בגרות במתמטיקה · 5 יחידות · שאלון 572 (35572) · שאלות לפי נושא
שאלות בגרות 572 לפי נושא – חקירת פונקציית ln
כל השאלות בנושא חקירת פונקציית ln מבחינות הבגרות בשאלון 572, מהבחינה החדשה ביותר אחורה. חקירת פונקציות לוגריתמיות עם פרמטר, כולל סעיפי השטח והאינטגרל. בכל שאלה: הנוסח המלא, ומתחתיו פתרון מלא שלב אחר שלב.
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 572 לפי נושא
17 שאלות פתורות: 17 מבחינות 572 של 2022–2026, מהחדשה לישנה. לוחצים על מועד ועוברים ישר לשאלה. כל שאלה פתורה עד הסוף, שלב אחר שלב, והנוסחה בצד.
ליד כל מועד כתוב מה יש בשאלה: פרמטר · שטח · אינטגרל · הזזות · גרף נגזרת
שאלון 572 – כל המועדים
קיץ 2026 ב · הזזותקיץ 2026 א · פרמטר · שטח · הזזותחורף 2026 · פרמטר · הזזותקיץ 2025 ב · פרמטר · שטחקיץ 2025 א · שטחחורף 2025 · פרמטר · הזזותקיץ 2024 ב · פרמטרקיץ 2024 א · שטח · גרף נגזרתחורף 2024קיץ 2023 מיוחד · אינטגרל · הזזותקיץ 2023 ב · פרמטר · שטחקיץ 2023 א · שטחחורף 2023 · אינטגרל · הזזותקיץ 2022 ב · פרמטר · אינטגרלקיץ 2022 א · שטח · גרף נגזרתחורף 2022 נבצרים · פרמטר · שטח · הזזותחורף 2022 · שטח · הזזות
📅 קיץ 2026 מועד ב׳, שאלה 5 הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 8ln(x2 + 7) − 2x.
תחום ההגדרה של הפונקציה f(x) הוא כל x.
א. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגן.
ב. מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה ∪ וכלפי מטה ∩ של הפונקציה f(x).
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = ln(f(x) − 18).
ד. (1) כמה אסימפטוטות אנכיות יש לפונקציה g(x)? נמקו.
(2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגה.
(3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – נקודות הקיצון
נגזור. את האיבר הראשון לפי נגזרת של ln מורכבת:
f′(x) = 8 · 2xx2 + 7 − 2📐 נגזרת של ln מורכבת[ln g(x)]′ = g′(x)g(x)
f′(x) = 16xx2 + 7 − 2
נכנס למכנה משותף:
f′(x) = 16x − 2(x2 + 7)x2 + 7
f′(x) = −2x2 + 16x − 14x2 + 7
המכנה תמיד חיובי. נשווה את המונה ל־0 ונחלק ב־−2:
−2x2 + 16x − 14 = 0
x2 − 8x + 7 = 0
x1,2 = 8 ± √64 − 282📐 נוסחת השורשיםx1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
= 8 ± 62
x1 = 1 , x2 = 7
נבדוק את סימן הנגזרת (לפי המונה) בכל תחום:
| x | x < 1 | 1 | 1 < x < 7 | 7 | x > 7 |
|---|---|---|---|---|---|
| f′(x) | − | 0 | + | 0 | − |
| f(x) | ↘ | מינימום | ↗ | מקסימום | ↘ |
f′(0) = −147 = −2 < 0 ,
f′(2)
= −8 + 32 − 1411 = 1011 > 0
f′(8)
= −128 + 128 − 1471 < 0
שיעורי ה־y:
f(1) = 8ln(1 + 7) − 2 · 1
= 8ln8 − 2 ≈ 14.64
f(7)
= 8ln(49 + 7) − 2 · 7
= 8ln56 − 14 ≈ 18.20
✅ פתרון סופי: מינימום (1 , 8ln8 − 2) ≈ (1 , 14.64) ; מקסימום (7 , 8ln56 − 14) ≈ (7 , 18.20)
סעיף ב – תחומי הקעירות
נגזור שוב את f′(x) = 16xx2 + 7 − 2:
f″(x)📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 16 · (x2 + 7) − 16x · 2x(x2 + 7)2
f″(x) = 16x2 + 112 − 32x2(x2 + 7)2
f″(x) = 112 − 16x2(x2 + 7)2
= 16(7 − x2)(x2 + 7)2
המכנה חיובי, ולכן הסימן נקבע לפי 7 − x²:
7 − x2 = 0 ⟸ x = ±√7
≈ ±2.65
−√7 < x < √7 : f″(x) > 0📐 קעירותf″ > 0 ⟸ ∪ , f″ < 0 ⟸ ∩
שם הפונקציה קעורה כלפי מעלה ∪.
x < −√7 : f″(x) < 0
x > √7 : f″(x) < 0
שם הפונקציה קעורה כלפי מטה ∩.
✅ פתרון סופי: קעורה כלפי מעלה ∪ ב־−√7 < x < √7 ; קעורה כלפי מטה ∩ ב־x < −√7 או x > √7
סעיף ג – סקיצה
מה שמצאנו: יורדת עד x = 1 (מינימום (1 , 14.64)), עולה עד x = 7 (מקסימום (7 , 18.20)), ואחר כך יורדת. נקודות פיתול ב־x = ±√7.
חיתוך עם ציר ה־y: f(0) = 8ln7 ≈ 15.57, כלומר (0 , 15.57).
משמאל הגרף גבוה (המינימום 14.64 הוא הערך הקטן ביותר עד x = 7). מימין ל־7 הפונקציה יורדת בלי הגבלה (האיבר −2x גדל מהר יותר מ־8ln(x2 + 7)), ולכן הגרף חותך את ציר ה־x פעם אחת, רחוק ימינה (בערך ב־x ≈ 26.15).
הגרף סורטט בקנה מידה מהפונקציה עצמה (הקו הירוק y = 18 ישמש בסעיף ד):
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ד (1) – מספר האסימפטוטות האנכיות של g
g(x) = ln(f(x) − 18) מוגדרת רק כאשר:
f(x) − 18 > 0
⟸ f(x) > 18
אסימפטוטה אנכית של g מתקבלת בנקודה שבה f(x) − 18 → 0 מצד החיוביים, כי אז ln → −∞. כלומר בכל נקודה שבה הגרף של f חוצה את הישר y = 18.
לפי סעיפים א–ג: המינימום 14.64 < 18 והמקסימום 18.20 > 18. לכן:
• כש־x < 1: f יורדת מערכים גדולים מאוד עד 14.64 – חוצה את y = 18 פעם אחת (בערך ב־x ≈ −0.84).
• כש־1 < x < 7: f עולה מ־14.64 עד 18.20 – חוצה פעם אחת (בערך ב־x ≈ 5.67).
• כש־x > 7: f יורדת מ־18.20 בלי הגבלה – חוצה פעם אחת (בערך ב־x ≈ 8.43).
שלוש נקודות חיתוך, ובכל אחת מהן g → −∞.
✅ פתרון סופי: 3 אסימפטוטות אנכיות
סעיף ד (2) – נקודת הקיצון של g
לא גוזרים את g – קוראים אותה מתוך הגרף של f (סעיף ג).
g(x) = ln(f(x) − 18)📐 משפט: הגרף של ln(f)ln t פונקציה עולה, ולכן:
f עולה ⇐ ln(f − 18) עולה
f יורדת ⇐ ln(f − 18) יורדת
לקיצון של f (בתחום) מתאים קיצון מאותו סוג
f עולה ⇐ ln(f − 18) עולה
f יורדת ⇐ ln(f − 18) יורדת
לקיצון של f (בתחום) מתאים קיצון מאותו סוג
לפונקציה f יש שני קיצונים: מינימום ב־x = 1 ומקסימום ב־x = 7.
הנקודה x = 1 לא בתחום של g, כי f(1) ≈ 14.64 < 18.
הנקודה x = 7 בתחום של g, כי f(7) ≈ 18.20 > 18.
מקסימום של f ⇐ מקסימום של g ב־x = 7.
בענף x < −0.84 הפונקציה f רק יורדת, ולכן גם g רק יורדת – אין שם קיצון.
g(7) = ln(f(7) − 18)
= ln(8ln56 − 14 − 18)
g(7)
= ln(8ln56 − 32)
≈ ln(0.2028) ≈ −1.60
✅ פתרון סופי: מקסימום (7 , ln(8ln56 − 32)) ≈ (7 , −1.60)
סעיף ד (3) – סקיצה של g
תחום ההגדרה: x < −0.84 או 5.67 < x < 8.43 (בקירוב). שלוש אסימפטוטות אנכיות בקצוות.
הענף השמאלי: יורד, ושואף ל־−∞ ליד x ≈ −0.84. כש־x קטן מאוד, f גדלה ולכן גם g גדלה (לאט).
הענף האמצעי: עולה מ־−∞ עד המקסימום (7 , −1.60) ויורד שוב ל־−∞. כולו מתחת לציר ה־x (כי f − 18 < 1 שם).
הגרף סורטט בקנה מידה מהפונקציה עצמה:
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | מינימום: (1 , 8ln8 − 2) ≈ (1 , 14.64) מקסימום: (7 , 8ln56 − 14) ≈ (7 , 18.20) |
|---|---|
| סעיף ב | ∪ −√7 < x < √7 ; ∩ x < −√7 או x > √7 |
| סעיף ג | סקיצה |
| סעיף ד (1) | 3 |
| סעיף ד (2) | מקסימום (7 , ln(8ln56 − 32)) ≈ (7 , −1.60) |
| סעיף ד (3) | סקיצה |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 28 – בהינתן f(x), שרטוט ln(f(x))
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2026 מועד א׳, שאלה 4 פרמטר · שטח · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = xn · (3 − ln x), המוגדרת בתחום x > 0. n הוא פרמטר טבעי.
א. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x.
נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקצייה f(x) בנקודה שבה x = 1 הוא 2.
ב. מצאו את הערך של n.
הציבו n = 1 בפונקצייה f(x), וענו על הסעיפים ג–ו.
ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגה.
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).
נתונה הפונקצייה g(x) = 1f(x).
ה. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה g(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה g(x). (3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x).
a הוא פרמטר, 1 < a < 3. נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקצייה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = e ו־x = ea הוא ln 10.
ו. מצאו את הערך של a.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א – חיתוך עם ציר ה־x
על ציר ה־x מתקיים f(x) = 0:
xn · (3 − ln x) = 0
בתחום x > 0 מתקיים xn > 0, ולכן רק הגורם השני יכול להתאפס:
3 − ln x = 0
ln x = 3
x = e3📐 נוסחה: הגדרת הלוגריתםln x = b ⟺ x = eb
✅ פתרון סופי: (e3 , 0) ≈ (20.09 , 0)
סעיף ב – הערך של n
נגזור לפי כלל הנגזרת של מכפלה:
f'(x) = n · xn − 1 · (3 − ln x) + xn · (−1x)📐 נוסחה: נגזרת של מכפלה(u · v)' = u' · v + u · v'(xn)' = n · xn − 1(ln x)' = 1x
f'(x) = n · xn − 1 · (3 − ln x) − xn − 1
שיפוע המשיק בנקודה שבה x = 1 הוא f′(1). נציב x = 1 (זכרו ln 1 = 0 ו־1n − 1 = 1):
f'(1) = n · 1 · (3 − 0) − 1📐 נוסחה: שיפוע המשיקm = f'(x0)
f'(1) = 3n − 1
3n − 1 = 2
3n = 3
n = 1
✅ פתרון סופי: n = 1
סעיף ג – נקודת הקיצון
עם n = 1: f(x) = x(3 − ln x) = 3x − x · ln x. מהנגזרת שמצאנו בסעיף ב, עם n = 1:
f'(x) = 1 · x0 · (3 − ln x) − x0
f'(x) = 3 − ln x − 1
f'(x) = 2 − ln x
נשווה את הנגזרת לאפס:
2 − ln x = 0
ln x = 2
x = e2📐 נוסחה: הגדרת הלוגריתםln x = b ⟺ x = eb
f(e2) = e2 · (3 − ln e2) = e2 · (3 − 2) = e2
נבדוק את סוג הקיצון בטבלה (נציב נקודות משני הצדדים):
| x | 1 | e2 | e3 |
|---|---|---|---|
| f′(x) | 2 − 0 = 2 > 0 | 0 | 2 − 3 = −1 < 0 |
| f(x) | עולה ↗ | מקסימום | יורדת ↘ |
✅ פתרון סופי: מקסימום (e2 , e2) ≈ (7.39 , 7.39)
סעיף ד – סקיצה של f(x)
מה שמצאנו: תחום x > 0; חיתוך עם ציר ה־x ב־(e3 , 0); מקסימום ב־(e2 , e2); עלייה ב־0 < x < e2 וירידה ב־x > e2.
כשהערכים של x קרובים ל־0 מימין, גם f(x) קרוב ל־0 (למשל f(0.01) ≈ 0.08), ולכן הגרף יוצא מליד הראשית (נקודה ריקה). עבור x > e3 הפונקצייה שלילית ויורדת.
סקיצה של גרף הפונקציה f(x) = 3x − x · ln x (בקנה מידה)
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו בגרף
סעיף ה (1) – תחום ההגדרה של g(x)
g(x) = 1f(x) מוגדרת כאשר f(x) מוגדרת (x > 0) וגם המכנה שונה מאפס:
f(x) ≠ 0 ⟸ x ≠ e3
✅ פתרון סופי: 0 < x < e3 , x > e3
סעיף ה (2) – אסימפטוטות של g(x)
אסימפטוטות אנכיות. במקומות שבהם המכנה f(x) מתאפס (או שואף ל־0), g(x) שואפת לאינסוף:
ב־x = e3: f(e3) = 0, ולכן x = e3 אסימפטוטה אנכית.
כש־x שואף ל־0 מימין, f(x) שואפת ל־0 (ערכים חיוביים קטנים), ולכן g(x) שואפת ל־+∞: x = 0 אסימפטוטה אנכית.
