בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · שאלות לפי נושא

שאלות בגרות 572 לפי נושא – מספרים מרוכבים

כל השאלות בנושא מספרים מרוכבים מבחינות הבגרות בשאלון 572, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. הצגה אלגברית וקוטבית, משוואות, שורשים ומקום גאומטרי במישור. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.

⬅️ חזרה לקורס: מספרים מרוכבים – 572

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 572 לפי נושא

17 שאלות פתורות: 17 מבחינות 572 של 2022–2026, מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.

שאלון 572 – כל המועדים

קיץ 2026 ב קיץ 2026 א חורף 2026 קיץ 2025 ב קיץ 2025 א חורף 2025 קיץ 2024 ב קיץ 2024 א חורף 2024 קיץ 2023 מיוחד קיץ 2023 ב קיץ 2023 א חורף 2023 קיץ 2022 ב קיץ 2022 א חורף 2022 נבצרים חורף 2022

📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

נתונים שלושה מספרים מרוכבים (כל הזוויות במעלות; את הזווית מסמנים כאן באות t):

z₁ = r(cost + i sint)

z₂ = 1r (cos(t + 90) + i sin(t + 90))

w = z₁ · z₂ + z₁z₂

0 < t < 90 (הזווית בין 0 ל־90 מעלות), r > 0.

הנקודה A מייצגת את המספר w במישור גאוס. נתון כי שיעור ה־x של הנקודה A הוא −1.

א. מצאו את הערך של t.

נתון כי הנקודה A נמצאת על הישר y = −1.

ב. מצאו את הערך של r.

נתונה המשוואה z⁴ = 128 · (z₁ · w)². z הוא משתנה מרוכב.

ג. מצאו את ארבעת הפתרונות של המשוואה.

הנקודה O היא ראשית הצירים. כל אחת מן הנקודות B ו־C מייצגת פתרון אחד מבין הפתרונות שמצאתם בסעיף ג. הנקודה B נמצאת ברביע הראשון, והנקודה C נמצאת ברביע השני.

המקום הגאומטרי של כל הנקודות z = x + iy במישור גאוס המקיימות |z| = b חותך את החלק החיובי של ציר ה־y בנקודה K. b הוא מספר ממשי חיובי.

נתון כי שטח המרובע CKBO הוא 7√2.

ד. מצאו את הערך של b.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הערך של t

נשתמש בסימון:

📐 סימוןcis(a) = cos a + i sin a

z₁ = r cis(t) , z₂

= 1r cis(t + 90)

המכפלה:

z₁ · z₂📐 כפל בהצגה קוטביתr₁cis(a) · r₂cis(b)= r₁r₂ cis(a + b)

= r · 1r cis(t + t + 90)

z₁ · z₂ = cis(2t + 90)

המנה:

z₁z₂ = r1r cis(t − (t + 90))📐 חילוק בהצגה קוטביתr₁cis(a)r₂cis(b) = r₁r₂ cis(a − b)

z₁z₂ = r² cis(−90)

z₁z₂

= r²(cos(−90) + i sin(−90))

= r²(0 − i) = −r²i

המספר w:

= cos(2t + 90)

+ i sin(2t + 90) − r²i

= cos(2t + 90)

+ i[sin(2t + 90) − r²]

החלק הממשי של w הוא שיעור ה־x של A, ונתון שהוא −1:📐 מספר מרוכב במישור גאוסz = x + iy ⟸ (x , y)

cos(2t + 90) = −1

מכיוון ש־0 < t < 90, מתקיים 90 < 2t + 90 < 270. בתחום הזה הקוסינוס שווה ל־−1 רק בזווית 180 מעלות:

2t + 90 = 180

2t = 90

t = 45

✅ פתרון סופי: t = 45 מעלות

סעיף ב – הערך של r

הנקודה A על הישר y = −1, כלומר החלק המדומה של w הוא −1. נציב t = 45:📐 מספר מרוכב במישור גאוסz = x + iy ⟸ (x , y)

sin(2 · 45 + 90) − r²

= −1

sin 180 − r² = −1

0 − r² = −1

r² = 1

נתון r > 0, ולכן:

r = 1

כלומר w = −1 − i, והנקודה היא A(−1 , −1).

✅ פתרון סופי: r = 1

סעיף ג – ארבעת הפתרונות

עם t = 45 ו־r = 1: z₁ = cis(45), w = −1 − i.

נעביר את w להצגה קוטבית. w ברביע השלישי:

|w| = √(−1)² + (−1)² = √2📐 גודל וזווית של מספר מרוכב|z| = √x² + y²tan = yx (טנגנס הזווית)

טנגנס הזווית:

tan = −1−1 = 1

ברביע השלישי: הזווית היא 180 + 45 = 225 מעלות.

w = √2 cis(225)

המכפלה z₁ · w:

z₁ · w📐 כפל בהצגה קוטביתr₁cis(a) · r₂cis(b)= r₁r₂ cis(a + b)

= 1 · √2 cis(45 + 225)

= √2 cis(270)

בריבוע:

(z₁ · w)²📐 משפט דה־מואבר[r cis(a)]ⁿ = rⁿ cis(na)

= (√2)² cis(2 · 270)

= 2 cis(540)

540 − 360 = 180

⟸ (z₁ · w)²

= 2 cis(180)

אגף ימין של המשוואה:

128 · 2 cis(180)

= 256 cis(180)

z⁴ = 256 cis(180)

הוצאת שורש רביעי. ⁴√256 = 4:

z_k = 4 cis(180 + 360k4)📐 שורשים מסדר nzⁿ = R cis(a)z_k = ⁿ√R cis(a + 360kn)k = 0 , 1 , … , n − 1

= 4 cis(45 + 90k)

k = 0 : z₀ = 4 cis(45)

= 4(√22 + √22i)

= 2√2 + 2√2 i

k = 1 : z₁ = 4 cis(135)

= 4(−√22 + √22i)

= −2√2 + 2√2 i

k = 2 : z₂ = 4 cis(225)

= −2√2 − 2√2 i

k = 3 : z₃ = 4 cis(315)

= 2√2 − 2√2 i

בדיקה: (2√2 + 2√2 i)² = 8 + 16i − 8 = 16i , (16i)² = −256 , ו־256 cis(180) = −256 ✓

✅ פתרון סופי: 4cis(45) , 4cis(135) , 4cis(225) , 4cis(315) כלומר ±2√2 ± 2√2 i

סעיף ד – הערך של b

הפתרון ברביע הראשון: B(2√2 , 2√2); הפתרון ברביע השני: C(−2√2 , 2√2).

המקום הגאומטרי |z| = b הוא מעגל שמרכזו בראשית O ורדיוסו b. הוא חותך את החלק החיובי של ציר ה־y בנקודה:

K(0 , b)

האלכסון OK (על ציר ה־y) מחלק את המרובע CKBO לשני משולשים: OKB ו־OKC. (בסרטוט, שנעשה עם הערך שיתקבל, רואים שהמרובע קמור.)

משולש OKB: הצלע OK = b מונחת על ציר ה־y, והגובה אליה הוא המרחק של B מציר ה־y, כלומר 2√2:

S_OKB = b · 2√22 = √2 b📐 שטח משולשS = a · h_a2

משולש OKC: אותה צלע OK = b, והמרחק של C מציר ה־y הוא גם 2√2:

S_OKC = b · 2√22 = √2 b📐 שטח משולשS = a · h_a2

S_CKBO = √2 b + √2 b

= 2√2 b

נתון שהשטח 7√2:

2√2 b = 7√2

b = 72 = 3.5

בדיקה: b = 3.5 > 2√2 ≈ 2.83, ולכן K מעל הישר BC והמרובע אכן קמור.

✅ פתרון סופי: b = 3.5

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	t = 45 מעלות
סעיף ב	r = 1
סעיף ג	±2√2 ± 2√2 i (כלומר 4cis(45 + 90k))
סעיף ד	b = 3.5

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

נתונה המשוואה z³ = −64. z הוא משתנה מרוכב. (כל הזוויות בשאלה במעלות.)

א. מצאו את כל פתרונות המשוואה.

נתונים שני מספרים מרוכבים: w₁ = r(cos a + i · sin a) , w₂ = 2r(cos 4a + i · sin 4a), כאשר 50 < a < 130.

שתי הנקודות המיוצגות על ידי המספרים w₁ ו־w₂ נמצאות על ישר אחד, שעובר דרך ראשית הצירים O במישור גאוס.

ב. מצאו את שני הערכים האפשריים של a.

נתון כי w₁ הוא אחד מן הפתרונות שמצאתם בסעיף א.

ג. מצאו את הערך של a ואת הערך של r.

נתונים שני מספרים מרוכבים נוספים: w₃ = 4 · i , w₄ = 8i.

ABCD הוא מרובע קמור. הקודקוד A מיוצג על ידי w₁, הקודקוד B על ידי w₃, הקודקוד C על ידי w₂, והקודקוד D על ידי w₄.

ד. הראו כי שטח המרובע ABCD הוא 36.

u הוא מספר מרוכב. הנקודה E, שמיוצגת על ידי המספר u, נמצאת ברביע הראשון על חוצה הזווית BOA. נתון כי |u| > 1 , u + 1u = 5.2 · (cos 285 + i · sin 285).

ה. מצאו את המספר המרוכב u.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – פתרונות המשוואה z³ = −64

נכתוב את −64 בהצגה קוטבית (טריגונומטרית). המספר נמצא על החלק השלילי של הציר הממשי: המרחק מהראשית 64 והזווית 180 מעלות.

−64 = 64 cis 180📐 נוסחה: הצגה קוטביתr cis a = r(cos a + i · sin a)

נשתמש בנוסחת השורשים מסדר n:

z = ∛64 cis 180 + 360k3📐 נוסחה: שורשים מסדר nzⁿ = R cis b ⟸ z = ⁿ√R cis b + 360knk = 0 , 1 , … , n − 1

z = 4 cis (60 + 120k) , k = 0 , 1 , 2

k = 0 : z₁ = 4 cis 60

k = 1 : z₂ = 4 cis 180 = −4

k = 2 : z₃ = 4 cis 300

✅ פתרון סופי: 4 cis 60 , 4 cis 180 , 4 cis 300

סעיף ב – שני הערכים האפשריים של a

בהצגה הקוטבית: w₁ = r cis a, w₂ = 2r cis 4a.

שתי נקודות נמצאות על ישר אחד שעובר דרך הראשית O אם הזוויות שלהן שוות, או שהן נבדלות ב־180 מעלות (או בכפולה של 180).📐 משפט: ישר דרך הראשית במישור גאוסb₂ = b₁ + 180k

4a = a + 180k

3a = 180k

a = 60k

נבדוק אילו ערכים בתחום 50 < a < 130:

k = 1 : a = 60 ✓

k = 2 : a = 120 ✓

k = 3 : a = 180 ✗

(מחוץ לתחום)

✅ פתרון סופי: a = 60 מעלות או a = 120 מעלות

סעיף ג – הערכים של a ושל r

w₁ הוא אחד הפתרונות מסעיף א, ולכן הזווית שלו היא 60, 180 או 300, והגודל שלו 4.

