: מקסימום (ln 2 , 1)

סעיף ג – זיהוי הגרף

כש־x שואף למינוס אין־סוף, e^x ו־e^2x שואפים ל־0, ולכן:

f(x) → −0 + 0 − 3 = −3📐 גבול של ex → −∞ ⟸ e^x → 0

כלומר משמאל הגרף מתקרב לישר y = −3, שנמצא מתחת לציר ה־x. אחר כך הגרף עולה, עובר דרך הראשית (0 , 0), מגיע למקסימום (ln 2 , 1), יורד וחותך את ציר ה־x ב־(ln 3 , 0).

גרף I הוא היחיד שמתחיל משמאל קרוב לקו שמתחת לציר ה־x, עובר דרך הראשית ויש לו מקסימום אחד מימין לציר ה־y.

✅ פתרון סופי: גרף I

סעיף ד – משוואת המשיק בנקודת הקיצון

הוספת b מזיזה את הגרף למעלה או למטה בלבד, ולכן הנגזרת לא משתנה ונקודת הקיצון נשארת ב־x = ln 2:

g′(x) = f′(x)📐 נגזרת של קבוע(b)′ = 0

g(ln 2) = f(ln 2) + b = 1 + b

בנקודת קיצון השיפוע שווה לאפס, ולכן המשיק הוא ישר אופקי:

m = g′(ln 2) = 0 ⟸ y = 1 + b📐 משיק בנקודת קיצוןm = 0 ⟸ y = y_קיצון

✅ פתרון סופי: y = b + 1

סעיף ה – השטח

השטח נמצא בין ציר ה־y (x = 0) לבין נקודת ההשקה (x = ln 2). המשיק y = 1 + b נמצא מעל הגרף של g(x) (הוא עובר דרך המקסימום), ולכן:

S = ∫ln 20 [(1 + b) − g(x)] dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ba (עליון − תחתון) dx

מפשטים את מה שבתוך האינטגרל (הפרמטר b מצטמצם):

(1 + b) − (−e^2x + 4e^x − 3 + b)

= 1 + b + e^2x − 4e^x + 3 − b

= e^2x − 4e^x + 4

מוצאים פונקציה קדומה:

S = ∫ln 20 (e^2x − 4e^x + 4) dx = [12e^2x − 4e^x + 4x]₀^{ln 2}📐 אינטגרל של e בחזקת ax∫ e^ax dx = 1a · e^ax + c

מציבים את הגבול העליון (e^{2ln 2} = 4 , e^{ln 2} = 2):

12 · 4 − 4 · 2 + 4ln 2 = 2 − 8 + 4ln 2 = −6 + 4ln 2📐 e בחזקת lne^{ln k} = k

מציבים את הגבול התחתון:

12 · 1 − 4 · 1 + 0 = −3.5

מחסרים:

S = (−6 + 4ln 2) − (−3.5) = 4ln 2 − 2.5 ≈ 0.27

✅ פתרון סופי: S = 4ln 2 − 2.5 ≈ 0.27 יחידות שטח (לא תלוי ב־b)

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	(0 , 0) , (ln 3 , 0)
סעיף ב	מקסימום (ln 2 , 1)
סעיף ג	גרף I
סעיף ד	y = b + 1
סעיף ה	4ln 2 − 2.5 ≈ 0.27

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 20 – אינטגרל ושטחים בפונקציית e

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – קיץ 2021 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף 2021, שאלה 4 פרמטר · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = a · e^xe^x − a. a > 0 הוא פרמטר.

א. (1) הבע באמצעות a את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) ואת משוואת האסימפטוטה האנכית של הפונקציה f(x). (2) הבע באמצעות a את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ב. הבע באמצעות a את תחומי הירידה של הפונקציה f(x).

נתון כי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y היא (0 , −2).

ג. מצא את a.

לפונקציה f(x) יש שתי אסימפטוטות אופקיות: y = 2 בעבור x → ∞ ו־y = 0 בעבור x → −∞.

ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ה. נתונה הפונקציה g(x) = |f(x)|. מה הם שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־y?

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום הגדרה, אסימפטוטה וחיתוך עם הצירים

e^x − a ≠ 0 ⟸ e^x ≠ a ⟸ x ≠ ln a📐 תחום הגדרה של שברמכנה ≠ 0e^x = k ⟺ x = ln k

ב־x = ln a המכנה מתאפס והמונה a · e^{ln a} = a² ≠ 0 – זו האסימפטוטה האנכית.

(2) ציר ה־y: מציבים x = 0 (אפשרי כש־a ≠ 1):

f(0) = a · e⁰e⁰ − a = a1 − a📐 חזקת אפסe⁰ = 1

ציר ה־x: המונה a · e^x אף פעם לא שווה לאפס (a > 0 ו־e^x > 0), ולכן אין חיתוך.

📐 שבר שווה אפסuv = 0 ⟺ u = 0

✅ פתרון סופי: (1) x ≠ ln a ; אסימפטוטה x = ln a
(2) (0 , a1 − a) ; אין חיתוך עם ציר ה־x

סעיף ב – תחומי עלייה וירידה

נגזרת מנה, עם u = a · e^x ו־v = e^x − a (u′ = a · e^x , v′ = e^x):

f′(x) = a · e^x(e^x − a) − a · e^x · e^x(e^x − a)²📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= a · e^2x − a²e^x − a · e^2x(e^x − a)² = −a²e^x(e^x − a)²

המונה −a²e^x שלילי תמיד והמכנה ריבוע חיובי, ולכן f′(x) < 0 בכל התחום. הפונקציה יורדת בכל אחד מהתחומים, ואין לה נקודות קיצון.

✅ פתרון סופי: יורדת: x < ln a , x > ln a ; אין תחומי עלייה

סעיף ג – הערך של a

לפי סעיף א, נקודת החיתוך עם ציר ה־y היא (0 , a1 − a). משווים ל־−2:

a1 − a = −2 ⟸ a = −2(1 − a) ⟸ a = −2 + 2a ⟸ a = 2

a = 2 > 0 – מתאים.

✅ פתרון סופי: a = 2

סעיף ד – סקיצה

עם a = 2: f(x) = 2e^xe^x − 2, אסימפטוטה אנכית x = ln 2 ≈ 0.69, והאסימפטוטות האופקיות הנתונות: y = 0 משמאל ו־y = 2 מימין.

משמאל לאסימפטוטה המכנה שלילי – הגרף מתחת לציר ה־x: יורד מ־y = 0, עובר דרך (0 , −2) ושואף למינוס אין־סוף. מימין המכנה חיובי – הגרף יורד מפלוס אין־סוף ומתקרב ל־y = 2.

✅ פתרון סופי: סקיצה (ראו למעלה)

סעיף ה – חיתוך של g(x) עם ציר ה־y

g(0) = |f(0)| = |−2| = 2📐 ערך מוחלט|k| = −k כאשר k < 0

✅ פתרון סופי: (0 , 2)

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	x ≠ ln a ; x = ln a (0 , a1 − a)
סעיף ב	יורדת x < ln a , x > ln a
סעיף ג	a = 2
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה	(0 , 2)

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 4 – מציאת אסימפטוטה אנכית

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – חורף 2021 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2020 מועד ב׳, שאלה 4 פרמטר · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = e^2xa − x. a הוא פרמטר.

א. הבע באמצעות a את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

נתון: לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון בנקודה ששיעור ה־x שלה הוא 1.

ב. מצא את a, וקבע אם לפונקציה f(x) יש נקודות קיצון נוספות.

ג. (1) כתוב את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה f(x) המאונכת לציר ה־x. (2) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (3) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x). (4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ד. נתונה הפונקציה g(x) = −2f(x). מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x) (אם יש כאלה). נמק.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום ההגדרה

a − x ≠ 0 ⟸ x ≠ a📐 תחום הגדרה של שברמכנה ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ a

סעיף ב – מציאת a וקיצון נוסף

נגזרת מנה עם u = e^2x (u′ = 2e^2x) ו־v = a − x (v′ = −1):

f′(x) = 2e^2x(a − x) − e^2x · (−1)(a − x)²📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

f′(x) = e^2x(2a − 2x + 1)(a − x)²

בנקודת קיצון הנגזרת שווה לאפס. e^2x > 0, ולכן מציבים x = 1 בסוגריים:

📐 תנאי לקיצוןf′(x₀) = 0

2a − 2 + 1 = 0 ⟸ 2a = 1 ⟸ a = 12

עם a = 12 הנגזרת מתאפסת רק כש־2 · 12 − 2x + 1 = 0, כלומר 2 − 2x = 0 ⟸ x = 1 – פתרון יחיד. לכן אין נקודות קיצון נוספות.

✅ פתרון סופי: a = 12 ; אין נקודות קיצון נוספות

סעיף ג – אסימפטוטה, חיתוך, עלייה וירידה וסקיצה

עכשיו f(x) = e^2x12 − x.

(1) ב־x = 12 המכנה מתאפס והמונה e¹ ≠ 0 – אסימפטוטה אנכית.

(2) ציר ה־y:

f(0) = e⁰12 = 2📐 חזקת אפסe⁰ = 1

ציר ה־x: המונה e^2x תמיד חיובי – אין חיתוך.

(3) f′(x) = e^2x(2 − 2x)(12 − x)². רק הגורם 2 − 2x יכול לשנות סימן:

x	f′(x)	f(x)
x < 12	+	↗ עולה
12		לא מוגדרת
12 < x < 1	+	↗ עולה
1	0	מקסימום
x > 1	−	↘ יורדת

f(1) = e²12 − 1 = −2e² ≈ −14.78📐 סוג הקיצוןf′: פלוס ← מינוס = מקסימום

(4) משמאל לאסימפטוטה המכנה חיובי – הגרף מעל ציר ה־x: מתקרב ל־0 כש־x שואף למינוס אין־סוף, עולה דרך (0 , 2) לפלוס אין־סוף. מימין המכנה שלילי – הגרף עולה ממינוס אין־סוף עד המקסימום (1 , −2e²) ויורד שוב.

✅ פתרון סופי: (1) x = 12
(2) (0 , 2) ; אין חיתוך עם ציר ה־x
(3) עולה x < 12 , 12 < x < 1 ; יורדת x > 1

סעיף ד – נקודות הקיצון של g(x)

g′(x) = −2f′(x)📐 נגזרת של כפולה בקבוע(k · f)′ = k · f′

g′ מתאפסת בדיוק כש־f′ מתאפסת, כלומר רק ב־x = 1, אבל בסימן הפוך: משמאל ל־1 שלילית ומימין חיובית – לכן זו נקודת מינימום.

g(1) = −2 · f(1) = −2 · (−2e²) = 4e² ≈ 29.56

✅ פתרון סופי: מינימום (1 , 4e²)

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	x ≠ a
סעיף ב	a = 12 ; אין קיצון נוסף
סעיף ג	(1) x = 12 (2) (0 , 2) (3) עולה x < 12 , 12 < x < 1 יורדת x > 1
סעיף ד	מינימום (1 , 4e²)

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – קיץ 2020 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2020 מועד א׳, שאלה 5 פרמטר · גרף נגזרת · משיק

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = a · e^2xe^x − 1. a הוא פרמטר.

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

בציור שלפניך מוצג גרף של פונקציית הנגזרת f′(x). גרף פונקציית הנגזרת חותך את ציר ה־x בנקודה שבה x = ln 2.

ב. על פי הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x), מצא את שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה. נמק את תשובתך.

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה שבה x = ln 3 הוא 9.

ג. מצא את הערך של a.

הצב a = 4, וענה על הסעיפים ד–ה.

ד. (1) האם יש לגרף הפונקציה f(x) נקודות חיתוך עם הצירים? אם כן – מצא אותן. אם לא – נמק. (2) מצא את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה f(x) המאונכת לציר ה־x. (3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ה. מצא את התחום שבו הפונקציה f(x) שלילית וגם הנגזרת f′(x) שלילית.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – תחום ההגדרה

e^x − 1 ≠ 0 ⟸ e^x ≠ 1 ⟸ x ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברמכנה ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ 0

סעיף ב – נקודת הקיצון לפי גרף הנגזרת

נקודת קיצון היא מקום שבו הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן. גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x רק ב־x = ln 2: משמאל לה (בין 0 ל־ln 2) הגרף מתחת לציר – f′ < 0, ומימין לה מעל הציר – f′ > 0.

📐 קריאת גרף נגזרתמתחת לציר = יורדתמעל הציר = עולה

הפונקציה יורדת ואז עולה – מינימום. ב־x = 0 אין קיצון כי הפונקציה לא מוגדרת שם.

✅ פתרון סופי: מינימום ב־x = ln 2

סעיף ג – הערך של a

נגזרת מנה עם u = a · e^2x (u′ = 2a · e^2x) ו־v = e^x − 1 (v′ = e^x):

f′(x) = 2a · e^2x(e^x − 1) − a · e^2x · e^x(e^x − 1)²📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

= a · e^2x(2e^x − 2 − e^x)(e^x − 1)² = a · e^2x(e^x − 2)(e^x − 1)²

שיפוע המשיק ב־x = ln 3 הוא f′(ln 3). מציבים (e^{ln 3} = 3 , e^{2ln 3} = 9):

📐 שיפוע משיקm = f′(x₀)e^{ln k} = k

f′(ln 3) = a · 9 · (3 − 2)(3 − 1)² = 9a4 = 9 ⟸ a = 4

✅ פתרון סופי: a = 4

סעיף ד – חיתוך, אסימפטוטה וסקיצה

עכשיו f(x) = 4e^2xe^x − 1.

(1) ציר ה־y: x = 0 לא בתחום ההגדרה – אין חיתוך. ציר ה־x: המונה 4e^2x תמיד חיובי – אין חיתוך. לכן אין נקודות חיתוך עם הצירים.

(2) ב־x = 0 המכנה מתאפס והמונה 4 ≠ 0 – אסימפטוטה אנכית.

f(ln 2) = 4 · 42 − 1 = 16 ← שיעורי המינימום

(3) משמאל לאסימפטוטה המכנה שלילי – הגרף מתחת לציר: מתקרב ל־0 כש־x שואף למינוס אין־סוף, ויורד למינוס אין־סוף ליד x = 0. מימין המכנה חיובי – הגרף יורד מפלוס אין־סוף עד המינימום (ln 2 , 16) ועולה שוב.

✅ פתרון סופי: (1) אין נקודות חיתוך ; (2) x = 0

סעיף ה – f(x) שלילית וגם f′(x) שלילית

f(x) < 0 רק כש־x < 0 (שם המכנה שלילי). f′(x) < 0 כש־x < 0 או 0 < x < ln 2 (סעיף ב). התחום המשותף:

✅ פתרון סופי: x < 0

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	x ≠ 0
סעיף ב	מינימום ב־x = ln 2
סעיף ג	a = 4
סעיף ד	(1) אין ; (2) x = 0
סעיף ה	x < 0

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – קיץ 2020 מועד א׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף 2019, שאלה 4 פרמטר · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = (x + 2) · e^{x + 3}.

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצא את התחום שבו הפונקציה f(x) חיובית.

ג. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.

ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ה. נתונה הפונקציה g(x) = f(x) + a. a הוא פרמטר. נתון כי גרף הפונקציה g(x) משיק לישר y = 12. מצא את a. נמק.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום ההגדרה

אין שבר, שורש או לוגריתם – הפונקציה מוגדרת לכל x.