אסימפטוטה אופקית. כש־x שואף לאינסוף, f(x) = x(3 − ln x) שואפת ל־−∞ (הגורם 3 − ln x שלילי וגדל בערכו המוחלט). לכן g(x) = 1f(x) שואפת ל־0:
y = 0
אסימפטוטה אופקית מימין (כאשר x שואף לאינסוף).
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = e3 , y = 0 (מימין)
סעיף ה (3) – סקיצה של g(x)
בתחום 0 < x < e3 הפונקצייה f חיובית, ולכן גם g חיובית. כש־f מקסימלית, g = 1f מינימלית: נקודת מינימום (e2 , 1e2) ≈ (7.39 , 0.14).
f עולה ב־0 < x < e2 ⟸ g יורדת שם; f יורדת ב־x > e2 ⟸ g עולה שם (בכל ענף בנפרד).
בתחום x > e3 הפונקצייה f שלילית, ולכן g שלילית: עולה מ־−∞ (ליד x = e3) ומתקרבת ל־0 מלמטה.
סקיצה של גרף הפונקציה g(x) = 1 : f(x) (בקנה מידה). האסימפטוטה x = e³ מקווקוות
✅ פתרון סופי: סקיצה – ראו בגרף
סעיף ו – הערך של a
בתחום e ≤ x ≤ ea (כאשר 1 < a < 3, כלומר ea < e3) הפונקצייה g חיובית, ולכן השטח הוא האינטגרל:
S = ∫eae 1x(3 − ln x) dx📐 נוסחה: שטח מתחת לגרף חיוביS = ∫ab f(x) dx
נזהה את המכנה: הנגזרת של 3 − ln x היא −1x, ולכן:
1x(3 − ln x) = −−1x3 − ln x📐 נוסחה: אינטגרל של מנה (נגזרת המכנה במונה)∫ h'(x)h(x) dx = ln|h(x)| + C
S = [−ln|3 − ln x|]eea
נציב את הגבולות (ln ea = a, ln e = 1); בתחום הזה 3 − ln x > 0:
S = −ln(3 − a) − (−ln(3 − 1))
S = ln 2 − ln(3 − a)
S = ln 23 − a📐 נוסחה: חוקי לוגריתמיםln u − ln v = ln uv
נתון ש־S = ln 10:
ln 23 − a = ln 10
23 − a = 10
2 = 10(3 − a)
2 = 30 − 10a
10a = 28
a = 2.8
בדיקה: 1 < 2.8 < 3 ✓
✅ פתרון סופי: a = 2.8
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א | (e3 , 0) |
|---|---|
| סעיף ב | n = 1 |
| סעיף ג | מקסימום (e2 , e2) |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה (1) | 0 < x < e3 , x > e3 |
| סעיף ה (2) | x = 0 , x = e3 , y = 0 (מימין) |
| סעיף ה (3) | סקיצה |
| סעיף ו | a = 2.8 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27 – חקירה ברמת בגרות 5 יחידות
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2026 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2026, שאלה 5 פרמטר · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = 1x · (a + 1(ln x)2). a הוא פרמטר חיובי.
א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
נתון כי לפונקציה f(x) יש נקודת קיצון אחת בלבד, בנקודה שבה x = 1e.
ב. מצאו את הערך של a.
הציבו a = 1 בפונקציה f(x), וענו על הסעיפים ג–ו.
g(x) היא פונקציה שהנגזרת שלה מקיימת g'(x) = f(x). תחום ההגדרה של הפונקציה g(x) זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x). ידוע שלפונקציה g(x) יש נקודת פיתול שנמצאת על ציר ה־x.
ג. מצאו פונקציה g(x) המקיימת תנאים אלה.
בעבור הפונקציה g(x) שמצאתם ענו על הסעיפים ד–ו.
ד. (1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x) (אם יש כאלה). (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x. (3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה g(x) (אם יש כאלה).
ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
נתונה הפונקציה h(x) = ln|g(x)|.
ו. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה h(x). (2) אחד מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה h(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחום ההגדרה של f(x)
הביטוי ln x מוגדר רק כאשר x > 0.📐 תחום הגדרה של lnln u מוגדר כאשר u > 0
המכנה (ln x)2 לא יכול להיות 0:
ln x = 0 ⇒ x = 1
גם המכנה x לא מתאפס (כבר x > 0).
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ 1 (כלומר 0 < x < 1 או x > 1)
סעיף ב – מציאת a
נכתוב את f כסכום:
f(x) = ax + 1x(ln x)2
נגזור את המחובר השני. נגזרת המכנה:
[x(ln x)2]'📐 נגזרת של מכפלה(u · v)' = u'v + uv'
= 1 · (ln x)2
+ x · 2ln x · 1x
= (ln x)2 + 2ln x
[1x(ln x)2]'📐 נגזרת של 1 חלקי פונקציה(1v)' = −v'v2
= −(ln x)2 + 2ln xx2(ln x)4
= −ln x + 2x2(ln x)3
f'(x) = −ax2 − ln x + 2x2(ln x)3
בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת. נציב x = 1e: ln1e = −1, x2 = 1e2:
f'(1e) = −ae2 − −1 + 21e2 · (−1)3
= −ae2 − 1−1e2
= −ae2 + e2
e2(1 − a) = 0
a = 1
בדיקה: עם a = 1 נסמן u = ln x. מונה הנגזרת (עם מכנה משותף) הוא −(u3 + u + 2) = −(u + 1)(u2 − u + 2). הגורם u2 − u + 2 תמיד חיובי, ולכן הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן רק ב־u = −1, כלומר רק ב־x = 1e – באמת נקודת קיצון אחת ✓
✅ פתרון סופי: a = 1
סעיף ג – מציאת g(x)
g'(x) = f(x)
= 1x + 1x(ln x)2
∫1x dx = ln x📐 נגזרת של ln(ln x)' = 1x
במחובר השני 1x היא הנגזרת הפנימית של ln x:
∫(ln x)−2 · 1x dx📐 אינטגרל עם נגזרת פנימית∫(u(x))n · u'(x) dx= (u(x))n+1n + 1 + C
= (ln x)−1−1 = −1ln x
g(x) = ln x − 1ln x + C
נקודת הפיתול של g היא נקודה שבה ל־g' = f יש קיצון. לפי סעיף ב, ל־f יש קיצון יחיד ב־x = 1e, ושם הנגזרת של f מחליפה סימן – לכן זו נקודת הפיתול של g.
היא על ציר ה־x:
g(1e) = 0
ln1e − 1ln1e + C = 0
−1 − 1−1 + C = 0
−1 + 1 + C = 0 ⇒ C = 0
✅ פתרון סופי: g(x) = ln x − 1ln x
סעיף ד (1) – אסימפטוטות של g(x)
ליד x = 1: ln x → 0, ולכן 1ln x שואף לאין־סוף:
x → 1−: ln x → 0−
⇒ g → +∞
x → 1+: ln x → 0+
⇒ g → −∞
ליד x = 0: ln x → −∞, 1ln x → 0, ולכן g → −∞.
כאשר x → ∞: ln x → ∞ ו־1ln x → 0, ולכן g → ∞ – אין אסימפטוטה אופקית.
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = 1 ; אין אסימפטוטה אופקית
סעיף ד (2) – חיתוך עם ציר ה־x
ln x − 1ln x = 0
נכפול ב־ln x (שונה מ־0):
(ln x)2 = 1
ln x = 1 או ln x = −1
x = e או x = 1e.📐 הגדרת lnln x = b ⇐ x = eb
✅ פתרון סופי: (1e , 0) , (e , 0)
סעיף ד (3) – עלייה וירידה
g'(x) = f(x)
= 1x · (1 + 1(ln x)2)
בתחום ההגדרה x > 0, ו־1 + 1(ln x)2 > 0.
לכן אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד חיובית ב־0 < x < 1 וב־x > 1.
✅ פתרון סופי: עולה ב־0 < x < 1 וב־x > 1; אין תחומי ירידה
סעיף ה – סקיצה של g(x)
• ב־0 < x < 1: עולה מ־−∞ (ליד x = 0), חותכת את ציר ה־x ב־(1e , 0) (זו גם נקודת הפיתול), וממשיכה ל־+∞ ליד x = 1.
• ב־x > 1: עולה מ־−∞ (ליד x = 1), חותכת את ציר ה־x ב־(e , 0), וממשיכה לעלות לאט.
✅ פתרון סופי: סקיצה עם x = 0, x = 1, (1/e , 0), (e , 0)
סעיף ו (1) – תחום ההגדרה של h(x)
צריך ש־g(x) תהיה מוגדרת, ו־|g(x)| > 0:📐 תחום הגדרה של lnln u מוגדר כאשר u > 0
x > 0 , x ≠ 1
g(x) ≠ 0
⇒ x ≠ 1e , x ≠ e
✅ פתרון סופי: 0 < x < 1e , 1e < x < 1 , 1 < x < e , x > e
סעיף ו (2) – איזה גרף מתאר את h(x)
נבדוק איך h = ln|g| מתנהגת:
• ליד נקודות האפס של g (x = 1e ו־x = e): |g| → 0, ולכן h → −∞.
• ליד האסימפטוטות של g (x → 0+ ו־x → 1): |g| → ∞, ולכן h → +∞.
• כאשר x → ∞: g → ∞, ולכן h עולה ל־+∞.
לכן ל־h יש ערכים שליליים (ליד 1e ו־e) – זה פוסל את גרפים III ו־IV, שכולם מעל ציר ה־x.
בגרף I הפונקציה שואפת ל־−∞ ליד ציר ה־y ויורדת בקצה הימני – אבל h שואפת שם ל־+∞. לכן I נפסל.
בגרף II: מתחיל גבוה ליד ציר ה־y, יורד ל־−∞ (ב־1e), עולה ל־+∞ (ב־1), יורד ל־−∞ (ב־e) ואחר כך עולה – בדיוק כמו h.
(הבחירה נשענת על קריאת הגרפים שבשאלון, והיא מתאימה לכל הגבולות שחישבנו.)
✅ פתרון סופי: גרף II
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | x > 0 , x ≠ 1 |
|---|---|
| סעיף ב | a = 1 |
| סעיף ג | g(x) = ln x − 1ln x |
| סעיף ד (1) | x = 0, x = 1 |
| סעיף ד (2) | (1/e , 0), (e , 0) |
| סעיף ד (3) | עולה ב־0 < x < 1, x > 1 |
| סעיף ה | סקיצה |
| סעיף ו (1) | x > 0 , x ≠ 1/e , 1 , e |
| סעיף ו (2) | גרף II |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – אינטגרל: זיהוי נגזרת פנימית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2026⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד ב׳, שאלה 5 פרמטר · שטח
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = x · ln(x)1 + ln(x).
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־x של הפונקציה f(x).
(3) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.
ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = 1 + ln(x)x · ln(x).
ד. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x).
(3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
נתון הביטוי ∫e2kek (1x · ln(x) + 1x) dx, k הוא פרמטר גדול מ־1.
ה. (1) קבעו איזה מן הביטויים I–II שווה לערך של הביטוי הנתון. נמקו את קביעתכם.
I. k + ln(k) II. k + ln2
(2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = e3 ו־x = e6.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
x > 0📐 תנאי ל־lnln(x) ⟸ x > 0
המכנה שונה מ־0:
1 + ln(x) ≠ 0
ln(x) ≠ −1 ⟸ x ≠ e−1 = 1e📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ 1e
סעיף א (2) – האסימפטוטה האנכית
המכנה מתאפס ב־x = 1e. המונה שם:
1e · ln(1e) = −1e ≠ 0
מונה שונה מ־0 ומכנה 0 – אסימפטוטה אנכית. (ליד x = 0: x · ln(x) → 0 והמכנה שואף ל־−∞, כך ש־f → 0 – אין שם אסימפטוטה.)
✅ פתרון סופי: x = 1e
סעיף א (3) – חיתוך עם ציר ה־x
x · ln(x) = 0
x = 0 לא בתחום, ולכן:
ln(x) = 0 ⟸ x = 1
✅ פתרון סופי: (1 , 0)
סעיף ב – תחומי עלייה וירידה
נגזרת המונה: (x · ln x)′ = ln x + 1 (כלל המכפלה). נגזרת המכנה: 1x.
f′(x)📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2📐 נגזרת של מכפלה(uv)′ = u′v + uv′📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
= (ln x + 1)(1 + ln x) − x ln x · 1x(1 + ln x)2
f′(x) = (1 + ln x)2 − ln x(1 + ln x)2
נסמן t = ln x. המונה:
(1 + t)2 − t = t2 + t + 1
b2 − 4ac = 1 − 4 = −3 < 0📐 ביטוי ריבועי חיובי תמידat2 + bt + c > 0 כאשר a > 0 ו־b2 − 4ac < 0
המונה חיובי תמיד, והמכנה (ריבוע) חיובי בתחום. לכן: אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד חיובית בכל התחום – הפונקציה עולה בכל אחד מן התחומים, ואין תחום ירידה.
✅ פתרון סופי: עולה: 0 < x < 1e , x > 1e ; ירידה: אין
סעיף ג – סקיצה של f
ליד x = 0 הגרף מתחיל קרוב לנקודה (0 , 0) (שאינה שייכת לגרף) ועולה אל +∞ ליד x = 1e משמאל.
מימין לאסימפטוטה הגרף מתחיל ב־−∞, עולה, חוצה את ציר ה־x ב־(1 , 0) וממשיך לעלות.
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ד (1) – תחום ההגדרה של g
x > 0
x · ln(x) ≠ 0 ⟸ ln(x) ≠ 0
⟸ x ≠ 1
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ 1
סעיף ד (2) – האסימפטוטות של g
x = 1: המכנה 0 והמונה 1 + 0 = 1 ≠ 0 – אסימפטוטה אנכית.
x → 0 (מימין): המונה 1 + ln x → −∞, והמכנה x ln x → 0 (מהצד השלילי). לכן g → +∞ – גם x = 0 אסימפטוטה אנכית.