מסעיף ב: a = 60 או a = 120. הערך המשותף הוא a = 60.

w₁ = 4 cis 60

a = 60 , r = 4

✅ פתרון סופי: a = 60 מעלות, r = 4

סעיף ד – שטח המרובע ABCD

נכתוב את ארבעת הקודקודים בהצגה קוטבית:

A : w₁ = 4 cis 60

C : w₂ = 2 · 4 cis (4 · 60) = 8 cis 240

B : w₃ = 4i = 4 cis 90

את w₄ נחשב בכפל בצמוד של המכנה:

w₄ = 8i = 8 · (−i)i · (−i) = −8i1 = −8i📐 נוסחה: כפל בצמודi · (−i) = −i² = 1

D : w₄ = −8i = 8 cis 270

המרובע ABCD במישור גאוס (בקנה מידה). האלכסונים AC ו־BD (סגול מקווקו) נחתכים בראשית O; הקו הירוק הוא חוצה הזווית BOA מסעיף ה

הנקודות A ו־C נבדלות ב־180 מעלות (60 ו־240), ולכן O על האלכסון AC. גם B ו־D נבדלות ב־180 מעלות (90 ו־270), ולכן O על BD. מכאן ש־O היא נקודת מפגש האלכסונים, והמרובע מתחלק לארבעה משולשים: AOB , BOC , COD , DOA.

בכל משולש ידועות שתי צלעות (המרחקים מ־O) והזווית ביניהן (הפרש הזוויות):

S_AOB = 12 · 4 · 4 · sin(90 − 60) = 8 · sin 30 = 8 · 12 = 4📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C

S_BOC = 12 · 4 · 8 · sin(240 − 90) = 16 · sin 150 = 16 · 12 = 8📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C

S_COD = 12 · 8 · 8 · sin(270 − 240) = 32 · sin 30 = 32 · 12 = 16📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C

S_DOA = 12 · 8 · 4 · sin(360 + 60 − 270) = 16 · sin 150 = 16 · 12 = 8📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C

S_ABCD = 4 + 8 + 16 + 8 = 36 ✓

✅ פתרון סופי: S = 36 – כפי שנדרש להראות

סעיף ה – המספר המרוכב u

B בזווית 90 ו־A בזווית 60, ולכן הזווית BOA היא 30 מעלות, וחוצה הזווית נמצא בזווית:

60 + 902 = 75

נסמן |u| = R, כאשר R > 1:

u = R cis 75

u = R cis (−75) = R cis 285📐 נוסחה: המספר הצמודr cis b = r cis (−b)

1u = 1R cis (−75) = 1R cis 285📐 נוסחה: מנה בהצגה קוטביתr₁ cis b₁r₂ cis b₂ = r₁r₂ cis (b₁ − b₂)

לשני המספרים אותה זווית (285), ולכן מחברים את הגדלים:

u + 1u = (R + 1R) cis 285

נשווה לנתון:

R + 1R = 5.2

R² + 1 = 5.2R

R² − 5.2R + 1 = 0

R = 5.2 ± √5.2² − 4 · 1 · 12📐 נוסחה: פתרון משוואה ריבועיתx = −b ± √b² − 4ac2a

R = 5.2 ± √27.04 − 42 = 5.2 ± √23.042 = 5.2 ± 4.82

R = 102 = 5

או

R = 0.42 = 0.2

נתון |u| > 1, ולכן R = 5.

u = 5 cis 75

✅ פתרון סופי: u = 5 cis 75 = 5(cos 75 + i · sin 75)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	4 cis 60 , 4 cis 180 , 4 cis 300
סעיף ב	a = 60 או a = 120
סעיף ג	a = 60 , r = 4
סעיף ד	36 (הוכחה)
סעיף ה	u = 5 cis 75

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2026, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

א. הראו כי המקום הגאומטרי של כל הנקודות z = x + iy במישור גאוס המקיימות |z − 2i| = z − z2i + 2 הוא פרבולה, ומצאו את משוואתה.

נתון מספר מרוכב w = r(cos t + i sin t), r > 0, 0 < t < 90 (מעלות).

נתון מצולע קמור I, שקודקודיו מיוצגים על ידי פתרונות המשוואה z⁴ = 1r⁴ · (cos(4t) + i sin(4t)). z הוא משתנה מרוכב.

ב. הביעו באמצעות r ו־t הצגה קוטבית של כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע I.

נתון מצולע II, שקודקודיו מיוצגים על ידי המספרים w , −w , 1w , −1w.

ג. הביעו באמצעות r ו־t הצגה קוטבית של כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע II.

נתון כי מצולע II הוא מעוין.

ד. מצאו את הערך של t.

נתון כי הנקודה המייצגת את w נמצאת על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א.

ה. מצאו את היחס בין שטח מצולע II ובין שטח מצולע I.

(בשאלון הזווית של w מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה t.)

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – המקום הגאומטרי הוא פרבולה

נציב z = x + iy, z = x − iy:

z − z

= (x + iy) − (x − iy)

= 2iy

z − z2i = 2iy2i = y

z − 2i = x + (y − 2)i

|z − 2i| = √x² + (y − 2)²📐 ערך מוחלט של מספר מרוכב|x + iy| = √x² + y²

המשוואה הופכת ל:

√x² + (y − 2)² = y + 2

(אגף שמאל אינו שלילי, ולכן צריך y + 2 ≥ 0.) נעלה בריבוע:

x² + (y − 2)² = (y + 2)²

x² + y² − 4y + 4📐 נוסחאות כפל מקוצר(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

= y² + 4y + 4

x² = 8y

y = x²8

בכל נקודה של הגרף y ≥ 0, ולכן התנאי y + 2 ≥ 0 מתקיים תמיד. זו פרבולה שקודקודה בראשית.

✅ פתרון סופי: פרבולה: y = x²8

סעיף ב – קודקודי מצולע I

z⁴ = 1r⁴ · cis(4t)📐 שורשים מסדר n (דה־מואבר)zⁿ = R · cis(a)⇒ z = ⁿ√R · cis(a + 360kn)k = 0, 1, …, n − 1

z = ⁴√1r⁴ · cis(4t + 360k4)

z = 1r · cis(t + 90k)

k = 0 , 1 , 2 , 3

z₁ = 1rcis(t)

z₂ = 1rcis(t + 90)

z₃ = 1rcis(t + 180)

z₄ = 1rcis(t + 270)

(ארבעה שורשים על מעגל ברדיוס 1r בהפרשים של 90 מעלות – מצולע I הוא ריבוע.)

✅ פתרון סופי: 1rcis(t + 90k) , k = 0, 1, 2, 3

סעיף ג – קודקודי מצולע II

w = r · cis(t)

−w: כפל ב־−1 = cis(180) מוסיף 180 מעלות לזווית:📐 כפל בהצגה קוטביתr₁cis(a) · r₂cis(b)= r₁r₂ · cis(a + b)

−w = r · cis(t + 180)

1w = 1 · cis(0)r · cis(t)📐 חילוק בהצגה קוטביתr₁cis(a)r₂cis(b) = r₁r₂ · cis(a − b)

= 1r · cis(−t)

−1w = 1r · cis(180 − t)

✅ פתרון סופי: r cis(t) , r cis(t + 180) , 1rcis(−t) , 1rcis(180 − t)

סעיף ד – מציאת t

הנקודות w ו־−w סימטריות סביב הראשית, וכך גם 1w ו־−1w. לכן האלכסונים של מצולע II הם הקטעים בין w ל־−w ובין 1w ל־−1w, ושניהם חוצים זה את זה בראשית – זו מקבילית.

מקבילית היא מעוין כאשר האלכסונים מאונכים זה לזה.📐 מעויןמקבילית שבה האלכסונים מאונכים

אלכסון אחד הוא בכיוון של הזווית t (הקטע דרך w), והשני בכיוון של −t (דרך 1w). הזווית ביניהם:

t − (−t) = 2t

2t = 90

t = 45

(0 < 45 < 90 – מתאים.)

✅ פתרון סופי: t = 45 מעלות

סעיף ה – היחס בין השטחים

לפי סעיף ד:

w = r · cis(45)📐 הצגה קוטביתr · cis(a)= r cos a + i · r sin a

= r(cos 45 + i sin 45)

= r√2 + r√2i

הנקודה (r√2 , r√2) על הפרבולה y = x²8:

r√2 = 18 · r²2

r√2 = r²16

נחלק ב־r > 0:

r = 16√2 = 8√2

r² = 128

שטח מצולע II (מעוין). האלכסונים: |w − (−w)| = 2r ו־|1w − (−1w)| = 2r:📐 שטח מעויןS = d₁ · d₂2

S_II = 2r · 2r2 = 42 = 2

שטח מצולע I (ריבוע שקודקודיו על מעגל ברדיוס 1r): האלכסונים שווים, 2r כל אחד:📐 שטח ריבוע לפי אלכסוןS = d²2

S_I = (2r)²2 = 2r² = 2128

= 164

(בהגדלה: הקודקודים 1w ו־−1w של מצולע II הם גם קודקודים של הריבוע I.)

S_IIS_I = 2164 = 128

✅ פתרון סופי: שטח מצולע II גדול פי 128 משטח מצולע I (היחס 128 : 1)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	y = x²8
סעיף ב	1rcis(t + 90k), k = 0..3
סעיף ג	r cis(t), r cis(t + 180) 1rcis(−t), 1rcis(180 − t)
סעיף ד	t = 45 מעלות
סעיף ה	128

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

נתונים שני מספרים מרוכבים z₁ ו־z₂ שמכפלתם היא −19 + 4i. z₁ = 2 + 3i.

א. מצאו את המספר z₂.

נתונה המשוואה w³ = z₁ + z₂, w הוא משתנה מרוכב.

ב. מצאו את פתרונות המשוואה.

נתון מספר מרוכב z = 2(cos t + i · sin t), 0 ≤ t < 360.

נתון כי המספרים z ו־z³ נמצאים על ישר אחד שעובר בראשית הצירים.

ג. מצאו את ארבע האפשרויות של המספר z.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב וארבעת המספרים שמצאתם בסעיף ג, מייצגים את כל הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס.

ד. (1) סרטטו את המצולע במערכת צירים.

(2) חשבו את השטח של המצולע.

נתון מספר מרוכב 3(cos a + i sin a), 0 ≤ a < 360.

מכפילים כל אחד מן המספרים המייצגים את קודקודי המצולע במספר מרוכב זה, כך שנוצר מצולע חדש.

ה. פי כמה גדול שטח המצולע החדש משטח המצולע שמצאתם בסעיף ד.

(בשאלון הזוויות מסומנות באותיות יווניות; כאן הן מסומנות t ו־a. הזוויות במעלות.)