✅ פתרון סופי: כל x

סעיף ב – תחום החיוביות

e^{x + 3} > 0 תמיד, ולכן הסימן של f הוא הסימן של x + 2:

📐 תכונת הפונקציה המעריכיתe^u > 0 לכל u

x + 2 > 0 ⟸ x > −2

✅ פתרון סופי: x > −2

סעיף ג – נקודת הקיצון

f′(x) = 1 · e^{x + 3} + (x + 2) · e^{x + 3} = (x + 3) · e^{x + 3}📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′

f′(x) = 0 ⟸ x + 3 = 0 ⟸ x = −3

x < −3 : x + 3 < 0 ⟸ f′ < 0 ← יורדת

x > −3 : x + 3 > 0 ⟸ f′ > 0 ← עולה

f(−3) = (−3 + 2) · e⁰ = −1📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימום

✅ פתרון סופי: מינימום (−3 , −1)

סעיף ד – סקיצה

כש־x שואף למינוס אין־סוף, e^{x + 3} שואף ל־0 מהר יותר ממה ש־x + 2 גדל, והגרף מתקרב לציר ה־x מלמטה. הגרף יורד עד המינימום (−3 , −1), עולה, חותך את ציר ה־x ב־(−2 , 0) ועולה בחדות (חותך את ציר ה־y ב־(0 , 2e³) ≈ (0 , 40.2)). בסקיצה מוצג החלק שליד הקיצון:

✅ פתרון סופי: סקיצה (ראו למעלה)

סעיף ה – מציאת a

g(x) = f(x) + a – הזזה של הגרף ב־a יחידות לאורך ציר ה־y. נקודת המינימום עוברת ל־(−3 , −1 + a).

📐 הזזה אנכיתf(x) + a – הזזה ב־a לאורך ציר ה־y

ישר אופקי משיק לגרף רק בנקודת קיצון (שם השיפוע אפס). לגרף של g יש נקודת קיצון אחת – המינימום – ולכן הישר y = 12 עובר דרכה:

📐 משיק אופקיm = 0 – רק בנקודת קיצון

−1 + a = 12 ⟸ a = 1.5

✅ פתרון סופי: a = 1.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	כל x
סעיף ב	x > −2
סעיף ג	מינימום (−3 , −1)
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה	a = 1.5

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – חקירה עם מכפלה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – חורף 2019 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2018 מועד ב׳, שאלה 4 פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = a − e^xe^2x. a > 0 הוא פרמטר.

א. (1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)? (2) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). אם יש צורך, הבע באמצעות a.

נתון: גרף הפונקציה f(x) עובר בראשית הצירים.

ב. מצא את a.

ג. (1) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה. (2) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

הפונקציה g(x) מקיימת: g′(x) = f(x).

ד. מצא את שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), וקבע את סוגה.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום הגדרה וחיתוך עם הצירים

המכנה e^2x אף פעם לא אפס – הפונקציה מוגדרת לכל x.

f(0) = a − 11 = a − 1📐 חזקת אפסe⁰ = 1

a − e^x = 0 ⟸ e^x = a ⟸ x = ln a📐 שבר שווה אפסuv = 0 ⟺ u = 0

✅ פתרון סופי: (1) כל x
(2) (0 , a − 1) , (ln a , 0)

סעיף ב – מציאת a

הגרף עובר ב־(0 , 0), ולכן f(0) = 0:

a − 1 = 0 ⟸ a = 1

✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ג – נקודת הקיצון וסקיצה

עם a = 1 כדאי לפצל את השבר:

f(x) = 1e^2x − e^xe^2x = e^−2x − e^−x📐 חוקי חזקות1aⁿ = a⁻ⁿ

f′(x) = −2e^−2x + e^−x = e^−2x(e^x − 2)📐 נגזרת של e בחזקת ax(e^ax)′ = a · e^ax

e^x − 2 = 0 ⟸ x = ln 2

x < ln 2 : e^x < 2 ⟸ f′ < 0 ← יורדת

x > ln 2 : e^x > 2 ⟸ f′ > 0 ← עולה

f(ln 2) = 1 − 24 = −14📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימום

(2) כש־x שואף למינוס אין־סוף, e^−2x גדל מהר יותר מ־e^−x והגרף שואף לפלוס אין־סוף. הגרף יורד, עובר בראשית, מגיע למינימום (ln 2 , −14), ועולה בחזרה לכיוון ציר ה־x (מתקרב אליו מלמטה).

✅ פתרון סופי: (1) מינימום (ln 2 , −14)

סעיף ד – נקודת הקיצון של g(x)

g′(x) = f(x), ולכן מחפשים איפה f מתאפסת ומחליפה סימן. לפי הסקיצה f חיובית משמאל ל־x = 0 ושלילית מימין לו:

הנגזרת של g עוברת מפלוס למינוס ב־x = 0.

📐 סוג הקיצוןפלוס ← מינוס = מקסימום

✅ פתרון סופי: מקסימום ב־x = 0

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	כל x (0 , a − 1) , (ln a , 0)
סעיף ב	a = 1
סעיף ג	מינימום (ln 2 , −14)
סעיף ד	מקסימום ב־x = 0

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 14 – קיצון עם מציאת פרמטר

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – קיץ 2018 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2018 מועד א׳, שאלה 4 פרמטר · שטח · משיק

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = a · e^x − 9e^−x. a הוא פרמטר.

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)?

נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודה שבה x = ln 3 הוא 6.

ב. מצא את a.

הצב a = 1, וענה על הסעיפים ג–ד.

ג. (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (2) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה). (3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ד. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) ועל ידי הצירים.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום ההגדרה

אין שבר עם x במכנה שיכול להתאפס, אין שורש ואין לוגריתם (e^−x מוגדר לכל x).

✅ פתרון סופי: כל x

סעיף ב – מציאת a

f′(x) = a · e^x + 9e^−x📐 נגזרת של e בחזקת ax(e^ax)′ = a · e^ax

f′(ln 3) = a · 3 + 9 · 13 = 3a + 3📐 e בחזקת lne^{ln k} = ke^{−ln k} = 1k

3a + 3 = 6 ⟸ a = 1📐 שיפוע משיקm = f′(x₀)

✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ג – חיתוך, עלייה וירידה וסקיצה

עכשיו f(x) = e^x − 9e^−x.

f(0) = 1 − 9 = −8 ← ציר ה־y

ציר ה־x: כופלים ב־e^x:

e^x = 9e^−x ⟸ e^2x = 9 ⟸ 2x = ln 9 ⟸ x = ln 3📐 משוואה מעריכיתe^u = k ⟺ u = ln k

(2) f′(x) = e^x + 9e^−x – סכום של שני מספרים חיוביים, ולכן חיובי תמיד: הפונקציה עולה לכל x.

(3) הגרף עולה ממינוס אין־סוף, חותך את ציר ה־y ב־(0 , −8) ואת ציר ה־x ב־(ln 3 , 0). השטח של סעיף ד מסומן בתכלת:

✅ פתרון סופי: (1) (0 , −8) , (ln 3 , 0)
(2) עולה לכל x

סעיף ד – השטח

השטח בין x = 0 ל־x = ln 3, מתחת לציר ה־x (שם f שלילית):

S = −∫ln 30 (e^x − 9e^−x) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = −∫ba f(x) dx

= −[e^x + 9e^−x]₀^{ln 3}📐 אינטגרל של e בחזקת ax∫ e^ax dx = 1a · e^ax + c

= −[(3 + 9 · 13) − (1 + 9)] = −[6 − 10] = 4

✅ פתרון סופי: S = 4

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	כל x
סעיף ב	a = 1
סעיף ג	(0 , −8) , (ln 3 , 0) עולה לכל x
סעיף ד	S = 4

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 20 – אינטגרל ושטחים בפונקציית e

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – קיץ 2018 מועד א׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2017 מועד א׳, שאלה 4 פרמטר

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = ae^2x − 10e^x. a הוא פרמטר שונה מאפס.

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) מצא את האסימפטוטה של הפונקציה f(x) המאונכת לציר ה־x.

נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־y היא (0 , −19).

ב. מצא את a.

ג. (1) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה. (2) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x). (3) האם לגרף הפונקציה f(x) יש נקודות חיתוך עם ציר ה־x? נמק. (4) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ד. מצא את התחום שבו f(x) < 0 וגם f′(x) < 0.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטה

e^2x − 10e^x ≠ 0 ⟸ e^x(e^x − 10) ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברמכנה ≠ 0

e^x ≠ 0 – תמיד מתקיים.

e^x ≠ 10 ⟸ x ≠ ln 10📐 משוואה מעריכיתe^x = k ⟺ x = ln k

(2) ב־x = ln 10 המכנה מתאפס והמונה a ≠ 0 – אסימפטוטה אנכית.

✅ פתרון סופי: (1) x ≠ ln 10 ; (2) x = ln 10

סעיף ב – מציאת a

f(0) = a1 − 10 = −a9

−a9 = −19 ⟸ a = 1

✅ פתרון סופי: a = 1

סעיף ג – קיצון, עלייה וירידה, חיתוך וסקיצה

עם a = 1: f(x) = 1e^2x − 10e^x. גוזרים (מונה קבוע):

f′(x) = −(2e^2x − 10e^x)(e^2x − 10e^x)² = −2e^x(e^x − 5)(e^2x − 10e^x)²📐 נגזרת של שבר עם מונה קבוע(1v)′ = −v′v²

e^x − 5 = 0 ⟸ x = ln 5

המכנה ריבוע חיובי ו־−2e^x < 0, ולכן הסימן הפוך לסימן e^x − 5:

x	f′(x)	f(x)
x < ln 5	+	↗ עולה
ln 5	0	מקסימום
ln 5 < x < ln 10	−	↘ יורדת
x > ln 10	−	↘ יורדת

f(ln 5) = 125 − 50 = −125📐 e בחזקת lne^{ln k} = k

(3) המונה 1 אף פעם לא אפס – אין חיתוך עם ציר ה־x.

(4) משמאל לאסימפטוטה המכנה שלילי (e^x < 10), ולכן הגרף מתחת לציר: כש־x שואף למינוס אין־סוף המכנה שואף ל־0 מצד שלילי והגרף יורד למינוס אין־סוף; הוא עולה עד המקסימום (ln 5 , −125), ויורד שוב למינוס אין־סוף ליד x = ln 10. מימין לאסימפטוטה הגרף יורד מפלוס אין־סוף ומתקרב לציר ה־x.

✅ פתרון סופי: (1) מקסימום (ln 5 , −125)
(2) עולה x < ln 5 ; יורדת ln 5 < x < ln 10 , x > ln 10
(3) אין

סעיף ד – f(x) שלילית וגם f′(x) שלילית

f(x) < 0 כש־x < ln 10. f′(x) < 0 כש־ln 5 < x < ln 10 או x > ln 10. החלק המשותף:

✅ פתרון סופי: ln 5 < x < ln 10

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	x ≠ ln 10 ; x = ln 10
סעיף ב	a = 1
סעיף ג	מקסימום (ln 5 , −125) עולה x < ln 5 יורדת ln 5 < x < ln 10 , x > ln 10 אין חיתוך עם ציר ה־x
סעיף ד	ln 5 < x < ln 10

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – קיץ 2017 מועד א׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף 2017, שאלה 4 פרמטר · שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

בציור שלפניך מוצג גרף של פונקציית הנגזרת f′(x) של הפונקציה f(x) = e^{x − 2}x − c. c הוא פרמטר.

היעזר בנתונים מן הציור וענה על הסעיפים א–ד.

א. גזור את הפונקציה f(x) וחשב את c.

הצב c = 1 וענה על הסעיפים ב–ד.

ב. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ג. מצא את השיעורים של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.

ד. חשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x בתחום 2 ≤ x ≤ 3 (השטח המסומן בציור). תוכל להשאיר e בתשובתך.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – הנגזרת ומציאת c

נגזרת מנה עם u = e^{x − 2} (u′ = e^{x − 2}) ו־v = x − c (v′ = 1):

f′(x) = e^{x − 2}(x − c) − e^{x − 2} · 1(x − c)² = e^{x − 2}(x − c − 1)(x − c)²📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

לפי הציור, גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x ב־x = 2, כלומר f′(2) = 0. e⁰ ≠ 0, ולכן הסוגריים מתאפסים:

2 − c − 1 = 0 ⟸ c = 1

בדיקה: עם c = 1 לנגזרת יש אסימפטוטה אנכית ב־x = 1, כמו בציור.

✅ פתרון סופי: f′(x) = e^{x − 2}(x − c − 1)(x − c)² ; c = 1

סעיף ב – תחום ההגדרה

x − 1 ≠ 0 ⟸ x ≠ 1📐 תחום הגדרה של שברמכנה ≠ 0

✅ פתרון סופי: x ≠ 1

סעיף ג – נקודת הקיצון

הנגזרת f′(x) = e^{x − 2}(x − 2)(x − 1)² מתאפסת רק ב־x = 2. לפי הציור (או לפי הסימן של x − 2): משמאל ל־2 הגרף מתחת לציר ומימין – מעליו.

f(2) = e⁰2 − 1 = 1📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימום

✅ פתרון סופי: מינימום (2 , 1)

סעיף ד – השטח האפור

בתחום 2 ≤ x ≤ 3 הנגזרת חיובית (מעל הציר). הפונקציה הקדומה של f′ היא f, ולכן לא צריך לחשב אינטגרל של מנה:

S = ∫32 f′(x) dx = f(3) − f(2)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

f(3) = e¹3 − 1 = e2

S = e2 − 1 ≈ 0.36

✅ פתרון סופי: S = e2 − 1 ≈ 0.36

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	c = 1
סעיף ב	x ≠ 1
סעיף ג	מינימום (2 , 1)
סעיף ד	e2 − 1 ≈ 0.36

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – חורף 2017 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📈 ללא פרמטר

📅 חורף 2026, שאלה 4 שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

הפונקצייה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרות לכל x. לפונקצייה f(x) יש רק נקודת מינימום אחת ושתי נקודות מקסימום. לפניכם שני גרפים, I–II. אחד מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). בסרטוט של כל אחד מן הגרפים I–II מופיעות כל נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה־x.

א. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את קביעתכם.

נתון: f(x) = 6x²e^{x² + 2}.

ב. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.

ג. הוכיחו כי הפונקצייה f(x) היא זוגית.

ד. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – איזה גרף הוא גרף הנגזרת

ל־f יש שתי נקודות מקסימום ונקודת מינימום אחת. בין שתי נקודות מקסימום חייבת להיות נקודת מינימום, ולכן הסדר משמאל לימין הוא: מקסימום ← מינימום ← מקסימום.

במקסימום הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית, ובמינימום – משלילית לחיובית.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום

לכן הסימנים של f′ משמאל לימין חייבים להיות: + , − , + , −. כלומר: משמאל הגרף מעל ציר ה־x, ובקצה הימני – מתחת לציר.

גרף I: מתחיל מעל הציר, יורד מתחתיו, עולה מעליו ובסוף יורד מתחת לציר: + , − , + , − ✓.

גרף II: הסימנים הפוכים − , + , − , + – זה היה מתאים לשתי נקודות מינימום ומקסימום אחד ✗.