(אפשר לראות זאת גם כך: g = 1f ו־f → 0 מהצד החיובי כש־x → 0.)
x → ∞: נפצל:
g(x) = 1x ln x + 1x → 0 + 0
y = 0
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = 1 , y = 0
סעיף ד (3) – סקיצה של g
g(x) = 1f(x). לכן:
• f עולה בכל תחום (סעיף ב), ולכן g יורדת בכל תחום שבו f לא מחליפה סימן.📐 הפונקציה 1 חלקי fבתחום שבו f לא מחליפה סימן: כש־f עולה, 1f יורדת (ולהפך)
• היכן שלגרף של f אסימפטוטה אנכית (x = 1e), g = 0: הנקודה (1e , 0).
• היכן ש־f = 0 (x = 1), ל־g אסימפטוטה אנכית.
הגרף יורד מ־+∞ (ליד 0) דרך (1e , 0) אל −∞ (ליד 1); מימין ל־1 יורד מ־+∞ ומתקרב ל־y = 0.
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ה (1) – איזה ביטוי
1x ln x היא מנה שבה המונה הוא הנגזרת של המכנה ln x:
∫ 1xln x dx = ln(ln x) + C📐 אינטגרל מהצורה מנה∫ g′(x)g(x) dx = ln|g(x)| + C
∫ 1x dx = ln x + C📐 אינטגרל מהצורה מנה∫ g′(x)g(x) dx = ln|g(x)| + C
(כאן x > 1, ולכן ln x > 0 ואין צורך בערך מוחלט.)
[ ln(ln x) + ln x ]e2kek
= ln(2k) + 2k − (ln k + k)
= ln 2 + ln k + 2k − ln k − k📐 חוק לוגריתמיםln(ab) = ln a + ln b
= k + ln 2
✅ פתרון סופי: ביטוי II , k + ln2
סעיף ה (2) – השטח
הביטוי בסעיף ה הוא בדיוק ∫ g(x) dx, כי g(x) = 1 + ln xx ln x = 1x ln x + 1x.
בין e3 ל־e6 (x > 1) g חיובית, ולכן השטח הוא האינטגרל. זה המקרה k = 3:
S = ∫e6e3 g(x) dx = 3 + ln 2📐 שטח מעל ציר ה־xS = ∫ba g(x) dx
S ≈ 3.69
✅ פתרון סופי: S = 3 + ln2 ≈ 3.69
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | x > 0 , x ≠ 1e |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = 1e |
| סעיף א (3) | (1 , 0) |
| סעיף ב | עולה בכל התחום |
| סעיף ד (1) | x > 0 , x ≠ 1 |
| סעיף ד (2) | x = 0 , x = 1 , y = 0 |
| סעיף ה (1) | II , k + ln2 |
| סעיף ה (2) | 3 + ln2 ≈ 3.69 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – אינטגרל 3: זיהוי נגזרת פנימית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2025 מועד א׳, שאלה 5 שטח
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ln(xn), n הוא מספר טבעי זוגי.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) לפניכם ארבעה גרפים, I–IV. קבעו איזה מהם מייצג את הפונקציה f(x). נמקו את קביעתכם.
הציבו n = 2 בפונקציה f(x), וענו על סעיפים ב–ד.
נתונה הפונקציה g(x) = (f(x))2 − 4, המוגדרת לכל x ≠ 0.
ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x.
(2) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגן.
ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
נתונה הפונקציה k(x) = g′(x)g(x), בתחום x > 0.
ד. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה k(x).
(2) חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה k(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = e2 ו־x = e3.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
xn > 0📐 תנאי ל־lnln(x) ⟸ x > 0
n זוגי, ולכן xn חיובי לכל x ≠ 0 (ושווה 0 כש־x = 0):
✅ פתרון סופי: x ≠ 0
סעיף א (2) – איזה גרף
n זוגי, ולכן (−x)n = xn:
f(−x) = ln((−x)n) = ln(xn)📐 פונקציה זוגיתf(−x) = f(x) לכל x בתחום
= f(x)
הפונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־y, ומוגדר משני צדי הציר. גרפים III ו־IV קיימים רק בצד אחד, וגרף I אינו סימטרי. לכן גרף II.
✅ פתרון סופי: גרף II
סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר ה־x
g(x) = (ln(x2))2 − 4 = 0
ln(x2) = 2
או
ln(x2) = −2
x2 = e2 ⟸ x = ±e📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
x2 = e−2 ⟸ x = ±1e
✅ פתרון סופי: (±e , 0) , (±1e , 0)
סעיף ב (2) – נקודות הקיצון
סקיצה 1 – הגרף של f(x) = ln(x2) (כחול, הגרף מסעיף א (2) עם n = 2):
f זוגית; בתחום x > 0 היא עולה, שלילית ב־0 < x < 1, מתאפסת ב־x = 1 וחיובית ב־x > 1.
מ־f ל־g: g = f2 − 4. קוראים מהסקיצה בתחום x > 0:
• 0 < x < 1: f שלילית ועולה אל 0, כלומר המרחק שלה מ־0 קטן – ולכן f2 יורדת.📐 הפונקציה f2איפה ש־f מתקרבת ל־0, f2 יורדת; איפה ש־f מתרחקת מ־0, f2 עולה
• x > 1: f חיובית ועולה – ולכן f2 עולה.
לכן ל־f2 (וגם ל־g, שהיא הזזה של 4 למטה) יש מינימום ב־x = 1, שם f = 0:
g(1) = 02 − 4 = −4
g זוגית, ולכן גם x = −1 מינימום.
✅ פתרון סופי: מינימום (1 , −4) , (−1 , −4)
סעיף ג – סקיצה של g
ליד x = 0: ln(x2) → −∞, ובריבוע → +∞ – אסימפטוטה אנכית x = 0. כש־x → ±∞, g → ∞.
הגרף סימטרי לציר ה־y: יורד מ־+∞ (ליד 0) דרך (1e , 0) עד המינימום (1 , −4), ועולה דרך (e , 0). הגרף בקנה מידה:
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ד (1) – תחום ההגדרה של k
בתחום x > 0, והמכנה g(x) שונה מ־0 (סעיף ב(1)):
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ 1e , x ≠ e
סעיף ד (2) – השטח
בתחום e2 ≤ x ≤ e3: ln(x2) = 2ln x ≥ 4, ולכן g ≥ 16 − 4 > 0 ו־g′ > 0, כלומר k > 0 – השטח הוא האינטגרל.
k היא מנה שבה המונה הוא נגזרת המכנה:
S = ∫e3e2 g′(x)g(x) dx📐 אינטגרל מהצורה מנה∫ g′(x)g(x) dx = ln|g(x)| + C
= [ ln g(x) ]e3e2
g(e3) = (ln e6)2 − 4 = 36 − 4
= 32
g(e2) = (ln e4)2 − 4 = 16 − 4
= 12
S = ln32 − ln12 = ln3212 = ln83📐 חוק לוגריתמיםln a − ln b = lnab
S ≈ 0.98
✅ פתרון סופי: S = ln83 ≈ 0.98
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | x ≠ 0 |
|---|---|
| סעיף א (2) | גרף II |
| סעיף ב (1) | (±e , 0) (±1e , 0) |
| סעיף ב (2) | מינ׳ (±1 , −4) |
| סעיף ד (1) | x > 0 x ≠ 1e , e |
| סעיף ד (2) | ln83 ≈ 0.98 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – אינטגרל 3: זיהוי נגזרת פנימית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2025 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2025, שאלה 5 פרמטר · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = a + ln xx, המוגדרת בתחום x > 0. a הוא פרמטר.
א. בתת־סעיפים (1)–(3) הביעו את תשובותיכם באמצעות a, אם יש צורך.
(1) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם ציר ה־x.
(3) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.
ב. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = 1x, המוגדרת בתחום x ≠ 0.
נתון כי גרף הפונקציה f(x) וגרף הפונקציה g(x) נחתכים בנקודה שבה x = e2.
ג. מצאו את הערך של a.
הציבו את הערך של a שמצאתם וענו על סעיפים ד–ה.
נתונה הפונקציה h(x), המוגדרת בתחום x > 0. גרף הפונקציה h(x) עובר בנקודה (e3 , −1.5).
נגזרת הפונקציה h(x) מקיימת h′(x) = f(x) − g(x).
ד. מצאו את הפונקציה h(x).
ה. קבעו איזה גרף מבין הגרפים I–IV מייצג את הפונקציה |h(x)|. נמקו את קביעתכם.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – האסימפטוטות
x → 0 (מימין): המונה a + ln x → −∞ והמכנה → 0+, ולכן f → −∞:
x = 0
x → ∞: ln x גדל לאט בהרבה מ־x, ולכן f → 0:
y = 0
✅ פתרון סופי: x = 0 , y = 0
סעיף א (2) – חיתוך עם ציר ה־x
a + ln x = 0
ln x = −a ⟸ x = e−a📐 מעבר לוגריתםex = c ⟸ x = ln c
✅ פתרון סופי: (e−a , 0)
סעיף א (3) – נקודת הקיצון
f′(x) = 1x · x − (a + ln x) · 1x2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
= 1 − a − ln xx2
1 − a − ln x = 0 ⟸ x = e1 − a
| x | 0 < x < e1−a | e1−a | x > e1−a |
|---|---|---|---|
| f′(x) | + | 0 | − |
| f(x) | ↗ | מקסימום | ↘ |
f(e1 − a) = a + 1 − ae1 − a = 1e1 − a
= ea − 1
✅ פתרון סופי: מקסימום (e1 − a , ea − 1)
סעיף ב – סקיצה של f
מ־−∞ ליד x = 0 הגרף עולה, חוצה את ציר ה־x ב־(e−a , 0), מגיע למקסימום (e1−a , ea−1) ויורד ומתקרב ל־y = 0 מלמעלה.
לדוגמה, הגרף בקנה מידה עבור a = −1 (הערך שיתקבל בסעיף ג):
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ג – הערך של a
f(e2) = g(e2)
a + 2e2 = 1e2
a + 2 = 1
a = −1
✅ פתרון סופי: a = −1
סעיף ד – הפונקציה h
h′(x) = ln x − 1x − 1x
= ln x − 2x
נכתוב h′(x) = ln x · 1x − 2 · 1x. הביטוי ln x · 1x הוא "פונקציה כפול הנגזרת שלה":
h(x) = (ln x)22 − 2ln x + C📐 אינטגרל של פונקציה כפול נגזרתה∫ u · u′ dx = u22 + C
הגרף עובר ב־(e3 , −1.5):
92 − 6 + C = −1.5
C = 0
h(x) = (ln x)22 − 2ln x
✅ פתרון סופי: h(x) = (ln x)22 − 2ln x
סעיף ה – הגרף של |h(x)|
שלב 1 – סקיצה של h(x) (כחול)
h(x) = 12ln x(ln x − 4)📐 הוצאת גורם משותףab − ac = a(b − c)
אפסים:
ln x = 0 ⟸ x = 1📐 מכפלה שווה לאפסa · b = 0 ⟸ a = 0 או b = 0
ln x = 4 ⟸ x = e4 ≈ 54.6
קיצון: הנגזרת של h נתונה (סעיף ד):
h′(x) = ln x − 2x = 0
ln x = 2 ⟸ x = e2
h(e2) = 42 − 4 = −2
המכנה x חיובי. לפני e2 המונה ln x − 2 שלילי ואחרי e2 הוא חיובי, ולכן (e2 , −2) מינימום.
קצוות:
x → 0 : ln x → −∞ ⟸ h(x) → ∞
x → ∞ : h(x) → ∞
כלומר h חיובית עד x = 1, שלילית בין 1 ל־e4 (שם "בור" עד −2), וחיובית שוב אחרי e4.
שלב 2 – סקיצה של |h(x)| (סגול)
h(x) < 0 ⟸ |h(x)| = −h(x)📐 הגרף של |h(x)|איפה ש־h(x) ≥ 0 הגרף נשאר; איפה ש־h(x) < 0 משקפים אותו מעל ציר ה־x
החלקים שבהם h חיובית נשארים. ה"בור" בין 1 ל־e4 משתקף מעל ציר ה־x והופך ל"גבעה" עם מקסימום (e2 , 2).
קוראים מהגרף: |h| יורדת מ־∞ ליד ציר ה־y, נוגעת בציר ה־x ב־x = 1 (קרוב מאוד לציר ה־y בסקלה של הגרף), עולה לגבעה (e2 , 2), יורדת ונוגעת שוב בציר ב־e4, ואחר כך עולה בלי הגבלה.
רק גרף I עולה בסוף אחרי נקודת ההשקה השנייה, עם גבעה לפניה.
✅ פתרון סופי: גרף I
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | x = 0 , y = 0 |
|---|---|
| סעיף א (2) | (e−a , 0) |
| סעיף א (3) | מקס׳ (e1−a , ea−1) |
| סעיף ג | a = −1 |
| סעיף ד | h = (ln x)22 − 2ln x |
| סעיף ה | גרף I |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 3 – תחום הגדרה ונגזרת בפונקציית ln
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2025⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד ב׳, שאלה 5 פרמטר
📄 נוסח השאלה
בסרטוט מתואר גרף הפונקצייה f(x) = 2ln(x) − 1x, המוגדרת בתחום x > 0.
א. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף f(x) עם ציר ה־x.
נתונה הפונקצייה g(x) המוגדרת בתחום x > 0 ומקיימת g'(x) = f(x). שיעור ה־y של נקודת הקיצון של g(x) הוא −14.
ב. (1) מצאו את הפונקצייה g(x). (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף g(x) עם ציר ה־x. (3) סרטטו סקיצה של גרף g(x).
נתונה הפונקצייה h(x) = 1 + bg(x). b הוא פרמטר גדול מ־14.
ג. (1) מצאו את תחום ההגדרה של h(x). (2) קבעו אם גרף h(x) חותך את ציר ה־x. נמקו.
ד. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של h(x) וקבעו את סוגה (הביעו באמצעות b אם יש צורך).
ה. קבעו איזה מן הגרפים I–IV מתאר את h(x).