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – המספר z2

z₂ = −19 + 4i2 + 3i

z₂ = (−19 + 4i)(2 − 3i)2² + 3²📐 חילוק מספרים מרוכביםa + bic + di = (a + bi)(c − di)c² + d²

(−19 + 4i)(2 − 3i)

= −38 + 57i + 8i − 12i²

= −38 + 65i + 12 = −26 + 65i

z₂ = −26 + 65i13 = −2 + 5i

בדיקה: (2 + 3i)(−2 + 5i)

= −4 + 10i − 6i + 15i²

= −19 + 4i ✓

✅ פתרון סופי: z₂ = −2 + 5i

סעיף ב – פתרון המשוואה

z₁ + z₂ = (2 − 2) + (3 + 5)i

= 8i

8i נמצא על החלק החיובי של הציר המדומה: גודל 8, זווית 90:

w³ = 8 cis 90📐 סימוןcis(a) = cos a + i sin a

w_k = 2 cis(90 + 360k3)📐 פתרון משוואה מהצורה wⁿ = r cis aw_k = r^1/n cis(a + 360kn)k = 0 , 1 , … , n − 1

= 2 cis(30 + 120k)

k = 0: w = 2 cis 30 = √3 + i

k = 1: w = 2 cis 150

= −√3 + i

k = 2: w = 2 cis 270 = −2i

✅ פתרון סופי: √3 + i , −√3 + i , −2i

סעיף ג – ארבע האפשרויות של z

z³ = 2³ cis(3t) = 8 cis(3t)📐 משפט דה־מואבר[r cis(a)]ⁿ = rⁿ cis(na)

שני מספרים נמצאים על ישר אחד דרך הראשית כאשר הזוויות שלהם שוות או נבדלות ב־180 (באותו כיוון או בכיוון ההפוך):

3t = t + 180m

2t = 180m

t = 90m

בתחום 0 ≤ t < 360: t = 0 , 90 , 180 , 270:

z = 2 cis 0 = 2

z = 2 cis 90 = 2i

z = 2 cis 180 = −2

z = 2 cis 270 = −2i

✅ פתרון סופי: 2 , 2i , −2 , −2i

סעיף ד (1) – סרטוט המצולע

כל המספרים מסעיפים ב ו־ג הם בגודל 2, כלומר על מעגל שרדיוסו 2. המספר −2i מופיע בשני הסעיפים, ולכן יש 6 קודקודים שונים, בזוויות:

0 , 30 , 90 , 150 , 180 , 270

המצולע הוא משושה (בקנה מידה):

✅ פתרון סופי: משושה – ראו סרטוט

סעיף ד (2) – שטח המצולע

נחלק את המשושה ל־6 משולשים שקודקודם בראשית. בכל משולש שתי צלעות הן רדיוסים (2), והזווית שביניהן היא ההפרש בין הזוויות של הקודקודים:

30 , 60 , 60 , 30 , 90 , 90

S = 12 · 2 · 2 · (sin30 + sin60📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢∢ – הזווית שבין a ו־b

+ sin60 + sin30 + sin90 + sin90)

= 2 · (12 + √32 + √32 + 12 + 1 + 1)

S = 2 · (3 + √3)

S = 6 + 2√3 ≈ 9.46

✅ פתרון סופי: S = 6 + 2√3 ≈ 9.46

סעיף ה – פי כמה גדל השטח

r cis(x) · 3 cis(a)📐 כפל בהצגה קוטביתr₁cis(a) · r₂cis(b)= r₁r₂ cis(a + b)

= 3r cis(x + a)

כל קודקוד מסתובב באותה זווית a סביב הראשית (סיבוב לא משנה שטח), והמרחק שלו מן הראשית גדל פי 3. כלומר המצולע החדש דומה למצולע המקורי ביחס 3.

יחס השטחים של מצולעים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון:

3² = 9📐 מצולעים דומיםיחס השטחים = (יחס הדמיון)²

✅ פתרון סופי: פי 9

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	−2 + 5i
סעיף ב	√3 + i , −√3 + i , −2i
סעיף ג	2 , 2i , −2 , −2i
סעיף ד (2)	6 + 2√3 ≈ 9.46
סעיף ה	פי 9

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

א. הביעו באמצעות x ו־y את משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות z = x + iy במישור גאוס המקיימות |z| = |z − (2 + 2i)|.

z הוא משתנה מרוכב. נתונה המשוואה z² − z(2 + 2i) + 4i = 0.

A ו־B הן נקודות המיוצגות על ידי שני פתרונות המשוואה.

ב. הראו כי הנקודות A ו־B נמצאות על המקום הגאומטרי שמצאתם בסעיף א.

הנקודות C ו־D נמצאות על הצירים כך ש־ABCD הוא ריבוע.

סובבו את הריבוע ABCD סביב ראשית הצירים נגד כיוון השעון בזווית a (0 < a < 90).

כל שמונה הנקודות (הנקודות A , B , C , D וארבע הנקודות שהתקבלו אחרי הסיבוב) מיוצגות על ידי פתרונות של המשוואה zⁿ = b, שבה n הוא מספר טבעי ו־b הוא מספר ממשי.

ג. (1) מצאו את הערך של b ואת הערך של a בעבור n = 8.

(2) מצאו ערך אפשרי של n בעבור a = 15, ומצאו את הערך של b המתאים לו.

(בשאלון זווית הסיבוב מסומנת באות יוונית; כאן היא מסומנת a. הזוויות במעלות.)

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – המקום הגאומטרי

📐 אנך אמצעי (מקום גאומטרי)|z − z₁| = |z − z₂|– האנך האמצעי לקטע שבין שתי הנקודות

√x² + y²📐 גודל מספר מרוכב|x + iy| = √x² + y²

= √(x − 2)² + (y − 2)²

x² + y²

= x² − 4x + 4 + y² − 4y + 4

0 = −4x − 4y + 8

x + y = 2

✅ פתרון סופי: y = 2 − x

סעיף ב – A ו־B על המקום הגאומטרי

נפתור בנוסחת השורשים. הדיסקרימיננטה:

(2 + 2i)² − 4 · 4i

= 4 + 8i − 4 − 16i = −8i

שורש של −8i: −8i = 8 cis 270, ולכן √8 cis 135 = 2√2(−√22 + √22i) = −2 + 2i.

z = 2 + 2i ± (−2 + 2i)2📐 נוסחת השורשיםz = −b ± √b² − 4ac2a

z = 4i2 = 2i , z = 42 = 2

בדיקה: פירוק:

(z − 2)(z − 2i)

= z² − (2 + 2i)z + 4i ✓

A(2 , 0): 2 + 0 = 2 ✓. B(0 , 2): 0 + 2 = 2 ✓. שתי הנקודות על הישר x + y = 2.

✅ פתרון סופי: z = 2 , z = 2i – על הישר

סעיף ג (1) – n = 8

הריבוע ABCD: A = 2 , B = 2i , C = −2 , D = −2i, כלומר 2 cis(90k). אחרי הסיבוב: 2 cis(a + 90k).

פתרונות z⁸ = b הם 8 נקודות על מעגל, במרווחים שווים של 3608 = 45. אחת מהן היא z = 2:

b = 2⁸ = 256📐 משפט דה־מואבר[r cis(a)]ⁿ = rⁿ cis(na)

הפתרונות: 2 cis(45k). הנקודות המסובבות הן אלה שבין נקודות הריבוע, בזוויות 45, 135, 225, 315:

a = 45

✅ פתרון סופי: b = 256 , a = 45

סעיף ג (2) – a = 15

הנקודות בזוויות:

0 , 15 , 90 , 105

180 , 195 , 270 , 285

פתרונות zⁿ = b נמצאים במרווחים שווים של 360n. z = 2 פתרון, ולכן b = 2ⁿ והפתרונות הם 2 cis(360kn).

כדי שגם 2 cis 15 יהיה פתרון, 15 צריך להיות כפולה של 360n:

15 = 360kn ⟸ n = 24k

עם n = 24 הפתרונות הם כל הזוויות שהן כפולות של 15 – וכל שמונה הנקודות ביניהן:

n = 24

b = 2²⁴ = 16,777,216

(כל n שהוא כפולה של 24 מתאים, עם b = 2ⁿ.)

בסרטוט: הריבוע ABCD בכחול, הריבוע המסובב ב־15 בסגול, והישר x + y = 2 בכתום:

✅ פתרון סופי: n = 24 , b = 2²⁴

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	x + y = 2
סעיף ב	2 , 2i
סעיף ג (1)	b = 256 , a = 45
סעיף ג (2)	n = 24 , b = 2²⁴

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2025, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

נתון המספר המרוכב w = r(cos t + i · sin t) , r > 0 , 90 < t < 180.

א. הביעו באמצעות r ו־t הצגה קוטבית של המספר 1w.

הנקודה A במישור גאוס מייצגת את המספר w, והנקודה B מייצגת את המספר 1w. הנקודה O היא ראשית הצירים.

נתון כי שטח המשולש AOB הוא √24 והזווית AOB היא זווית חדה.

ב. מצאו את הערך של t.

נתונות שתי משוואות: I. z⁸ = w⁸ , II. z⁸ = (w · w̄)⁴. z הוא מספר מרוכב.

נתון מצולע קמור שקודקודיו הם כל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה I וכל הנקודות המייצגות את הפתרונות של משוואה II.

ג. (1) מצאו כמה קודקודים יש למצולע.

(2) האם כל קודקודי המצולע נמצאים על מעגל אחד שמרכזו בראשית הצירים? נמקו את תשובתכם.

נתון כי שטח המצולע הוא 49.

ד. מצאו את הערך של r.

(בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן היא מסומנת t. הזוויות במעלות.)

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הצגה קוטבית של 1/w

1w = 1 cis 0r cis t📐 חילוק בהצגה קוטביתr₁cis(a)r₂cis(b) = r₁r₂ cis(a − b)

1w = 1r cis(−t)

✅ פתרון סופי: 1w = 1r(cos(−t) + i sin(−t))

סעיף ב – הערך של t

OA = |w| = r , OB = |1w| = 1r

הזווית בין OA ל־OB: הפרש הזוויות t − (−t) = 2t, ש־180 < 2t < 360. הזווית החדה במשולש היא המשלימה ל־360:

∢AOB = 360 − 2t

S = 12 · r · 1r · sin(360 − 2t)📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢∢ – הזווית שבין a ו־b

= 12sin(360 − 2t)

12sin(360 − 2t) = √24

sin(360 − 2t) = √22

הזווית חדה, ולכן:

360 − 2t = 45

t = 157.5

✅ פתרון סופי: t = 157.5

סעיף ג (1) – מספר הקודקודים

משוואה I:

w⁸ = r⁸ cis(8 · 157.5)📐 משפט דה־מואבר[r cis(a)]ⁿ = rⁿ cis(na)

= r⁸ cis 1260 = r⁸ cis 180

z = r cis(180 + 360k8)📐 פתרון משוואה מהצורה wⁿ = r cis aw_k = r^1/n cis(a + 360kn)k = 0 , 1 , … , n − 1

= r cis(22.5 + 45k)

משוואה II: w · w̄ = |w|² = r², ולכן (w · w̄)⁴ = r⁸ = r⁸ cis 0:

z = r cis(360k8) = r cis(45k)📐 פתרון משוואה מהצורה wⁿ = r cis aw_k = r^1/n cis(a + 360kn)k = 0 , 1 , … , n − 1

הפתרונות של I בזוויות 22.5, 67.5, … והפתרונות של II בזוויות 0, 45, 90, … – אין זוויות משותפות. יחד: 16 נקודות שונות, כל 22.5 מעלות.

✅ פתרון סופי: 16 קודקודים

סעיף ג (2) – על מעגל אחד?

לכל הפתרונות של שתי המשוואות אותו גודל r, ולכן כולם על המעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו r.

✅ פתרון סופי: כן – על מעגל שרדיוסו r

סעיף ד – הערך של r

המצולע הוא מצולע משוכלל עם 16 קודקודים. נחלק אותו ל־16 משולשים שקודקודם בראשית: בכל אחד שתי צלעות r וזווית 36016 = 22.5 ביניהן:

S = 16 · 12 · r · r · sin22.5📐 שטח משולש בעזרת סינוסS = 12 · a · b · sin∢∢ – הזווית שבין a ו־b

= 8r² sin22.5

8r² sin22.5 = 49

r² = 498 · 0.38268 ≈ 16.0

r ≈ 4

✅ פתרון סופי: r ≈ 4

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	1r cis(−t)
סעיף ב	t = 157.5
סעיף ג (1)	16
סעיף ג (2)	כן
סעיף ד	r ≈ 4

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

א. (1) מצאו את פתרונות המשוואה z⁶ + 64i = 0 (z מספר מרוכב). (2) מצאו את ארבעת הפתרונות של המשוואה z⁶ + 64iz² − 4i = 0.

הפתרונות שמצאתם בתת־סעיף א (2) מייצגים קודקודים של מרובע במישור גאוס.

ב. מצאו את שטח המרובע.

מסובבים את המרובע (סביב הראשית) בזווית t נגד כיוון השעון, 0 < t < 90 (מעלות). (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה t.)