✅ פתרון סופי: גרף I מתאר את f′(x)

סעיף ב – חיתוך עם ציר x

בנקודת חיתוך עם ציר ה־x מתקיים f(x) = 0. שבר שווה 0 כשהמונה שווה 0 (המכנה e^x²+2 תמיד חיובי):

6x²e^{x² + 2} = 0 ⟹ 6x² = 0 ⟹ x = 0📐 שבר שווה אפסab = 0 ⟺ a = 0 , b ≠ 0

f(0) = 6 · 0e² = 0

✅ פתרון סופי: (0 , 0)

סעיף ג – הוכחה ש־f זוגית

מציבים −x במקום x:

f(−x) = 6(−x)²e^{(−x)² + 2}📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)

מספר שלילי בריבוע הוא חיובי: (−x)² = x²:

f(−x) = 6x²e^{x² + 2} = f(x)

✅ פתרון סופי: הוכחנו f(−x) = f(x) לכל x, ולכן f זוגית

סעיף ד – נקודות הקיצון

גוזרים לפי נגזרת של מנה: u = 6x² , v = e^x²+2.

u′ = 6 · 2x = 12x📐 נגזרת חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

v′ = 2x · e^x²+2📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(e^g(x))′ = g′(x) · e^g(x)

f′(x) = 12x · e^x²+2 − 6x² · 2x · e^x²+2(e^x²+2)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

מוציאים גורם משותף e^x²+2 במונה ומצמצמים עם המכנה:

f′(x) = e^x²+2(12x − 12x³)e^x²+2 · e^x²+2 = 12x − 12x³e^x²+2

f′(x) = 12x(1 − x²)e^x²+2

משווים את הנגזרת ל־0 (המכנה חיובי תמיד, לכן רק המונה):

12x(1 − x²) = 0

12x = 0 ⟹ x = 0 1 − x² = 0 ⟹ x² = 1 ⟹ x = 1 , x = −1

טבלת סימנים – מציבים נקודה בכל תחום בביטוי 12x(1 − x²):

x	נציב	f′	f
x < −1	−2	+	→
−1		0	מקסימום
−1 < x < 0	−0.5	−	→
0		0	מינימום
0 < x < 1	0.5	+	→
1		0	מקסימום
x > 1	2	−	→

לדוגמה: 12·(−2)·(1 − 4) = 72 > 0 , 12·(−0.5)·(1 − 0.25) = −4.5 < 0.

מ־+ ל־− ⟸ מקסימום ב־x = −1 וב־x = 1; מ־− ל־+ ⟸ מינימום ב־x = 0.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום

מחשבים את שיעורי ה־y:

f(1) = 6 · 1e^{1 + 2} = 6e³ ≈ 0.299

f(−1) = f(1) = 6e³📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x)

f(0) = 0 (מסעיף ב)

✅ פתרון סופי: מקסימום (−1 , 6/e³) , מינימום (0 , 0) , מקסימום (1 , 6/e³) (6/e³ ≈ 0.299)

סעיף ה – סקיצה של גרף f

מה שאנחנו יודעים: f(x) ≥ 0 לכל x (מונה ומכנה לא שליליים), חיתוך יחיד עם הצירים בראשית, הגרף סימטרי לציר ה־y (פונקציה זוגית), ושתי נקודות מקסימום בגובה 6/e³.

כש־x גדל מאוד (או קטן מאוד) המכנה e^x²+2 גדל הרבה יותר מהר מהמונה, ולכן הגרף מתקרב לציר ה־x משני הצדדים.

הגרף של f לפי החישוב (קנה המידה בציר y מוגדל כדי לראות את הצורה).

✅ פתרון סופי: סקיצה: מינימום בראשית, שתי "גבעות" סימטריות עם מקסימום ב־(±1 , 6/e³), והגרף מתקרב לציר ה־x בשני הקצוות

סעיף ו – השטח בין גרף הנגזרת לציר x

גרף f′ חותך את ציר ה־x ב־x = −1 , 0 , 1. השטח המוגבל על ידי הגרף והציר הוא שני חלקים: בין −1 ל־0 (מתחת לציר, f′ < 0) ובין 0 ל־1 (מעל הציר, f′ > 0).

גרף הנגזרת לפי קנה מידה; השטח המבוקש בתכלת.

הפונקציה הקדומה של f′ היא f עצמה, ולכן לא צריך לחשב אינטגרל חדש:

S₁ = −∫₋₁⁰ f′(x)dx = −[f(0) − f(−1)] = −[0 − 6e³] = 6e³📐 אינטגרל של נגזרת ∫_a^b f′(x)dx = f(b) − f(a)

(שמים מינוס כי החלק הזה מתחת לציר והאינטגרל שלו שלילי.)

S₂ = ∫₀¹ f′(x)dx = f(1) − f(0) = 6e³ − 0 = 6e³📐 אינטגרל של נגזרת ∫_a^b f′(x)dx = f(b) − f(a)

S = S₁ + S₂ = 6e³ + 6e³ = 12e³ ≈ 0.597

✅ פתרון סופי: S = 12/e³ ≈ 0.597 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	גרף I
סעיף ב	(0 , 0)
סעיף ג	הוכחה: f(−x) = f(x)
סעיף ד	מקסימום (±1 , 6/e³) ≈ (±1 , 0.299) מינימום (0 , 0)
סעיף ה	סקיצה (למעלה)
סעיף ו	12/e³ ≈ 0.597

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 4 שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = e^2xe^x − 4.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־x של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x). הפונקצייה f(x) ופונקציית הנגזרת f′(x) מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f′(x) חותך את ציר ה־x בנקודה אחת בלבד – הנקודה B.

ג. מצאו את שיעור ה־x של הנקודה B.

ד. (1) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x). (2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = ln12.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית

(1) במנה אסור שהמכנה יהיה 0:

e^x − 4 ≠ 0 ⟹ e^x ≠ 4

x ≠ ln4📐 פתרון e בחזקת xe^x = b ⟹ x = ln b

(2) ב־x = ln4 המכנה 0 והמונה e^2ln4 = 16 ≠ 0:

x = ln4📐 אסימפטוטה אנכיתמכנה = 0 (והמונה ≠ 0)

✅ פתרון סופי: (1) x ≠ ln4
(2) x = ln4 (ln4 ≈ 1.39)

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

עם ציר ה־y מציבים x = 0:

f(0) = e⁰e⁰ − 4 = 11 − 4 = −13📐 חזקת אפסe⁰ = 1

עם ציר ה־x: צריך f(x) = 0, כלומר מונה e^2x = 0. אבל e^2x > 0 תמיד, ולכן אין חיתוך עם ציר ה־x.

✅ פתרון סופי: (0 , −13) ; אין חיתוך עם ציר ה־x

סעיף ג – הנקודה B

גוזרים לפי נגזרת של מנה: u = e^2x , v = e^x − 4.

u′ = 2e^2x v′ = e^x📐 נגזרת של e(e^kx)′ = k · e^kx

f′(x) = 2e^2x(e^x − 4) − e^2x · e^x(e^x − 4)²📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

מוציאים e^2x גורם משותף במונה:

f′(x) = e^2x(2e^x − 8 − e^x)(e^x − 4)² = e^2x(e^x − 8)(e^x − 4)²

בנקודה B הנגזרת שווה 0. e^2x > 0 תמיד, ולכן:

e^x − 8 = 0 ⟹ e^x = 8

x = ln8📐 פתרון e בחזקת xe^x = b ⟹ x = ln b

✅ פתרון סופי: x_B = ln8 ≈ 2.08

סעיף ד – עלייה, ירידה וסקיצה

(1) הסימן של f′(x) = e^2x(e^x − 8)(e^x − 4)² נקבע רק לפי e^x − 8 (כי e^2x > 0 והמכנה בריבוע חיובי). זה מתאים לגרף הנגזרת: מתחת לציר משמאל ל־B, ומעל הציר מימין לו.

x	f′	f
x < ln4	−	יורדת
ln4	אסימפטוטה – לא מוגדרת
ln4 < x < ln8	−	יורדת
ln8	0	מינימום
x > ln8	+	עולה

לדוגמה: x = 0 : e⁰ − 8 = −7 < 0 , x = ln12 : 12 − 8 = 4 > 0.

(2) לסקיצה נחשב את נקודת המינימום ונבדוק מה קורה בקצוות:

f(ln8) = e^2ln8e^ln8 − 4 = 8²8 − 4 = 644 = 16📐 e בחזקת lne^{ln b} = b

כש־x → −∞: e^2x → 0 והמכנה → −4, ולכן f → 0 מלמטה (הגרף מתחת לציר, למשל f(0) = −⅓). ליד x = ln4 משמאל f → −∞ ומימין f → +∞.

הגרף של f לפי החישוב: אסימפטוטה אנכית x = ln4 (מקווקו), מינימום (ln8 , 16).

✅ פתרון סופי: (1) יורדת: x < ln4 , ln4 < x < ln8 ; עולה: x > ln8
(2) סקיצה למעלה, מינימום ב־(ln8 , 16)

סעיף ה – השטח בין f′ , ציר x ו־x = ln12

גרף f′ חותך את ציר ה־x ב־B(ln8 , 0). בין x = ln8 ל־x = ln12 הנגזרת חיובית (מעל הציר) – זה השטח המוגבל.

גרף הנגזרת לפי קנה מידה; השטח בתכלת בין ln8 ל־ln12.

S = ∫_ln8^ln12 f′(x)dx = f(ln12) − f(ln8)📐 אינטגרל של נגזרת ∫_a^b f′(x)dx = f(b) − f(a)

f(ln12) = e^2ln12e^ln12 − 4 = 12²12 − 4 = 1448 = 18📐 e בחזקת lne^{ln b} = b

f(ln8) = 16 (מסעיף ד)

S = 18 − 16 = 2

✅ פתרון סופי: S = 2 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	x ≠ ln4 x = ln4
סעיף ב	(0 , −⅓) אין חיתוך עם ציר x
סעיף ג	x = ln8
סעיף ד	יורדת: x < ln4 , ln4 < x < ln8 עולה: x > ln8
סעיף ה	2

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2025, שאלה 4 שטח

📄 נוסח השאלה

הפונקצייה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרות לכל x. לפונקצייה f(x) יש נקודת מקסימום אחת בלבד ושיעור ה־x שלה חיובי. לפניכם שני גרפים, I ו־II, אחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x).

א. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x), ונמקו את קביעתכם.

נתון: f(x) = (x² − 2) · e^{−2x + 1}.

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x. (2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = 7 · e^{−2x + 1} המוגדרת לכל x.

ד. (1) הסבירו מדוע הפונקצייה g(x) חיובית לכל x. (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם גרף הפונקצייה g(x).

דרך כל אחת מן הנקודות שמצאתם בסעיף ד העבירו אנך לציר ה־x.

ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי האנכים.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – איזה גרף הוא של הנגזרת

נקודת מקסימום של f היא מקום שבו f′ מתאפסת ועוברת מפלוס למינוס, כלומר גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x כשהוא יורד.

מקסימום ← f′ עוברת מפלוס למינוס📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום

גרף I: חותך את ציר ה־x פעמיים: בשיעור x שלילי כשהוא עולה (ממינוס לפלוס – מינימום של f), ובשיעור x חיובי כשהוא יורד (מפלוס למינוס – מקסימום). מקסימום אחד, בשיעור x חיובי – מתאים.

גרף II: חותך את ציר ה־x כשהוא יורד בשיעור x שלילי (שם יש מקסימום של f), ובשיעור x חיובי כשהוא עולה (מינימום). המקסימום בשיעור x שלילי – לא מתאים לנתון.

בסעיף ב נמצא את הנגזרת: היא מתאפסת ב־x = −1 (מינימום) וב־x = 2 (מקסימום), וזה מאשר את גרף I.

✅ פתרון סופי: גרף I – רק בו גרף הנגזרת יורד דרך ציר ה־x בשיעור x חיובי (מקסימום יחיד בשיעור x חיובי)

סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר ה־x

(x² − 2) · e^{−2x + 1} = 0

e^{−2x + 1} > 0📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

הגורם e^{−2x + 1} אף פעם לא 0, ולכן:

x² − 2 = 0

x² = 2

x = ±√2 ≈ ±1.41

✅ פתרון סופי: (√2 , 0) , (−√2 , 0)

סעיף ב (2) – נקודות הקיצון

גוזרים לפי כלל המכפלה: u = x² − 2 ⟸ u′ = 2x, v = e^{−2x + 1}.

v′ = −2 · e^{−2x + 1}📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(e^g(x))′ = g′(x) · e^g(x)

f′(x) = 2x · e^{−2x + 1} + (x² − 2) · (−2) · e^{−2x + 1}📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′

מוציאים e^{−2x + 1} כגורם משותף:

f′(x) = e^{−2x + 1} · (2x − 2x² + 4)

f′(x) = −2 · e^{−2x + 1} · (x² − x − 2)

f′(x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x² − x − 2 = 0📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

a = 1 , b = −1 , c = −2

b² − 4ac = (−1)² − 4 · 1 · (−2) = 1 + 8 = 9 , √9 = 3

x = 1 ± 32 · 1📐 נוסחת השורשיםx = −b ± √(b² − 4ac)2a

x = 2 או x = −1

f(2) = (4 − 2) · e^{−4 + 1} = 2e⁻³ ≈ 0.10

f(−1) = (1 − 2) · e^{2 + 1} = −e³ ≈ −20.09

סימן הנגזרת: הגורם −2e^{−2x + 1} תמיד שלילי, ולכן הסימן הפוך לסימן של x² − x − 2 = (x − 2)(x + 1):

x = −2 : (−4)(−1) = 4 > 0 , f′ < 0 ← יורדת

x = 0 : (−2)(1) = −2 < 0 , f′ > 0 ← עולה

x = 3 : (1)(4) = 4 > 0 , f′ < 0 ← יורדת

ב־x = −1: יורדת ואז עולה ← מינימום. ב־x = 2: עולה ואז יורדת ← מקסימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום

✅ פתרון סופי: מינימום (−1 , −e³) ≈ (−1 , −20.09)
מקסימום (2 , 2e⁻³) ≈ (2 , 0.10)

סעיף ג – סקיצה

חיתוך עם ציר ה־y: f(0) = (0 − 2) · e¹ = −2e ≈ −5.44.

משמאל: יורדת עד המינימום (−1 , −20.09); עולה, חותכת את ציר ה־x ב־x = ±1.41 ועולה עד המקסימום הקטן (2 , 0.10); אחר כך יורדת ומתקרבת לציר ה־x מלמעלה (כי e^{−2x + 1} שואף ל־0).

כש־x שלילי וגדול בערכו המוחלט הגרף עולה מאוד (שני הגורמים גדלים). הגרף סורטט בקנה מידה; המקסימום (0.10) נראה קרוב מאוד לציר.

✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט

סעיף ד (1) – למה g(x) חיובית

g(x) = 7 · e^{−2x + 1}

e^{−2x + 1} > 0📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

e בכל חזקה חיובי, ו־7 חיובי, ולכן המכפלה חיובית.