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – חיתוך f עם ציר ה־x
2ln x − 1 = 0
ln x = 12
x = e1/2 = √e ≈ 1.65📐 הגדרת lnln x = c ⇐ x = ec
✅ פתרון סופי: (√e , 0)
סעיף ב (1) – מציאת g
g(x) = ∫2ln x − 1x dx
= ∫(2ln x − 1) · 1x dx
1x היא הנגזרת של ln x – נגזרת פנימית:📐 אינטגרל עם נגזרת פנימית∫un · u' dx = un+1n + 1 + C
∫2ln x · 1x dx = (ln x)2
∫1x dx = ln x📐 נגזרת של ln(ln x)' = 1x
g(x) = (ln x)2 − ln x + C
נקודת הקיצון של g – שם g' = f = 0, כלומר ב־x = √e (סעיף א), ושם f מחליפה סימן (רואים בגרף):
g(√e) = (12)2 − 12 + C
= −14 + C
−14 + C = −14 ⇒ C = 0
✅ פתרון סופי: g(x) = (ln x)2 − ln x
סעיף ב (2) – חיתוך g עם ציר ה־x
ln x · (ln x − 1) = 0
ln x = 0 ⇒ x = 1
ln x = 1 ⇒ x = e
✅ פתרון סופי: (1 , 0) , (e , 0)
סעיף ב (3) – סקיצה של g
• כאשר x → 0+: ln x → −∞, ולכן (ln x)2 − ln x → +∞.
• יורדת עד המינימום (√e , −14) (שם f עוברת משלילי לחיובי), ואז עולה לאין־סוף.
✅ פתרון סופי: סקיצה – מינימום (√e , −¼)
סעיף ג (1) – תחום ההגדרה של h
צריך x > 0 (תחום של g) ו־g(x) ≠ 0 (מכנה):
x ≠ 1 , x ≠ e
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ 1 , x ≠ e
סעיף ג (2) – האם h חותכת את ציר ה־x
1 + bg(x) = 0
⇒ g(x) = −b
הערך הקטן ביותר של g הוא −14. נתון b > 14, ולכן −b < −14 – הפונקצייה g לא מגיעה לערך −b.
✅ פתרון סופי: לא – אין חיתוך עם ציר ה־x
סעיף ד – נקודת הקיצון של h
קוראים מהסקיצה של g (סעיף ב (3)):
בתחום 1 < x < e: g שלילית, יורדת עד המינימום (√e , −14) ועולה אחריו חזרה ל־0.
מחוץ לתחום הזה g חיובית ואין לה קיצון בתוך התחום של h.
h = 1 + bg עם b > 0: כש־g יורדת – h עולה, וכש־g עולה – h יורדת.📐 הפונקציה b חלקי gבתחום שבו g לא מחליפה סימן ו־b > 0: עלייה וירידה מתחלפות, ומינימום של g הופך למקסימום של bg
לכן ב־x = √e, שם ל־g מינימום, ל־h יש מקסימום:
h(√e) = 1 + b−14 = 1 − 4b
✅ פתרון סופי: מקסימום (√e , 1 − 4b)
סעיף ה – איזה גרף מתאר את h
• כאשר x → 0+: g → ∞, ולכן h → 1 (עיגול ריק ב־(0 , 1), מעל ציר ה־x).
• ב־0 < x < 1 ו־x > e: g > 0, ולכן h > 1; ליד x = 1 (משמאל) וליד x = e (מימין) h → +∞.
• ב־1 < x < e: g < 0; h יוצאת מ־−∞, עולה עד המקסימום 1 − 4b < 0 וחוזרת ל־−∞ – כל הקטע מתחת לציר ה־x.
• כאשר x → ∞: h → 1 מלמעלה.
רק בגרף II העיגול הריק על ציר ה־y נמצא מעל הראשית, והקטע האמצעי כולו מתחת לציר.
✅ פתרון סופי: גרף II
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | (√e , 0) |
|---|---|
| ב (1) | g = (ln x)2 − ln x |
| ב (2) | (1 , 0), (e , 0) |
| ג (1) | x > 0 , x ≠ 1 , e |
| ג (2) | לא |
| סעיף ד | מקס. (√e , 1 − 4b) |
| סעיף ה | גרף II |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 21 – פונקציה קדומה
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2024 מועד א׳, שאלה 5 שטח · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = x((ln x)2 − 2 ln x + 2) , בתחום x > 0.
א. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
ב. מצאו את שיעורי נקודת הפיתול של הפונקציה f(x).
ג. מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
ד. (1) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
(2) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x).
נתונה הפונקציה g(x) = (ln x)2 − 4 , בתחום x > 0.
ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x) ועל ידי ציר ה־x.
נתונה הפונקציה h(x) = f(x)x2 , בתחום x > 0.
דרך נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x מעבירים אנכים לציר ה־x.
ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות g(x) ו־h(x) ועל ידי האנכים.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – תחומי עלייה וירידה
נגזור לפי נגזרת של מכפלה, עם u = x ו־v = (ln x)2 − 2 ln x + 2:
u′ = 1
v′ = 2 ln x · 1x − 2 · 1x📐 נוסחה: נגזרות(ln x)′ = 1x((ln x)2)′ = 2 ln x · 1x
f′(x) = u′v + uv′📐 נוסחה: נגזרת של מכפלה(u · v)′ = u′v + uv′
u′v = 1 · ((ln x)2 − 2 ln x + 2)
uv′ = x(2 ln x · 1x − 2x)
uv′ = 2 ln x − 2
f′(x) = (ln x)2 − 2 ln x + 2 +
+ 2 ln x − 2
f′(x) = (ln x)2
ריבוע אינו שלילי, ולכן f′(x) ≥ 0 לכל x > 0. הנגזרת מתאפסת רק כאשר:
ln x = 0
x = 1📐 נוסחה: משוואה לוגריתמיתln x = a ⟺ x = ea
אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד חיובית בתחום, חוץ מ־x = 1 (שם היא 0 ולא מחליפה סימן).
לכן f עולה בכל התחום, ואין תחום ירידה.📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולה , f′ < 0 – יורדת
✅ פתרון סופי: עולה בכל התחום x > 0 , אין תחומי ירידה
סעיף ב – נקודת הפיתול
נגזור שוב את f′(x) = (ln x)2:
f″(x) = 2 ln x · 1x = 2 ln xx📐 נוסחה: נגזרות(ln x)′ = 1x((ln x)2)′ = 2 ln x · 1x
נשווה ל־0 (המכנה x > 0):
2 ln x = 0📐 משפט: נקודת פיתולf″(x) = 0ו־f″ מחליפה סימן
ln x = 0
x = 1
סימן f″: המכנה חיובי, ולכן הסימן כסימן ln x:
0 < x < 1 : f″ < 0
x > 1 : f″ > 0
הנגזרת השנייה מחליפה סימן ב־x = 1 – זו נקודת פיתול. נחשב את y:
f(1) = 1 · (02 − 2 · 0 + 2) = 2
(בנקודה זו גם f′(1) = 0, כלומר זו נקודת פיתול עם משיק אופקי.)
✅ פתרון סופי: (1 , 2)
סעיף ג – תחומי חיוביות ושליליות
נשלים לריבוע את הביטוי שבסוגריים (נסמן a = ln x):
(ln x)2 − 2 ln x + 2 =📐 נוסחה: השלמה לריבועa2 − 2a + 2 = (a − 1)2 + 1
= (ln x − 1)2 + 1
לכן:
f(x) = x · ((ln x − 1)2 + 1)
בתחום x > 0: הגורם x חיובי, והגורם (ln x − 1)2 + 1 ≥ 1 חיובי. מכפלה של שני חיוביים היא חיובית:
f(x) > 0 לכל x > 0
✅ פתרון סופי: חיובית בכל התחום x > 0 , אין תחומי שליליות
סעיף ד – סקיצות של f(x) ושל f′(x)
(1) הגרף של f(x): הפונקציה חיובית ועולה בכל התחום (סעיפים א, ג), עם נקודת פיתול (1 , 2) שבה המשיק אופקי: משמאל לה הגרף קעור כלפי מטה, ומימין לה קעור כלפי מעלה.
כאשר x מתקרב ל־0 מימין, ערכי הפונקציה מתקרבים ל־0 (למשל f(0.001) ≈ 0.06), ולכן הגרף יוצא מהראשית (עיגול ריק – x = 0 לא בתחום).
━ f(x) (כחול)
(2) הגרף של f′(x) = (ln x)2: אי־שלילי, מתאפס רק ב־x = 1 (נקודת מינימום שנוגעת בציר ה־x).
הנגזרת שלה f″(x) שלילית ב־0 < x < 1 וחיובית ב־x > 1: f′ יורדת ואחר כך עולה. כאשר x → 0 מימין, f′(x) → ∞. נקודות עזר: f′(e) = 1 , f′(e2) = 4.
━ f′(x) = (ln x)2 (ירוק)
סעיף ה – השטח בין g(x) לציר ה־x
נמצא את נקודות החיתוך של g(x) עם ציר ה־x:
(ln x)2 − 4 = 0
(ln x)2 = 4
ln x = 2 או ln x = −2
x = e2 או x = e−2📐 נוסחה: משוואה לוגריתמיתln x = a ⟺ x = ea
בין שתי הנקודות −2 < ln x < 2, ולכן (ln x)2 < 4 ו־g(x) < 0 – השטח מתחת לציר ה־x:
S = −∫e−2e2 ((ln x)2 − 4)dx📐 נוסחה: שטח מתחת לציר ה־xS = −∫ab g(x)dx(כאשר g(x) ≤ 0 בקטע)
לפי סעיף א f′(x) = (ln x)2, כלומר f(x) היא פונקציה קדומה של (ln x)2:
∫ (ln x)2dx = f(x) + c📐 משפט: אינטגרל של נגזרת∫ f′(x)dx = f(x) + c
∫ (ln x)2dx =
= x((ln x)2 − 2 ln x + 2) + c
לכן פונקציה קדומה של g:
G(x) = f(x) − 4x
G(x) = x((ln x)2 − 2 ln x + 2) −
− 4x
נציב את הגבולות (ln e2 = 2 , ln e−2 = −2):
G(e2) = e2(4 − 4 + 2) − 4e2📐 נוסחה: ניוטון–לייבניץ∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)
G(e2) = 2e2 − 4e2 = −2e2
G(e−2) = e−2(4 + 4 + 2) − 4e−2
G(e−2) = 10e−2 − 4e−2 = 6e−2
∫e−2e2 g(x)dx = −2e2 − 6e−2📐 נוסחה: ניוטון–לייבניץ∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)
S = −(−2e2 − 6e−2) = 2e2 + 6e2
S ≈ 14.78 + 0.81 ≈ 15.59
━ g(x) (ירוק) ━ השטח המבוקש (תכלת)
✅ פתרון סופי: S = 2e2 + 6e2 ≈ 15.59
סעיף ו – השטח בין h(x) ל־g(x)
האנכים הם x = e−2 ו־x = e2 (סעיף ה). נבדוק איזה גרף למעלה:
h(x) = f(x)x2 = (ln x)2 − 2 ln x + 2x
לפי סעיף ג f(x) > 0, ולכן h(x) > 0. בקטע שבין האנכים g(x) ≤ 0 (סעיף ה). לכן h מעל g:
S = ∫e−2e2 (h(x) − g(x))dx📐 נוסחה: שטח בין שני גרפיםS = ∫ab (h(x) − g(x))dx(h מעל g בקטע)
S = ∫e−2e2 h(x)dx − ∫e−2e2 g(x)dx
את האינטגרל של g חישבנו בסעיף ה: −2e2 − 6e−2.
נפרק את h לשלושה מחוברים:
h(x) = (ln x)2 · 1x −
− 2 ln x · 1x + 2 · 1x
∫ (ln x)2 · 1xdx = (ln x)33📐 נוסחה: אינטגרל של חזקת ln כפול 1/x∫ (ln x)n · 1xdx = (ln x)n+1n + 1 + c
∫ 2 ln x · 1xdx = 2 · (ln x)22📐 נוסחה: אינטגרל של חזקת ln כפול 1/x∫ (ln x)n · 1xdx = (ln x)n+1n + 1 + c
∫ 2 ln x · 1xdx = (ln x)2
∫ 2 · 1xdx = 2 ln x📐 נוסחה: אינטגרל∫ 1xdx = ln x + c
פונקציה קדומה של h:
H(x) = (ln x)33 − (ln x)2 + 2 ln x
H(e2) = 83 − 4 + 4 = 83📐 נוסחה: ניוטון–לייבניץ∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)
H(e−2) = −83 − 4 − 4 = −83 − 8
∫e−2e2 h(x)dx = 83 + 83 + 8 = 403📐 נוסחה: ניוטון–לייבניץ∫ab f(x)dx = F(b) − F(a)
השטח:
S = 403 − (−2e2 − 6e−2)
S = 403 + 2e2 + 6e2
S ≈ 13.33 + 15.59 ≈ 28.92
━ h(x) (כחול) ━ g(x) (ירוק) ━ האנכים (סגול) ━ השטח (תכלת)
ליד x = e−2 הגרף של h מגיע לגובה h(e−2) = 10e2 ≈ 74 – מעל גבול הסרטוט.
✅ פתרון סופי: S = 403 + 2e2 + 6e2 ≈ 28.92
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | עולה ב־x > 0 , אין ירידה |
|---|---|
| סעיף ב | (1 , 2) |
| סעיף ג | חיובית ב־x > 0 , אין שליליות |
| סעיף ד | סקיצות |
| סעיף ה | 2e2 + 6e2 ≈ 15.59 |
| סעיף ו | 403 + 2e2 + 6e2 ≈ 28.92 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27 – חקירה ברמת בגרות 5 יחידות
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2024 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2024, שאלה 5
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם מתואר הגרף של הפונקציה f(x) = ln(x) המוגדרת בתחום x > 0, ומתוארים הישרים y = x ו־y = −x.
הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם אחד מן הישרים. נסמן את שיעור ה־x של הנקודה A ב־a.