ג. מהו הערך של מכפלת כל המספרים המייצגים את קודקודי המרובע בעבור t = 45? נמקו.

ד. (1) מצאו את שני הערכים של t כך שמכפלת כל המספרים המייצגים את קודקודי המרובע לאחר הסיבוב תהיה מספר מדומה טהור. (2) מהו הערך של המכפלה בעבור כל אחד מהערכים שמצאתם?

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – פתרונות z⁶ + 64i = 0

z⁶ = −64i

−64i נמצא על החלק השלילי של הציר המדומה:📐 הצגה קוטביתr = |z| , z = r · cis(a)

−64i = 64 · cis(270)

z📐 שורשים מסדר n (דה־מואבר)zⁿ = R · cis(a)⇒ z = ⁿ√R · cis(a + 360kn)

= ⁶√64 · cis(270 + 360k6)

z = 2 · cis(45 + 60k)

k = 0 , … , 5

✅ פתרון סופי: 2cis45 , 2cis105 , 2cis165
2cis225 , 2cis285 , 2cis345

סעיף א (2) – ארבעת הפתרונות

שבר שווה 0 כאשר המונה 0 והמכנה שונה מ־0. המונה מתאפס בששת הפתרונות מתת־סעיף (1). נוציא את אלה שמאפסים את המכנה:

z² = 4i = 4 · cis(90)

z = 2 · cis(45 + 180k)

z = 2cis45

או

z = 2cis225

נשארים ארבעה פתרונות:

✅ פתרון סופי: 2cis105 , 2cis165 , 2cis285 , 2cis345

סעיף ב – שטח המרובע

כל הקודקודים על מעגל ברדיוס 2. הזוויות 105 ו־285 נבדלות ב־180 – אלה נקודות נגדיות, והקטע ביניהן קוטר. כך גם 165 ו־345.

האלכסונים הם שני קטרים שווים (באורך 4) שחוצים זה את זה – המרובע הוא מלבן. הזווית בין האלכסונים: 165 − 105 = 60.

S = 12 · 4 · 4 · sin 60📐 שטח מרובע לפי אלכסוניםS = 12 · d₁ · d₂ · sin של הזווית בין האלכסונים

S = 8 · √32 = 4√3 ≈ 6.93

✅ פתרון סופי: 4√3

סעיף ג – המכפלה בעבור t = 45

סיבוב בזווית t נגד כיוון השעון = כפל כל קודקוד ב־cis(t). נחשב קודם את מכפלת הקודקודים המקוריים:📐 כפל בהצגה קוטביתr₁cis(a) · r₂cis(b)= r₁r₂ · cis(a + b)

2⁴ · cis(105 + 165 + 285

+ 345)

= 16 · cis(900)

= 16 · cis(180) = −16

אחרי הסיבוב כל אחד מארבעת הקודקודים הוכפל ב־cis(t):

P = −16 · cis(4t)

= 16 · cis(180 + 4t)

t = 45: P

= 16 · cis(360) = 16

✅ פתרון סופי: 16

סעיף ד (1) – מתי המכפלה מדומה טהור

מספר מדומה טהור נמצא על הציר המדומה – הזווית שלו 90 או 270 (ועוד כפולות של 360):

180 + 4t = 90 + 180k

4t = −90 + 180k

t = −22.5 + 45k

בתחום 0 < t < 90:

✅ פתרון סופי: t = 22.5 או t = 67.5 מעלות

סעיף ד (2) – ערך המכפלה

t = 22.5: P

= 16 · cis(270) = −16i

t = 67.5: P

= 16 · cis(450)

= 16 · cis(90) = 16i

✅ פתרון סופי: בעבור 22.5: −16i ; בעבור 67.5: 16i

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

א (1)	2cis(45 + 60k), k = 0..5
א (2)	2cis105, 2cis165 2cis285, 2cis345
סעיף ב	4√3
סעיף ג	16
ד (1)	22.5 או 67.5
ד (2)	−16i , 16i

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 40 – תרגול שורשים מסדר n

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

במעוין ABCD הקודקוד A נמצא ברביע הראשון, והקודקוד B נמצא ברביע השני במישור גאוס.

אלכסוני המעוין נפגשים בראשית הצירים.

המספר המרוכב z מייצג את הקודקוד A.

נתון: BD = 2AC.

א. הביעו באמצעות z את המספרים שמייצגים את הקודקודים B, C ו־D.

נסמן: z = r(cos t + i · sin t) (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה ב־t).

ב. ענו על התת־סעיפים (1) ו־(2). הביעו את תשובותיכם באמצעות r ו־t אם יש צורך.

(1) כתבו הצגה קוטבית של ארבעת המספרים ההופכיים (1z , …) למספרים המייצגים את קודקודי המעוין.

(2) ארבעת המספרים שמצאתם בתת־סעיף ב(1) מייצגים קודקודים של מרובע. מצאו את שטח המרובע שנוצר על ידי קודקודים אלה.

ג. נתונה המשוואה: w¹¹ = w , w הוא מספר מרוכב השונה מ־0. מצאו את סכום 12 הפתרונות של המשוואה.

פתרונות המשוואה שבסעיף ג מייצגים קודקודים של מצולע ששטחו שווה לשטח המרובע שמצאתם בתת־סעיף ב(2).

ד. מצאו את הערך של r.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – המספרים שמייצגים את B, C, D

אלכסוני המעוין חוצים זה את זה ונפגשים בראשית, ולכן C סימטרית ל־A ביחס לראשית:

z_C = −z📐 משפט: מספר נגדי−z = סיבוב של z ב־180 מעלות (סימטריה לראשית)

מ־BD = 2AC ומכך שהאלכסונים חוצים זה את זה:

OB = BD2 = 2AC2 = 2 · OA📐 משפט: תכונות המעויןהאלכסונים חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה

האלכסונים מאונכים, ולכן OB מאונך ל־OA. הנקודה A ברביע הראשון ו־B ברביע השני, ולכן מקבלים את B מסיבוב של A ב־90 מעלות נגד כיוון השעון, ומכפילים את המרחק פי 2:

z_B = 2 · i · z = 2iz📐 משפט: כפל ב־iכפל ב־i = סיבוב ב־90 מעלות נגד כיוון השעון

D סימטרית ל־B ביחס לראשית:

z_D = −2iz📐 משפט: מספר נגדי−z = סיבוב של z ב־180 מעלות (סימטריה לראשית)

הסרטוט בקנה מידה, לדוגמה עם r = 1 וזווית של 30 מעלות.

✅ פתרון סופי: z_B = 2iz
z_C = −z
z_D = −2iz

סעיף ב (1) – הצגה קוטבית של המספרים ההופכיים

נכתוב את כל הקודקודים בהצגה קוטבית. נשתמש ב־i = cis 90, −1 = cis 180, −i = cis 270:

z_A = r cis t

z_B = 2 cis 90 · r cis t📐 נוסחה: כפל בהצגה קוטביתr₁ cis a · r₂ cis b == r₁r₂ cis(a + b)

z_B = 2r cis(t + 90)

z_C = cis 180 · r cis t📐 נוסחה: כפל בהצגה קוטביתr₁ cis a · r₂ cis b == r₁r₂ cis(a + b)

z_C = r cis(t + 180)

z_D = 2 cis 270 · r cis t📐 נוסחה: כפל בהצגה קוטביתr₁ cis a · r₂ cis b == r₁r₂ cis(a + b)

z_D = 2r cis(t + 270)

כעת נמצא את ההופכי של כל אחד:

1z_A = 1r cis(−t)📐 נוסחה: מספר הופכי בהצגה קוטבית1r cis a = 1r cis(−a)

1z_B = 12r cis(−t − 90)📐 נוסחה: מספר הופכי בהצגה קוטבית1r cis a = 1r cis(−a)

1z_C = 1r cis(−t − 180)📐 נוסחה: מספר הופכי בהצגה קוטבית1r cis a = 1r cis(−a)

1z_D = 12r cis(−t − 270)📐 נוסחה: מספר הופכי בהצגה קוטבית1r cis a = 1r cis(−a)

(אפשר לכתוב גם cis(180 − t) במקום cis(−t − 180), ו־cis(90 − t) במקום cis(−t − 270) – אלה אותן זוויות עד כדי 360 מעלות.)

✅ פתרון סופי: 1z_A = 1r cis(−t)
1z_B = 12r cis(−t − 90)
1z_C = 1r cis(−t − 180)
1z_D = 12r cis(−t − 270)

סעיף ב (2) – שטח המרובע

הזוויות של ארבעת המספרים יורדות כל פעם ב־90 מעלות, ולכן הנקודות נמצאות על שני ישרים מאונכים שעוברים בראשית.

1z_A ו־1z_C: אותו מרחק 1r מהראשית וזוויות בהפרש 180 מעלות – סימטריות ביחס לראשית. המרחק ביניהן:

d₁ = 1r + 1r = 2r

1z_B ו־1z_D: אותו מרחק 12r וזוויות בהפרש 180 מעלות. המרחק ביניהן:

d₂ = 12r + 12r = 1r

למרובע אלכסונים שחוצים זה את זה (נפגשים בראשית, באמצע כל אחד) ומאונכים זה לזה – לכן הוא מעוין. השטח:

S = d₁ · d₂2 = 2r · 1r2📐 נוסחה: שטח מעויןS = d₁ · d₂2

S = 1r²

אותה דוגמה (r = 1, 30 מעלות): האלכסונים באורך 2 ו־1, מאונכים זה לזה.

✅ פתרון סופי: S = 1r²

סעיף ג – סכום 12 הפתרונות

ניקח ערך מוחלט לשני האגפים:

|w¹¹| = |w|📐 נוסחה: ערך מוחלט|wⁿ| = |w|ⁿ , |w| = |w|

|w|¹¹ = |w|

נחלק ב־|w| (מותר, כי w ≠ 0):

|w|¹⁰ = 1

|w| = 1

נכפיל את שני אגפי המשוואה ב־w:

w¹² = w · w📐 נוסחה: מכפלה בצמודw · w = |w|²

w¹² = |w|² = 1

הפתרונות הם 12 השורשים מסדר 12 של 1:

w_k = cis 360k12 = cis(30k)📐 נוסחה: שורשים מסדר nwⁿ = 1 ⟹ w = cis 360knk = 0 , 1 , … , n − 1

k = 0 , 1 , … , 11

כל 12 המספרים מקיימים את המשוואה המקורית: w¹¹ = w¹²w = 1w = w (כי |w| = 1).

הפתרונות הם קודקודי מצולע משוכלל בן 12 צלעות שמרכזו בראשית. לכל פתרון cis(30k) יש פתרון נגדי cis(30k + 180) = −cis(30k) (כי 180 מעלות הן 6 צעדים של 30). לכן הפתרונות מתחלקים ל־6 זוגות של מספרים נגדיים, וסכום כל זוג הוא 0:

w₀ + w₁ + … + w₁₁ = 0

12 הפתרונות על מעגל היחידה, בהפרש של 30 מעלות. מודגש אחד מ־12 המשולשים המרכזיים.