✅ פתרון סופי: לכל x: g(x) > 0 כי 7 > 0 וגם e^{−2x + 1} > 0

סעיף ד (2) – נקודות החיתוך של f ו־g

(x² − 2) · e^{−2x + 1} = 7 · e^{−2x + 1}

מחלקים ב־e^{−2x + 1} (לא 0):

x² − 2 = 7📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

x² = 9

x = 3 או x = −3

g(3) = 7 · e^{−6 + 1} = 7e⁻⁵ ≈ 0.047

g(−3) = 7 · e^{6 + 1} = 7e⁷ ≈ 7676.43

✅ פתרון סופי: (3 , 7e⁻⁵) ≈ (3 , 0.047)
(−3 , 7e⁷) ≈ (−3 , 7676.43)

סעיף ה – השטח

השטח מתחת לגרף של g (חיובית, ד1), מעל ציר ה־x, בין האנכים x = −3 ו־x = 3:

S = ∫3−3 7 · e^{−2x + 1} dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫ba g(x) dx

∫ 7 · e^{−2x + 1} dx = 7 · 1−2 e^{−2x + 1} = −3.5e^{−2x + 1}📐 אינטגרל של e∫ e^{ax + b} dx = 1a e^{ax + b} + c

S = [−3.5e^{−2x + 1}]₋₃³📐 אינטגרל מסוים∫_a^b = F(b) − F(a)

S = −3.5e⁻⁵ − (−3.5e⁷)

S = 3.5e⁷ − 3.5e⁻⁵

S ≈ 3.5 · 1096.633 − 3.5 · 0.00674 ≈ 3838.216 − 0.024 ≈ 3838.19

✅ פתרון סופי: S = 3.5e⁷ − 3.5e⁻⁵ ≈ 3838.19 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	גרף I
סעיף ב (1)	(±√2 , 0)
סעיף ב (2)	מינימום (−1 , −e³) מקסימום (2 , 2e⁻³)
סעיף ג	סקיצה
סעיף ד (1)	7 > 0 וגם e^{−2x + 1} > 0
סעיף ד (2)	(3 , 7e⁻⁵) (−3 , 7e⁷)
סעיף ה	3.5e⁷ − 3.5e⁻⁵ ≈ 3838.19

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – חקירה עם מכפלה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 4 הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = e^2xe^x − 3.

א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את משוואת האסימפטוטה האנכית לציר ה־x של הפונקצייה f(x).

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.

ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x), המקיימת g(x) = −f(x) + 15. הפונקציות f(x) ו־g(x) מוגדרות באותו התחום.

ו. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה g(x), וקבעו את סוגה. (2) כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקצייה g(x) עם ציר ה־x? נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטה אנכית

(1) המכנה לא יכול להיות 0:

e^x − 3 ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברהמכנה ≠ 0

e^x ≠ 3 x ≠ ln 3 ≈ 1.1📐 פתרון משוואה מעריכיתe^x = b ⟺ x = ln b

(2) ב־x = ln 3 המכנה מתאפס, והמונה שם e^{2ln 3} = 9 ≠ 0:

x = ln 3📐 אסימפטוטה אנכיתהמכנה = 0 והמונה ≠ 0

✅ פתרון סופי: (1) x ≠ ln 3 (2) x = ln 3

סעיף ב – נקודות החיתוך עם הצירים

ציר y (x = 0):

f(0) = e⁰e⁰ − 3 = 11 − 3 = −12📐 חזקה עם מעריך 0a⁰ = 1

ציר x: שבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס, אבל e^2x > 0 תמיד:

e^2x = 0 ← אין פתרון📐 e בחזקת x חיובי תמידe^x > 0

✅ פתרון סופי: (0 , −0.5) בלבד; עם ציר x אין נקודות חיתוך

סעיף ג – נקודת הקיצון

מנה: u = e^2x , v = e^x − 3.

f′(x) = u′v − uv′v²📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v²

u′ = 2e^2x , v′ = e^x📐 נגזרת e בחזקת kx(e^kx)′ = k · e^kx

המונה של הנגזרת:

2e^2x(e^x − 3) − e^2x · e^x

= 2e^3x − 6e^2x − e^3x = e^3x − 6e^2x📐 כפל חזקותe^a · e^b = e^{a + b}

= e^2x(e^x − 6)

f′(x) = e^2x(e^x − 6)(e^x − 3)²

e^2x(e^x − 6) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

e^2x > 0, ולכן e^x = 6 x = ln 6 ≈ 1.79

📐 e בחזקת x חיובי תמידe^x > 0

סימן הנגזרת: המכנה ריבוע (חיובי) ו־e^2x > 0, ולכן הסימן הוא הסימן של e^x − 6:

x = 0 : 1 − 6 < 0 ← יורדת

x = 1.5 : e^1.5 − 6 ≈ −1.52 < 0 ← יורדת

x = 2 : e² − 6 ≈ 1.39 > 0 ← עולה

x	f′(x)	f(x)
x < ln 3	−	↘ יורדת
ln 3	לא מוגדרת	אסימפטוטה
ln 3 < x < ln 6	−	↘ יורדת
ln 6	0	מינימום
x > ln 6	+	↗ עולה

ב־x = ln 6 הפונקצייה יורדת ואז עולה – מינימום.

📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום

f(ln 6) = e^{2ln 6}e^{ln 6} − 3 = 6²6 − 3 = 363 = 12📐 e ו־ln מבטלים זה את זהe^{ln b} = b , e^{2ln b} = b²

✅ פתרון סופי: מינימום (ln 6 , 12)

סעיף ד – תחומי עלייה וירידה

לפי טבלת הסימנים מסעיף ג:

📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת

יורדת: x < ln 3 , ln 3 < x < ln 6

עולה: x > ln 6

✅ פתרון סופי: עולה: x > ln 6
יורדת: x < ln 3 , ln 3 < x < ln 6

סעיף ה – סקיצה

משמאל לאסימפטוטה: כש־x שלילי וגדול, e^2x מתקרב ל־0 והמכנה ל־−3, ולכן הגרף מתקרב לציר ה־x מלמטה (למשל f(−3) ≈ −0.0008). הפונקצייה יורדת, עוברת ב־(0 , −0.5) ויורדת למינוס אינסוף ליד x = ln 3.

מימין לאסימפטוטה: f > 0, יורדת מאינסוף עד המינימום (ln 6 , 12), ואז עולה.

📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת

הגרף של f(x) – משורטט מהפונקצייה עצמה

✅ פתרון סופי: הסקיצה למטה

סעיף ו (1) – הקיצון של g(x)

g(x) = −f(x) + 15

הכפלה ב־−1 הופכת את הגרף (מינימום הופך למקסימום), והוספת 15 מזיזה אותו 15 יחידות למעלה. ה־x של הקיצון לא משתנה:

g′(x) = −f′(x) – מתאפסת באותה נקודה x = ln 6, עם סימנים הפוכים: עולה ואז יורדת.📐 נגזרת של קבוע היא 0(−f(x) + 15)′ = −f′(x) + 0

g(ln 6) = −12 + 15 = 3

✅ פתרון סופי: מקסימום (ln 6 , 3)

סעיף ו (2) – כמה נקודות חיתוך יש ל־g עם ציר ה־x?

g(x) = 0 −f(x) + 15 = 0 f(x) = 15

סופרים כמה פעמים הגרף של f פוגש את הישר y = 15:

משמאל ל־x = ln 3: f < 0 – אין פגישה.

בין ln 3 ל־ln 6: f יורדת מאינסוף עד 12. מכיוון ש־12 < 15, היא עוברת את 15 פעם אחת.

📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת

מימין ל־ln 6: f עולה מ־12 לאינסוף – עוברת את 15 פעם אחת.

הישר y = 15 חותך את הגרף של f פעמיים

✅ פתרון סופי: 2 נקודות חיתוך

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	x ≠ ln 3 ; x = ln 3
סעיף ב	(0 , −0.5)
סעיף ג	מינימום (ln 6 , 12)
סעיף ד	עולה x > ln 6 יורדת x < ln 3 , ln 3 < x < ln 6
סעיף ה	סקיצה
סעיף ו	מקסימום (ln 6 , 3) ; 2 נקודות

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2024, שאלה 4 שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מוצגים הגרפים I ו־II. אחד מן הגרפים הוא הגרף של פונקצייה f(x), והאחר הוא הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x).

א. איזה מן הגרפים I–II מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)? נמקו את תשובתכם.

נתון כי f(x) = (x − 4)² · e^{x − 3}.

ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים. (3) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן על פי הגרף.

ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x.

נתונה הפונקצייה g(x) = −f′(x).

ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה g(x) ועל ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x). נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – איזה גרף הוא של הנגזרת

גרף II נמצא כולו מעל ציר ה־x (או נוגע בו), ולכן אילו הוא היה הנגזרת – הפונקצייה הייתה עולה כל הזמן, בלי ירידות. אבל גרף I עולה ויורד – סתירה. לכן גרף II הוא f, וגרף I הוא f′.

בדיקה: במקום שבו גרף II מגיע למקסימום, גרף I חותך את ציר ה־x מלמעלה למטה (מפלוס למינוס); ובמקום שבו גרף II נוגע בציר ה־x (מינימום), גרף I חותך את הציר מלמטה למעלה. זה בדיוק הקשר בין פונקצייה לנגזרת שלה.

מקסימום של f ← f′ עוברת מפלוס למינוס📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום

✅ פתרון סופי: גרף I מתאר את f′(x)

סעיף ב (1) – תחום ההגדרה

(x − 4)² – פולינום, מוגדר לכל x. e^{x − 3} – e בחזקה, מוגדר לכל x. אין מכנה, אין שורש ואין ln.

✅ פתרון סופי: כל x

סעיף ב (2) – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y (x = 0):

f(0) = (0 − 4)² · e^{0 − 3} = 16e⁻³ = 16e³ ≈ 0.80

ציר ה־x (f(x) = 0):

(x − 4)² · e^{x − 3} = 0

e^{x − 3} > 0📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

(x − 4)² = 0 ⟸ x = 4

✅ פתרון סופי: (0 , 16e³) ≈ (0 , 0.80)
(4 , 0)

סעיף ב (3) – נקודות הקיצון

גוזרים לפי כלל המכפלה: u = (x − 4)², v = e^{x − 3}.

u′ = 2(x − 4) · 1 = 2(x − 4)📐 נגזרת של פונקציה מורכבת[g(x)ⁿ]′ = n · g(x)^{n − 1} · g′(x)

v′ = 1 · e^{x − 3} = e^{x − 3}📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(e^g(x))′ = g′(x) · e^g(x)

f′(x) = 2(x − 4) · e^{x − 3} + (x − 4)² · e^{x − 3}📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′

מוציאים (x − 4) · e^{x − 3} כגורם משותף:

f′(x) = (x − 4) · e^{x − 3} · [2 + (x − 4)]

f′(x) = (x − 4)(x − 2) · e^{x − 3}

f′(x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

(x − 4)(x − 2) = 0📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

x = 4 או x = 2

f(2) = (2 − 4)² · e^{2 − 3} = 4e⁻¹ = 4e ≈ 1.47

f(4) = 0 · e¹ = 0

לפי הגרף (גרף II הוא f): ב־x = 2 יש לגרף "פסגה" – מקסימום; ב־x = 4 הגרף יורד ונוגע בציר ה־x ועולה שוב – מינימום.

בדיקה בסימן הנגזרת: תמיד e^{x − 3} > 0, ולכן הסימן של f′ נקבע רק על ידי (x − 4)(x − 2).

x = 0 : (−4)(−2) = 8 > 0 ← עולה

x = 3 : (−1)(1) = −1 < 0 ← יורדת

x = 5 : (1)(3) = 3 > 0 ← עולה

ב־x = 2: עולה ואז יורדת ← מקסימום. ב־x = 4: יורדת ואז עולה ← מינימום.📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום

✅ פתרון סופי: מקסימום (2 , 4e) ≈ (2 , 1.47)
מינימום (4 , 0)

סעיף ג – השטח בין f′ לציר ה־x

גרף f′ חותך את ציר ה־x ב־x = 2 וב־x = 4. ביניהן f′ < 0 (סעיף ב3), ושם נסגר שטח בין הגרף לציר. (משמאל ל־2 הגרף רק מתקרב לציר ואינו סוגר שטח.)

השטח מתחת לציר ה־x – לוקחים את האינטגרל עם סימן מינוס:

S = −∫42 f′(x) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = −∫ba f(x) dx (גרף מתחת לציר)

הפונקצייה הקדומה של f′ היא f עצמה:

S = −[f(4) − f(2)]📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

S = −(0 − 4e) = 4e ≈ 1.47

✅ פתרון סופי: S = 4e ≈ 1.47 יחידות שטח

סעיף ד – השטח בין g ל־f′

g(x) = −f′(x) – כל ערך של f′ מתהפך בסימן, כלומר גרף g הוא שיקוף של גרף f′ ביחס לציר ה־x.

y = −f(x)📐 שיקוף גרףגרף y = −f(x) הוא שיקוף של גרף y = f(x) ביחס לציר ה־x

נקודות החיתוך של שני הגרפים:

f′(x) = −f′(x) ⟸ 2f′(x) = 0 ⟸ f′(x) = 0

x = 2 או x = 4

בין 2 ל־4: f′ < 0, ולכן g = −f′ > 0 – הגרף של g למעלה:

S = ∫42 [g(x) − f′(x)] dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ba [f₁(x) − f₂(x)] dx

S = ∫42 [−f′(x) − f′(x)] dx = −2∫42 f′(x) dx

S = −2[f(4) − f(2)] = −2(0 − 4e) = 8e ≈ 2.94📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

נימוק במילים: השיקוף יוצר מעל ציר ה־x שטח זהה לזה שמתחת לציר (סעיף ג), ולכן השטח בין שני הגרפים הוא פעמיים 4e.

✅ פתרון סופי: S = 8e ≈ 2.94 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	גרף I
סעיף ב (1)	כל x
סעיף ב (2)	(0 , 16e³) , (4 , 0)
סעיף ב (3)	מקסימום (2 , 4e) מינימום (4 , 0)
סעיף ג	4e ≈ 1.47
סעיף ד	8e ≈ 2.94

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – חקירה עם מכפלה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 4 שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (2x² − 11x + 14) · e^{4 − x}.

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x)?

ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים. (2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן. (3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

ג. אחד מן הגרפים I–III שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

ד. קבעו עבור אילו ערכי x מתקיים f(x) < 0 וגם f′(x) < 0. נמקו את קביעתכם.

ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x) ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום הגדרה

פולינום מוגדר לכל x, וגם e^{4 − x} מוגדר לכל x.📐 תחום הגדרה של ee^g(x) מוגדרת היכן ש־g מוגדרת

✅ פתרון סופי: כל x

סעיף ב – חיתוך עם הצירים, קיצון וסקיצה

(1) חיתוך עם ציר ה־y (x = 0):

f(0) = 14 · e⁴ ≈ 764.4

חיתוך עם ציר ה־x: e^{4 − x} > 0 תמיד, ולכן רק הסוגריים מתאפסים:

2x² − 11x + 14 = 0 x = 11 ± √(121 − 112)4 = 11 ± 34📐 נוסחת השורשיםn_1,2 = −b ± √(b² − 4ac)2a

x₁ = 2 , x₂ = 3.5

(2) נגזרת של מכפלה: u = 2x² − 11x + 14 , v = e^{4 − x}.

u′ = 4x − 11📐 נגזרת חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

v′ = −e^{4 − x}📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(e^g(x))′ = g′(x) · e^g(x)

f′(x) = (4x − 11) · e^{4 − x} − (2x² − 11x + 14) · e^{4 − x}📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′

f′(x) = e^{4 − x} · (4x − 11 − 2x² + 11x − 14) = −e^{4 − x} · (2x² − 15x + 25)

2x² − 15x + 25 = 0 x = 15 ± √(225 − 200)4 = 15 ± 54📐 נוסחת השורשיםn_1,2 = −b ± √(b² − 4ac)2a

x₁ = 2.5 , x₂ = 5

f(2.5) = (12.5 − 27.5 + 14) · e^1.5 = −e^1.5 ≈ −4.48

f(5) = (50 − 55 + 14) · e⁻¹ = 9e ≈ 3.31

טבלת סימנים: e^{4 − x} > 0, ולכן הסימן של f′ הפוך לסימן של 2x² − 15x + 25 (פרבולה צוחקת):

x	f′	f
x < 2.5	−	יורדת
x = 2.5	0	מינימום
2.5 < x < 5	+	עולה
x = 5	0	מקסימום
x > 5	−	יורדת

מינימום ב־x = 2.5, מקסימום ב־x = 5.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום

(3) לסקיצה: כש־x → ∞ הגורם e^{4 − x} שואף ל־0 מהר יותר מכל פולינום, ולכן הגרף מתקרב לציר ה־x מלמעלה. כש־x → −∞ f → ∞.