היעזרו בסרטוט, וענו על הסעיפים א–ה שלפניכם. הביעו את תשובותיכם באמצעות a אם יש צורך.
נתונה הפונקציה: g(x) = ln(x) − xln(x) + x.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
(2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x (אם יש כאלה).
(3) מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־x של הפונקציה g(x).
ב. הסבירו מדוע מתקיים 0 < a < 1.
ג. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגה.
(2) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה g(x).
ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה h(x) = eg(x).
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
ln x מוגדר רק ל־x > 0.📐 תחום ההגדרה של lnln(u) מוגדר רק כש־u > 0
המכנה לא יכול להיות 0:
ln x + x ≠ 0
ln x ≠ −x
השוויון ln x = −x מתקיים בדיוק בנקודת החיתוך של גרף f(x) = ln x עם הישר y = −x. מהסרטוט, זו הנקודה A (ברביע הרביעי – הגרף של ln x לא פוגש את y = x, ראו סעיף א(2)). לכן:
x ≠ a
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ a
סעיף א (2) – חיתוך עם ציר ה־x
חיתוך עם ציר ה־x: המונה מתאפס.
ln x − x = 0
ln x = x
זו נקודת חיתוך של גרף ln x עם הישר y = x. מהסרטוט, הגרף של ln x נמצא כולו מתחת לישר y = x ולא חותך אותו. לכן אין פתרון.
✅ פתרון סופי: אין נקודות חיתוך עם ציר ה־x
סעיף א (3) – אסימפטוטה אופקית
נחלק את המונה ואת המכנה ב־x (x > 0):
g(x) = ln xx − 1ln xx + 1
כש־x → ∞, x גדל הרבה יותר מהר מ־ln x, ולכן ln xx → 0:📐 שאיפה לאינסוףx → ∞ ⟸ ln xx → 0
g(x) → 0 − 10 + 1 = −1
✅ פתרון סופי: y = −1 כש־x → ∞
סעיף ב – למה 0 < a < 1
A נמצאת על גרף ln x, ולכן a > 0 (תחום ההגדרה).
A נמצאת גם על הישר y = −x, ולכן שיעור ה־y שלה שלילי:
ln a = −a < 0
ln a < 0 רק כש־0 < a < 1.📐 סימן של lnln x < 0 ⟺ 0 < x < 1
0 < a < 1
✅ פתרון סופי: הסבר – a > 0 ו־ln a = −a < 0
סעיף ג (1) – נקודת קיצון
נסמן מונה u = ln x − x ומכנה v = ln x + x:
u′ = 1x − 1 , v′ = 1x + 1📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
g′(x) = u′v − uv′v2📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
נפתח את המונה:
(1x − 1)(ln x + x)
= ln xx + 1 − ln x − x
(ln x − x)(1x + 1)
= ln xx + ln x − 1 − x
נחסר:
u′v − uv′
= 1 − ln x − (ln x − 1)
= 2 − 2ln x
g′(x) = 2(1 − ln x)(ln x + x)2
g′(x) = 0 ⟸ ln x = 1 ⟸ x = e
g(e) = 1 − e1 + e ≈ −0.46
המכנה חיובי, ולכן סימן g′ כסימן 1 − ln x: חיובי ב־x < e ושלילי ב־x > e. עלייה ואז ירידה – מקסימום.
✅ פתרון סופי: מקסימום (e , 1 − e1 + e) ≈ (e , −0.46)
סעיף ג (2) – עלייה וירידה
מסעיף ג(1), ובלי הנקודה x = a שאינה בתחום ההגדרה:
תחומי עלייה:
0 < x < a , a < x < e
תחום ירידה:
x > e
✅ פתרון סופי: עלייה: 0 < x < a , a < x < e
ירידה: x > e
ירידה: x > e
סעיף ד – סקיצה של g
מה שמצאנו: תחום x > 0 , x ≠ a; אין חיתוך עם ציר ה־x; אסימפטוטה y = −1; מקסימום (e , −0.46); עלייה עד a ובין a ל־e, ירידה אחרי e.
עוד שני דברים לסקיצה:
• ב־x = a המכנה מתאפס, והמונה לא מתאפס:
ln a − a = −2a ≠ 0
לכן x = a אסימפטוטה אנכית. משמאל ל־a המונה והמכנה שליליים, ולכן g → ∞. מימין ל־a המכנה חיובי, ולכן g → −∞.
• כש־x → 0 מימין, ln x → −∞, ולכן g(x) → 1. בנקודה (0 , 1) מסמנים עיגול ריק.
הסקיצה (כחול), בקנה מידה עם a ≈ 0.57; האסימפטוטות מקווקוות (תכלת):
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ה – סקיצה של h
h(x) = eg(x) מוגדרת היכן ש־g מוגדרת, וכל ערכיה חיוביים. היא עולה ויורדת באותם תחומים כמו g.📐 פונקציה מעריכיתet > 0 לכל t, והיא עולה – שומרת על תחומי העלייה והירידה של המעריך
נעביר כל תכונה של g:
x → 0: h → e1 = e
כש־x שואף ל־a משמאל:
h → e∞ = ∞
כש־x שואף ל־a מימין:
h → e−∞ = 0
h(e) = e−0.46 ≈ 0.63
x → ∞: h → e−1 = 1e ≈ 0.37
כלומר: אסימפטוטה אנכית x = a (רק משמאל), ליד x = a מימין הגרף מתקרב לנקודה (a , 0) בלי להגיע אליה, מקסימום (e , 0.63), ואסימפטוטה אופקית y = 1e.
הסקיצה (סגול), בקנה מידה עם a ≈ 0.57:
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | x > 0 , x ≠ a |
|---|---|
| סעיף א (2) | אין |
| סעיף א (3) | y = −1 |
| סעיף ב | הסבר |
| סעיף ג (1) | מקסימום (e , 1 − e1 + e) |
| סעיף ג (2) | עלייה: 0 < x < a , a < x < e ירידה: x > e |
| סעיף ד | סקיצה |
| סעיף ה | סקיצה |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 32 – תרגול הרכבת פונקציה (מבוסס על בגרות 2024)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2024⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 5 אינטגרל · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = 1 − ln xln x.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x).
(3) מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקצייה f(x) (אם יש כאלה).
(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).
נתונה הפונקצייה g(x) = ln(−f(x)).
ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה g(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה g(x).
(3) מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפונקצייה g(x).
(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x).
נסמן ב־a את שיעור ה־x של נקודת החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) וגרף הפונקצייה g(x).
ג. מבין הביטויים I–III קבעו איזה ביטוי הוא הגדול ביותר ואיזה ביטוי הוא הקטן ביותר (אין צורך למצוא את הערך של a). נמקו את תשובתכם.
I. ∫a+2a+1 (g(x) − f(x)) dx
II. ∫a+4a+3 (g(x) − f(x)) dx
III. המספר 1
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
ln x מוגדר רק עבור x > 0, והמכנה ln x ≠ 0:📐 תחום של lnln x מוגדר כאשר x > 0
ln x ≠ 0 , x ≠ 1
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ 1
סעיף א (2) – אסימפטוטות
f(x) = 1ln x − 1
ליד x = 1 המכנה ln x שואף ל־0, ולכן f שואפת ל־±∞. אסימפטוטה אנכית:
x = 1
כאשר x שואף ל־∞ (וגם כאשר x שואף ל־0 מימין), |ln x| שואף ל־∞:
1ln x → 0 , f(x) → −1
✅ פתרון סופי: x = 1 , y = −1
סעיף א (3) – עלייה וירידה
f′(x) = −1(ln x)2 · 1x = −1x(ln x)2📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
(1u)′ = −u′u2
(1u)′ = −u′u2
המונה −1 שלילי, ובתחום ההגדרה המכנה x(ln x)2 חיובי.
לכן אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד שלילית ב־0 < x < 1 וב־x > 1.
✅ פתרון סופי: ירידה: 0 < x < 1 , x > 1 ; עלייה: אין
סעיף א (4) – סקיצה של f
חיתוך עם ציר ה־x: 1 − ln x = 0, x = e. משמאל ל־1 הגרף מתחת ל־y = −1 ויורד אל −∞; מימין ל־1 הוא יורד מ־+∞ דרך (e , 0) אל y = −1.
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ב (1) – תחום ההגדרה של g
g(x) = ln(−f(x)) מוגדרת כאשר:📐 תחום של lnln u מוגדר כאשר u > 0
−f(x) > 0 , f(x) < 0
לפי הסקיצה של f (או: 1ln x < 1): כאשר 0 < x < 1 כל הענף מתחת ל־−1; כאשר x > 1: f < 0 מימין לנקודה (e , 0).
✅ פתרון סופי: 0 < x < 1 , x > e
סעיף ב (2) – אסימפטוטות של g
ליד x = 1 משמאל, −f שואפת ל־+∞, ולכן גם g שואפת ל־+∞.
ליד x = e מימין, −f שואפת ל־0 (חיובית), ולכן g שואפת ל־−∞.
כאשר x שואף ל־∞, −f שואפת ל־1:
g(x) → ln 1 = 0
✅ פתרון סופי: x = 1 , x = e , y = 0
סעיף ב (3) – חיוביות ושליליות
ln u > 0 כאשר u > 1, ו־ln u < 0 כאשר 0 < u < 1.📐 סימן של lnln u > 0 כאשר u > 1
g(x) > 0 : −f(x) > 1 , f(x) < −1
לפי סעיף א, f(x) < −1 בתחום 0 < x < 1 (1ln x < 0), ו־−1 < f(x) < 0 בתחום x > e.
✅ פתרון סופי: חיובית: 0 < x < 1 ; שלילית: x > e
סעיף ב (4) – סקיצה של g
בתחום 0 < x < 1: חיובית, יוצאת מ־0 (נקודה ריקה בראשית) ועולה אל האסימפטוטה x = 1. בתחום x > e: שלילית, עולה מ־−∞ אל y = 0.
לא גוזרים את g. מהסקיצה של f (סעיף א(4)): f יורדת בשני התחומים, ולכן −f עולה בהם. ln פונקציה עולה, ולכן גם g = ln(−f) עולה בשני התחומים. אין נקודות קיצון.📐 הרכבה עם lnln עולה, ולכן ln(u(x)) עולה ויורדת יחד עם u(x)
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ג – הגדול והקטן מבין I–III
לפי הסקיצות, החיתוך x = a נמצא בתחום x > e (בתחום 0 < x < 1 g > 0 ו־f < −1). מימין ל־a: g עולה ו־f יורדת, ולכן:
x > a : g(x) − f(x) > 0
ההפרש g − f עולה (פונקצייה עולה פחות פונקצייה יורדת). וגם g(x) < 0 ו־f(x) > −1:
0 < g(x) − f(x) < 0 − (−1) = 1
בכל אחד משני האינטגרלים אורך התחום הוא 1, והפונקצייה חיובית וקטנה מ־1:📐 חסם לאינטגרל0 < F(x) < 1 בקטע באורך 1 – האינטגרל בין 0 ל־1
0 < I < 1 , 0 < II < 1
ההפרש g − f עולה, והתחום של II [a + 3 , a + 4] נמצא מימין לתחום של I [a + 1 , a + 2], ולכן:
I < II < 1
✅ פתרון סופי: הגדול ביותר: III (המספר 1) ; הקטן ביותר: I
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | x > 0 , x ≠ 1 |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = 1 , y = −1 |
| סעיף א (3) | ירידה: 0 < x < 1 , x > 1 ; עלייה: אין |
| סעיף א (4) | ראו סקיצה |
| סעיף ב (1) | 0 < x < 1 , x > e |
| סעיף ב (2) | x = 1 , x = e , y = 0 |
| סעיף ב (3) | חיובית: 0 < x < 1 ; שלילית: x > e |
| סעיף ב (4) | ראו סקיצה |
| סעיף ג | הגדול ביותר: III (המספר 1) ; הקטן ביותר: I |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 29 – בהינתן f(x): שרטוט ln(−f(x))
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד מיוחד⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד ב׳, שאלה 4 פרמטר · שטח
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ln x + ln aln x − ln a , a הוא פרמטר גדול מ־1.
בסעיפים א–ג הביעו את תשובותיכם באמצעות a אם יש צורך.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה f(x).
(3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).
(4) מצאו את תחומי הירידה של הפונקציה f(x).
(5) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
לפניכם טענה: למשוואה f(x) = f′(x) קיים בדיוק פתרון אחד בתחום x > a.
ב. קבעו אם הטענה נכונה או לא נכונה. נמקו את קביעתכם.
נתונה הפונקציה g(x), המקיימת: g(x) = ln(f(x)).
ג. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
(2) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
נסמן ב־S את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = 2 ו־x = 5. נתון: 1 < a < 2.
ד. הביעו באמצעות S את ערך האינטגרל ∫25 ln(2 · f(x)) dx.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
ln x מוגדר ל־x > 0.📐 תחום ההגדרה של lnln(u) מוגדר רק כש־u > 0
המכנה שונה מאפס:
ln x − ln a ≠ 0
ln x ≠ ln a ⟸ x ≠ a📐 ln עולהln x = ln a ⟺ x = a
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ a
סעיף א (2) – אסימפטוטות
אנכית: ב־x = a המכנה מתאפס, והמונה לא:
ln a + ln a = 2ln a ≠ 0 (a > 1)
x = a
אופקית: נחלק מונה ומכנה ב־ln x:
f(x) = 1 + ln aln x1 − ln aln x
כש־x → ∞: ln x → ∞, ולכן ln aln x → 0:
f(x) → 1 + 01 − 0 = 1
y = 1
שימו לב: כש־x → 0 מימין גם f(x) → 1, אבל זה קצה התחום ולא אסימפטוטה.
✅ פתרון סופי: x = a , y = 1
סעיף א (3) – חיתוך עם הצירים
חיתוך עם ציר ה־x: המונה מתאפס.
ln x + ln a = 0
ln x = −ln a
ln x = ln 1a ⟸ x = 1a📐 חוקי לוגריתמים−ln a = ln 1a
חיתוך עם ציר ה־y: x = 0 לא בתחום ההגדרה, ולכן אין.