✅ פתרון סופי: 0

סעיף ד – הערך של r

לפי סעיף ג הפתרונות הם קודקודי מצולע משוכלל בן 12 צלעות החסום במעגל שרדיוסו 1. נחלק אותו ל־12 משולשים שווי שוקיים עם קודקוד בראשית, שוקיים באורך 1 וזווית ראש של

36012 = 30

שטח משולש אחד:

S₁ = 12 · 1 · 1 · sin 30📐 נוסחה: שטח משולשS = 12 · a · b · sin C

S₁ = 12 · 12 = 14

שטח המצולע:

S = 12 · 14 = 3

לפי הנתון שטח המצולע שווה לשטח המרובע מסעיף ב (2):

1r² = 3

r² = 13

r הוא מרחק, ולכן חיובי:

r = 1√3 = √33 ≈ 0.577

✅ פתרון סופי: r = 1√3

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	z_B = 2iz , z_C = −z , z_D = −2iz
סעיף ב (1)	1r cis(−t) , 12r cis(−t − 90) 1r cis(−t − 180) , 12r cis(−t − 270)
סעיף ב (2)	1r²
סעיף ג	0
סעיף ד	r = 1√3

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 30 – מציאת קודקודי מעוין (בגרות 2024)

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2024, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

z = x + yi הוא מספר מרוכב (x ו־y ממשיים). z הוא המספר הצמוד ל־z.

נתון: |6 − z − 8i|² − |10i| = |9 + 12i|.

א. הראו כי המקום הגאומטרי של כל המספרים z המקיימים את המשוואה הנתונה הוא מעגל. מצאו את מרכז המעגל ואת הרדיוס שלו.

M היא מרכז המעגל שמצאתם בסעיף א, והיא מייצגת את המספר המרוכב z_M.

A היא נקודה על המעגל המייצגת את המספר המרוכב z_A. נתון: 2|z_A| = |z_M|, והזווית של z_A שווה לזווית של z_M.

ב. מצאו את z_A.

נתונה סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים: z₁ , z₂ , z₃ , … שהמנה שלה היא q. נתון: z₁ = z_A , z₅ = z_M.

ג. מצאו את כל הערכים האפשריים של q.

ד. חשבו את הסכום z₁ · z₁ + z₂ · z₂ + … + z₁₀ · z₁₀.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – המקום הגאומטרי

z = x − yi📐 המספר הצמודz = x + yi ⟸ z = x − yi

6 − z − 8i = 6 − x + yi − 8i

= (6 − x) + (y − 8)i

נחשב את הערכים המוחלטים הידועים:

|9 + 12i| = √81 + 144 = √225📐 הערך המוחלט (האורך)|a + bi| = √a² + b²

= 15

|10i| = √0 + 100 = 10

נציב במשוואה:

|(6 − x) + (y − 8)i|²📐 הערך המוחלט (האורך)|a + bi| = √a² + b²

= (6 − x)² + (y − 8)²

(6 − x)² + (y − 8)² − 10 = 15

(6 − x)² + (y − 8)² = 25

(x − 6)² + (y − 8)² = 25📐 מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²

זו משוואת מעגל שמרכזו (6 , 8) והרדיוס שלו √25 = 5.

✅ פתרון סופי: מעגל, מרכז (6 , 8), רדיוס 5

סעיף ב – המספר z_A

המרכז M(6 , 8), ולכן:

z_M = 6 + 8i

|z_M| = √36 + 64 = 10📐 הערך המוחלט (האורך)|a + bi| = √a² + b²

2|z_A| = 10

|z_A| = 5

ל־z_A אותה זווית כמו ל־z_M, והאורך שלו חצי – לכן הוא חצי מ־z_M:📐 הצגה קוטביתמספר מרוכב נקבע לפי האורך שלו |z| והזווית שלו. שני מספרים עם אותה זווית – אחד הוא כפולה חיובית של השני.

z_A = 12 · z_M

= 12(6 + 8i)

= 3 + 4i

בדיקה – A(3 , 4) על המעגל:

(3 − 6)² + (4 − 8)² = 9 + 16

= 25 ✓

בסרטוט במישור גאוס: המעגל (כחול), הקטע OM (תכלת), A באמצע הקטע OM:

✅ פתרון סופי: z_A = 3 + 4i

סעיף ג – המנה q

z₅ = z₁ · q⁴📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

6 + 8i = (3 + 4i) · q⁴

q⁴ = 6 + 8i3 + 4i

q⁴ = 2

בהצגה קוטבית:

2 = 2 cis(0)

q = ⁴√2 · cis(0 + 360k4)📐 שורשים מסדר nw = r cis(t)
q = ⁿ√r · cis(t + 360kn)

q = ⁴√2 · cis(90k)

k = 0 , 1 , 2 , 3

k = 0: q = ⁴√2 cis(0) = ⁴√2

k = 1: q = ⁴√2 cis(90) = ⁴√2 i

k = 2: q = ⁴√2 cis(180) = −⁴√2

k = 3: q = ⁴√2 cis(270) = −⁴√2 i

✅ פתרון סופי: q = ±⁴√2 או q = ±⁴√2 i

סעיף ד – הסכום

z_n · z_n = |z_n|²📐 מכפלת מספר בצמוד שלוz · z = |z|²

בכל אחד מהערכים של q מסעיף ג:

|q| = ⁴√2

|z_n| = |z₁| · |q|^{n − 1}📐 ערך מוחלט של מכפלה|z · w| = |z| · |w|

|z_n| = 5 · (⁴√2)^{n − 1}

|z_n|² = 25 · (√2)^{n − 1}

כלומר המחוברים בסכום הם סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה 25 והמנה שלה √2:

S₁₀ = 25((√2)¹⁰ − 1)√2 − 1📐 סכום סדרה הנדסיתS_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

(√2)¹⁰ = 2⁵ = 32

S₁₀ = 25 · 31√2 − 1

= 775√2 − 1

≈ 1,871.02

✅ פתרון סופי: 775√2 − 1 ≈ 1,871.02

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	מרכז (6 , 8), רדיוס 5
סעיף ב	3 + 4i
סעיף ג	±⁴√2 , ±⁴√2 i
סעיף ד	≈ 1,871.02

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

z = x + iy הוא מספר מרוכב (x ו־y הם מספרים ממשיים).

א. (1) הראו כי משוואת המקום הגאומטרי של כל הנקודות במישור גאוס המקיימות |z² − i| = |z² + 3i| היא y = −12x.

(2) תנו דוגמה למספר מרוכב הנמצא על המקום הגאומטרי הזה.

ב. פתרו את המשוואה: z⁶ = 1.

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב מייצגים את קודקודיו של מצולע I. המקום הגאומטרי שמצוין בתת־סעיף א(1) חותך ברביע הרביעי את המעגל החוסם את מצולע I בנקודה A.

ג. מצאו את שיעורי הנקודה A.

הנקודה A היא קודקוד של מצולע משוכלל אחר החסום באותו מעגל, מצולע II. נתון: מספר הקודקודים של מצולע II שווה למספר הקודקודים של מצולע I.

ד. מצאו את המספרים המרוכבים המייצגים את כל הקודקודים של מצולע II.

נסמן: w = r · cis t , 0 < t < 60 (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כל הזוויות במעלות). כופלים את כל המספרים המייצגים את קודקודי מצולע I במספר w, כך שקודקודי מצולע I מתלכדים עם קודקודי מצולע II.

ה. מצאו את w.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א (1) – המקום הגאומטרי

z² = (x + iy)²

= (x² − y²) + 2xy i

z² − i = (x² − y²) + (2xy − 1)i

z² + 3i = (x² − y²) + (2xy + 3)i

(x² − y²)² + (2xy − 1)²📐 ערך מוחלט של מספר מרוכב|a + bi| = √(a² + b²)

= (x² − y²)² + (2xy + 3)²

(2xy − 1)² = (2xy + 3)²

4x²y² − 4xy + 1

= 4x²y² + 12xy + 9

−16xy = 8

xy = −12

y = −12x

✅ פתרון סופי: הוכח: y = −12x

סעיף א (2) – דוגמה

x = 1 : y = −12

בדיקה: xy = 1 · (−12) = −12.

✅ פתרון סופי: z = 1 − 12i (לדוגמה)

סעיף ב – פתרון z⁶ = 1

1 = cis 0

z = cis 0 + 360k6 = cis(60k)📐 שורשים של מספר מרוכבzⁿ = r cis t :
z = ⁿ√r · cis t + 360kn

k = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5

✅ פתרון סופי: cis 0 , cis 60 , cis 120
cis 180 , cis 240 , cis 300

סעיף ג – שיעורי A

הקודקודים במרחק 1 מן הראשית, ולכן המעגל החוסם הוא x² + y² = 1. נציב y = −12x:

x² + 14x² = 1

4x⁴ − 4x² + 1 = 0

(2x² − 1)² = 0

x² = 12

ברביע הרביעי x > 0:

x = 1√2 , y = −12x = −1√2

✅ פתרון סופי: A(1√2 , −1√2)

סעיף ד – קודקודי מצולע II

A = 1√2 − 1√2i = cis(−45)

מצולע II הוא משושה משוכלל חסום במעגל היחידה, והזווית בין שני קודקודים סמוכים היא 3606 = 60:📐 מצולע משוכלל במישור גאוסקודקודים: cis(t + 360n · k)

cis(−45 + 60k) , k

= 0 , 1 , … , 5

✅ פתרון סופי: cis(−45) , cis 15 , cis 75
cis 135 , cis 195 , cis 255

סעיף ה – הערך של w

w · cis(60k) = r cis(t + 60k)📐 כפל מספרים מרוכביםr₁cis t₁ · r₂cis t₂ =
r₁r₂ cis(t₁ + t₂)

הקודקודים צריכים להישאר על מעגל היחידה, ולכן r = 1. הסיבוב בזווית t צריך להעביר את קודקודי I לקודקודי II:

t = −45 + 60k

בתחום 0 < t < 60: t = 15.

✅ פתרון סופי: w = cis 15

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א (1)	הוכח: y = −12x
סעיף א (2)	z = 1 − 12i (לדוגמה)
סעיף ב	cis 0 , cis 60 , cis 120 cis 180 , cis 240 , cis 300
סעיף ג	A(1√2 , −1√2)
סעיף ד	cis(−45) , cis 15 , cis 75 cis 135 , cis 195 , cis 255
סעיף ה	w = cis 15

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 43 – שורשי היחידה

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

z₁ , z₂ , z₃ , … היא סדרה הנדסית של מספרים מרוכבים שהמנה שלה היא q. ‏z₁ נמצא ברביע הראשון.

נתון: z₁³ = z₃ , −2z₁ = z₃.

א. הראו כי q = z₁ או q = −z₁.

ב. מצאו את z₁. הציגו את תשובתכם בהצגה קוטבית.

ענו על הסעיפים ג–ד בעבור q = z₁.

ג. z_{4n − 2} ו־z_4n הם שני איברים בסדרה (n הוא מספר טבעי). קבעו בעבור כל אחד מן האיברים אם הוא מספר ממשי או מספר מדומה. נמקו את קביעתכם.