הגרף של f לפי החישוב (נקודת החיתוך עם ציר y, בערך 764, מחוץ לתחום הציור).

✅ פתרון סופי: (1) (0 , 14e⁴) , (2 , 0) , (3.5 , 0)
(2) מינימום (2.5 , −e^1.5) ≈ (2.5 , −4.48) , מקסימום (5 , 9e) ≈ (5 , 3.31)
(3) סקיצה למעלה

סעיף ג – איזה גרף הוא הנגזרת

מסעיף ב: f′ שלילית עבור x < 2.5 (בפרט f′(0) = −25e⁴ < 0), חיובית בין 2.5 ל־5, ושלילית עבור x > 5; שתי נקודות האפס חיוביות.

• גרף I חותך את ציר ה־y מעל ציר ה־x – כלומר f′(0) > 0 ✗
• גרף III עובר בראשית – כלומר f′(0) = 0 ✗
• גרף II חותך את ציר ה־y מתחת לציר, עולה מעל הציר בין שתי נקודות אפס חיוביות, ושוב יורד מתחת ✓

✅ פתרון סופי: גרף II

סעיף ד – מתי f שלילית וגם יורדת

f(x) < 0 כאשר הסוגריים שליליים – בין השורשים: 2 < x < 3.5.

f′(x) < 0 (יורדת): x < 2.5 או x > 5.

החיתוך של שני התנאים:

2 < x < 2.5

✅ פתרון סופי: 2 < x < 2.5

סעיף ה – השטח בין f′ וציר x

גרף f′ חותך את ציר ה־x ב־x = 2.5 וב־x = 5. השטח הסגור הוא בין שתי הנקודות, שם f′ > 0 (משני הצדדים הגרף לא סוגר שטח עם הציר).

גרף הנגזרת לפי החישוב; השטח הסגור בתכלת.

הפונקציה הקדומה של f′ היא f עצמה:

S = ∫_2.5⁵ f′(x)dx = f(5) − f(2.5)📐 אינטגרל של נגזרת ∫_a^b f′(x)dx = f(b) − f(a)

= 9e − (−e^1.5) = 9e + e^1.5 ≈ 3.31 + 4.48 ≈ 7.79

✅ פתרון סופי: S = 9e + e^1.5 ≈ 7.79

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	כל x
סעיף ב	(0 , 14e⁴) , (2 , 0) , (3.5 , 0) מינימום (2.5 , −4.48) , מקסימום (5 , 3.31)
סעיף ג	גרף II
סעיף ד	2 < x < 2.5
סעיף ה	≈ 7.79

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – חקירה עם מכפלה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 4 שטח

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = e^x · (e^x − 6)² המוגדרת לכל x.

א. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ב. הראו כי מתקיים: f(x) = e^3x − 12e^2x + 36e^x.

ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = e^3x העולה לכל x.

ה. (1) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם גרף הפונקצייה g(x). (2) באותה מערכת צירים שבה סרטטתם את גרף הפונקצייה f(x), סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x) בקו מקווקו. (3) מצאו את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקצייה f(x), על ידי הגרף של הפונקצייה g(x) ועל ידי ציר ה־y.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – נקודות החיתוך עם הצירים

ציר y (x = 0):

f(0) = e⁰ · (e⁰ − 6)² = 1 · (−5)² = 25📐 חזקה עם מעריך 0a⁰ = 1

ציר x (f(x) = 0): מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0. e^x > 0, ולכן:

(e^x − 6)² = 0 e^x = 6📐 e בחזקת x חיובי תמידe^x > 0

x = ln 6 ≈ 1.79📐 פתרון משוואה מעריכיתe^x = b ⟺ x = ln b

✅ פתרון סופי: (0 , 25) , (ln 6 , 0)

סעיף ב – פתיחת הסוגריים

(e^x − 6)² = e^2x − 12e^x + 36📐 נוסחת הכפל המקוצר(x − b)² = x² − 2bx + b²

f(x) = e^x · (e^2x − 12e^x + 36) = e^3x − 12e^2x + 36e^x📐 כפל חזקותe^a · e^b = e^{a + b}

✅ פתרון סופי: הוכח: f(x) = e^3x − 12e^2x + 36e^x

סעיף ג – נקודות הקיצון

f′(x) = 3e^3x − 24e^2x + 36e^x📐 נגזרת e בחזקת kx(e^kx)′ = k · e^kx

מוציאים גורם משותף 3e^x:

f′(x) = 3e^x(e^2x − 8e^x + 12)

3e^x(e^2x − 8e^x + 12) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

3e^x > 0, ולכן נציב t = e^x:

t² − 8t + 12 = 0

t = 8 ± √(64 − 48)2 = 8 ± 42📐 נוסחת השורשיםx_1,2 = −b ± √(b² − 4ac)2a

t = 6 או t = 2

e^x = 2 ⟸ x = ln 2 ≈ 0.69 , e^x = 6 ⟸ x = ln 6 ≈ 1.79📐 פתרון משוואה מעריכיתe^x = b ⟺ x = ln b

לכן f′(x) = 3e^x(e^x − 2)(e^x − 6). סימן הנגזרת:

x = 0 : 3 · (1 − 2)(1 − 6) = 15 > 0 ← עולה

x = 1 : 3e(e − 2)(e − 6) ≈ −19.2 < 0 ← יורדת

x = 2 : 3e²(e² − 2)(e² − 6) ≈ 165.9 > 0 ← עולה

x	f′(x)	f(x)
x < ln 2	+	↗ עולה
ln 2	0	מקסימום
ln 2 < x < ln 6	−	↘ יורדת
ln 6	0	מינימום
x > ln 6	+	↗ עולה

עולה ואז יורדת – מקסימום; יורדת ואז עולה – מינימום.

📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום

f(ln 2) = 2 · (2 − 6)² = 2 · 16 = 32📐 e ו־ln מבטלים זה את זהe^{ln b} = b

f(ln 6) = 6 · (6 − 6)² = 0

✅ פתרון סופי: מקסימום (ln 2 , 32) , מינימום (ln 6 , 0)

סעיף ד – סקיצה

כש־x שלילי וגדול, e^x מתקרב ל־0, ולכן f מתקרבת ל־0 מלמעלה (למשל f(−3) ≈ 1.7). הגרף כולו מעל ציר ה־x או נוגע בו (מכפלה של מספר חיובי בריבוע).

עולה עד המקסימום (ln 2 , 32), עובר בדרך ב־(0 , 25), יורד עד המינימום (ln 6 , 0) שבו הוא נוגע בציר ה־x, ואז עולה מהר.

📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת

הגרף של f(x) – משורטט מהפונקצייה עצמה

✅ פתרון סופי: הסקיצה למטה

סעיף ה (1) – החיתוך של f ו־g

e^3x − 12e^2x + 36e^x = e^3x

−12e^2x + 36e^x = 0

12e^x(−e^x + 3) = 0

12e^x > 0, ולכן e^x = 3 , x = ln 3 ≈ 1.1

📐 e בחזקת x חיובי תמידe^x > 0

g(ln 3) = e^{3ln 3} = 3³ = 27

בדיקה: f(ln 3) = 3 · (3 − 6)² = 27 ✓

✅ פתרון סופי: (ln 3 , 27)

סעיף ה (2) – סקיצה של g(x)

g = e^3x עולה תמיד, מתקרבת ל־0 משמאל, עוברת ב־(0 , 1), חותכת את f ב־(ln 3 , 27) ועולה מהר מאוד.

📐 e בחזקת x חיובי תמידe^x > 0

✅ פתרון סופי: הסקיצה בסעיף הבא (קו מקווקו)

סעיף ה (3) – השטח

השטח בין ציר ה־y (x = 0) לנקודת החיתוך x = ln 3. ב־x = 0: f = 25 > g = 1 – f למעלה.

S = ∫₀^{ln 3} (f(x) − g(x)) dx = ∫₀^{ln 3} (−12e^2x + 36e^x) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b (עליונה − תחתונה) dx

= [−6e^2x + 36e^x]₀^{ln 3}📐 אינטגרל של e בחזקת kx∫e^kx dx = 1ke^kx + C

= (−6 · 9 + 36 · 3) − (−6 · 1 + 36 · 1)📐 אינטגרל של נגזרת∫_a^b f′(x) dx = f(b) − f(a)

= (−54 + 108) − (−6 + 36) = 54 − 30 = 24

הגרף של f, הגרף של g (מקווקו) והשטח S

✅ פתרון סופי: S = 24 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	(0 , 25) , (ln 6 , 0)
סעיף ב	הוכחה
סעיף ג	מקסימום (ln 2 , 32) מינימום (ln 6 , 0)
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה	(ln 3 , 27) ; S = 24

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 23 – פתרון בגרות קיץ 2023

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2023, שאלה 5 שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים: I, II. אחד מהם הוא גרף הפונקצייה f(x), והאחר הוא גרף פונקציית הנגזרת f′(x). כל אחד מן הגרפים חותך את ציר ה־x בנקודה אחת בלבד.

א. איזה מן הגרפים I, II מתאים לגרף פונקציית הנגזרת f′(x)? נמקו.

נתון: f(x) = (x − 3) · e^x.

ב. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).

ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = −f′(x).

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x).

ו. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי גרף הפונקצייה g(x) ועל ידי ציר ה־y.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – איזה גרף הוא של הנגזרת

לגרף II יש נקודת מינימום אחת. בנקודה הזו הנגזרת צריכה להתאפס ולעבור ממינוס לפלוס – וזה בדיוק המקום שבו גרף I חותך את ציר ה־x כשהוא עולה.

בנוסף: משמאל לנקודה הזו גרף II יורד – ושם גרף I מתחת לציר ה־x (נגזרת שלילית); מימין גרף II עולה – ושם גרף I מעל הציר (נגזרת חיובית).

מינימום של f ← f′ עוברת ממינוס לפלוס📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום

(בכיוון ההפוך זה לא עובד: אילו II היה הנגזרת, במקום שבו II חותך את ציר ה־x היה צריך להיות קיצון של גרף I – אבל שם גרף I רק עולה.)

✅ פתרון סופי: גרף I הוא גרף הנגזרת

סעיף ב – תחום ההגדרה

x − 3 – מוגדר לכל x; e^x – מוגדר לכל x. אין מכנה, שורש או ln.

✅ פתרון סופי: כל x

סעיף ג – חיתוך עם הצירים

ציר ה־y (x = 0):

f(0) = (0 − 3) · e⁰ = −3

ציר ה־x:

(x − 3) · e^x = 0

e^x > 0📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

x − 3 = 0 ⟸ x = 3

✅ פתרון סופי: (0 , −3) , (3 , 0)

סעיף ד – תחומי עלייה וירידה

כלל המכפלה עם u = x − 3 ⟸ u′ = 1 ו־v = e^x:

(e^x)′ = e^x📐 נגזרת e(e^x)′ = e^x

f′(x) = 1 · e^x + (x − 3) · e^x📐 נגזרת מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′

f′(x) = e^x · (1 + x − 3) = (x − 2) · e^x

f′(x) = 0 ⟸ x = 2📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

הסימן נקבע לפי x − 2 (כי e^x > 0):

x = 0 : 0 − 2 < 0 , f′ < 0 ← יורדת

x = 3 : 3 − 2 > 0 , f′ > 0 ← עולה

f′ > 0 ← עולה, f′ < 0 ← יורדת📐 עלייה וירידה לפי הנגזרתf′(x) > 0 ← הפונקצייה עולהf′(x) < 0 ← הפונקצייה יורדת

(ב־x = 2 יש מינימום: f(2) = −e² ≈ −7.39.)

✅ פתרון סופי: עלייה: x > 2
ירידה: x < 2

סעיף ה – סקיצה של g(x) = −f′(x)

y = −f(x)📐 שיקוף גרףגרף y = −f(x) הוא שיקוף של גרף y = f(x) ביחס לציר ה־x

גרף g הוא שיקוף של גרף I (הנגזרת) ביחס לציר ה־x: g(x) = (2 − x) · e^x.

נקודות חשובות: חותך את ציר ה־x ב־(2 , 0) (כמו f′), חותך את ציר ה־y ב־g(0) = −f′(0) = −(−2) = 2, ומשמאל מתקרב לציר ה־x מלמעלה.

✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט (בסעיף ו)

סעיף ו – השטח

שני הגרפים נפגשים כש־f′(x) = −f′(x), כלומר כש־f′(x) = 0 – ב־x = 2. השטח המוגבל גם על ידי ציר ה־y הוא בין x = 0 ל־x = 2.

בתחום הזה f′ ≤ 0, ולכן g = −f′ ≥ 0 – g למעלה ו־f′ למטה:

S = ∫20 [g(x) − f′(x)] dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ba [f₁(x) − f₂(x)] dx

S = ∫20 −2f′(x) dx = −2[f(2) − f(0)]📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

f(2) = (2 − 3) · e² = −e² , f(0) = −3

S = −2(−e² − (−3)) = −2(3 − e²) = 2e² − 6 ≈ 8.78

✅ פתרון סופי: S = 2e² − 6 ≈ 8.78 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	גרף I
סעיף ב	כל x
סעיף ג	(0 , −3) , (3 , 0)
סעיף ד	עלייה x > 2, ירידה x < 2
סעיף ה	סקיצה
סעיף ו	2e² − 6 ≈ 8.78

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 20 – אינטגרל ושטחים בפונקציית e

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 3 שטח · הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = x²e^x.

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x)?

ב. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.

ג. מצאו את נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.

ד. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x), המקיימת g(x) = −2f(x) לכל x.

ו. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x) במערכת הצירים שבה סרטטתם את גרף הפונקצייה f(x).

נסמן ב־S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה f(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישר x = 3.

ז. הביעו באמצעות S את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקצייה f(x), על ידי הגרף של הפונקצייה g(x) ועל ידי הישר x = 3. נמקו את תשובתכם.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – תחום ההגדרה

המכנה e^x חיובי תמיד ולא מתאפס, ולכן אין הגבלה.

📐 e בחזקת x חיובי תמידe^x > 0

✅ פתרון סופי: כל x

סעיף ב – החיתוך עם ציר ה־x

x²e^x = 0

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס: x² = 0 x = 0

📐 שבר שווה אפסab = 0 ⟺ a = 0 , b ≠ 0

✅ פתרון סופי: (0 , 0)

סעיף ג – נקודות הקיצון

f′(x) = 2x · e^x − x² · e^xe^2x📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

מוציאים e^x מהמונה ומצמצמים:

= e^x(2x − x²)e^2x = x(2 − x)e^x

x(2 − x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

x = 0 או x = 2

סימן הנגזרת (המכנה חיובי, הסימן לפי x(2 − x)):

x = −1 : (−1) · 3 = −3 < 0 ← יורדת

x = 1 : 1 · 1 = 1 > 0 ← עולה

x = 3 : 3 · (−1) = −3 < 0 ← יורדת

x	f′(x)	f(x)
x < 0	−	↘ יורדת
0	0	מינימום
0 < x < 2	+	↗ עולה
2	0	מקסימום
x > 2	−	↘ יורדת

יורדת ואז עולה – מינימום; עולה ואז יורדת – מקסימום.

📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימוםf′: פלוס ← מינוס = מקסימום

f(0) = 0 , f(2) = 4e² ≈ 0.54

✅ פתרון סופי: מינימום (0 , 0) , מקסימום (2 , 4e²) ≈ (2 , 0.54)

סעיף ד – תחומי עלייה וירידה

לפי טבלת הסימנים:

📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת

✅ פתרון סופי: עולה: 0 < x < 2
יורדת: x < 0 , x > 2

סעיף ה – סקיצה של f(x)

f(x) ≥ 0 תמיד (ריבוע חלקי מספר חיובי). משמאל הגרף יורד מערכים גדולים מאוד (למשל f(−2) = 4e² ≈ 29.6) עד המינימום בראשית, עולה למקסימום (2 , 0.54) ואז יורד ומתקרב לציר ה־x מלמעלה (למשל f(10) ≈ 0.0045).

📐 עלייה וירידהf′(x) > 0 ← עולהf′(x) < 0 ← יורדת

✅ פתרון סופי: הסקיצה בסעיף הבא (קו מלא)

סעיף ו – סקיצה של g(x) = −2f(x)

הכפלה ב־−2: כל ערך y מוכפל ב־2 והגרף מתהפך מתחת לציר ה־x. המינימום (0 , 0) הופך למקסימום (0 , 0), והמקסימום (2 , 0.54) הופך למינימום (2 , −8e²) ≈ (2 , −1.08).

📐 מתיחה והיפוךy = k · f(x) : כל ערך y מוכפל ב־k

הגרף של f (מלא) ושל g = −2f (מקווקו) – משורטטים מהפונקציות

✅ פתרון סופי: הסקיצה למטה (קו מקווקו)

סעיף ז – השטח בין f, g והישר x = 3

שני הגרפים נפגשים בראשית (f(0) = g(0) = 0), ולכן השטח הוא מ־x = 0 עד x = 3. בתחום הזה f ≥ 0 (מעל הציר) ו־g ≤ 0 (מתחת לציר).

∫₀³ (f(x) − g(x)) dx = ∫₀³ (f(x) + 2f(x)) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫_a^b (עליונה − תחתונה) dx

= 3 ∫₀³ f(x) dx = 3S

במילים: החלק שמעל הציר הוא S, והחלק שמתחת לציר גדול ממנו פי 2 (2S), כי כל גובה של g כפול מזה של f.

✅ פתרון סופי: 3S

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	כל x
סעיף ב	(0 , 0)
סעיף ג	מינימום (0 , 0) מקסימום (2 , 4/e²)
סעיף ד	עולה 0 < x < 2 יורדת x < 0 , x > 2
סעיף ה–ו	סקיצות
סעיף ז	3S

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 3 הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקצייה f(x) = (4 − 3x) · e^3x.

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x)?

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.

ג. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה. (2) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x).

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = −2 · f(x) − 1.

ה. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה g(x), וקבעו את סוגה. (2) אחד מן הגרפים I–III שלפניכם מתאר את גרף הפונקצייה g(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – תחום הגדרה

פולינום ו־e^3x מוגדרים לכל x.📐 תחום הגדרה של ee^g(x) מוגדרת היכן ש־g מוגדרת

✅ פתרון סופי: כל x

סעיף ב – חיתוך עם הצירים

f(0) = 4 · e⁰ = 4

e^3x > 0 תמיד, ולכן f(x) = 0 רק כאשר:

4 − 3x = 0 x = 43

✅ פתרון סופי: (0 , 4) , (43 , 0)

סעיף ג – קיצון, עלייה וירידה

נגזרת של מכפלה: u = 4 − 3x , v = e^3x.

u′ = −3📐 נגזרת חזקה(xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹

v′ = 3e^3x📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(e^g(x))′ = g′(x) · e^g(x)

f′(x) = −3 · e^3x + (4 − 3x) · 3e^3x📐 נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′ · v + u · v′

= e^3x · (−3 + 12 − 9x) = 9e^3x(1 − x)

f′(x) = 0 ⟹ x = 1

f(1) = (4 − 3) · e³ = e³ ≈ 20.09

הסימן של f′ לפי 1 − x: חיובי עבור x < 1, שלילי עבור x > 1.

מ־+ ל־− ב־x = 1 ⟸ מקסימום.📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום

✅ פתרון סופי: (1) מקסימום (1 , e³)
(2) עולה: x < 1 ; יורדת: x > 1

סעיף ד – סקיצה

כש־x → −∞ e^3x → 0 (מהר יותר ממה ש־4 − 3x גדל), ולכן הגרף מתקרב לציר ה־x מלמעלה. כש־x → ∞ f → −∞.

הגרף של f לפי החישוב.

✅ פתרון סופי: סקיצה למעלה

סעיף ה – הפונקציה g

(1) כפל ב־−2 הופך את הגרף (מקסימום ⟸ מינימום) ומותח אותו; ההזזה ב־−1 מורידה אותו ביחידה. שיעור ה־x של הקיצון לא משתנה:

g′(x) = −2f′(x) מתאפסת ב־x = 1 ומחליפה סימן מ־− ל־+📐 סוג נקודת קיצוןf′: + → − ⟸ מקסימוםf′: − → + ⟸ מינימום

g(1) = −2e³ − 1 ≈ −41.17

(2) תכונות של g: כש־x → −∞ f → 0⁺, ולכן g → −1 מלמטה (אסימפטוטה y = −1 מתחת לציר ה־x); מינימום ב־x = 1 > 0 (מימין לציר ה־y); g(0) = −9; ואחר כך g → ∞.

• גרף I – יש לו מקסימום ✗
• גרף II – המינימום משמאל לציר ה־y ✗
• גרף III – מתקרב משמאל לקו מתחת לציר, מינימום מימין לציר ה־y ועלייה ✓

הגרף של g לפי החישוב.

✅ פתרון סופי: (1) מינימום (1 , −2e³ − 1) ≈ (1 , −41.17)
(2) גרף III

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	כל x
סעיף ב	(0 , 4) , (43 , 0)
סעיף ג	מקסימום (1 , e³) עולה x < 1 , יורדת x > 1
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה	מינימום (1 , −2e³ − 1) גרף III

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 13 – חקירה עם מכפלה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 5 שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

הפונקציות f(x) ו־f′(x) מוגדרות בתחום x ≠ −2. לפניך סרטוט של גרף פונקציית הנגזרת f′(x). גרף פונקציית הנגזרת f′(x) חותך את ציר ה־x בנקודה אחת (a , 0). a הוא קבוע.

א. הבע באמצעות a את שיעור ה־x של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.

נתון גם כי: f(x) = e^2xx + 2.

ב. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), ורשום את הערך של a.

ג. רשום את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

ד. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ה. מצא את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־x של הפונקציה f(x).

ו. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ז. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), ציר ה־x וציר ה־y.

✏️ פתרון שאלה 5

סעיף א – הקיצון לפי גרף הנגזרת

בנקודה x = a הנגזרת מתאפסת. לפי הגרף, משמאל ל־a הנגזרת שלילית (מתחת לציר ה־x) ומימין ל־a היא חיובית (מעל הציר).

f′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימום📐 משפט: נקודת קיצון לפי הנגזרתf′ עוברת ממינוס לפלוס ← מינימוםf′ עוברת מפלוס למינוס ← מקסימום

✅ פתרון סופי: ב־x = a יש ל־f נקודת מינימום

סעיף ב – נקודת הקיצון והערך של a

כלל המנה עם u = e^2x, v = x + 2 ⟸ v′ = 1:

u′ = 2e^2x📐 נגזרת e בחזקת פונקציה(e^g(x))′ = g′(x) · e^g(x)

f′(x) = 2e^2x · (x + 2) − e^2x · 1(x + 2)²📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v²

f′(x) = e^2x · (2x + 4 − 1)(x + 2)² = e^2x · (2x + 3)(x + 2)²

f′(x) = 0📐 נקודת קיצוןf′(x) = 0

2x + 3 = 0 ⟸ x = −1.5📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

f(−1.5) = e⁻³−1.5 + 2 = e⁻³0.5 = 2e³ ≈ 0.10

הנגזרת חותכת את ציר ה־x רק ב־x = −1.5, ולכן a = −1.5.

✅ פתרון סופי: מינימום (−1.5 , 2e³) ≈ (−1.5 , 0.10)
a = −1.5

סעיף ג – עלייה וירידה

הסימן של f′ הוא הסימן של 2x + 3 (כי e^2x > 0 והמכנה ריבוע חיובי). צריך לזכור את x = −2 שלא בתחום:

x = −3 : 2 · (−3) + 3 = −3 < 0 ← יורדת

x = −1.8 : 2 · (−1.8) + 3 = −0.6 < 0 ← יורדת

x = 0 : 3 > 0 ← עולה

f′ > 0 ← עולה, f′ < 0 ← יורדת📐 עלייה וירידה לפי הנגזרתf′(x) > 0 ← הפונקציה עולהf′(x) < 0 ← הפונקציה יורדת

✅ פתרון סופי: עלייה: x > −1.5
ירידה: x < −2 וגם −2 < x < −1.5

סעיף ד – חיתוך עם הצירים

f(0) = e⁰0 + 2 = 12

e^2x = 0📐 תכונה של ee^t > 0 לכל t

אין פתרון – אין חיתוך עם ציר ה־x.

✅ פתרון סופי: (0 , 12); עם ציר ה־x – אין

סעיף ה – האסימפטוטה האנכית

ב־x = −2 המכנה מתאפס, והמונה e⁻⁴ ≠ 0.

מכנה = 0 ומונה ≠ 0📐 אסימפטוטה אנכיתמכנה = 0 ומונה ≠ 0 ← אסימפטוטה אנכית

✅ פתרון סופי: x = −2

סעיף ו – סקיצה

משמאל ל־x = −2: המכנה שלילי – הגרף מתחת לציר ה־x; כש־x שואף למינוס אינסוף e^2x שואף ל־0 והגרף מתקרב לציר מלמטה, ואז יורד למינוס אינסוף ליד האסימפטוטה.

מימין ל־x = −2: הגרף מעל ציר ה־x – יורד מאינסוף למינימום (−1.5 , 0.10), ואז עולה דרך (0 , 0.5).

✅ פתרון סופי: הסקיצה בסרטוט

סעיף ז – השטח

הגרף של f′ חותך את ציר ה־x ב־x = −1.5, ובין x = −1.5 ל־x = 0 (ציר ה־y) הוא מעל הציר (f′ > 0):

S = ∫0−1.5 f′(x) dx📐 שטח מתחת לגרףS = ∫ba f(x) dx

הפונקציה הקדומה של f′ היא f עצמה:

S = f(0) − f(−1.5)📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

S = 12 − 2e³ ≈ 0.5 − 0.0996 ≈ 0.40

✅ פתרון סופי: S = 12 − 2e³ ≈ 0.40 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 5

סעיף א	מינימום ב־x = a
סעיף ב	מינימום (−1.5 , 2e³), a = −1.5
סעיף ג	עלייה x > −1.5 ירידה x < −2 , −2 < x < −1.5
סעיף ד	(0 , 12)
סעיף ה	x = −2
סעיף ו	סקיצה
סעיף ז	12 − 2e³ ≈ 0.40

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף נבצרים 2022, שאלה 4 שטח · גרף נגזרת

📄 נוסח השאלה

הפונקציה f(x) ופונקציית הנגזרת שלה f′(x) מוגדרות בתחום x ≠ 0. בסרטוט שלפניך מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x). גרף פונקציית הנגזרת f′(x) חותך את ציר ה־x בנקודה (a , 0) בלבד.

א. הבע באמצעות a את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

נתון: הפונקציה שמתוארת בתחילת השאלה היא f(x) = e^2x1 − e^x.

ב. (1) מצא את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־x של הפונקציה f(x). (2) האם גרף הפונקציה f(x) חותך את ציר ה־x? נמק.

ג. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), ורשום את הערך של a.

ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ה. חשב את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x), על ידי הישר x = ln 3 ועל ידי ציר ה־x.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחומי עלייה וירידה מגרף הנגזרת

קוראים מהסרטוט את סימן הנגזרת: משמאל לציר ה־y הגרף כולו מעל ציר ה־x; מימין לציר ה־y הגרף מעל הציר עד הנקודה (a , 0), ואחריה מתחת לציר.

x	f′(x)	f(x)
x < 0	+	↗ עולה
0 < x < a	+	↗ עולה
x > a	−	↘ יורדת

הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה; הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.

📐 קשר בין הנגזרת לפונקציהf′ > 0 ⟸ עולהf′ < 0 ⟸ יורדת

✅ פתרון סופי: עולה: x < 0 , 0 < x < a
יורדת: x > a

סעיף ב – אסימפטוטה וחיתוך עם ציר ה־x

(1) המכנה מתאפס כאשר:

1 − e^x = 0 ⟸ e^x = 1 ⟸ x = 0📐 אסימפטוטה אנכיתמכנה = 0 , מונה ≠ 0

מונה: e⁰ = 1 ≠ 0 – ולכן זו אסימפטוטה.

(2) בחיתוך עם ציר ה־x המונה שווה לאפס:

e^2x = 0📐 תכונת הפונקציה המעריכיתe^u > 0 לכל u

אין פתרון, כי e^2x > 0 תמיד. לכן הגרף לא חותך את ציר ה־x.

✅ פתרון סופי: (1) x = 0 ; (2) לא – המונה תמיד חיובי

סעיף ג – נקודת הקיצון והערך של a

גוזרים לפי נגזרת מנה, עם u = e^2x ו־v = 1 − e^x:

u′ = 2e^2x v′ = −e^x📐 נגזרת של e בחזקת ax(e^ax)′ = a · e^ax

f′(x) = 2e^2x · (1 − e^x) − e^2x · (−e^x)(1 − e^x)²📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

פותחים סוגריים במונה:

2e^2x − 2e^3x + e^3x = 2e^2x − e^3x = e^2x · (2 − e^x)

f′(x) = e^2x · (2 − e^x)(1 − e^x)²

משווים לאפס. e^2x > 0, ולכן:

2 − e^x = 0 ⟸ e^x = 2 ⟸ x = ln 2📐 משוואה מעריכיתe^x = k ⟺ x = ln k

זו הנקודה היחידה שבה הנגזרת מתאפסת, כלומר a = ln 2. לפי סעיף א הפונקציה עולה לפני a ויורדת אחריו – מקסימום.

f(ln 2) = e^{2ln 2}1 − e^{ln 2} = 41 − 2 = −4📐 e בחזקת lne^{ln k} = ke^{2ln k} = k²

✅ פתרון סופי: מקסימום (ln 2 , −4) ; a = ln 2

סעיף ד – סקיצה

משמאל לאסימפטוטה (x < 0): המכנה 1 − e^x חיובי, ולכן הגרף מעל ציר ה־x. כש־x שואף למינוס אין־סוף, e^2x שואף ל־0 והגרף מתקרב לציר ה־x; הגרף עולה ושואף לפלוס אין־סוף ליד x = 0.

מימין לאסימפטוטה (x > 0): המכנה שלילי, ולכן הגרף מתחת לציר ה־x. הגרף עולה ממינוס אין־סוף עד המקסימום (ln 2 , −4) ואחר כך יורד.