✅ פתרון סופי: (1a , 0) ; אין חיתוך עם ציר ה־y
סעיף א (4) – תחומי ירידה
נסמן u = ln x + ln a , v = ln x − ln a:
u′ = 1x , v′ = 1x📐 נגזרת של ln(ln x)′ = 1x
f′(x)📐 נגזרת של מנה(uv)′ = u′v − uv′v2
= 1x(ln x − ln a) − (ln x + ln a)1x(ln x − ln a)2
= 1x(ln x − ln a − ln x − ln a)(ln x − ln a)2
= −2ln ax(ln x − ln a)2
a > 1, ולכן ln a > 0: המונה שלילי והמכנה חיובי.
לכן אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד שלילית ב־0 < x < a וב־x > a.
✅ פתרון סופי: ירידה: 0 < x < a , x > a
סעיף א (5) – סקיצה של f
מה שמצאנו: תחום x > 0 , x ≠ a; אסימפטוטות x = a ו־y = 1; חיתוך (1a , 0); יורדת בכל קטע.
כש־x → 0 מימין f(x) → 1, ולכן בנקודה (0 , 1) מסמנים עיגול ריק. בקטע 0 < x < a הגרף יורד מ־1 דרך (1a , 0) עד מינוס אינסוף.
בקטע x > a הגרף יורד מאינסוף אל 1.
הסקיצה (כחול), מצוירת עם a = 1.6 לדוגמה; האסימפטוטות מקווקוות (תכלת):
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ב – הטענה
בתחום x > a: ln x > ln a > 0, ולכן המונה והמכנה של f חיוביים – f(x) > 0 (למעשה f(x) > 1).
מסעיף א(4): f′(x) < 0 בכל התחום.
f(x) > 0 > f′(x)
לכן בתחום x > a אין אף פתרון למשוואה f(x) = f′(x).
✅ פתרון סופי: הטענה לא נכונה – אין פתרון בתחום x > a
סעיף ג (1) – תחום ההגדרה של g
g(x) = ln(f(x)) מוגדרת כש־f(x) > 0.📐 תחום ההגדרה של lnln(u) מוגדר רק כש־u > 0
מהסקיצה של f: בקטע 0 < x < a הפונקציה חיובית רק משמאל לנקודת החיתוך x = 1a, ובקטע x > a היא חיובית תמיד:
0 < x < 1a
או
x > a
✅ פתרון סופי: 0 < x < 1a או x > a
סעיף ג (2) – סקיצה של g
מעבירים כל תכונה של f דרך ln (ln פונקציה עולה, ולכן g יורדת בשני הקטעים):
בקטע 0 < x < 1a: f יורדת מ־1 ל־0, ולכן g יורדת מ־ln 1 = 0 למינוס אינסוף. הישר x = 1a הוא אסימפטוטה אנכית.
בקטע x > a: f יורדת מאינסוף ל־1, ולכן g יורדת מאינסוף ל־ln 1 = 0. הישר x = a הוא אסימפטוטה אנכית, והישר y = 0 הוא אסימפטוטה אופקית.
הסקיצה (סגול), עם a = 1.6 לדוגמה:
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ד – האינטגרל
ln(2 · f(x)) = ln 2 + ln(f(x))📐 לוגריתם של מכפלהln(b · c) = ln b + ln c
= ln 2 + g(x)
∫25 ln(2f(x)) dx
= ∫25 ln 2 dx + ∫25 g(x) dx
∫25 ln 2 dx = (5 − 2) ln 2
= 3ln 2
1 < a < 2, ולכן כל הקטע 2 ≤ x ≤ 5 נמצא בתחום x > a, שבו g(x) > 0. לכן האינטגרל של g שווה לשטח S:
∫25 g(x) dx = S📐 אינטגרל ושטחכשהפונקציה חיובית בקטע, האינטגרל המסוים שווה לשטח שבין הגרף לציר ה־x
∫25 ln(2f(x)) dx = 3ln 2 + S
✅ פתרון סופי: 3ln 2 + S
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א (1) | x > 0 , x ≠ a |
|---|---|
| סעיף א (2) | x = a , y = 1 |
| סעיף א (3) | (1a , 0) |
| סעיף א (4) | ירידה: 0 < x < a , x > a |
| סעיף א (5) | סקיצה |
| סעיף ב | לא נכונה |
| סעיף ג (1) | 0 < x < 1a או x > a |
| סעיף ג (2) | סקיצה |
| סעיף ד | 3ln 2 + S |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 28 – שרטוט ln(f(x)) בהינתן f(x)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2023 מועד א׳, שאלה 5 שטח
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ln(x) + 1x.
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.
(3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = (x + 1)(1 − ln(x)) , המוגדרת באותו התחום שבו מוגדרת הפונקציה f(x).
ב. (1) מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה g(x) עם ציר ה־x.
(2) מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה g(x) (אם יש כאלה).
(3) מצאו את תחום הקעירות כלפי מעלה ∪ ואת תחום הקעירות כלפי מטה ∩ של הפונקציה g(x).
(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
נתונה הפונקציה h(x) = 1x · g′(x) , המוגדרת באותו התחום שבו מוגדרת הפונקציה g(x).
ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה h(x), על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = e ו־x = 1.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
x > 0📐 נוסחה: תחום הגדרהln x מוגדר רק עבור x > 0 ; במכנה x ≠ 0
✅ פתרון סופי: x > 0
סעיף א (2) – נקודת הקיצון
f′(x) = 1x − 1x2 = x − 1x2📐 נוסחה: נגזרות(ln x)′ = 1x(1x)′ = −1x2
f′(x) = 0 ⟹ x = 1📐 משפט: נקודת קיצוןf′(x) = 0ובדיקת סימן הנגזרת משני הצדדים
f(1) = ln 1 + 1 = 1
המכנה x2 חיובי, ולכן הסימן של f′ הוא הסימן של x − 1:
ב־0 < x < 1 מתקיים f′ < 0, ולכן f יורדת.
ב־x > 1 מתקיים f′ > 0, ולכן f עולה.
לכן ב־(1 , 1) יש נקודת מינימום.
✅ פתרון סופי: (1 , 1) מינימום
סעיף א (3) – סקיצה
כאשר x → 0+: 1x → ∞ ומכריע את ln x → −∞ (f(x) = x ln x + 1x, והמונה שואף ל־1), ולכן f → ∞. כאשר x → ∞: f → ∞. המינימום (1 , 1), ולכן f(x) ≥ 1 > 0 לכל x > 0.
━ f(x) (כחול)
סעיף ב (1) – חיתוך עם ציר x
(x + 1)(1 − ln x) = 0
x + 1 > 0 בתחום, ולכן:
1 − ln x = 0
ln x = 1
x = e📐 נוסחה: לוגריתםln x = b ⟺ x = eb
✅ פתרון סופי: (e , 0)
סעיף ב (2) – עלייה וירידה
g′(x) = 1 · (1 − ln x) +📐 נוסחה: נגזרת של מכפלה(uv)′ = u′v + uv′
+ (x + 1) · (−1x)
g′(x) = 1 − ln x − 1 − 1x
g′(x) = −(ln x + 1x) = −f(x)
מסעיף א: f(x) ≥ 1 > 0 לכל x > 0, ולכן g′(x) < 0:
אין נקודות קיצון; הנגזרת תמיד שלילית, ולכן g יורדת בכל התחום.📐 משפט: עלייה וירידהf′ > 0 – עולה , f′ < 0 – יורדת
✅ פתרון סופי: יורדת לכל x > 0 ; אין תחום עלייה
סעיף ב (3) – תחומי קעירות
g″(x) = −f′(x) = −x − 1x2 = 1 − xx2
0 < x < 1: g″ > 0 – קעורה כלפי מעלה.
x > 1: g″ < 0 – קעורה כלפי מטה.📐 משפט: קעירותקעורה כלפי מעלה ⟸ f″ > 0 ⟸ f′ עולה
✅ פתרון סופי: ∪: 0 < x < 1 ; ∩: x > 1
סעיף ב (4) – סקיצה
כאשר x → 0+: (x + 1) → 1 ו־(1 − ln x) → ∞, ולכן g → ∞. הגרף יורד בכל התחום, נקודת פיתול ב־(1 , 2) (g(1) = 2 · 1 = 2), חותך את ציר ה־x ב־(e , 0) וממשיך לרדת.
━ g(x) (ירוק)
סעיף ג – השטח
h(x) = 1x · g′(x) = −1x(ln x + 1x)
h(x) = −ln xx − 1x2
בקטע 1 ≤ x ≤ e: ln x ≥ 0, ולכן h(x) < 0 – השטח מתחת לציר ה־x:
S = −∫1e h(x)dx📐 נוסחה: שטח מתחת לציר xS = −∫ab h(x)dx(כאשר h ≤ 0 בקטע)
S = ∫1e (ln xx + 1x2)dx
S = [(ln x)22 − 1x]1e📐 נוסחה: אינטגרלים∫ ln xxdx = (ln x)22 + c∫ 1x2dx = −1x + c
S = (12 − 1e) − (0 − 1)
S = 32 − 1e ≈ 1.132
✅ פתרון סופי: S = 32 − 1e ≈ 1.132
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | x > 0 |
|---|---|
| סעיף א (2) | (1 , 1) מינימום |
| סעיף א (3) | סקיצה |
| סעיף ב (1) | (e , 0) |
| סעיף ב (2) | יורדת לכל x > 0 |
| סעיף ב (3) | ∪ 0 < x < 1 , ∩ x > 1 |
| סעיף ב (4) | סקיצה |
| סעיף ג | 32 − 1e ≈ 1.132 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 27 – חקירה ברמת בגרות 5 יח
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2023 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2023, שאלה 5 אינטגרל · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקצייה f(x) = 4x(ln(x2) − 1).
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x). (2) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם ציר ה־x. (3) הוכיחו כי הפונקצייה f(x) היא אי־זוגית.
ב. (1) מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן. (2) האם יש לפונקצייה f(x) נקודות פיתול? נמקו את תשובתכם. (3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).
נתונה הפונקצייה g(x) = 1f(x).
ג. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה g(x). (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקצייה g(x) המאונכות לצירים. (3) סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה g(x). (4) בכמה נקודות הגרפים של f(x) ו־g(x) נחתכים זה עם זה? נמקו את תשובתכם.
ד. כתבו דוגמה לפונקצייה קדומה של g(x).
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א (1) – תחום ההגדרה
ln(x2) מוגדר כאשר x2 > 0:📐 תחום של lnln u מוגדר כאשר u > 0
✅ פתרון סופי: x ≠ 0
סעיף א (2) – חיתוך עם ציר ה־x
4x(ln(x2) − 1) = 0
x = 0 לא בתחום, ולכן:
ln(x2) = 1 , x2 = e
x = ±√e
✅ פתרון סופי: (√e , 0) , (−√e , 0)
סעיף א (3) – f אי־זוגית
f(−x) = 4(−x)(ln((−x)2) − 1)📐 פונקצייה אי־זוגיתf(−x) = −f(x)
f(−x) = −4x(ln(x2) − 1) = −f(x)
✅ פתרון סופי: הוכח
סעיף ב (1) – נקודות הקיצון
f′(x) = 4(ln(x2) − 1) + 4x · 2xx2📐 נגזרת של מכפלה(uv)′ = u′v + uv′
f′(x) = 4 ln(x2) − 4 + 8
= 4 ln(x2) + 4
ln(x2) = −1 , x2 = 1e
x = ±1√e
הסימן של f′: חיובית כאשר |x| > 1√e, שלילית כאשר 0 < |x| < 1√e.
f(1√e) = 4√e(−1 − 1) = −8√e
הפונקצייה אי־זוגית, ולכן f(−1√e) = 8√e.
✅ פתרון סופי: מקסימום (−1√e , 8√e)
מינימום (1√e , −8√e)
מינימום (1√e , −8√e)
סעיף ב (2) – נקודות פיתול
f″(x) = 4 · 2xx2 = 8x📐 נגזרת של ln של פונקצייה(ln u)′ = u′u
f″ לא מתאפסת אף פעם. היא מחליפה סימן רק ב־x = 0, שלא בתחום.
✅ פתרון סופי: אין נקודות פיתול
סעיף ב (3) – סקיצה של f
ליד x = 0 הפונקצייה שואפת ל־0 (הנקודה (0 , 0) לא בגרף). מקסימום משמאל, מינימום מימין, חיתוכים ב־±√e.
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ג (1) – תחום ההגדרה של g
g = 1f מוגדרת כאשר f מוגדרת ושונה מ־0:
✅ פתרון סופי: x ≠ 0 , x ≠ ±√e
סעיף ג (2) – אסימפטוטות של g
ב־x = ±√e וליד x = 0 הפונקצייה f שואפת ל־0, ולכן g שואפת ל־±∞.
כאשר x → ±∞, |f| → ∞, ולכן g → 0.
✅ פתרון סופי: x = 0 , x = ±√e , y = 0
סעיף ג (3) – סקיצה של g
לגרף של g = 1f אותו סימן כמו ל־f. במקסימום של f, g = √e8 – נקודת מינימום של g; ובמינימום של f – נקודת מקסימום של g.
✅ פתרון סופי: ראו סקיצה
סעיף ג (4) – מספר נקודות החיתוך
f(x) = 1f(x)
f2(x) = 1 , f(x) = 1 או f(x)
= −1
בתחום x > 0: f יורדת מ־0 עד −8√e ≈ −4.85, ואחר כך עולה ל־∞.
הישר y = −1 חותך את הגרף פעמיים (בירידה ובעלייה), והישר y = 1 פעם אחת (מימין ל־√e).
f אי־זוגית, ולכן גם בתחום x < 0 יש 3 נקודות.