ד. חשבו את הסכום: z₁√2 + z₂(√2)² + … + z₆₄(√2)⁶⁴.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – המנה q

z₃ = z₁ · q²📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

נתון:

z₃ = z₁³

z₁ · q² = z₁³

z₁ ≠ 0 (הוא ברביע הראשון), ולכן נחלק ב־z₁:

q² = z₁²

q² − z₁² = 0

(q − z₁)(q + z₁) = 0

q = z₁

או

q = −z₁

✅ פתרון סופי: הוכחה – q = ±z₁

סעיף ב – המספר z₁

נסמן z₁ = r cis(t), ו־0 < t < 90 (רביע ראשון).

z₃ הוא הצמוד של z₃ = z₁³:

z₁³ = r³ cis(3t)📐 הצגה קוטבית ומשפט דה־מואברz = r cis(t) ⟸ zⁿ = rⁿ cis(nt)
z = r cis(−t)

z₃ = r³ cis(−3t)

ו־−2z₁: כפל ב־−1 מוסיף 180 מעלות לזווית:

−2z₁ = 2r cis(t + 180)

נשווה את האורכים:

r³ = 2r

r² = 2 ⟸ r = √2

נשווה את הזוויות (עד כדי 360 מעלות):

−3t = t + 180 + 360k

−4t = 180 + 360k

t = −45 − 90k

הזווית היחידה בין 0 ל־90 מתקבלת עבור k = −1:

t = 45

z₁ = √2 cis(45) = 1 + i

✅ פתרון סופי: z₁ = √2 cis(45)

סעיף ג – ממשי או מדומה

עם q = z₁:

z_n = z₁ · z₁^{n − 1} = z₁ⁿ📐 איבר כללי בסדרה הנדסיתa_n = a₁ · q^{n − 1}

z_n = (√2)ⁿ cis(45n)📐 הצגה קוטבית ומשפט דה־מואברz = r cis(t) ⟸ zⁿ = rⁿ cis(nt)
z = r cis(−t)

האיבר z_4n:

z_4n = (√2)⁴ⁿ cis(180n)

sin(180n) = 0

החלק המדומה הוא 0, ולכן z_4n ממשי. הערך שלו:

z_4n = 4ⁿ · (−1)ⁿ

האיבר z_{4n − 2}:

z_{4n − 2}

= (√2)^{4n − 2} cis(180n − 90)

cos(180n − 90) = 0

החלק הממשי הוא 0, ולכן z_{4n − 2} מדומה.

✅ פתרון סופי: z_4n – ממשי , z_{4n − 2} – מדומה

סעיף ד – הסכום

כל מחובר בסכום:

z_k(√2)^k = (√2)^k cis(45k)(√2)^k

= cis(45k)

המחוברים הם סדרה הנדסית שהאיבר הראשון שלה cis(45) והמנה שלה cis(45):

S₆₄ = cis(45) · (cis⁶⁴(45) − 1)cis(45) − 1📐 סכום סדרה הנדסיתS_n = a₁(qⁿ − 1)q − 1

cis⁶⁴(45) = cis(64 · 45)📐 הצגה קוטבית ומשפט דה־מואברz = r cis(t) ⟸ zⁿ = rⁿ cis(nt)
z = r cis(−t)

= cis(2880)

2880 = 8 · 360 ⟸ cis(2880) = 1

S₆₄ = cis(45) · (1 − 1)cis(45) − 1 = 0

כל 8 מחוברים רצופים הם 8 נקודות שמתפזרות באופן שווה על מעגל היחידה (בסרטוט: הזוויות 45, 90, …, 360), והסכום שלהן 0. ב־64 מחוברים יש 8 סיבובים כאלה:

✅ פתרון סופי: 0

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	הוכחה
סעיף ב	z₁ = √2 cis(45) = 1 + i
סעיף ג	z_4n – ממשי z_{4n − 2} – מדומה
סעיף ד	0

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 32 – משפט דה־מואבר

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

נתונה המשוואה z³ = 1z³.

א. מצאו את z₀, הפתרון של המשוואה שנמצא ברביע הרביעי.

הנקודות A , B ו־C מיוצגות במישור גאוס על ידי המספרים המרוכבים d · z₀ , di · z₀ ו־d · (z₀)⁴ בהתאמה, d > 0 פרמטר ממשי.

נתון כי שטח המשולש ABC הוא 5d + 6.

ב. מצאו את d.

נתון: w = ((z₀)² − 1(z₀)²)(1 + i).

ג. מצאו את |w| ואת arg w.

ד. מצאו את n הטבעי הקטן ביותר שבעבורו wⁿ הוא מספר מדומה טהור, והנקודה המייצגת אותו נמצאת מחוץ למעגל החוסם את המשולש ABC.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הפתרון z₀

נכפיל ב־z³ (z ≠ 0):

z⁶ = 1

z = cis 360k6 = cis(60k)📐 נוסחה: שורשים מסדר nwⁿ = 1 ⟹ w = cis 360knk = 0 , 1 , … , n − 1

k = 0 , 1 , … , 5

הפתרונות: cis 0 , cis 60 , cis 120 , cis 180 , cis 240 , cis 300. ברביע הרביעי הזווית בין 270 ל־360:

z₀ = cis 300

z₀ = cos 300 + i sin 300

z₀ = 12 − √32i

✅ פתרון סופי: z₀ = cis 300 = 12 − √32i

סעיף ב – הערך של d

נעבור להצגה קוטבית:

A : d · z₀ = d cis 300

B : di · z₀ = d cis(90 + 300)📐 נוסחה: כפל בהצגה קוטביתr₁ cis a · r₂ cis b == r₁r₂ cis(a + b)

= d cis 390 = d cis 30

C : d · (z₀)⁴ = d cis(4 · 300)📐 נוסחה: דה מואבר(r cis a)ⁿ = rⁿ cis(na)

= d cis 1200

1200 − 3 · 360 = 120

C : d cis 120

לשלושת המספרים מודול d – הנקודות על מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו d.

ההפרש בין הזוויות של A ו־C: 300 − 120 = 180 – AC הוא קוטר. לכן:

∢ABC = 90📐 משפט: זווית היקפית על קוטרזווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

הזווית המרכזית ∢BOC = 120 − 30 = 90 וגם ∢AOB = 30 + 60 = 90, כלומר OB מאונך ל־AC והוא גובה במשולש:

S = AC · OB2 = 2d · d2 = d²📐 נוסחה: שטח משולשS = צלע · גובה2

נשווה לשטח הנתון:

d² = 5d + 6

d² − 5d − 6 = 0

(d − 6)(d + 1) = 0

d = 6 או d = −1

d > 0, ולכן:

d = 6

━ המשולש (כחול) ━ המעגל החוסם, רדיוס d (סגול)

✅ פתרון סופי: d = 6

סעיף ג – המודול והזווית של w

(z₀)² = cis 600 = cis 240📐 נוסחה: דה מואבר(r cis a)ⁿ = rⁿ cis(na)

1(z₀)² = cis(−240) = cis 120📐 נוסחה: מספר הופכי בהצגה קוטבית1r cis a = 1r cis(−a)

cis 240 = −12 − √32i

cis 120 = −12 + √32i

(z₀)² − 1(z₀)² = cis 240 − cis 120

= −12 − √32i + 12 − √32i

= −√3i

w = −√3i(1 + i) = −√3i − √3i²

w = √3 − √3i

|w| = √(3 + 3) = √6📐 נוסחה: מודול וזווית|x + yi| = √(x² + y²)tan a = yx

הנקודה (√3 , −√3) ברביע הרביעי, ו־tan a = −1:

arg w = 315

✅ פתרון סופי: |w| = √6 , arg w = 315

סעיף ד – הערך של n

wⁿ = (√6)ⁿ cis(315n)📐 נוסחה: דה מואבר(r cis a)ⁿ = rⁿ cis(na)

תנאי 1 – מחוץ למעגל: המעגל החוסם הוא המעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו d = 6:

(√6)ⁿ > 6 = (√6)²

n > 2

תנאי 2 – מדומה טהור: נבדוק את הזווית 315n עבור n = 3 , 4 , 5 , 6:

n = 3 : 945 − 720 = 225📐 נוסחה: מדומה טהורהזווית היא 90 או 270 (ועוד כפולות של 360)

n = 4 : 1260 − 1080 = 180

n = 5 : 1575 − 1440 = 135

n = 6 : 1890 − 1800 = 90 ✓

w⁶ = (√6)⁶ cis 90 = 216i

(עבור n = 2: w² = 6 cis 270 = −6i – מדומה טהור, אבל על המעגל ולא מחוצה לו.)

✅ פתרון סופי: n = 6 (w⁶ = 216i)

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	z₀ = cis 300
סעיף ב	d = 6
סעיף ג	\|w\| = √6 , arg w = 315
סעיף ד	n = 6

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2023, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

נתונה משוואה I: w⁶ = −27. w הוא מספר מרוכב.

א. פתרו את משוואה I.

נתונה משוואה II: (z + √32i)⁶ = −27. z הוא מספר מרוכב.

ב. (1) היעזרו בפתרונות של משוואה I ורשמו בהצגה אלגברית את הפתרונות של משוואה II.

(2) הסבירו מדוע הנקודות במישור גאוס המייצגות את הפתרונות של משוואה II נמצאות על מעגל, ומצאו את משוואתו.

(3) הוכיחו כי כל הפתרונות של משוואה II מייצגים קודקודים של משושה משוכלל במישור גאוס.

נתון: שני הפתרונות המדומים ושני הפתרונות הממשיים של משוואה II מייצגים קודקודים של מרובע במישור גאוס.

ג. (1) מהו סוג המרובע שהתקבל? נמקו את תשובתכם. (2) מצאו את היחס בין שטח המשושה ובין שטח המרובע.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – פתרון משוואה I

−27 = 27 cis 180

w = ⁶√27 · cis 180 + 360k6📐 שורשים של מספר מרוכבzⁿ = r cis t
z = ⁿ√r · cis t + 360kn

⁶√27 = √3

w_k = √3 cis(30 + 60k) , k

= 0 , 1 , … , 5

✅ פתרון סופי: √3 cis 30 , √3 cis 90 , √3 cis 150
√3 cis 210 , √3 cis 270 , √3 cis 330

סעיף ב (1) – הפתרונות של משוואה II

נסמן w = z + √32i. אז w⁶ = −27, ולכן z = w − √32i:

√3 cis 30 = 32 + √32i📐 מעבר מהצגה קוטבית לאלגבריתr cis t = r cos t + i · r sin t

z₁ = 32 + √32i − √32i = 32

√3 cis 90 = √3 i , z₂ = √32i

√3 cis 150 = −32 + √32i , z₃ = −32

√3 cis 210 = −32 − √32i , z₄

= −32 − √3 i

√3 cis 270 = −√3 i , z₅ = −3√32i

√3 cis 330 = 32 − √32i , z₆

= 32 − √3 i

✅ פתרון סופי: z₁ = 32
z₂ = √32i
z₃ = −32
z₄ = −32 − √3 i
z₅ = −3√32i
z₆ = 32 − √3 i

סעיף ב (2) – המעגל

|z + √32i| = |w| = √3

כל הפתרונות במרחק √3 מן הנקודה (0 , −√32) – כלומר על מעגל שזה מרכזו:📐 מעגל במישור גאוס|z − z₀| = R

✅ פתרון סופי: x² + (y + √32)² = 3

סעיף ב (3) – משושה משוכלל

פתרונות משוואה I הם קודקודים של משושה משוכלל שמרכזו בראשית: כולם במרחק √3 מהראשית, והזווית בין שני פתרונות סמוכים קבועה, 60.📐 שורשים מסדר nקודקודים של מצולע משוכלל עם n צלעות

כל פתרון של משוואה II מתקבל מפתרון של משוואה I על ידי אותה הזזה: z = w − √32i (הזזה של √32 למטה).

הזזה לא משנה אורכים וזוויות, ולכן גם הפתרונות של II הם קודקודים של משושה משוכלל, שמרכזו (0 , −√32).

✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג (1) – סוג המרובע

הפתרונות הממשיים z₁ = 32 , z₃ = −32, והמדומים z₂ = √32i , z₅ = −3√32i.

האלכסון z₁z₃ על הציר הממשי, והאלכסון z₂z₅ על הציר המדומה – הם מאונכים.

הציר המדומה חוצה את z₁z₃ (האמצע הוא 0), אבל האמצע של z₂z₅ הוא −√32i ≠ 0.