✅ פתרון סופי: סקיצה (ראו למעלה)

סעיף ה – השטח בין גרף הנגזרת, הישר והציר

גרף הנגזרת חותך את ציר ה־x ב־x = a = ln 2, ומימין לנקודה הזאת הוא מתחת לציר. לכן השטח הוא בין x = ln 2 ל־x = ln 3, עם סימן מינוס:

S = −∫ln 3ln 2 f′(x) dx📐 שטח מתחת לציר ה־xS = −∫ba g(x) dx כאשר g(x) ≤ 0

S = −(f(ln 3) − f(ln 2))📐 אינטגרל של נגזרת∫ba f′(x) dx = f(b) − f(a)

f(ln 3) = e^{2ln 3}1 − e^{ln 3} = 91 − 3 = −4.5📐 e בחזקת lne^{ln k} = k

את f(ln 2) = −4 חישבנו בסעיף ג:

S = −(−4.5 − (−4)) = −(−0.5) = 0.5

✅ פתרון סופי: S = 0.5 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	עולה: x < 0 , 0 < x < a יורדת: x > a
סעיף ב	(1) x = 0 ; (2) לא
סעיף ג	מקסימום (ln 2 , −4) ; a = ln 2
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה	0.5

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – חורף נבצרים 2022 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2021 מועד מיוחד, שאלה 4

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = e^2x + 3e^x − 1 − 7.

א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x). (2) רשום את משוואת האסימפטוטה של הפונקציה f(x) המאונכת לציר ה־x.

ב. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.

ג. מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x).

ד. (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (2) אחד מן הגרפים I–IV שבסוף השאלה מתאר את גרף הפונקציה f(x). קבע איזה מהם, ונמק את קביעתך.

ה. נתונה הפונקציה g(x) שתחום הגדרתה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x). נגזרת הפונקציה g(x) מקיימת g′(x) = f(x). מצא את שיעורי ה־x של נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבע את סוגן.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום הגדרה ואסימפטוטה

e^x − 1 ≠ 0 ⟸ e^x ≠ 1 ⟸ x ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברמכנה ≠ 0

ב־x = 0 המכנה מתאפס והמונה לא (e⁰ + 3 = 4 ≠ 0), ולכן זו אסימפטוטה אנכית.

✅ פתרון סופי: (1) x ≠ 0 ; (2) x = 0

סעיף ב – נקודת הקיצון

גוזרים את השבר לפי נגזרת מנה (הנגזרת של הקבוע −7 היא אפס), עם u = e^2x + 3 ו־v = e^x − 1:

u′ = 2e^2x v′ = e^x📐 נגזרת של e בחזקת ax(e^ax)′ = a · e^ax

f′(x) = 2e^2x(e^x − 1) − (e^2x + 3) · e^x(e^x − 1)²📐 נגזרת מנה(uv)′ = u′v − uv′v²

פותחים את המונה:

2e^3x − 2e^2x − e^3x − 3e^x = e^3x − 2e^2x − 3e^x = e^x(e^2x − 2e^x − 3)

משווים לאפס. e^x > 0, ולכן פותרים e^2x − 2e^x − 3 = 0 עם ההצבה t = e^x:

t² − 2t − 3 = 0 ⟸ (t − 3)(t + 1) = 0📐 פירוק טרינוםt² + bt + c = (t − t₁)(t − t₂)

t = 3 ⟸ e^x = 3 ⟸ x = ln 3

t = −1 ⟸ e^x = −1 – אין פתרון (e^x > 0).

הנגזרת בצורה מפורקת: f′(x) = e^x(e^x − 3)(e^x + 1)(e^x − 1)². כל הגורמים חיוביים חוץ מ־e^x − 3, ולכן הסימן הוא סימן e^x − 3:

x	f′(x)	f(x)
x < 0	−	↘ יורדת
0		לא מוגדרת
0 < x < ln 3	−	↘ יורדת
ln 3	0	מינימום
x > ln 3	+	↗ עולה

יורדת ואז עולה – מינימום.

📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימום

f(ln 3) = e^{2ln 3} + 3e^{ln 3} − 1 − 7 = 9 + 33 − 1 − 7 = 6 − 7 = −1📐 e בחזקת lne^{ln k} = ke^{2ln k} = k²

✅ פתרון סופי: מינימום (ln 3 , −1)

סעיף ג – תחומי עלייה וירידה

לפי הטבלה מסעיף ב:

✅ פתרון סופי: עולה: x > ln 3
יורדת: x < 0 , 0 < x < ln 3

סעיף ד – נקודות חיתוך וזיהוי הגרף

(1) ציר ה־y: x = 0 לא בתחום ההגדרה – אין חיתוך.

ציר ה־x: פותרים f(x) = 0:

e^2x + 3e^x − 1 = 7

כופלים במכנה ומציבים t = e^x:

e^2x + 3 = 7e^x − 7 ⟸ t² − 7t + 10 = 0 ⟸ (t − 2)(t − 5) = 0

e^x = 2 ⟸ x = ln 2 e^x = 5 ⟸ x = ln 5📐 משוואה מעריכיתe^x = k ⟺ x = ln k

(2) כש־x שואף למינוס אין־סוף, e^x ו־e^2x שואפים ל־0:

f(x) → 0 + 30 − 1 − 7 = −10📐 גבול של ex → −∞ ⟸ e^x → 0

כלומר משמאל הגרף מתקרב לישר y = −10, יורד ושואף למינוס אין־סוף ליד x = 0 (שם המכנה שלילי וקטן). מימין לאסימפטוטה הגרף יורד מפלוס אין־סוף, חותך את ציר ה־x ב־ln 2, יורד למינימום (ln 3 , −1) מתחת לציר, עולה וחותך שוב ב־ln 5 ושואף לפלוס אין־סוף.

רק בגרף I הענף הימני יורד מתחת לציר ה־x ועולה שוב בחדות מעליו, והענף השמאלי כולו מתחת לציר.

✅ פתרון סופי: (1) (ln 2 , 0) , (ln 5 , 0) ; אין חיתוך עם ציר ה־y
(2) גרף I

סעיף ה – נקודות הקיצון של g(x)

g′(x) = f(x), ולכן בודקים איפה f(x) = 0 ואיך הסימן מתחלף. לפי סעיף ד:

x	g′(x) = f(x)	g(x)
x < 0	−	↘ יורדת
0 < x < ln 2	+	↗ עולה
ln 2	0	מקסימום
ln 2 < x < ln 5	−	↘ יורדת
ln 5	0	מינימום
x > ln 5	+	↗ עולה

ב־x = 0 אין נקודת קיצון, כי הפונקציה לא מוגדרת שם.

📐 סוג הקיצוןפלוס ← מינוס = מקסימוםמינוס ← פלוס = מינימום

✅ פתרון סופי: מקסימום ב־x = ln 2 ; מינימום ב־x = ln 5

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	(1) x ≠ 0 ; (2) x = 0
סעיף ב	מינימום (ln 3 , −1)
סעיף ג	עולה x > ln 3 יורדת x < 0 , 0 < x < ln 3
סעיף ד	(1) (ln 2 , 0) , (ln 5 , 0) (2) גרף I
סעיף ה	מקסימום ב־x = ln 2 מינימום ב־x = ln 5

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 15 – קיצון עם מנה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – קיץ 2021 מועד מיוחד (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף מאוחר 2021, שאלה 4 שטח · משיק

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = e^2x + 4e^x.

א. מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).

ב. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ג. הראה כי f(x) = e^x + 4e^−x.

ד. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.

ה. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ו. מצא את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x), על ידי הישר המשיק לגרף הפונקציה f(x) בנקודת הקיצון שלה, ועל ידי ציר ה־y.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום ההגדרה

יש מכנה, ולכן בודקים מתי הוא מתאפס:

e^x ≠ 0📐 תחום הגדרה של שברמכנה ≠ 0

אבל e^x > 0 לכל x, כלומר המכנה אף פעם לא מתאפס.

📐 תכונת הפונקציה המעריכיתe^x > 0 לכל x

✅ פתרון סופי: כל x

סעיף ב – נקודות החיתוך עם הצירים

ציר ה־y: מציבים x = 0:

f(0) = e⁰ + 4e⁰ = 1 + 41 = 5📐 חזקת אפסe⁰ = 1

ציר ה־x: שבר שווה לאפס רק כשהמונה שווה לאפס:

e^2x + 4 = 0 ⟸ e^2x = −4📐 שבר שווה אפסab = 0 ⟺ a = 0

אין פתרון, כי e^2x > 0 תמיד ולא יכול להיות שלילי. לכן אין חיתוך עם ציר ה־x.

✅ פתרון סופי: (0 , 5) ; אין חיתוך עם ציר ה־x

סעיף ג – הוכחת הצורה החדשה

מפרקים את השבר לשני שברים עם אותו מכנה:

f(x) = e^2xe^x + 4e^x📐 פירוק שברa + bc = ac + bc

e^2xe^x = e^{2x − x} = e^x📐 חילוק חזקות עם אותו בסיסe^meⁿ = e^{m − n}

4e^x = 4e^−x📐 מעריך שלילי1eⁿ = e⁻ⁿ

f(x) = e^x + 4e^−x ✓

✅ פתרון סופי: f(x) = e^x + 4e^−x – הוכח

סעיף ד – נקודת הקיצון

גוזרים את הצורה מסעיף ג:

f′(x) = e^x + 4 · (−1) · e^−x = e^x − 4e^−x📐 נגזרת של e בחזקת ax(e^ax)′ = a · e^ax

משווים לאפס:

e^x − 4e^−x = 0 ⟸ e^x = 4e^x

כופלים את שני האגפים ב־e^x (חיובי, מותר):

e^2x = 4 ⟸ 2x = ln 4 ⟸ x = ln 42 = ln 2📐 משוואה מעריכיתe^u = k ⟺ u = ln k12ln 4 = ln 4¹² = ln 2

בודקים את סימן הנגזרת משני הצדדים:

x = 0 : f′(0) = 1 − 4 = −3 < 0 ← יורדת

x = 1 : f′(1) = e − 4e ≈ 2.72 − 1.47 > 0 ← עולה

x	f′(x)	f(x)
x < ln 2	−	↘ יורדת
ln 2	0	מינימום
x > ln 2	+	↗ עולה

יורדת ואז עולה – מינימום.

📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימום

שיעור ה־y: e^{ln 2} = 2 ו־e^{−ln 2} = 12:

f(ln 2) = e^{ln 2} + 4e^{−ln 2} = 2 + 4 · 12 = 2 + 2 = 4📐 e בחזקת lne^{ln k} = k

✅ פתרון סופי: מינימום (ln 2 , 4)

סעיף ה – סקיצה

מסכמים: מוגדרת לכל x, חותכת את ציר ה־y ב־(0 , 5), לא חותכת את ציר ה־x (הגרף כולו מעל הציר), יורדת עד המינימום (ln 2 , 4) ואחר כך עולה.

כש־x שואף לפלוס אין־סוף, e^x שואף לאין־סוף; כש־x שואף למינוס אין־סוף, 4e^−x שואף לאין־סוף. כלומר שני הקצוות עולים למעלה.

✅ פתרון סופי: סקיצה: גרף בצורת קערה, כולו מעל ציר ה־x, מינימום (ln 2 , 4)

סעיף ו – השטח

המשיק בנקודת הקיצון הוא אופקי (שיפוע אפס), ולכן משוואתו y = 4.

m = f′(ln 2) = 0 ⟸ y = 4📐 משיק בנקודת קיצוןm = 0 ⟸ y = y_קיצון

השטח נמצא בין ציר ה־y (x = 0) לבין x = ln 2. שם הגרף נמצא מעל המשיק (המינימום הוא הנקודה הנמוכה ביותר), ולכן:

S = ∫ln 20 (e^x + 4e^−x − 4) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ba (עליון − תחתון) dx

= [e^x − 4e^−x − 4x]₀^{ln 2}📐 אינטגרל של e בחזקת ax∫ e^ax dx = 1a · e^ax + c

מציבים את הגבול העליון:

2 − 4 · 12 − 4ln 2 = −4ln 2📐 e בחזקת lne^{ln k} = k

מציבים את הגבול התחתון:

1 − 4 · 1 − 0 = −3

מחסרים:

S = −4ln 2 − (−3) = 3 − 4ln 2 ≈ 0.23

✅ פתרון סופי: S = 3 − 4ln 2 ≈ 0.23 יחידות שטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	כל x
סעיף ב	(0 , 5) ; אין חיתוך עם ציר ה־x
סעיף ג	הוכחה
סעיף ד	מינימום (ln 2 , 4)
סעיף ה	סקיצה
סעיף ו	3 − 4ln 2 ≈ 0.23

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 20 – אינטגרל ושטחים בפונקציית e

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – חורף מאוחר 2021 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף נבצרים 2021, שאלה 4 שטח

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי פונקציות: f(x) = e^2x , g(x) = e^{3 − x}, המוגדרות לכל x.

א. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של כל אחת מן הפונקציות f(x) ו־g(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ב. מצא את תחומי העלייה והירידה של כל אחת מן הפונקציות f(x) ו־g(x) (אם יש כאלה).

ג. (1) מצא את השיעורים של נקודת החיתוך של f(x) ו־g(x). (2) סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה f(x) וסקיצה של גרף הפונקציה g(x). (3) חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות f(x) ו־g(x) ועל ידי הישר y = 1.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – נקודות חיתוך עם הצירים

ציר ה־y – מציבים x = 0:

f(0) = e⁰ = 1📐 חזקת אפסe⁰ = 1

g(0) = e^{3 − 0} = e³ ≈ 20.09

ציר ה־x – צריך f(x) = 0 או g(x) = 0:

אין פתרון לאף אחת מהמשוואות, כי חזקה של e תמיד חיובית.

📐 תכונת הפונקציה המעריכיתe^u > 0 לכל u

✅ פתרון סופי: f: (0 , 1) ; g: (0 , e³)
אין חיתוך עם ציר ה־x

סעיף ב – תחומי עלייה וירידה

f′(x) = 2e^2x > 0📐 נגזרת של e בחזקת ax(e^ax)′ = a · e^ax

הנגזרת חיובית תמיד – f(x) עולה לכל x.

g′(x) = e^{3 − x} · (3 − x)′ = −e^{3 − x} < 0📐 נגזרת של e בחזקת פונקציה(e^u)′ = e^u · u′

הנגזרת שלילית תמיד – g(x) יורדת לכל x. לשתי הפונקציות אין נקודות קיצון.