✅ פתרון סופי: 6 נקודות
סעיף ד – פונקצייה קדומה של g
g(x) = 14x(ln(x2) − 1)
(ln(x2) − 1)′ = 2xx2 = 2x📐 נגזרת של ln של פונקצייה(ln u)′ = u′u
g(x) = 18 · 2xln(x2) − 1
G(x) = 18 ln|ln(x2) − 1|📐 אינטגרל של מנה שבה המונה הוא נגזרת המכנה∫ u′u dx = ln|u| + C
✅ פתרון סופי: G(x) = 18 ln|ln(x2) − 1|
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א (1) | x ≠ 0 |
|---|---|
| סעיף א (2) | (√e , 0) , (−√e , 0) |
| סעיף א (3) | הוכח |
| סעיף ב (1) | מקסימום (−1√e , 8√e) מינימום (1√e , −8√e) |
| סעיף ב (2) | אין נקודות פיתול |
| סעיף ב (3) | ראו סקיצה |
| סעיף ג (1) | x ≠ 0 , x ≠ ±√e |
| סעיף ג (2) | x = 0 , x = ±√e , y = 0 |
| סעיף ג (3) | ראו סקיצה |
| סעיף ג (4) | 6 נקודות |
| סעיף ד | G(x) = 18 ln|ln(x2) − 1| |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 9 – נגזרת מורכבת עם פונקציית ln
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2023⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד ב׳, שאלה 5 פרמטר · אינטגרל
📄 נוסח השאלה
נתונה פונקציה f(x) המקיימת את התכונות האלה: הפונקציה מוגדרת לכל x ורציפה, הפונקציה היא אי־זוגית, הישר y = 0 הוא אסימפטוטה של הפונקציה, ולפונקציה יש נקודת מינימום יחידה ששיעוריה הם (−1 , −a) , a הוא פרמטר חיובי.
א. סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה h(x) = ln(f(x)).
ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה h(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה h(x) המאונכות לצירים (אם יש כאלה).
(3) מצאו את טווח הערכים של a שבעבורו גרף הפונקציה h(x) חותך את ציר ה־x בשתי נקודות.
(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה h(x) , אם ידוע שהגרף שלה חותך את ציר ה־x בשתי נקודות.
נתון: f(x) = 4x1 + x2. g(x) היא פונקציה המקיימת: g′(x) = f(x) , וגם g(0) = 0.
ג. (1) מצאו את הפונקציה g(x).
(2) האם הפונקציה g(x) היא זוגית, אי־זוגית או לא זוגית ולא אי־זוגית? נמקו.
לפניכם האינטגרל ∫−5t g(x)dx , t > −5.
ד. מהו הערך של t שבעבורו מתקיים 2 · ∫−5t g(x)dx = ∫−55 g(x)dx? נמקו.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א – סקיצה של f
f אי־זוגית, ולכן f(0) = 0, והמינימום (−1 , −a) משתקף למקסימום (1 , a).
הגרף מתקרב ל־y = 0 משני הצדדים: משמאל מלמטה, מימין מלמעלה. שלילי עבור x < 0 וחיובי עבור x > 0.📐 משפט: פונקציה אי־זוגיתהגרף סימטרי ביחס לראשית: (x , y) על הגרף ⟸ (−x , −y) על הגרף
━ f(x) (כחול)
סעיף ב (1) – תחום ההגדרה של h
f(x) > 0📐 נוסחה: תחום הגדרה של lnln(f(x)) מוגדרת רק כאשר f(x) > 0
לפי הסקיצה f > 0 רק עבור x > 0:
x > 0
✅ פתרון סופי: x > 0
סעיף ב (2) – אסימפטוטות של h
כאשר x → 0+: f(x) → 0+ (רציפות, f(0) = 0), ולכן:
h(x) → −∞ ⟹ x = 0📐 נוסחה: גבולות של lnt → 0+ ⟹ ln t → −∞ln t = 0 ⟺ t = 1
כאשר x → ∞: f(x) → 0+ (אסימפטוטה y = 0), ולכן h(x) → −∞ – אין אסימפטוטה אופקית.
✅ פתרון סופי: x = 0 בלבד
סעיף ב (3) – טווח הערכים של a
h(x) = 0 ⟺ f(x) = 1📐 נוסחה: גבולות של lnt → 0+ ⟹ ln t → −∞ln t = 0 ⟺ t = 1
בתחום x > 0 הפונקציה f עולה מ־0 עד המקסימום a ב־x = 1, ואז יורדת חזרה ל־0. הישר y = 1 חותך אותה בשתי נקודות רק אם המקסימום גבוה מ־1:
a > 1
✅ פתרון סופי: a > 1
סעיף ב (4) – סקיצה של h
h עולה כש־f עולה ויורדת כש־f יורדת (ln פונקציה עולה). לכן: מתחיל ב־−∞ ליד x = 0, עולה למקסימום (1 , ln a) (חיובי כי a > 1), חותך את ציר ה־x פעמיים, ויורד ל־−∞.
━ h(x) (ירוק)
סעיף ג (1) – הפונקציה g
g(x) = ∫ 4x1 + x2dx = 2∫ 2x1 + x2dx
g(x) = 2 ln(1 + x2) + c📐 נוסחה: אינטגרל עם ln∫ g′(x)g(x)dx = ln|g(x)| + c
g(0) = 2 ln 1 + c = c = 0
g(x) = 2 ln(1 + x2)
✅ פתרון סופי: g(x) = 2 ln(1 + x2)
סעיף ג (2) – זוגיות
g(−x) = 2 ln(1 + (−x)2)📐 נוסחה: פונקציה זוגיתg(−x) = g(x)∫−aa g = 2∫−a0 g
g(−x) = 2 ln(1 + x2) = g(x)
✅ פתרון סופי: זוגית
סעיף ד – הערך של t
g זוגית, ולכן:
∫−55 g(x)dx = 2∫−50 g(x)dx📐 נוסחה: פונקציה זוגיתg(−x) = g(x)∫−aa g = 2∫−a0 g
נציב במשוואה ונחלק ב־2:
∫−5t g(x)dx = ∫−50 g(x)dx
g(x) > 0 לכל x ≠ 0, ולכן הפונקציה ∫−5t g(x)dx עולה ב־t – יש לה ערך אחד בלבד שבו היא שווה לערך שב־t = 0:
t = 0
✅ פתרון סופי: t = 0
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א | סקיצה |
|---|---|
| סעיף ב (1) | x > 0 |
| סעיף ב (2) | x = 0 |
| סעיף ב (3) | a > 1 |
| סעיף ב (4) | סקיצה |
| סעיף ג (1) | g(x) = 2 ln(1 + x2) |
| סעיף ג (2) | זוגית |
| סעיף ד | t = 0 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 28 – בהינתן f(x), שרטוט ln(f(x))
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד ב׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 קיץ 2022 מועד א׳, שאלה 5 שטח · גרף נגזרת
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = x + ln(x2 − 8) .
א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים (אם יש כאלה).
(3) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבעו את סוגה.
(4) סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
f′(x) היא פונקציית הנגזרת של הפונקציה f(x).
ב. (1) מצאו את תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת f′(x).
(2) מצאו את משוואות האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת f′(x) המאונכות לצירים.
(3) מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של פונקציית הנגזרת f′(x) עם הצירים (אם יש כאלה).
(4) סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת f′(x) אם ידוע כי אין לה נקודות קיצון.
נתונה הפונקציה g(x) = ef(x) המוגדרת באותו התחום כמו הפונקציה f(x).
ג. (1) מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), וקבעו את סוגה.
(2) מצאו את תחומי העלייה ואת תחומי הירידה של הפונקציה g(x).
ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה y = f′(x) · g(x) , על ידי ציר ה־x ועל ידי הישרים x = −4 ו־x = −5 .
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א(1) – תחום הגדרה
הביטוי שבתוך ln חייב להיות חיובי:📐 נוסחה: תחום הגדרה של lnln(h(x)) מוגדר כאשר h(x) > 0
x2 − 8 > 0
x2 > 8
x > 2√2 או x < −2√2
(2√2 ≈ 2.83)
✅ פתרון סופי: x > 2√2 או x < −2√2
סעיף א(2) – אסימפטוטות המאונכות לצירים
אנכיות: כאשר x → ±2√2 (מתוך התחום), x2 − 8 → 0+:📐 נוסחה: אסימפטוטה אנכית של lnh(x) → 0+ ⟹ ln(h(x)) → −∞
ln(x2 − 8) → −∞ ⟹ f(x) → −∞
x = 2√2 , x = −2√2
אופקיות: כאשר x → ∞ שני המחוברים שואפים ל־∞, ולכן f → ∞.
כאשר x → −∞: x שואף ל־−∞ מהר הרבה יותר מש־ln(x2 − 8) גדל. בהצבה: f(−100) ≈ −90.8 , f(−1000) ≈ −986.2 – שואף ל־−∞.
אין אסימפטוטה אופקית.
✅ פתרון סופי: x = 2√2 , x = −2√2 (אין אופקית)
סעיף א(3) – נקודת הקיצון
נגזור:📐 נוסחה: נגזרת של ln(ln h(x))′ = h′(x)h(x)
f′(x) = 1 + 2xx2 − 8
f′(x) = x2 − 8 + 2xx2 − 8 = x2 + 2x − 8x2 − 8
f′(x) = 0 ⟹ x2 + 2x − 8 = 0
(x + 4)(x − 2) = 0
x = −4 או x = 2
x = 2 לא בתחום ההגדרה (2 < 2√2). נשאר x = −4.
בדיקת הסימן של הנגזרת (המכנה x2 − 8 חיובי בכל התחום):
f′(−5) = 25 − 10 − 817 = 717 > 0
עלייה כאשר x < −4
f′(−3) = 9 − 6 − 81 = −5 < 0
ירידה כאשר −4 < x < −2√2
f′(3) = 9 + 6 − 81 = 7 > 0
עלייה כאשר x > 2√2
ב־x = −4 עלייה ואחריה ירידה – מקסימום:
f(−4) = −4 + ln(16 − 8)
= −4 + ln 8 ≈ −1.92
✅ פתרון סופי: (−4 , −4 + ln 8) ≈ (−4 , −1.92) – מקסימום
סעיף א(4) – סקיצה של f
ענף שמאלי: עולה מ־−∞ עד המקסימום (−4 , −1.92), ויורד ל־−∞ ליד x = −2√2. ענף ימני: עולה מ־−∞ (ליד x = 2√2) ל־∞.
▬ f(x) (כחול) · ▬ האסימפטוטות האנכיות (תכלת)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ב(1) – תחום ההגדרה של f′
f′(x) = 1 + 2xx2 − 8
מוגדרת כאשר x2 ≠ 8, אבל הנגזרת קיימת רק היכן ש־f מוגדרת:
x > 2√2 או x < −2√2
✅ פתרון סופי: x > 2√2 או x < −2√2
סעיף ב(2) – אסימפטוטות של f′
אנכיות: כאשר x → ±2√2 המכנה x2 − 8 → 0 והמונה 2x ≠ 0:
x = 2√2 , x = −2√2
אופקית: כאשר x → ±∞, דרגת המונה (1) קטנה מדרגת המכנה (2):📐 נוסחה: אסימפטוטה אופקית של מנהאם דרגת המונה קטנה מדרגת המכנה: 2xx2 − 8 → 0
2xx2 − 8 → 0 ⟹ f′(x) → 1
y = 1
✅ פתרון סופי: x = 2√2 , x = −2√2 , y = 1
סעיף ב(3) – חיתוך עם הצירים
עם ציר ה־y: x = 0 לא בתחום – אין נקודת חיתוך.
עם ציר ה־x: f′(x) = 0 – מצאנו בסעיף א(3):
x = −4
✅ פתרון סופי: (−4 , 0) (אין חיתוך עם ציר y)
סעיף ב(4) – סקיצה של f′
הסימנים של f′ ידועים מבדיקת הסימן בסעיף א(3): חיובית כאשר x < −4, שלילית כאשר −4 < x < −2√2, חיובית כאשר x > 2√2.
אין לה נקודות קיצון, לכן בכל ענף היא רק יורדת או רק עולה:
ענף שמאלי: מתחת ל־y = 1 (כי 2xx2 − 8 < 0 שם), יורדת מ־1 דרך (−4 , 0) אל −∞.
ענף ימני: מעל y = 1, יורדת מ־∞ ומתקרבת ל־y = 1.
▬ f′(x) (ירוק חזק) · ▬ האסימפטוטות (תכלת)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ג(1) – נקודת הקיצון של g
לא גוזרים את g – קוראים אותה מתוך הגרף של f (סעיף א(4)).
g(x) = ef(x)📐 משפט: הגרף של e בחזקת fet פונקציה עולה, ולכן:
f עולה ⇐ ef עולה
f יורדת ⇐ ef יורדת
לקיצון של f מתאים קיצון מאותו סוג של ef
כש־f → −∞ ⇐ ef → 0
f עולה ⇐ ef עולה
f יורדת ⇐ ef יורדת
לקיצון של f מתאים קיצון מאותו סוג של ef
כש־f → −∞ ⇐ ef → 0
ל־f יש מקסימום ב־x = −4, ולכן גם ל־g יש מקסימום ב־x = −4.
g(−4) = e−4 + ln 8📐 נוסחה: חוקי חזקות ו־lnea + b = ea · ebeln h = h
g(−4) = e−4 · eln 8 = 8e−4 ≈ 0.147
ליד −2√2 וליד 2√2 הפונקציה f שואפת ל־−∞, ולכן g שואפת ל־0 (עיגול ריק – הנקודות לא בתחום).
כש־x → −∞ גם f → −∞, ולכן g → 0 – הגרף מתקרב לציר ה־x.
מימין ל־2√2 הפונקציה f עולה ל־∞, ולכן גם g – היא עולה מהר מאוד ויוצאת מגבולות הסרטוט.
▬ g(x) (סגול) · ○ נקודות שלא בתחום
✅ פתרון סופי: (−4 , 8e4) ≈ (−4 , 0.147) – מקסימום
סעיף ג(2) – תחומי עלייה וירידה של g
קוראים מהגרף של f: איפה ש־f עולה – גם g עולה, ואיפה ש־f יורדת – גם g יורדת.
ב־x < −4 הפונקציה f עולה, ולכן g עולה.
ב־−4 < x < −2√2 הפונקציה f יורדת, ולכן g יורדת.