אלכסון אחד הוא אנך אמצעי לאלכסון השני, והאלכסונים לא חוצים זה את זה:📐 דלתוןאלכסון ראשי הוא אנך אמצעי לאלכסון השני

✅ פתרון סופי: דלתון

סעיף ג (2) – יחס השטחים

צלע המשושה שווה לרדיוס √3. המשושה בנוי משישה משולשים שווי צלעות:

S₆ = 6 · (√3)² · √34 = 9√32📐 שטח משולש שווה צלעותS = a²√34

d₁ = 3 , d₂ = √32 + 3√32 = 2√3

S₄ = 3 · 2√32 = 3√3📐 שטח דלתוןS = d₁ · d₂2

S₆S₄ = 9√323√3 = 32

✅ פתרון סופי: 32

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	√3 cis 30 , √3 cis 90 , √3 cis 150 √3 cis 210 , √3 cis 270 , √3 cis 330
סעיף ב (1)	z₁ = 32 z₂ = √32i z₃ = −32 z₄ = −32 − √3 i z₅ = −3√32i z₆ = 32 − √3 i
סעיף ב (2)	x² + (y + √32)² = 3
סעיף ב (3)	הוכח
סעיף ג (1)	דלתון
סעיף ג (2)	32

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023 ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

המספר z = R(cos x + i · sin x) נמצא במישור גאוס ברביע השלישי. (בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית; כאן נסמן אותה x.)

נתון: zz̄ = −12 + √32i.

א. מצאו את x.

נתון: |2iz| + |z̄i| − |zz̄| = 8.

ב. מצאו את R.

ג. נתונה המשוואה: w⁹ = z³27 (z הוא המספר שמצאתם). הראו כי המספר zz̄ הוא אחד הפתרונות של המשוואה.

ד. המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים. קודקודי הבסיס B ו־C מתאימים למספרים zz̄ ו־z̄z. קודקוד הראש A מתאים למספר z + k , k הוא מספר מדומה טהור.

(1) מהו הערך של k?

(2) חשבו את שטח המרובע ABOC (הנקודה O היא ראשית הצירים).

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – הזווית x

zz̄ = R cis xR cis(−x) = cis 2x📐 נוסחה: חילוק בהצגה קוטביתr₁ cis ar₂ cis b = r₁r₂ cis(a − b)

הצורה הקוטבית של המספר הנתון:

−12 + √32i = cis 120

2x = 120 + 360k

x = 60 + 180k

z ברביע השלישי, ולכן 180 < x < 270:

x = 240

✅ פתרון סופי: x = 240 מעלות

סעיף ב – המודול R

|2iz| = 2 · 1 · R = 2R📐 נוסחה: מודול של מכפלה ומנה|z₁z₂| = |z₁| · |z₂||z₁z₂| = |z₁||z₂| , |i| = 1

|z̄i| = R1 = R📐 נוסחה: מספר צמוד בהצגה קוטביתz = R cis x ⟹ z̄ = R cis(−x)|z| = |z̄| = R

|zz̄| = |cis 120| = 1

2R + R − 1 = 8

3R = 9

R = 3

✅ פתרון סופי: R = 3

סעיף ג – הוכחה

z³ = 3³ cis(3 · 240)📐 נוסחה: דה מואבר(r cis a)ⁿ = rⁿ cis(na)

z³ = 27 cis 720 = 27

z³27 = 1

נציב w = zz̄ = cis 120:

w⁹ = cis(9 · 120) = cis 1080

cis 1080 = cis(3 · 360) = 1

לכן zz̄ פותר את המשוואה.

✅ פתרון סופי: הוכח: (zz̄)⁹ = 1 = z³27

סעיף ד (1) – הערך של k

B : cis 120 = −12 + √32i

C : z̄z = cis(−120) = −12 − √32i

הבסיס BC אנכי (על הישר x = −12), ואמצעו על ציר ה־x. לכן האנך האמצעי שלו הוא הציר הממשי, ו־A עליו:

Im(z + k) = 0📐 משפט: קודקוד הראש במשולש שווה שוקייםנמצא על האנך האמצעי של הבסיס

z = 3 cis 240 = −32 − 3√32i

k מדומה טהור, k = bi:

z + k = −32 + (b − 3√32)i

b = 3√32

k = 3√32i

✅ פתרון סופי: k = 3√32i

סעיף ד (2) – שטח המרובע ABOC

A(−32 , 0) , O(0 , 0). האלכסון AO על הציר הממשי, והאלכסון BC אנכי – האלכסונים מאונכים, ו־AO חוצה את BC (המרובע דלתון):

AO = 32 , BC = √3

S = AO · BC2 = 12 · 32 · √3📐 נוסחה: שטח דלתוןS = d₁ · d₂2(האלכסונים מאונכים)

S = 3√34 ≈ 1.299

━ המרובע ABOC (כחול) ━ האלכסון BC (סגול)

✅ פתרון סופי: S = 3√34

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	x = 240
סעיף ב	R = 3
סעיף ג	הוכחה
סעיף ד (1)	k = 3√32i
סעיף ד (2)	3√34

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 28 – משולש שווה שוקיים במישור גאוס

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

נתונה המשוואה z² + zz = z + 2z + 9 + 7i , z הוא מספר מרוכב.

z₁ הוא אחד הפתרונות של המשוואה, והוא מייצג נקודה הנמצאת במישור גאוס ברביע הראשון, על מעגל שמרכזו בראשית הצירים.

א. מצאו את משוואת המעגל.

חוסמים במעגל ריבוע שאחד מקודקודיו מיוצג על ידי המספר z₁ .

ב. חשבו את שטח הריבוע.

ג. מצאו את השיעורים של שאר קודקודי הריבוע.

מכפילים ב־r₁ · (cos x + i sin x) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני קודקודי הריבוע שנמצאים ברביעים הראשון והשלישי, ומכפילים ב־r₂ · (cos(x + 30) + i sin(x + 30)) כל אחד מן המספרים המייצגים את שני קודקודי הריבוע שנמצאים ברביעים השני והרביעי. (הזוויות במעלות; בשאלון הזווית מסומנת באות יוונית, כאן נקרא לה x.)

הנקודות במישור גאוס המייצגות את התוצאות שהתקבלו לאחר ההכפלה יוצרות מרובע קמור חדש במישור גאוס.

נתון: r₁ ו־r₂ חיוביים, r₁ ≠ r₂ .

ד. מהו סוג המרובע שהתקבל? נמקו את תשובתכם.

נתון כי שטח המרובע שהתקבל גדול פי √3 משטח הריבוע שחישבתם בסעיף ב.

ה. חשבו את r₁ · r₂ .

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – פתרון המשוואה ומשוואת המעגל

נציב z = a + bi (a , b ממשיים):📐 נוסחה: מספר צמודz = a + bi ⟹ z = a − biz · z = a² + b²

z² = a² − b² + 2abi

zz = a² + b²

z = a − bi

אגף שמאל:

a² − b² + 2abi + a² + b²

= 2a² + 2abi

אגף ימין:

a + bi + 2(a − bi) + 9 + 7i

= (3a + 9) + (7 − b)i

נשווה חלק ממשי וחלק מדומה:📐 משפט: שוויון מספרים מרוכביםa + bi = c + di⟺ a = c , b = d

2a² = 3a + 9

2ab = 7 − b

מהמשוואה הראשונה:

2a² − 3a − 9 = 0

a = 3 ± √9 + 724 = 3 ± 94📐 נוסחה: פתרון משוואה ריבועיתx = −b ± √b² − 4ac2a

a = 3 או a = −1.5

מהמשוואה השנייה:

b(2a + 1) = 7

a = 3 : 7b = 7 ⟹ b = 1

a = −1.5 : −2b = 7 ⟹ b = −3.5

הפתרונות: 3 + i ו־−1.5 − 3.5i. ברביע הראשון:

z₁ = 3 + i

רדיוס המעגל הוא |z₁|:📐 נוסחה: גודל מספר מרוכב|z| = √a² + b²מעגל שמרכזו בראשית: x² + y² = |z|²

|z₁| = √9 + 1 = √10

x² + y² = 10

✅ פתרון סופי: x² + y² = 10

סעיף ב – שטח הריבוע

אלכסון ריבוע החסום במעגל הוא קוטר המעגל:

d = 2√10

שטח הריבוע:📐 נוסחה: שטח ריבוע לפי אלכסוןS = d²2

S = (2√10)²2 = 402 = 20

✅ פתרון סופי: 20

סעיף ג – שאר הקודקודים

אלכסוני הריבוע מאונכים ונחצים בראשית. לכן כל קודקוד מתקבל מהקודם בסיבוב של 90 מעלות סביב הראשית – כפל ב־i:📐 נוסחה: כפל בהצגה טריגונומטריתr₁cis a · r₂cis b= r₁r₂cis(a + b)i = cis 90 – כפל ב־i מסובב ב־90 מעלות

z₂ = (3 + i) · i

= 3i + i² = −1 + 3i

z₃ = (−1 + 3i) · i

= −i + 3i² = −3 − i

z₄ = (−3 − i) · i

= −3i − i² = 1 − 3i

▬ המעגל (סגול) · ▬ הריבוע (כחול) · ▬ האלכסונים (תכלת)

✅ פתרון סופי: (−1 , 3) , (−3 , −1) , (1 , −3)

סעיף ד – סוג המרובע

הקודקודים ברביע הראשון והשלישי הם z₁ ו־z₃ = −z₁. אחרי ההכפלה באותו מספר:

w₁ = z₁ · r₁cis x

w₃ = −z₁ · r₁cis x = −w₁

באותו אופן z₄ = −z₂:

w₂ = z₂ · r₂cis(x + 30)

w₄ = −w₂

כל אלכסון מחבר נקודה ונקודה נגדית לה, לכן אמצע כל אלכסון הוא הראשית – האלכסונים חוצים זה את זה:📐 משפט: מקבילית מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית

המרובע הוא מקבילית.

נבדוק אם זו מקבילית מיוחדת. אורכי האלכסונים:📐 נוסחה: כפל בהצגה טריגונומטריתr₁cis a · r₂cis b= r₁r₂cis(a + b)i = cis 90 – כפל ב־i מסובב ב־90 מעלות

|w₁| = √10 · r₁ ⟹ w₁w₃ = 2√10r₁

|w₂| = √10 · r₂ ⟹ w₂w₄ = 2√10r₂

r₁ ≠ r₂, לכן האלכסונים לא שווים – זה לא מלבן.

הזווית בין האלכסונים: בריבוע הזווית בין z₁ ל־z₂ היא 90 מעלות. z₁ סובב ב־x ו־z₂ סובב ב־x + 30, לכן:📐 נוסחה: כפל בהצגה טריגונומטריתr₁cis a · r₂cis b= r₁r₂cis(a + b)i = cis 90 – כפל ב־i מסובב ב־90 מעלות

90 + 30 = 120

האלכסונים לא מאונכים – זה לא מעוין.

דוגמה (r₁ = 1.6 , r₂ = 1.25 , x = 20 מעלות):

▬ הריבוע המקורי (כחול) · ▬ המרובע החדש (ירוק חזק) · ▬ אלכסוני המרובע החדש (סגול)

✅ פתרון סופי: מקבילית (לא מלבן ולא מעוין)

סעיף ה – המכפלה r1 · r2

האלכסונים מחלקים את המקבילית לארבעה משולשים. בכל משולש שתי צלעות הן חצאי אלכסונים, והזווית ביניהן 120 או 60 מעלות:📐 נוסחה: שטח משולשS = a · b · sin C2

S_משולש = √10r₁ · √10r₂ · sin 1202

(ל־60 ול־120 מעלות אותו סינוס: sin 60 = sin 120 = √32.)