✅ פתרון סופי: f(x) עולה לכל x ; g(x) יורדת לכל x

סעיף ג – נקודת החיתוך, סקיצה ושטח

(1) משווים את הפונקציות. הבסיסים שווים, ולכן משווים את המעריכים:

e^2x = e^{3 − x} ⟸ 2x = 3 − x ⟸ 3x = 3 ⟸ x = 1📐 השוואת חזקות עם אותו בסיסe^u = e^w ⟺ u = w

f(1) = e² ≈ 7.39

(2) f עולה ועוברת דרך (0 , 1); g יורדת ועוברת דרך (0 , e³); הן נחתכות ב־(1 , e²). שתיהן מעל ציר ה־x. בסקיצה מסומן גם השטח של סעיף (3):

(3) מוצאים איפה כל גרף פוגש את הישר y = 1:

e^2x = 1 ⟸ 2x = 0 ⟸ x = 0

e^{3 − x} = 1 ⟸ 3 − x = 0 ⟸ x = 3

השטח מעל הישר y = 1: משמאל ל־x = 1 הגבול העליון הוא f, ומימין לו – g. מחלקים לשני חלקים:

S = ∫10 (e^2x − 1) dx + ∫31 (e^{3 − x} − 1) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ba (עליון − תחתון) dx

∫10 (e^2x − 1) dx = [12e^2x − x]₀¹ = (12e² − 1) − (12 − 0) = 12e² − 1.5📐 אינטגרל של e בחזקת ax∫ e^{ax + b} dx = 1a · e^{ax + b} + c

∫31 (e^{3 − x} − 1) dx = [−e^{3 − x} − x]₁³ = (−1 − 3) − (−e² − 1) = e² − 3📐 אינטגרל של e בחזקת ax∫ e^{−x + 3} dx = −e^{3 − x} + c

S = 12e² − 1.5 + e² − 3 = 1.5e² − 4.5 ≈ 6.58

✅ פתרון סופי: (1) (1 , e²) ; (3) S = 1.5e² − 4.5 ≈ 6.58

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	f: (0 , 1) ; g: (0 , e³)
סעיף ב	f עולה תמיד ; g יורדת תמיד
סעיף ג (1)	(1 , e²)
סעיף ג (3)	1.5e² − 4.5 ≈ 6.58

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 20 – אינטגרל ושטחים בפונקציית e

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – חורף נבצרים 2021 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2019 מועד ב׳, שאלה 4 שטח

📄 נוסח השאלה

נתונות הפונקציות f(x) = e^{2x − 1} − 1 ו־g(x) = e^{2 − x} − 1, המוגדרות לכל x.

א. (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (2) הוכח כי הפונקציה f(x) עולה לכל x. (3) מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f(x).

ב. (1) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם הצירים. (2) הוכח כי הפונקציה g(x) יורדת לכל x. (3) מצא את האסימפטוטה האופקית של הפונקציה g(x).

ג. סרטט במערכת צירים אחת סקיצה של גרף הפונקציה f(x) ושל גרף הפונקציה g(x).

ד. מצא את שיעורי נקודת החיתוך של הפונקציות f(x) ו־g(x).

ה. חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות f(x) ו־g(x) ועל ידי ציר ה־x. תוכל להשאיר e בתשובתך או לדייק עד 3 ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – חקירת f(x)

f(0) = e⁻¹ − 1 = 1e − 1 ≈ −0.63 ← ציר ה־y

e^{2x − 1} − 1 = 0 ⟸ e^{2x − 1} = 1 ⟸ 2x − 1 = 0 ⟸ x = 12📐 משוואה מעריכיתe^u = 1 ⟺ u = 0

f′(x) = 2e^{2x − 1} > 0📐 נגזרת של e בחזקת פונקציה(e^u)′ = e^u · u′

(2) חזקה של e תמיד חיובית, ולכן הנגזרת חיובית לכל x – הפונקציה עולה.

(3) כש־x שואף למינוס אין־סוף, e^{2x − 1} שואף ל־0, ולכן f(x) שואפת ל־−1.

📐 גבול של eu → −∞ ⟸ e^u → 0

✅ פתרון סופי: (1) (0 , 1e − 1) , (12 , 0)
(3) y = −1

סעיף ב – חקירת g(x)

g(0) = e² − 1 ≈ 6.39 ← ציר ה־y

e^{2 − x} = 1 ⟸ 2 − x = 0 ⟸ x = 2 ← ציר ה־x

g′(x) = −e^{2 − x} < 0📐 נגזרת של e בחזקת פונקציה(e^u)′ = e^u · u′

(2) הנגזרת שלילית לכל x – הפונקציה יורדת.

(3) כש־x שואף לפלוס אין־סוף, 2 − x שואף למינוס אין־סוף, e^{2 − x} שואף ל־0 ו־g(x) שואפת ל־−1.

✅ פתרון סופי: (1) (0 , e² − 1) , (2 , 0)
(3) y = −1

סעיף ג – סקיצה

שני הגרפים מתקרבים לאסימפטוטה y = −1: f (כחול) משמאל, g (סגול) מימין. השטח של סעיף ה מסומן בתכלת.

✅ פתרון סופי: סקיצה (ראו למעלה)

סעיף ד – נקודת החיתוך

e^{2x − 1} − 1 = e^{2 − x} − 1 ⟸ 2x − 1 = 2 − x ⟸ x = 1📐 השוואת חזקות עם אותו בסיסe^u = e^w ⟺ u = w

f(1) = e¹ − 1 = e − 1 ≈ 1.72

✅ פתרון סופי: (1 , e − 1)

סעיף ה – השטח

השטח מעל ציר ה־x, בין x = 12 ל־x = 2. משמאל ל־x = 1 הגבול העליון הוא f, ומימין – g:

S = ∫112 (e^{2x − 1} − 1) dx + ∫21 (e^{2 − x} − 1) dx📐 שטח בין גרף לציר ה־xS = ∫ba f(x) dx

∫112 … = [12e^{2x − 1} − x]₁₂¹ = (e2 − 1) − (12 − 12) = e2 − 1📐 אינטגרל של e בחזקת ax + b∫ e^{ax + b} dx = 1a · e^{ax + b} + c

∫21 … = [−e^{2 − x} − x]₁² = (−1 − 2) − (−e − 1) = e − 2

S = e2 − 1 + e − 2 = 1.5e − 3 ≈ 1.077

✅ פתרון סופי: S = 1.5e − 3 ≈ 1.077

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	(0 , 1e − 1) , (12 , 0) y = −1
סעיף ב	(0 , e² − 1) , (2 , 0) y = −1
סעיף ג	סקיצה
סעיף ד	(1 , e − 1)
סעיף ה	1.5e − 3 ≈ 1.077

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 20 – אינטגרל ושטחים בפונקציית e

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – קיץ 2019 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2019 מועד א׳, שאלה 4 הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = −3e^x(2e^x − 4).

א. מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)?

ב. מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים.

ג. מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.

ד. נתון: לפונקציה f(x) יש אסימפטוטה אופקית y = 0. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

ה. נתונה הפונקציה g(x) = −12 f(x). (1) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), וקבע את סוגה. (2) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x).

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום ההגדרה

אין שבר, שורש או לוגריתם – הפונקציה מוגדרת לכל x.

✅ פתרון סופי: כל x

סעיף ב – נקודות חיתוך עם הצירים

f(0) = −3 · 1 · (2 − 4) = 6📐 חזקת אפסe⁰ = 1

ציר ה־x: מכפלה שווה לאפס. −3e^x ≠ 0 תמיד, ולכן:

2e^x − 4 = 0 ⟸ e^x = 2 ⟸ x = ln 2📐 משוואה מעריכיתe^x = k ⟺ x = ln k

✅ פתרון סופי: (0 , 6) , (ln 2 , 0)

סעיף ג – נקודת הקיצון

פותחים סוגריים כדי לגזור בקלות:

f(x) = −6e^2x + 12e^x

f′(x) = −12e^2x + 12e^x = 12e^x(1 − e^x)📐 נגזרת של e בחזקת ax(e^ax)′ = a · e^ax

1 − e^x = 0 ⟸ e^x = 1 ⟸ x = 0

x < 0 : e^x < 1 ⟸ f′ > 0 ← עולה

x > 0 : e^x > 1 ⟸ f′ < 0 ← יורדת

f(0) = 6📐 סוג הקיצוןf′: פלוס ← מינוס = מקסימום

✅ פתרון סופי: מקסימום (0 , 6)

סעיף ד – סקיצה

משמאל הגרף מתקרב לאסימפטוטה y = 0 מלמעלה, עולה עד המקסימום (0 , 6), יורד, חותך את ציר ה־x ב־(ln 2 , 0) וממשיך לרדת למינוס אין־סוף.

✅ פתרון סופי: סקיצה (ראו למעלה)

סעיף ה – הפונקציה g(x)

כל ערך של f מוכפל ב־−12: שיעור ה־x של הקיצון לא משתנה, שיעור ה־y מוכפל ב־−12, ובגלל המינוס המקסימום הופך למינימום.

📐 מתיחה ושיקוףk · f(x) עם k < 0 – שיקוף ומתיחה

g(0) = −12 · 6 = −3

(2) הגרף של g הפוך: מתקרב ל־y = 0 מלמטה, יורד עד המינימום (0 , −3), עולה, חותך את הציר באותה נקודה (ln 2 , 0) וממשיך לעלות.

✅ פתרון סופי: (1) מינימום (0 , −3)

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	כל x
סעיף ב	(0 , 6) , (ln 2 , 0)
סעיף ג	מקסימום (0 , 6)
סעיף ד	סקיצה
סעיף ה	מינימום (0 , −3)

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 12 – מציאת נקודות קיצון

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – קיץ 2019 מועד א׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – חורף 2018, שאלה 4 הזזות

📄 נוסח השאלה

נתונה הפונקציה f(x) = 4^2x − 4^x − 2.

א. (1) מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)? (2) מצא את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים. (3) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.

בציור שלפניך סרטוט של גרף הפונקציה g(x) = −2f(x). לפונקציה g(x) יש אסימפטוטה שמשוואתה y = 4.

ב. (1) מהם שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)? (2) מהי משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה f(x)? נמק. (3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – תחום, חיתוך וקיצון

(1) חזקות של 4 מוגדרות לכל x.

f(0) = 1 − 1 − 2 = −2 ← ציר ה־y

ציר ה־x: 4^2x = (4^x)², ולכן מציבים t = 4^x:

t² − t − 2 = 0 ⟸ (t − 2)(t + 1) = 0📐 פירוק טרינוםt² + bt + c = (t − t₁)(t − t₂)

t = −1 ⟸ 4^x = −1 – אין פתרון.

t = 2 ⟸ 4^x = 2 = 4¹² ⟸ x = 12📐 השוואת חזקותa^u = a^w ⟺ u = w

(3) הנגזרת:

f′(x) = 2ln 4 · 4^2x − ln 4 · 4^x = ln 4 · 4^x(2 · 4^x − 1)📐 נגזרת של חזקה עם בסיס a(a^u)′ = a^u · ln a · u′

2 · 4^x − 1 = 0 ⟸ 4^x = 12 = 4⁻¹² ⟸ x = −12📐 השוואת חזקותa^u = a^w ⟺ u = w

ln 4 · 4^x > 0, ולכן הסימן הוא סימן 2 · 4^x − 1: שלילי כש־x < −12 (4^x < 12) וחיובי כש־x > −12.

f(−12) = 4⁻¹ − 4⁻¹² − 2 = 14 − 12 − 2 = −94📐 סוג הקיצוןf′: מינוס ← פלוס = מינימום

✅ פתרון סופי: (1) כל x
(2) (0 , −2) , (12 , 0)
(3) מינימום (−12 , −94)

סעיף ב – הפונקציה g(x) וסקיצה של f(x)

(1) g(x) = −2f(x): שיעור ה־x של הקיצון נשאר, שיעור ה־y מוכפל ב־−2, והמינימום הופך למקסימום (כמו שרואים בציור).

📐 מתיחה ושיקוףk · f(x) עם k < 0 – שיקוף ומתיחה

g(−12) = −2 · (−94) = 92 = 4.5

(2) f(x) = −12 g(x). כש־g מתקרבת ל־4, f מתקרבת ל־−12 · 4 = −2.

בדיקה: כש־x שואף למינוס אין־סוף, 4^2x ו־4^x שואפים ל־0, ו־f(x) שואפת ל־−2.

(3) הגרף מתקרב משמאל לישר y = −2 מלמטה, יורד למינימום (−12 , −94), עולה דרך (0 , −2), חותך את ציר ה־x ב־(12 , 0) ועולה בחדות.

✅ פתרון סופי: (1) מקסימום (−12 , 92)
(2) y = −2

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	כל x ; (0 , −2) , (12 , 0) מינימום (−12 , −94)
סעיף ב	מקסימום (−12 , 92) y = −2

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – משוואות מעריכיות

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – חורף 2018 (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📅 שאלון 482 – קיץ 2016 מועד ב׳, שאלה 4 שטח

📄 נוסח השאלה

נתונות שתי פונקציות: f(x) = e^x , g(x) = e^{3 − x}.

א. מצא את נקודות החיתוך של כל אחת מן הפונקציות עם הצירים (אם יש כאלה).

ב. מצא את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של כל אחת מן הפונקציות (אם יש כאלה).

ג. (1) מצא את השיעורים של נקודת החיתוך של שתי הפונקציות. (2) סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של גרף הפונקציה f(x) וסקיצה של גרף הפונקציה g(x). (3) חשב את השטח המוגבל על ידי הגרפים של שתי הפונקציות ועל ידי הישר y = e³.

✏️ פתרון שאלה 4

סעיף א – נקודות חיתוך עם הצירים

f(0) = e⁰ = 1 g(0) = e³ ≈ 20.09📐 חזקת אפסe⁰ = 1

ציר ה־x: חזקה של e תמיד חיובית – אין חיתוך לאף אחת מהן.

📐 תכונת הפונקציה המעריכיתe^u > 0 לכל u

✅ פתרון סופי: f: (0 , 1) ; g: (0 , e³)

סעיף ב – תחומי עלייה וירידה

f′(x) = e^x > 0 g′(x) = −e^{3 − x} < 0📐 נגזרת של e בחזקת פונקציה(e^u)′ = e^u · u′

f עולה לכל x, g יורדת לכל x.

✅ פתרון סופי: f עולה תמיד ; g יורדת תמיד

סעיף ג – נקודת החיתוך, סקיצה ושטח

e^x = e^{3 − x} ⟸ x = 3 − x ⟸ x = 1.5📐 השוואת חזקות עם אותו בסיסe^u = e^w ⟺ u = w

f(1.5) = e^1.5 ≈ 4.48

(2) f (כחול) עולה דרך (0 , 1), g (סגול) יורדת דרך (0 , e³). הן נחתכות ב־(1.5 , e^1.5). השטח של סעיף (3) מסומן בתכלת:

(3) הישר y = e³ פוגש את g ב־x = 0 (כי 3 − x = 3) ואת f ב־x = 3. השטח מתחת לישר ומעל הגרפים: משמאל ל־1.5 הגבול התחתון הוא g, ומימין – f:

S = ∫1.50 (e³ − e^{3 − x}) dx + ∫31.5 (e³ − e^x) dx📐 שטח בין שני גרפיםS = ∫ba (עליון − תחתון) dx

∫1.50 … = [e³x + e^{3 − x}]₀^1.5 = (1.5e³ + e^1.5) − (0 + e³) = 0.5e³ + e^1.5📐 אינטגרל של e בחזקת ax + b∫ e^{ax + b} dx = 1a · e^{ax + b} + c

∫31.5 … = [e³x − e^x]_1.5³ = (3e³ − e³) − (1.5e³ − e^1.5) = 0.5e³ + e^1.5

S = e³ + 2e^1.5 ≈ 29.05

✅ פתרון סופי: (1) (1.5 , e^1.5) ; (3) S = e³ + 2e^1.5 ≈ 29.05

📌 סיכום התשובות – שאלה 4

סעיף א	f: (0 , 1) ; g: (0 , e³)
סעיף ב	f עולה ; g יורדת
סעיף ג (1)	(1.5 , e^1.5)
סעיף ג (3)	e³ + 2e^1.5 ≈ 29.05

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 20 – אינטגרל ושטחים בפונקציית e

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת פונקציית e 472

📄 השאלון המלא – קיץ 2016 מועד ב׳ (משרד החינוך)⬆️ חזרה לכפתורים

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 472 לפי נושא

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.