ב־x > 2√2 הפונקציה f עולה, ולכן g עולה.
✅ פתרון סופי: עלייה: x < −4 , x > 2√2 ; ירידה: −4 < x < −2√2
סעיף ד – השטח
נגזור את g: g′(x) = f′(x) · ef(x) = f′(x) · g(x). כלומר הפונקציה שהשטח מתחתיה היא בדיוק g′(x).📐 נוסחה: נגזרת של e בחזקת פונקציה(eh(x))′ = h′(x) · eh(x)
בתחום −5 ≤ x ≤ −4: f′(x) ≥ 0 (תחום עלייה) ו־g(x) > 0, לכן הגרף מעל ציר ה־x:📐 נוסחה: אינטגרל של נגזרת∫ab g′(x) dx = g(b) − g(a)
S = ∫−5−4 f′(x) · g(x) dx
= ∫−5−4 g′(x) dx
S = g(−4) − g(−5)
g(−4) = 8e−4 ≈ 0.1465
g(−5) = e−5 + ln 17 = 17e−5 ≈ 0.1145📐 נוסחה: חוקי חזקות ו־lnea + b = ea · ebeln h = h
S = 8e−4 − 17e−5
≈ 0.1465 − 0.1145 = 0.032
▬ y = f′(x) · g(x) (סגול) · ▬ השטח (ירוק חלש)
✅ פתרון סופי: 8e−4 − 17e−5 ≈ 0.032
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א(1) | x > 2√2 או x < −2√2 |
|---|---|
| סעיף א(2) | x = ±2√2 |
| סעיף א(3) | (−4 , −4 + ln 8) מקסימום |
| סעיף ב(1) | x > 2√2 או x < −2√2 |
| סעיף ב(2) | x = ±2√2 , y = 1 |
| סעיף ב(3) | (−4 , 0) |
| סעיף ג(1) | (−4 , 8e−4) מקסימום |
| סעיף ג(2) | עלייה x < −4 , x > 2√2 ; ירידה −4 < x < −2√2 |
| סעיף ד | ≈ 0.032 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 30 – בהינתן f(x), שרטוט e בחזקת f(x)
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – קיץ 2022 מועד א׳⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022 נבצרים, שאלה 4 פרמטר · שטח · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = axln x − a , a > 0 הוא פרמטר.
בסעיפים א–ב, בטא את תשובותיך באמצעות a אם יש צורך.
א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x), וקבע את סוגה.
(3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה f(x).
נתונה הפונקציה g(x) = 1f(x) .
ב. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה g(x).
(2) מצא את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x), וקבע את סוגה.
(3) סרטט סקיצה של גרף הפונקציה g(x).
נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x), על ידי האנך לציר ה־x העובר בנקודת הקיצון של הפונקציה g(x), על ידי הישר x = ea + 2 ועל ידי ציר ה־x, הוא 3.
ג. מצא את a.
✏️ פתרון שאלה 4
סעיף א(1) – תחום הגדרה
ln מוגדר רק לחיוביים, והמכנה שונה מאפס:📐 נוסחה: תחום הגדרהln x מוגדר עבור x > 0 , ומכנה ≠ 0
x > 0
ln x − a ≠ 0📐 נוסחה: משוואה עם lnln x = c ⟺ x = ec
⟹ ln x ≠ a
⟹ x ≠ ea
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ ea
סעיף א(2) – נקודת הקיצון
נגזרת מנה:📐 נוסחה: נגזרת מנה(uv)′ = u′ · v − u · v′v2(ln x)′ = 1x
f′(x) = a(ln x − a) − ax · 1x(ln x − a)2
f′(x) = a(ln x − a − 1)(ln x − a)2
f′(x) = 0📐 נוסחה: משוואה עם lnln x = c ⟺ x = ec
⟹ ln x = a + 1
⟹ x = ea + 1
המכנה חיובי ו־a > 0, לכן הסימן של f′ הוא הסימן של ln x − a − 1:
0 < x < ea + 1 (x ≠ ea) : f′ < 0 – ירידה
x > ea + 1 : f′ > 0 – עלייה
f(ea + 1) = a · ea + 1a + 1 − a = aea + 1
✅ פתרון סופי: (ea + 1 , aea + 1) – מינימום
סעיף א(3) – סקיצה של f
אסימפטוטה אנכית x = ea. כאשר 0 < x < ea: המונה חיובי והמכנה שלילי – הגרף מתחת לציר ה־x; כאשר x → 0+ הגרף שואף לנקודה (0 , 0) (ממנה הוא לא כולל).
כאשר x > ea: הגרף יורד מ־∞ למינימום ואז עולה.
בציור: a = 0.5 (הערך שיתקבל בסעיף ג).
▬ f(x) (כחול) · ▬ האסימפטוטה x = ea (תכלת)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ב(1) – תחום ההגדרה של g
g מוגדרת היכן ש־f מוגדרת ושונה מאפס. f(x) ≠ 0 לכל x > 0 (כי ax ≠ 0):
x > 0 , x ≠ ea
g(x) = ln x − aax
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ ea
סעיף ב(2) – נקודת הקיצון של g
קוראים מהסקיצה של f (סעיף א(3)):
בתחום x > ea: f חיובית, יורדת עד המינימום (ea + 1 , aea + 1) ועולה אחריו.
בתחום 0 < x < ea: f שלילית ויורדת – אין בה קיצון.
ל־g = 1f: כש־f עולה – g יורדת, וכש־f יורדת – g עולה.📐 הפונקציה 1 חלקי fבתחום שבו f לא מחליפה סימן: עלייה וירידה מתחלפות, ומינימום של f הופך למקסימום של 1f
לכן g עולה עד x = ea + 1 ויורדת אחריו – מקסימום:
x = ea + 1
g(ea + 1) = 1f(ea + 1) = 1aea + 1
✅ פתרון סופי: (ea + 1 , 1aea + 1) – מקסימום
סעיף ב(3) – סקיצה של g
כאשר x → 0+: g → −∞ – אסימפטוטה אנכית x = 0. ב־x = ea הגרף עובר דרך (ea , 0), אבל הנקודה לא שייכת לתחום – נקודה ריקה.
מקסימום ב־x = ea + 1, ואחריו g → 0 כאשר x → ∞ (אסימפטוטה y = 0).
בציור: a = 0.5. השטח של סעיף ג צבוע.
▬ g(x) (סגול) · ▬ השטח של סעיף ג (ירוק חלש)
✅ פתרון סופי: הסקיצה למעלה
סעיף ג – מציאת a
בתחום ea + 1 ≤ x ≤ ea + 2: ln x − a > 0 , לכן g > 0:📐 נוסחה: חישוב שטחS = ∫ab g(x) dxכאשר g(x) ≥ 0 בתחום
S = ∫ea + 1ea + 2 ln x − aax dx
= 1a ∫ (ln x − a) · 1x dx
1x היא הנגזרת של ln x − a:📐 נוסחה: אינטגרל עם נגזרת פנימית∫ h(x) · h′(x) dx = h2(x)2 + c
S = 1a · [(ln x − a)22]ea + 1ea + 2
ln(ea + 2) − a = 2
ln(ea + 1) − a = 1
S = 1a · (42 − 12) = 32a
32a = 3
a = 12
✅ פתרון סופי: a = 12
📌 סיכום התשובות – שאלה 4
| סעיף א(1) | x > 0 , x ≠ ea |
|---|---|
| סעיף א(2) | (ea + 1 , aea + 1) מינימום |
| סעיף ב(1) | x > 0 , x ≠ ea |
| סעיף ב(2) | (ea + 1 , 1aea + 1) מקסימום |
| סעיף ג | a = 12 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 24 – אינטגרל: זיהוי נגזרת פנימית
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022 נבצרים⬆️ חזרה לכפתורים
📅 חורף 2022, שאלה 5 שטח · הזזות
📄 נוסח השאלה
נתונה הפונקציה f(x) = ln2 xln2 x − 1 .
א. (1) מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x).
(2) מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x) המאונכות לצירים (אם יש כאלה).
(3) מצא את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x) (אם יש כאלה).
ב. לפניך שלושה גרפים: א, ב, ג. איזה מהגרפים מתאר את הפונקציה f(x)? נמק.
ג. (1) האם יש פתרון למשוואה f(x) = 1 ? נמק.
(2) מצא בעבור איזה ערך של k למשוואה f(x) = k יש פתרון יחיד.
נתונה הפונקציה g(x) = 1f(x) − 1 .
הנקודות A ו־B הן נקודות על ציר ה־x, שבהן הפונקציה g(x) אינה מוגדרת, כך ש־xA < xB.
הנקודות C ו־D נמצאות על גרף הפונקציה h(x) = ln2 x + 1 , כך שהמרובע ABCD הוא מלבן.
ד. חשב את שטח המלבן ABCD.
✏️ פתרון שאלה 5
סעיף א(1) – תחום הגדרה
📐 נוסחה: תחום הגדרהln x מוגדר עבור x > 0 , ומכנה ≠ 0
x > 0
ln2 x − 1 ≠ 0
⟹ ln x ≠ ±1
x ≠ e
x ≠ 1e
✅ פתרון סופי: x > 0 , x ≠ e , x ≠ 1e
סעיף א(2) – אסימפטוטות
אנכיות – המכנה מתאפס והמונה = 1 ≠ 0:
x = e
x = 1e
נכתוב f(x) = 1 + 1ln2 x − 1 .📐 נוסחה: גבול של lnx → ∞ : ln x → ∞x → 0+ : ln x → −∞
x → ∞ : ln2 x → ∞
⟹ f(x) → 1
x → 0+ : ln2 x → ∞
⟹ f(x) → 1
כאשר x → 0+ הגרף מתקרב לנקודה (0 , 1) שלא שייכת לגרף (זו לא אסימפטוטה). האסימפטוטה האופקית:
y = 1
✅ פתרון סופי: x = e , x = 1e , y = 1
סעיף א(3) – עלייה וירידה
f′(x) = −2 ln x · 1x(ln2 x − 1)2📐 נוסחה: נגזרת מנה ושרשרת(1h)′ = −h′h2(ln x)′ = 1x
f′(x) = −2 ln xx(ln2 x − 1)2
f′(x) = 0
⟹ ln x = 0
⟹ x = 1
המכנה חיובי, לכן הסימן של f′ הפוך לסימן של ln x:
0 < x < 1: ln x < 0 , f′ > 0 – עלייה.
x > 1: ln x > 0 , f′ < 0 – ירידה.
f(1) = 00 − 1 = 0 (מקסימום)
✅ פתרון סופי: עלייה: 0 < x < 1 (x ≠ 1e) ; ירידה: x > 1 (x ≠ e)
סעיף ב – בחירת הגרף
כאשר x → 0+ הגרף מתקרב לגובה 1 – לגובה האסימפטוטה y = 1, עם נקודה ריקה.
בגרף א הגרף שואף ל־∞ ליד ציר ה־y – לא מתאים. בגרף ב הנקודה הריקה נמצאת מתחת לאסימפטוטה האופקית – לא מתאים.
בגרף ג הנקודה הריקה על האסימפטוטה y = 1, יש שתי אסימפטוטות אנכיות, מקסימום בין שתיהן, ועלייה וירידה כמו בסעיף א.
▬ f(x) (כחול) · ▬ האסימפטוטות (תכלת)
✅ פתרון סופי: גרף ג
סעיף ג – המשוואות f(x) = 1 ו־f(x) = k
(1) 1 + 1ln2 x − 1 = 1
1ln2 x − 1 = 0
שבר שהמונה שלו 1 אף פעם לא שווה 0 – אין פתרון.
(2) לפי הגרף: ערכים k > 1 מתקבלים פעמיים (בענף השמאלי ובענף הימני); ערכים k < 0 מתקבלים פעמיים בענף האמצעי; ערכים 0 < k ≤ 1 לא מתקבלים.
הערך 0 מתקבל רק בנקודת המקסימום x = 1:
k = 0
✅ פתרון סופי: אין פתרון ; k = 0
סעיף ד – שטח המלבן
g(x) = 1f(x) − 1
= 11ln2 x − 1
= ln2 x − 1
g לא מוגדרת היכן ש־f לא מוגדרת: x = 1e ו־x = e (על ציר ה־x, g = 0 שם).
A(1e , 0)
B(e , 0)
במלבן C מעל B ו־D מעל A:
h(e) = 12 + 1 = 2
⟹ C(e , 2)
h(1e) = (−1){sq} + 1 = 2
⟹ D(1e , 2)
CD אופקי (y = 2) – אכן מלבן.📐 נוסחה: שטח מלבןS = a · b
S = (e − 1e) · 2
S = 2e − 2e ≈ 4.70
▬ המלבן ABCD (ירוק חזק) · ▬ h(x) = ln² x + 1 (סגול) · ▬ g(x) = ln² x − 1 (מקווקו) (כחול)
✅ פתרון סופי: S = 2e − 2e ≈ 4.70
📌 סיכום התשובות – שאלה 5
| סעיף א(1) | x > 0 , x ≠ e , x ≠ 1e |
|---|---|
| סעיף א(2) | x = e , x = 1e , y = 1 |
| סעיף א(3) | עלייה 0 |
| סעיף ב | גרף ג |
| סעיף ג | אין פתרון ; k = 0 |
| סעיף ד | 2e − 2e ≈ 4.70 |
📚 ללמוד את הנושא: שיעור 26 -פתרון בגרות 2022 5 יחידות
🎓 רוצים להבין את זה לעומק? קורס חקירת ln
📄 לפתרון כל הבגרות – חורף 2022⬆️ חזרה לכפתורים
📚 כל הנושאים – שאלות בגרות 572 לפי נושא
🎓 רוצים להבין את זה לעומק?
בקורסים של מתמטריק כל נושא מוסבר מההתחלה, בסרטונים קצרים, עם תרגילים פתורים שלב אחר שלב – בדיוק כמו בפתרונות האלה.
השאלונים באדיבות משרד החינוך. הפתרונות נכתבו על ידי מתמטריק – אלדד.
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il