S_משולש = 10r₁r₂2 · √32 = 5√32r₁r₂

S_{מקבילית} = 4 · 5√32r₁r₂ = 10√3r₁r₂

שטח המקבילית גדול פי √3 משטח הריבוע (20):

10√3r₁r₂ = 20√3

r₁r₂ = 2

✅ פתרון סופי: r₁ · r₂ = 2

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	x² + y² = 10 (z₁ = 3 + i)
סעיף ב	20
סעיף ג	(−1 , 3) , (−3 , −1) , (1 , −3)
סעיף ד	מקבילית
סעיף ה	r₁ · r₂ = 2

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 25 – הזזה: מציאת קודקודי ריבוע

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

א. פתור את המשוואה (z + i)² − 2 − 2√3i = 0 , z הוא מספר מרוכב.

נסמן את החלקים הממשיים של פתרונות המשוואה ב־a₁ וב־a₂ כך ש־a₁ < a₂ .

נתונים שני מקומות גאומטריים: I. |z − ia₁| = √3 ; II. |z − ia₂| = √3

ב. סרטט באותה מערכת צירים סקיצה של שני המקומות הגאומטריים.

הישר y = x נמצא במישור גאוס. ישר זה חותך את המקומות הגאומטריים שסרטטת בסעיף ב בראשית הצירים ובשתי נקודות אחרות שמיוצגות על ידי שני המספרים המרוכבים w₁ ו־w₂.

ג. פתור את המשוואה z³ = w₁ · w₁ · w₂ · w₂ , z הוא מספר מרוכב.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – פתרון המשוואה

(z + i)² = 2 + 2√3i

נסמן z + i = a + bi:📐 נוסחה: שורש של מספר מרוכב(a + bi)² = a² − b² + 2abiמשווים חלק ממשי וחלק מדומה

a² − b² + 2abi = 2 + 2√3i

a² − b² = 2📐 משפט: שוויון מספרים מרוכביםa + bi = c + di⟺ a = c , b = d

2ab = 2√3

b = √3a

a² − 3a² = 2

a⁴ − 2a² − 3 = 0

(a² − 3)(a² + 1) = 0

a² + 1 > 0 תמיד, לכן a² = 3:

a = √3 , b = 1

או

a = −√3 , b = −1

z = (a + bi) − i:

z = √3 + i − i = √3

z = −√3 − i − i = −√3 − 2i

✅ פתרון סופי: z = √3 , z = −√3 − 2i

סעיף ב – סקיצה

a₁ = −√3

a₂ = √3

I:📐 נוסחה: מקום גאומטרי|z − z₀| = r – מעגל שמרכזו z₀ ורדיוסו r

|z − (−√3i)| = √3

מעגל שמרכזו (0 , −√3) ורדיוסו √3.

II:📐 נוסחה: מקום גאומטרי|z − z₀| = r – מעגל שמרכזו z₀ ורדיוסו r

|z − √3i| = √3

מעגל שמרכזו (0 , √3) ורדיוסו √3. שני המעגלים עוברים בראשית ומשיקים שם לציר ה־x.

▬ מקום גאומטרי I (כחול) · ▬ מקום גאומטרי II (סגול) · ▬ הישר y = x (לסעיף ג) (ירוק חזק)

✅ פתרון סופי: שני מעגלים ברדיוס √3 שמרכזיהם (0 , √3) ו־(0 , −√3)

סעיף ג – המשוואה z³

משוואת מעגל I: x² + (y + √3)² = 3. נציב y = x:📐 נוסחה: משוואת מעגל(x − a)² + (y − b)² = R²

x² + x² + 2√3x + 3 = 3

2x(x + √3) = 0

⟹ x = 0

או

x = −√3

w₁ = −√3 − √3i

מעגל II: x² + (y − √3)² = 3, עם y = x:

2x(x − √3) = 0

⟹ x = 0

או

x = √3

w₂ = √3 + √3i

מכפלת מספר בצמוד שלו היא ריבוע הגודל:📐 נוסחה: מכפלה בצמודw · w = |w|²

w₁ · w₁ = 3 + 3 = 6

w₂ · w₂ = 6

z³ = 6 · 6 = 36 = 36 cis 0

נפתור בעזרת נוסחת השורשים (הזוויות במעלות):📐 נוסחה: שורשים מסדר n (דה־מואבר)zⁿ = r cis xz = ⁿ√r cisx + 360knk = 0 , 1 , … , n − 1

z = ³√36 cis0 + 360k3

z = ³√36 cis(120k)

k = 0 : z = ³√36 ≈ 3.30

k = 1 : z = ³√36 cis 120

k = 2 : z = ³√36 cis 240

✅ פתרון סופי: ³√36 , ³√36 cis 120 , ³√36 cis 240

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	z = √3 , z = −√3 − 2i
סעיף ב	שני מעגלים
סעיף ג	³√36 cis 0 , ³√36 cis 120 , ³√36 cis 240

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 38 – שורשים מסדר n

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים ⬆️ חזרה לכפתורים

📅 חורף 2022, שאלה 3

📄 נוסח השאלה

נתונים שני מספרים מרוכבים:

z₁ = (2a² + 5a + 4) + (2a² + 3a + 2)i

z₂ = (a² + 8a + 8) + (2 − a² + 2a)i

a הוא פרמטר ממשי.

א. מצא את הערך של הפרמטר a שבעבורו המספרים z₁ ו־z₂ צמודים זה לזה.

הצב בביטויים של z₁ ו־z₂ את הערך של a שמצאת, וענה על הסעיפים ב–ג.

ב. (1) הראה כי w₁ = (z₁√2)⁴ⁿ הוא מספר ממשי לכל n טבעי.

(2) הראה כי w₂ = (z₂√2)^{4n + 2} הוא מספר מדומה טהור לכל n טבעי.

נתון המקום הגאומטרי |z − p| = m . m ו־p הם מספרים ממשיים, m > 0.

ג. מצא את m ואת p, אם ידוע כי המקום הגאומטרי עובר דרך כל הנקודות המייצגות את w₁ ו־w₂ לכל n טבעי.

✏️ פתרון שאלה 3

סעיף א – מספרים צמודים

חלקים ממשיים שווים:📐 נוסחה: מספרים צמודיםa + bi ו־a − bi : חלקים ממשיים שווים, חלקים מדומים נגדיים

2a² + 5a + 4 = a² + 8a + 8

a² − 3a − 4 = 0

(a − 4)(a + 1) = 0

a = 4 או a = −1

חלקים מדומים נגדיים:

2a² + 3a + 2 = −(2 − a² + 2a)

2a² + 3a + 2 = a² − 2a − 2

a² + 5a + 4 = 0

(a + 1)(a + 4) = 0

a = −1 או a = −4

הערך המשותף לשני התנאים: a = −1.

✅ פתרון סופי: a = −1

סעיף ב – w₁ ממשי, w₂ מדומה טהור

z₁ = (2 − 5 + 4)

+ (2 − 3 + 2)i

z₁ = 1 + i

z₂ = 1 − i

z₁√2 = 1√2 + 1√2i = cis 45📐 נוסחה: הצגה קוטביתz = r cis xr = |z| = √a² + b²

z₂√2 = cis(−45)

(1)📐 נוסחה: נוסחת דה־מואבר(r cis x)ⁿ = rⁿ cis(nx)

w₁ = (cis 45)⁴ⁿ = cis(180n)

w₁ = cos(180n) + i sin(180n)

sin(180n) = 0

⟹ w₁ = cos(180n) = (−1)ⁿ

החלק המדומה 0 – ממשי לכל n טבעי.

(2)

w₂ = (cis(−45))^{4n + 2}

= cis(−180n − 90)

cos(−180n − 90) = 0

w₂ = i sin(−180n − 90) = ±i

החלק הממשי 0 והחלק המדומה שונה מ־0 – מדומה טהור לכל n טבעי (הזוויות במעלות).

✅ פתרון סופי: הוכח

סעיף ג – m ו־p

ערכי w₁: 1 (n זוגי) ו־−1 (n אי־זוגי). ערכי w₂: i ו־−i.

המקום הגאומטרי – מעגל שמרכזו (p , 0) על הציר הממשי ורדיוסו m:📐 נוסחה: מקום גאומטרי|z − z₀| = r – מעגל שמרכזו z₀ ורדיוסו r

המעגל עובר ב־1 וב־−1, ולכן המרכז באמצע ביניהן:

p = 1 + (−1)2 = 0

m = |1 − 0| = 1

בדיקה: |i − 0| = |−i − 0| = 1 ✓

▬ המעגל |z| = 1 (סגול) · ▬ ערכי w1 (ירוק חזק) · ▬ ערכי w2 (כחול)

✅ פתרון סופי: p = 0 , m = 1

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

סעיף א	a = −1
סעיף ב	הוכח
סעיף ג	p = 0 , m = 1

📚 ללמוד את הנושא: שיעור 32 -משפט דה-מואבר 1

🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס מספרים מרוכבים

📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 ⬆️ חזרה לכפתורים

📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 572 לפי נושא

🎓 רוצים להבין את זה לעומק?

בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.

השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.

שאלות בגרות 572 לפי נושא – מספרים מרוכבים

📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 3

סעיף א – הערך של t

סעיף ב – הערך של r

סעיף ג – ארבעת הפתרונות

סעיף ד – הערך של b

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 3

סעיף א – פתרונות המשוואה z³ = −64

סעיף ב – שני הערכים האפשריים של a

סעיף ג – הערכים של a ושל r

סעיף ד – שטח המרובע ABCD

סעיף ה – המספר המרוכב u

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

📅 חורף 2026, שאלה 3

סעיף א – המקום הגאומטרי הוא פרבולה

סעיף ב – קודקודי מצולע I

סעיף ג – קודקודי מצולע II

סעיף ד – מציאת t

סעיף ה – היחס בין השטחים

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 3

סעיף א – המספר z2

סעיף ב – פתרון המשוואה

סעיף ג – ארבע האפשרויות של z

סעיף ד (1) – סרטוט המצולע

סעיף ד (2) – שטח המצולע

סעיף ה – פי כמה גדל השטח

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 3

סעיף א – המקום הגאומטרי

סעיף ב – A ו־B על המקום הגאומטרי

סעיף ג (1) – n = 8

סעיף ג (2) – a = 15

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

📅 חורף 2025, שאלה 3

סעיף א – הצגה קוטבית של 1/w

סעיף ב – הערך של t

סעיף ג (1) – מספר הקודקודים

סעיף ג (2) – על מעגל אחד?

סעיף ד – הערך של r

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 3

סעיף א (1) – פתרונות z⁶ + 64i = 0

סעיף א (2) – ארבעת הפתרונות

סעיף ב – שטח המרובע

סעיף ג – המכפלה בעבור t = 45

סעיף ד (1) – מתי המכפלה מדומה טהור

סעיף ד (2) – ערך המכפלה

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 3

סעיף א – המספרים שמייצגים את B, C, D

סעיף ב (1) – הצגה קוטבית של המספרים ההופכיים

סעיף ב (2) – שטח המרובע

סעיף ג – סכום 12 הפתרונות

סעיף ד – הערך של r

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

📅 חורף 2024, שאלה 3

סעיף א – המקום הגאומטרי

סעיף ב – המספר zA

סעיף ג – המנה q

סעיף ד – הסכום

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 3

סעיף א (1) – המקום הגאומטרי

סעיף א (2) – דוגמה

סעיף ב – פתרון z6 = 1

סעיף ג – שיעורי A

סעיף ד – קודקודי מצולע II

סעיף ה – הערך של w

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 3

סעיף א – המנה q

סעיף ב – המספר z1

סעיף ג – ממשי או מדומה

סעיף ד – הסכום

📌 סיכום התשובות – שאלה 3

📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 3

סעיף א – הפתרון z0

סעיף ב – הערך של d

סעיף ב – המספר z_A

סעיף ב – פתרון z⁶ = 1

סעיף ב – המספר z₁

סעיף א – הפתרון z₀